微分位相

数学修士無料 7 章有料 0 章

滑らかな多様体と滑らかな写像を、「一般の位置」に動かすという 1 つの考え方で調べる。

想定読者: 大学院生（修士課程）、幾何・トポロジー・ゲージ理論に進む人

前提テーマ:多様体論、代数的位相幾何学

このテーマの 100 本ノック（50 問）

目次

1. 第 1 章横断性：パラメータ付き横断性定理と一般の位置無料写像と部分多様体の横断性を定義し、逆像が多様体になることを境界付きの場合まで証明する。1 次元多様体の分類、安定性、パラメータ付き横断性定理、ε 近傍定理から、任意の写像を横断的な写像に動かせることと Whitney のはめ込み・埋め込み定理を導く。
2. 第 2 章管状近傍・カラー・イソトピーの拡張無料部分多様体の法束と管状近傍、境界のカラー近傍の存在と一意性を証明し、ベクトル場を作って流す方法でイソトピー拡張定理・円板定理を導く。連結和と境界に沿った貼り合わせが矛盾なく定まること、連続写像の滑らかな近似も示す。
3. 第 3 章交点数と写像度：Borsuk–Ulam の定理と Poincaré–Hopf の定理無料横断的な逆像が 1 次元多様体になり境界点が符号つきで打ち消すことから、交点数と写像度のホモトピー不変性を導く。滑らかな Jordan–Brouwer の分離定理、Borsuk–Ulam の定理、Poincaré–Hopf の定理、絡み数と局所 Lefschetz 数を証明する。
4. 第 4 章Thom 類と Poincaré 双対：交叉とカップ積、Euler 類無料ファイバーに沿った積分から Thom 同型を証明し、部分多様体の Poincaré 双対が法束の Thom 類であることを示す。横断的な交わりが外積に、零点集合が Euler 類に、不動点が Lefschetz 数に対応することを導き、CP^n のコホモロジー環と平面曲線の種数公式を得る。
5. 第 5 章ハンドル分解と手術：曲面の分類と Heegaard 分解無料同境の上の Morse 関数と勾配状ベクトル場から、臨界点の通過がハンドルの接着であることを微分同相の形で証明する。ハンドルの並べ替え・消去・滑らせ、ハンドル鎖複体、手術と同境の関係を示し、閉曲面の分類定理と 3 次元多様体の Heegaard 分解を導く。
6. 第 6 章同境と Pontryagin–Thom 構成無料閉多様体を「境界になるかどうか」で分類する同境群を定義し、枠付き部分多様体と球面への写像のホモトピー類の対応（Pontryagin–Thom 構成）を証明する。Hopf の写像度定理と Hopf 不変量、Thom 空間による同境群の表示、低次元の計算、符号数と Pontryagin 数の同境不変性を示す。
7. 第 7 章h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口無料h 同境定理から高次元の Poincaré 予想と円板の特徴づけを導き、証明の筋をハンドルの消去で追う。Milnor の 7 次元球面が球面に同相であることを Morse 関数で示し、微分同相でないことを符号数定理に帰着する。Seifert 膜、三葉結び目の非自明性、4 次元多様体の交叉形式と Freedman・Donaldson の定理を述べる。