数学 › 数論 › 代数体の整数環と Dedekind 整域

代数的整数の最小多項式

命題 2.4（「代数体の整数環と Dedekind 整域」§2） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 35 件、定義なども含めて 41 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大

  • 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環

    • イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環

      • 左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
    • 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環

      • 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
      • 左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
    • 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
  • PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大

    • 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環（上で展開済み）
    • 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環

      • 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
      • 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
  • 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環

    • イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
    • 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
    • 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
• 整数環の基本性質✓定理 2.3・代数体の整数環と Dedekind 整域

  • 加群による整性の判定✓補題 2.2・代数体の整数環と Dedekind 整域

    • 有限生成アーベル群の基本定理✓系 6.1・加群と PID 上の構造定理

      • PID 上の有限生成加群の構造定理（不変因子形）✓定理 5.1・加群と PID 上の構造定理 この先をたどる →
      • 整数環と多項式環は単項イデアル整域✓命題 7.2・イデアルと剰余環
      • 素冪因子形✓命題 5.2・加群と PID 上の構造定理 この先をたどる →
    • 正則性の判定✓定理 7.1・行列式とその性質

      • 余因子行列の基本関係式✓命題 5.4・行列式とその性質 この先をたどる →
      • 線形独立・生成系・基底定義 5.1・ベクトル空間と線形変換
      • 有限次元空間の基本性質✓命題 5.7・ベクトル空間と線形変換 この先をたどる →
      • 積の定理✓定理 6.1・行列式とその性質 この先をたどる →
  • ユークリッドの補題（一般形）✓補題 2.2・整除と素因数分解

    • ベズーの等式✓補題 2.4・素数の魅力と素数定理

      • 除法の原理✓補題 2.3・素数の魅力と素数定理 この先をたどる →
      • 整除と最大公約数定義 2.1・素数の魅力と素数定理

これを使っている定理 証明で参照している 4 件

• 円分多項式の既約性✓定理 2.3・円分体と Kronecker–Weber の定理
• Kronecker の補題✓補題 6.1・円分体と Kronecker–Weber の定理
• トレースとノルムの性質✓命題 3.3・代数体の整数環と Dedekind 整域
• 二次体の整数環と判別式✓命題 8.1・代数体の整数環と Dedekind 整域