閉多様体のコホモロジーは有限次元

補題 2.1（「Thom 類と Poincaré 双対」§2）・ ✓公理まで証明済み

$X$ を閉多様体（コンパクトで境界なし）とする。各 $k$ で $H^k(X)$ は有限次元である。 $X$ が向き付けられた $n$ 次元多様体なら、 $H^{*}(X)=\bigoplus_kH^k(X)$ の斉次元からなる基底 $\{\omega_i\}$ に対し、斉次元からなる基底 $\{\tau_j\}$ で $\int_X\omega_i\wedge\tau_j=\delta_{ij}$ となるもの（双対基底）がただ 1 つ存在する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 123 件、定義なども含めて 146 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Morse 不等式✓定理 7.3・Morse 理論
- 非退化臨界点は孤立する✓系 3.3・Morse 理論
- 臨界値をまたぐ相対ホモロジー✓系 6.3・Morse 理論
  - 胞体を足したときの相対ホモロジー✓補題 6.2・Morse 理論
    ホモトピー同値は同型を与える✓系 4.2・特異ホモロジーこの先をたどる →
    対の長完全列✓系 3.2・特異ホモロジーこの先をたどる →
    五項補題✓補題 3.3・特異ホモロジー
    切除定理✓定理 5.3・特異ホモロジーこの先をたどる →
    H₀ と点のホモロジー✓命題 2.4・特異ホモロジー
    球面のホモロジー✓定理 6.1・特異ホモロジーこの先をたどる →
- 臨界値を含まない区間の変形✓定理 5.1・Morse 理論
  - コンパクト集合と開集合のあいだに相対コンパクトな開集合を挟む✓補題 2.3・局所コンパクト空間
    LCH 空間の近傍基✓命題 2.2・局所コンパクト空間この先をたどる →
  - 滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
  - コンパクトな台を持つベクトル場は完備✓命題 2.7・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
    常微分方程式の基本定理✓定理 2.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
  - 流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
    常微分方程式の基本定理✓定理 2.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
  - 貼り合わせ補題✓補題 7.2・連結性
    連続性の同値条件✓定理 3.3・連続写像と同相写像この先をたどる →
  - ホモトピー同値は同型を与える✓系 4.2・特異ホモロジーこの先をたどる →
- 交代和の劣加法性✓補題 7.2・Morse 理論
  - ホモロジーの長完全列✓定理 3.1・特異ホモロジー
  - 有理化は完全性を保つ✓補題 7.1・Morse 理論
    次元定理✓定理 7.3・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
普遍係数定理✓定理 3.4・コホモロジーと双対性
- 自由アーベル群の部分群は自由✓補題 3.1・コホモロジーと双対性
  - Zorn の補題✓定理 5.1・選択公理と Zorn の補題この先をたどる →
  - 自由加群の部分加群は自由✓定理 3.1・加群と PID 上の構造定理
de Rham の定理✓定理 5.4・コホモロジーと双対性
- Mayer–Vietoris 完全系列✓定理 4.3・de Rham コホモロジー
  - 微分形式の短完全列✓補題 4.2・de Rham コホモロジー
    1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
  - 長完全系列✓補題 4.1・de Rham コホモロジー
- コホモロジーの基本性質✓命題 2.2・コホモロジーと双対性
  - ホモトピー不変性✓定理 4.1・特異ホモロジー
  - H₀ と点のホモロジー✓命題 2.4・特異ホモロジー
  - Mayer–Vietoris 完全列✓定理 5.4・特異ホモロジーこの先をたどる →
  - 小さい鎖の定理✓定理 5.2・特異ホモロジーこの先をたどる →
- 滑らかな特異鎖によるコホモロジー✓補題 2.3・コホモロジーと双対性
  - ホモトピー不変性✓定理 4.1・特異ホモロジー
  - 小さい鎖の定理✓定理 5.2・特異ホモロジーこの先をたどる →
- ホモロジーの長完全列✓定理 3.1・特異ホモロジー
- 五項補題✓補題 3.3・特異ホモロジー
- Poincaré の補題✓定理 3.4・de Rham コホモロジー
  - 基本的な性質✓命題 2.2・de Rham コホモロジーこの先をたどる →
  - 台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
  - ホモトピー不変性✓定理 3.2・de Rham コホモロジーこの先をたどる →
- Mayer–Vietoris 論法✓補題 5.3・コホモロジーと双対性
  - コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理

これを使っている定理証明で参照している 1 件

対角集合の Poincaré 双対と Lefschetz 数✓定理 7.1・Thom 類と Poincaré 双対

閉多様体のコホモロジーは有限次元

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

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前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

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