横断性ホモトピー定理

定理 9.1（「横断性」§9）・ ✓公理まで証明済み

$X$ を境界付き多様体（境界は空でもよい）、 $Y$ を境界のない多様体、 $Z\subset Y$ を境界のない部分多様体、 $f\colon X\to Y$ を滑らかな写像とする。このとき、 $f$ に滑らかにホモトピックな滑らかな写像 $g\colon X\to Y$ で、 $g\pitchfork Z$ かつ $\partial g\pitchfork Z$ となるものが存在する。さらに、 $Y$ を $\mathbb{R}^N$ の閉部分多様体として実現しておくと、 $X$ がコンパクトなら、任意の $\delta>0$ に対し $g$ を $\sup_{x\in X}|g(x)-f(x)|<\delta$ となるように取れる。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 79 件、定義なども含めて 96 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Whitney の埋め込み定理（固有な埋め込み）✓定理 8.3・横断性
- コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
- 滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
- 台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
- 射影による次元の削減✓補題 8.2・横断性
  - 接バンドルは 2n 次元多様体である✓定理 8.2・接ベクトル空間と接バンドルこの先をたどる →
  - Sard の定理✓定理 7.4・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
- 固有な単射はめ込みは閉埋め込み✓補題 8.1・横断性
  - コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性この先をたどる →
  - コンパクト集合の連続像はコンパクト✓定理 6.1・コンパクト性この先をたどる →
  - ハウスドルフ空間ではコンパクト集合と外部の点が分離できる✓定理 4.2・コンパクト性この先をたどる →
- 埋め込みの像は部分多様体である✓定理 5.3・部分多様体と正則値定理
  - はめ込みの局所標準形✓定理 3.3・部分多様体と正則値定理
  - 部分多様体は多様体である✓命題 4.2・部分多様体と正則値定理
  - コンパクトからハウスドルフへの連続全単射は同相✓系 6.5・コンパクト性この先をたどる →
ε 近傍定理✓定理 7.3・横断性
- 法束は多様体✓補題 7.2・横断性
  - 埋め込みの像は部分多様体である✓定理 5.3・部分多様体と正則値定理（上で展開済み）
- 多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理
  - 多様体間の $C^k$ 級写像と微分同相定義 6.3・微分可能多様体の定義
  - 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
- 最大値・最小値の定理✓系 6.2・コンパクト性
  - コンパクト集合の連続像はコンパクト✓定理 6.1・コンパクト性この先をたどる →
  - ハイネ・ボレルの定理✓定理 5.2・コンパクト性この先をたどる →
正の連続関数の下に滑らかな正の関数がある✓補題 7.4・横断性
- 1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理
  - コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
  - 台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
- 最大値・最小値の定理✓系 6.2・コンパクト性（上で展開済み）
パラメータ付き横断性定理✓定理 6.1・横断性
- 境界付き多様体での基本操作✓補題 2.1・横断性
  - 連鎖律✓定理 7.4・接ベクトル空間と接バンドルこの先をたどる →
  - 1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理（上で展開済み）
  - コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
  - 台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
  - 滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
- 境界付き多様体からの横断的な写像による逆像✓定理 3.8・横断性
  - 横断的な写像による逆像✓定理 3.3・横断性この先をたどる →
  - 境界付き部分多様体定義 3.5・横断性
  - 横断性の局所的な言い換え✓補題 3.2・横断性この先をたどる →
  - 正則値定理✓定理 4.3・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
  - 正則値で切った部分は境界付き多様体✓補題 3.7・横断性この先をたどる →
- 境界付き多様体に対する Sard の定理✓系 3.9・横断性
  - 境界は 1 次元低い多様体✓命題 4.4・ストークスの定理この先をたどる →
  - Sard の定理✓定理 7.4・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
  - 測度 0 の集合定義 7.1・部分多様体と正則値定理
  - 境界付き多様体からの横断的な写像による逆像✓定理 3.8・横断性（上で展開済み）
- 横断的な写像による逆像✓定理 3.3・横断性この先をたどる →
管の補題✓補題 2.3・横断性
- コンパクト空間定義 3.2・コンパクト性

これを使っている定理証明で参照している 9 件

Pontryagin–Thom 構成（Thom の定理）✓定理 5.6・同境と Pontryagin–Thom 構成
ハンドル分解による整数係数の双対✓補題 5.2・h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口
CP²、S² × S²、CP² # (−CP²) の交叉形式✓命題 5.5・h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口
ハンドルの並べ替え✓定理 4.1・ハンドル分解と手術
境界定理（mod 2）✓定理 2.3・交点数と写像度
交点数の対称性✓命題 3.5・交点数と写像度
交点数は Poincaré 双対の積の積分✓系 5.6・Thom 類と Poincaré 双対
横断性の拡張定理✓定理 9.3・横断性
一般の位置✓系 9.5・横断性

横断性ホモトピー定理

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 5 件）

これを使っている定理 証明で参照している 9 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 5 件）

これを使っている定理証明で参照している 9 件