数学 › 代数的位相幾何学 › コホモロジーと双対性

普遍係数定理

定理 3.4（「コホモロジーと双対性」§3）・ ✓公理まで証明済み

$C_*$ を自由アーベル群の鎖複体、 $G$ をアーベル群とする。各 $n$ について分裂する短完全列

0\to\operatorname{Ext}(H_{n-1}(C),G)\to H^n(C;G)\xrightarrow{\ h\ }\operatorname{Hom}(H_n(C),G)\to0

が存在する。ここで $h[\varphi]([z])=\varphi(z)$ 。特に $H^n(X;G)\cong\operatorname{Hom}(H_n(X),G)\oplus\operatorname{Ext}(H_{n-1}(X),G)$ 。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 5 件、定義なども含めて 6 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

自由アーベル群の部分群は自由✓補題 3.1・コホモロジーと双対性
- Zorn の補題✓定理 5.1・選択公理と Zorn の補題
  - 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
  - 整合的集合の比較可能性✓補題 5.5・選択公理と Zorn の補題
  - 始切片で増える整列集合の合併✓補題 5.4・選択公理と Zorn の補題
- 自由加群の部分加群は自由✓定理 3.1・加群と PID 上の構造定理

これを使っている定理証明で参照している 7 件

有限生成の場合✓系 3.5・コホモロジーと双対性
写像度の積分表示✓命題 5.4・ホモトピー群とファイブレーション
コンパクト多様体の整係数コホモロジー✓補題 8.3・層コホモロジーと直線束
Seifert 膜の存在✓定理 4.4・h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口
ハンドル分解による整数係数の双対✓補題 5.2・h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口
単連結な閉 4 次元多様体の H₂ と交叉形式✓命題 5.3・h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口
閉多様体のコホモロジーは有限次元✓補題 2.1・Thom 類と Poincaré 双対

関連するノック 3 問