有限生成アーベル群の基本定理

系 6.1（「加群と PID 上の構造定理」§6）・ ✓公理まで証明済み

有限生成アーベル群 $A$ は、整数 $r \ge 0$ と、 $d_1 \mid d_2 \mid \cdots \mid d_s$ （ $d_i \ge 2$ ）を用いて

A \cong \mathbb{Z}^r \oplus \mathbb{Z}/d_1\mathbb{Z} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}/d_s\mathbb{Z}

と書け、 $r, d_i$ は一意に定まる。特に有限アーベル群は、素数のべきの位数の巡回群の直和 $\bigoplus \mathbb{Z}/p_j^{e_j}\mathbb{Z}$ に（順序を除いて一意に）分解する。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 13 件、定義なども含めて 16 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

PID 上の有限生成加群の構造定理（不変因子形）✓定理 5.1・加群と PID 上の構造定理
- 自由加群の部分加群は自由✓定理 3.1・加群と PID 上の構造定理
- スミス標準形✓定理 4.1・加群と PID 上の構造定理
- 加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理
整数環と多項式環は単項イデアル整域✓命題 7.2・イデアルと剰余環
素冪因子形✓命題 5.2・加群と PID 上の構造定理
- PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大
  - 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環
    イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
    素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
    単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
  - 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環
    単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
    剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
- 中国剰余定理✓命題 2.4・加群と PID 上の構造定理
  - 加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理