数学 › 微分位相 › Thom 類と Poincaré 双対

対角集合の Poincaré 双対と Lefschetz 数

定理 7.1（「Thom 類と Poincaré 双対」§7） ・ ✓公理まで証明済み

XX を向き付けられた nn 次元の閉多様体、{ωi}\{\omega_i\} を H∗(X)H^{*}(X) の斉次元からなる基底、{τi}\{\tau_i\} を双対基底（∫Xωi∧τj=δij\int_X\omega_i\wedge\tau_j=\delta_{ij}。補題 2.1）、π1,π2 ⁣:X×X→X\pi_1,\pi_2\colon X\times X\to X を射影とする。

  1. 対角集合 Δ⊂X×X\Delta\subset X\times X の Poincaré 双対は ηΔ=∑i(−1)deg⁡ωi π1∗ωi∧π2∗τi.\eta_\Delta=\sum_i(-1)^{\deg\omega_i}\,\pi_1^{*}\omega_i\wedge\pi_2^{*}\tau_i .
  2. 滑らかな写像 f ⁣:X→Xf\colon X\to X のグラフ Γf\Gamma_f について I(Γf,Δ)=∑k=0n(−1)ktr⁡(f∗ ⁣:Hk(X)→Hk(X)),I(Δ,Γf)=(−1)nI(Γf,Δ).I(\Gamma_f,\Delta)=\sum_{k=0}^n(-1)^k\operatorname{tr}\bigl(f^{*}\colon H^k(X)\to H^k(X)\bigr),\qquad I(\Delta,\Gamma_f)=(-1)^nI(\Gamma_f,\Delta).
  3. ff が Lefschetz 写像ならば ∑f(x)=xsign⁡det⁡(I−dfx)=∑k=0n(−1)ktr⁡(f∗∣Hk(X)).\sum_{f(x)=x}\operatorname{sign}\det(I-df_x)=\sum_{k=0}^n(-1)^k\operatorname{tr}\bigl(f^{*}|H^k(X)\bigr). 右辺が 00 でなければ ff は不動点を持つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 235 件、定義なども含めて 275 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

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