有限生成の場合

系 3.5（「コホモロジーと双対性」§3）・ ✓公理まで証明済み

$H_n(X)\cong\mathbb{Z}^{b_n}\oplus T_n$ （ $T_n$ は有限群）がすべての $n$ で成り立つとき、 $H^n(X;\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}^{b_n}\oplus T_{n-1}$ 。また $\mathbb{Q}$ 係数や $\mathbb{R}$ 係数では $H^n(X;F)\cong\operatorname{Hom}(H_n(X),F)$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 20 件、定義なども含めて 24 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

有限生成アーベル群の基本定理✓系 6.1・加群と PID 上の構造定理
- PID 上の有限生成加群の構造定理（不変因子形）✓定理 5.1・加群と PID 上の構造定理
  - 自由加群の部分加群は自由✓定理 3.1・加群と PID 上の構造定理
  - スミス標準形✓定理 4.1・加群と PID 上の構造定理
  - 加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理
- 整数環と多項式環は単項イデアル整域✓命題 7.2・イデアルと剰余環
- 素冪因子形✓命題 5.2・加群と PID 上の構造定理
  - PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大
    極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環この先をたどる →
    素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 中国剰余定理✓命題 2.4・加群と PID 上の構造定理
    加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理
Ext は分解によらない✓補題 3.3・コホモロジーと双対性
普遍係数定理✓定理 3.4・コホモロジーと双対性
- 自由アーベル群の部分群は自由✓補題 3.1・コホモロジーと双対性
  - Zorn の補題✓定理 5.1・選択公理と Zorn の補題
    選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
    整合的集合の比較可能性✓補題 5.5・選択公理と Zorn の補題
    始切片で増える整列集合の合併✓補題 5.4・選択公理と Zorn の補題
  - 自由加群の部分加群は自由✓定理 3.1・加群と PID 上の構造定理

これを使っている定理証明で参照している 2 件

コンパクト多様体の整係数コホモロジー✓補題 8.3・層コホモロジーと直線束
単連結な閉 4 次元多様体の H₂ と交叉形式✓命題 5.3・h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口

有限生成の場合

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

関連するノック 3 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

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