数学 › 微分位相 › ハンドル分解と手術

同境の上の Morse 関数の存在

命題 2.3（「ハンドル分解と手術」§2） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 112 件、定義なども含めて 132 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• カラー近傍の存在と一意性✓定理 4.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張

  • 境界付き多様体での基本操作✓補題 2.1・横断性

    • 連鎖律✓定理 7.4・接ベクトル空間と接バンドル

      • 滑らかな写像の微分定義 7.1・接ベクトル空間と接バンドル
    • 1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理

      • コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
      • 台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
    • コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
    • 台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
    • 滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
  • 常微分方程式の基本定理✓定理 2.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理

    • C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性 この先をたどる →
    • 解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性 この先をたどる →
    • Picard–Lindelöf の定理✓定理 4.1・解の存在と一意性 この先をたどる →
    • 初期値への $C^k$ 依存性✓定理 8.4・解の存在と一意性 この先をたどる →
    • パラメータへの $C^k$ 依存性と滑らかな流れ✓系 8.5・解の存在と一意性 この先をたどる →
  • 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
  • 零切断の近傍は半径関数つきの円板束を含む✓補題 3.3・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張

    • ファイバー計量と直交補束✓補題 2.3・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張 この先をたどる →
    • 管の補題✓補題 2.3・横断性（上で展開済み）
  • ホモトピックな写像による引き戻しは同型✓補題 2.4・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張

    • 流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理 この先をたどる →
    • 斉次線形系の解空間✓定理 2.1・線形微分方程式系 この先をたどる →
    • 閉集合の近傍で 0、外で 1 の関数✓補題 9.2・横断性 この先をたどる →
    • 引き戻し・部分束・商束はベクトル束✓補題 2.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張 この先をたどる →
  • 管の補題✓補題 2.3・横断性

    • コンパクト空間定義 3.2・コンパクト性
• 貼り合わせの構造はカラーによらない✓定理 7.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張

  • カラー近傍の存在と一意性✓定理 4.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張（上で展開済み）
  • コンパクトな台を持つベクトル場は完備✓命題 2.7・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理

    • 常微分方程式の基本定理✓定理 2.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理（上で展開済み）
• Whitney の埋め込み定理（コンパクト・易しい版）✓定理 8.1・部分多様体と正則値定理

  • 滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
  • 埋め込みの像は部分多様体である✓定理 5.3・部分多様体と正則値定理

    • はめ込みの局所標準形✓定理 3.3・部分多様体と正則値定理
    • 部分多様体は多様体である✓命題 4.2・部分多様体と正則値定理
    • コンパクトからハウスドルフへの連続全単射は同相✓系 6.5・コンパクト性 この先をたどる →
• Morse 関数の存在と稠密性✓定理 4.1・Morse 理論

  • 多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理

    • 多様体間の $C^k$ 級写像と微分同相定義 6.3・微分可能多様体の定義
    • 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
  • Sard の定理✓定理 7.4・部分多様体と正則値定理

    • 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
    • Tonelli の定理✓定理 3.3・直積測度と Fubini–Tonelli の定理 この先をたどる →
    • テイラーの定理（ラグランジュの剰余）✓定理 5.3・平均値の定理とテイラーの定理 この先をたどる →
    • C¹ 写像は零集合を零集合に写す✓補題 7.2・部分多様体と正則値定理 この先をたどる →
  • Hessian の変換則✓命題 2.2・Morse 理論

    • 微分同相の微分は同型✓系 7.5・接ベクトル空間と接バンドル この先をたどる →
    • シルヴェスターの慣性法則✓定理 6.1・行列の分解と標準形 この先をたどる →
  • 測度 0 の集合定義 7.1・部分多様体と正則値定理

これを使っている定理 証明で参照している 5 件

• Morse 関数と Euler 標数✓補題 2.5・同境と Pontryagin–Thom 構成
• 同境の埋め込み✓補題 5.5・同境と Pontryagin–Thom 構成
• ハンドル分解の存在✓定理 3.7・ハンドル分解と手術
• ハンドルの並べ替え✓定理 4.1・ハンドル分解と手術
• 閉曲面の分類定理✓定理 7.5・ハンドル分解と手術