数学 › 微分位相 › ハンドル分解と手術

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定理 4.1（「ハンドル分解と手術」§4） ・ ✓公理まで証明済み

f ⁣:W→[a,b]f\colon W\to[a,b] を同境 WW の上の Morse 関数、ξ\xi を勾配状ベクトル場とし、ff の臨界点の集合が P⊔QP\sqcup Q と分かれ、f(P)={c}f(P)=\{c\}、f(Q)={c′}f(Q)=\{c'\}、c≤c′c\le c' であるとする。

  1. PP の点から QQ の点へ向かう ξ\xi の軌道が無いとする（c=c′c=c' ならつねに成り立つ）。このとき任意の α,α′∈(a,b)\alpha,\alpha'\in(a,b) に対し、WW 上の Morse 関数 g ⁣:W→[a,b]g\colon W\to[a,b] で、ξ\xi が gg の勾配状ベクトル場でもあり、臨界点と指数が ff と同じで、g(P)={α}g(P)=\{\alpha\}、g(Q)={α′}g(Q)=\{\alpha'\}、∂W\partial W の近傍で g=fg=f となるものが存在する。gg は、PP の近傍で g=f+α−cg=f+\alpha-c、QQ の近傍で g=f+α′−c′g=f+\alpha'-c' となるように取れる。
  2. c<c′c\lt c' で、PP のどの点の指数も QQ のどの点の指数以上であるとする。このとき ff の勾配状ベクトル場 ξ′\xi' で、f−1((c,c′))f^{-1}((c,c')) のあるコンパクト部分集合の外で ξ\xi と一致し、PP の点から QQ の点へ向かう軌道をもたないものが存在する。
  3. したがって、任意の同境 WW（nn 次元）の上に、(a) 臨界値が互いに異なり、臨界値の小さい順に臨界点を並べると指数が広義単調増加になる Morse 関数と、(b) 各臨界点 pp で f(p)=(p の指数)f(p)=(p\text{ の指数}) となる Morse 関数 f ⁣:W→[−12,n+12]f\colon W\to[-\tfrac12,n+\tfrac12]（自己指数的な Morse 関数）が存在する。臨界点の個数は指数ごとに、もとの Morse 関数と同じに取れる。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 159 件、定義なども含めて 182 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 8 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 4 件