曲面や空間のような「なめらかな形」を、関数の高さで輪切りにして、高さを上げていくと形がどう変わるかを追うと、変わるのは特定の高さを通るときだけで、そのとき「帯」や「厚みのある円板」が 1 つ貼り付きます。この記事は、その貼り付けの様子を正確に述べ、貼る順序を入れ替えたり、貼ったものを打ち消したりする規則を作ります。読み終えると、すべての連結な閉曲面が球面・トーラス・射影平面の連結和で書き尽くされることを、この規則だけから導けるようになります。
コンパクト な多様体や同境（境界が M 0 M_0 M 0 M 1 M_1 M 1 ハンドル D λ × D n − λ D^\lambda\times D^{n-\lambda} D λ × D n − λ 定理 3.6 、定理 3.7 ）。Morse 理論 の「胞体の接着」をホモトピー同値から微分同相へ精密にしたものです。ハンドルは指数の小さい順に並べ替えられ（定理 4.1 ）、指数 λ \lambda λ λ + 1 \lambda+1 λ + 1 定理 5.2 。一般の指数ではこの記事では主張のみとし、証明の筋を説明します。あとで使う指数 0 0 0 1 1 1 補題 5.6 で証明します）。
ハンドルの接着を境界で見たものが手術 で、2 つの閉多様体が同境であることと、有限回の手術で移り合うことは同値です（定理 3.9 ）。
ハンドル鎖複体の境界作用素は接着球面とベルト球面の交点数で（命題 6.1 ）、− f -f − f 命題 6.2 ）。
応用として、連結な閉曲面は S 2 S^2 S 2 定理 7.5 ）と、向き付け可能な閉 3 次元多様体が Heegaard 分解（空間を 2 つの「取っ手体」に切り分ける分解）をもつこと（定理 8.1 ）を示します。
臨界点と臨界値 : 関数の微分が（接ベクトルの方向すべてで）0 0 0 臨界点 Morse 関数と指数 : 臨界点がすべて非退化な関数。非退化な臨界点の指数は、ヘッセ行列が負になる方向の次元。→ Morse 理論 境界付き多様体 : 縁（境界）をもつ多様体。円板や閉区間が例。→ 境界付き多様体 横断性 : 2 つの部分多様体が交わる所で、接空間が合わせて全体を張る、という性質。→ 横断性 カラー : 境界の近くで「境界 × 区間」の形になっている近傍。→ カラー イソトピー : 埋め込みを埋め込みのまま滑らかに動かす連続変形。→ イソトピー Morse 理論の基本定理（定理 6.1［Morse 理論］ ）は、指数 λ \lambda λ λ \lambda λ
そこで胞体 D λ D^\lambda D λ ハンドル D λ × D n − λ D^\lambda\times D^{n-\lambda} D λ × D n − λ n n n n n n 横断性 とイソトピーの拡張 で動かして、分解を簡単な形に直せます。この「分解を簡単にする」操作が、曲面の分類でも、次々章の h 同境定理でも証明の中身になります。
解析の言葉（Morse 関数）と組合せの言葉（ハンドル）の対応を先に表にしておきます。右の列の用語は §3 と §4 で定義します。
Morse 関数と勾配状ベクトル場 ハンドル 指数 λ \lambda λ p p p 指数 λ \lambda λ D λ × D n − λ D^\lambda\times D^{n-\lambda} D λ × D n − λ p p p 芯 D λ × 0 D^\lambda\times 0 D λ × 0 p p p 余芯 0 × D n − λ 0\times D^{n-\lambda} 0 × D n − λ 下降円板と、p p p 接着球面 S λ − 1 × 0 S^{\lambda-1}\times 0 S λ − 1 × 0 上昇円板と、p p p ベルト球面 0 × S n − λ − 1 0\times S^{n-\lambda-1} 0 × S n − λ − 1 勾配状ベクトル場を等位面のイソトピーで取り替える 接着写像をイソトピーで動かす 2 つの臨界値の大小を入れ替える ハンドルを貼る順序を入れ替える p p p q q q 接着球面とベルト球面が横断的に 1 点で交わる f f f − f -f − f 双対ハンドル分解
この記事では、多様体は断らない限り滑らか・Hausdorff・第二可算とし、閉多様体はコンパクトで境界のないものを指します。D k D^k D k R k \mathbb{R}^k R k D ˚ k \mathring D^k D ˚ k S k − 1 = ∂ D k S^{k-1}=\partial D^k S k − 1 = ∂ D k S − 1 = ∅ S^{-1}=\varnothing S − 1 = ∅ D 0 D^0 D 0
定義 2.1 （同境と Morse 関数 ） ↗
n n n W W W 定義 4.1［ストークスの定理］ ）と、境界の開かつ閉な部分集合への分割 ∂ W = M 0 ⊔ M 1 \partial W=M_0\sqcup M_1 ∂ W = M 0 ⊔ M 1 M 0 M_0 M 0 M 1 M_1 M 1 同境 （コボルディズム）といい、W : M 0 ⇝ M 1 W\colon M_0\rightsquigarrow M_1 W : M 0 ⇝ M 1 M 0 M_0 M 0 M 1 M_1 M 1 W W W f : W → [ a , b ] f\colon W\to[a,b] f : W → [ a , b ] a < b a\lt b a < b W W W Morse 関数 であるとは、
f − 1 ( a ) = M 0 f^{-1}(a)=M_0 f − 1 ( a ) = M 0 f − 1 ( b ) = M 1 f^{-1}(b)=M_1 f − 1 ( b ) = M 1 ∂ W \partial W ∂ W f f f f f f 定義 2.1［Morse 理論］ ） であることをいう。
W W W 系 3.3［Morse 理論］ ）。境界のある多様体の上で流れを考えるために、W W W
補題 2.2 （境界の外への延長 ） ✓
W W W W ^ \hat W W ^ W W W W ^ \hat W W ^ W ⊂ W ^ W\subset\hat W W ⊂ W ^ W W W W ^ \hat W W ^
証明（補題 2.2） カラー近傍の定理（定理 4.2［管状近傍・カラー・イソトピーの拡張］ ）により、埋め込み c : ∂ W × [ 0 , 1 ) → W c\colon\partial W\times[0,1)\to W c : ∂ W × [ 0 , 1 ) → W c ( z , 0 ) = z c(z,0)=z c ( z , 0 ) = z W ^ \hat W W ^ W W W ∂ W × ( − 1 , 1 ) \partial W\times(-1,1) ∂ W × ( − 1 , 1 ) c ( z , t ) c(z,t) c ( z , t ) ( z , t ) (z,t) ( z , t ) 0 ≤ t < 1 0\le t\lt1 0 ≤ t < 1 W ∖ ∂ W W\setminus\partial W W ∖ ∂ W ∂ W × ( − 1 , 1 ) \partial W\times(-1,1) ∂ W × ( − 1 , 1 ) ∂ W × ( 0 , 1 ) \partial W\times(0,1) ∂ W × ( 0 , 1 ) c c c W W W ∂ W × ( − 1 , 0 ] \partial W\times(-1,0] ∂ W × ( − 1 , 0 ] ∂ W \partial W ∂ W W W W t ≥ 0 t\ge0 t ≥ 0
g g g W W W 定義 4.1［ストークスの定理］ ）により、各 z ∈ ∂ W z\in\partial W z ∈ ∂ W W ^ \hat W W ^ U z U_z U z U z U_z U z g z g_z g z U z ∩ W U_z\cap W U z ∩ W g z = g g_z=g g z = g { W ∖ ∂ W } ∪ { U z } z \{W\setminus\partial W\}\cup\{U_z\}_z { W ∖ ∂ W } ∪ { U z } z { ρ 0 } ∪ { ρ z } \{\rho_0\}\cup\{\rho_z\} { ρ 0 } ∪ { ρ z } 定理 6.3［部分多様体と正則値定理］ ）を取り、W ^ \hat W W ^ g ~ = ρ 0 g + ∑ z ρ z g z \tilde g=\rho_0g+\sum_z\rho_zg_z g ~ = ρ 0 g + ∑ z ρ z g z 0 0 0 ρ 0 \rho_0 ρ 0 W ∖ ∂ W W\setminus\partial W W ∖ ∂ W g ~ \tilde g g ~ W W W g ~ = ( ρ 0 + ∑ z ρ z ) g = g \tilde g=(\rho_0+\sum_z\rho_z)g=g g ~ = ( ρ 0 + ∑ z ρ z ) g = g W W W 1 1 1 χ \chi χ 系 6.4［部分多様体と正則値定理］ ）を掛けます。ベクトル場も、チャートごとに成分を延長すれば同じ議論で延長できます。
∎ 次の命題のねらいは、境界のある場合にも「臨界点が有限個で、境界の上には臨界点が無い」関数を用意しておくことです。証明は 3 段で、まず境界の近くでは座標 t t t D W DW D W W W W
命題 2.3 （同境の上の Morse 関数の存在 ） ✓
任意の同境 W : M 0 ⇝ M 1 W\colon M_0\rightsquigarrow M_1 W : M 0 ⇝ M 1 f : W → [ 0 , 1 ] f\colon W\to[0,1] f : W → [ 0 , 1 ]
証明（命題 2.3） 境界で正則な関数。 カラー c : ∂ W × [ 0 , 1 ) → W c\colon\partial W\times[0,1)\to W c : ∂ W × [ 0 , 1 ) → W 定理 4.2［管状近傍・カラー・イソトピーの拡張］ ）を取り、U i = c ( M i × [ 0 , 1 ) ) U_i=c(M_i\times[0,1)) U i = c ( M i × [ 0 , 1 )) i = 0 , 1 i=0,1 i = 0 , 1 U 2 = W ∖ c ( ∂ W × [ 0 , 1 2 ] ) U_2=W\setminus c(\partial W\times[0,\tfrac12]) U 2 = W ∖ c ( ∂ W × [ 0 , 2 1 ]) W W W U 0 ∩ U 1 = ∅ U_0\cap U_1=\varnothing U 0 ∩ U 1 = ∅ ρ 0 , ρ 1 , ρ 2 \rho_0,\rho_1,\rho_2 ρ 0 , ρ 1 , ρ 2 t t t
g = ρ 0 ⋅ t 2 + ρ 1 ⋅ ( 1 − t 2 ) + ρ 2 ⋅ 1 2 g=\rho_0\cdot\frac t2+\rho_1\cdot\Bigl(1-\frac t2\Bigr)+\rho_2\cdot\frac12 g = ρ 0 ⋅ 2 t + ρ 1 ⋅ ( 1 − 2 t ) + ρ 2 ⋅ 2 1 とおきます。3 つの値 t / 2 ∈ [ 0 , 1 2 ) t/2\in[0,\tfrac12) t /2 ∈ [ 0 , 2 1 ) 1 − t / 2 ∈ ( 1 2 , 1 ] 1-t/2\in(\tfrac12,1] 1 − t /2 ∈ ( 2 1 , 1 ] 1 2 \tfrac12 2 1 0 ≤ g ≤ 1 0\le g\le1 0 ≤ g ≤ 1 g = 0 g=0 g = 0 ρ 0 = 1 \rho_0=1 ρ 0 = 1 t = 0 t=0 t = 0 M 0 M_0 M 0 g − 1 ( 1 ) = M 1 g^{-1}(1)=M_1 g − 1 ( 1 ) = M 1 c ( M 0 × [ 0 , 1 2 ] ) c(M_0\times[0,\tfrac12]) c ( M 0 × [ 0 , 2 1 ]) ρ 1 = ρ 2 = 0 \rho_1=\rho_2=0 ρ 1 = ρ 2 = 0 g = t / 2 g=t/2 g = t /2 c ( M 1 × [ 0 , 1 2 ] ) c(M_1\times[0,\tfrac12]) c ( M 1 × [ 0 , 2 1 ]) g = 1 − t / 2 g=1-t/2 g = 1 − t /2
内部を Morse にする。 K 1 = W ∖ c ( ∂ W × [ 0 , 1 4 ) ) K_1=W\setminus c(\partial W\times[0,\tfrac14)) K 1 = W ∖ c ( ∂ W × [ 0 , 4 1 )) K 2 = W ∖ c ( ∂ W × [ 0 , 1 8 ) ) K_2=W\setminus c(\partial W\times[0,\tfrac18)) K 2 = W ∖ c ( ∂ W × [ 0 , 8 1 )) W W W D W DW D W 定理 7.2［管状近傍・カラー・イソトピーの拡張］ ）、埋め込み F : D W → R N F\colon DW\to\mathbb{R}^N F : D W → R N 定理 8.1［部分多様体と正則値定理］ ）。K 2 K_2 K 2 1 1 1 W ∖ ∂ W W\setminus\partial W W ∖ ∂ W χ \chi χ G = χ g G=\chi g G = χ g 0 0 0 D W DW D W 定理 4.1［Morse 理論］ により、測度 0 0 0 a ∈ R N a\in\mathbb{R}^N a ∈ R N G + ⟨ a , F ⟩ G+\langle a,F\rangle G + ⟨ a , F ⟩ D W DW D W K 1 K_1 K 1 1 1 1 K 2 K_2 K 2 χ ′ : W → [ 0 , 1 ] \chi'\colon W\to[0,1] χ ′ : W → [ 0 , 1 ]
f = g + χ ′ ⟨ a , F ⟩ f=g+\chi'\langle a,F\rangle f = g + χ ′ ⟨ a , F ⟩ とおきます。K 1 K_1 K 1 f = G + ⟨ a , F ⟩ f=G+\langle a,F\rangle f = G + ⟨ a , F ⟩ K 2 K_2 K 2 f = g f=g f = g C = K 2 ∖ int K 1 C=K_2\setminus\operatorname{int}K_1 C = K 2 ∖ int K 1 t ∈ [ 1 8 , 1 4 ] t\in[\tfrac18,\tfrac14] t ∈ [ 8 1 , 4 1 ] d g = ± 1 2 d t ≠ 0 dg=\pm\tfrac12dt\ne0 d g = ± 2 1 d t = 0 W W W ∣ d g ∣ |dg| ∣ d g ∣ C C C δ \delta δ ∣ d ( χ ′ ⟨ a , F ⟩ ) ∣ ≤ A ∣ a ∣ |d(\chi'\langle a,F\rangle)|\le A|a| ∣ d ( χ ′ ⟨ a , F ⟩) ∣ ≤ A ∣ a ∣ A A A χ ′ \chi' χ ′ F F F W W W ∣ a ∣ < δ / A |a|\lt\delta/A ∣ a ∣ < δ / A C C C f f f K 2 K_2 K 2 1 16 ≤ g ≤ 15 16 \tfrac1{16}\le g\le\tfrac{15}{16} 16 1 ≤ g ≤ 16 15 ∣ a ∣ |a| ∣ a ∣ 0 < f < 1 0\lt f\lt1 0 < f < 1 K 2 K_2 K 2 f − 1 ( 0 ) = M 0 f^{-1}(0)=M_0 f − 1 ( 0 ) = M 0 f − 1 ( 1 ) = M 1 f^{-1}(1)=M_1 f − 1 ( 1 ) = M 1 0 0 0 a a a
臨界値を分ける。 臨界点を p 1 , … , p k p_1,\dots,p_k p 1 , … , p k V i ∋ p i V_i\ni p_i V i ∋ p i ∂ W \partial W ∂ W p i p_i p i 1 1 1 V i V_i V i β i \beta_i β i f ′ = f + ∑ i ε i β i f'=f+\sum_i\varepsilon_i\beta_i f ′ = f + ∑ i ε i β i β i \beta_i β i f f f ∣ d f ∣ |df| ∣ df ∣ ∣ ε i ∣ |\varepsilon_i| ∣ ε i ∣ p i p_i p i f ′ = f + ε i f'=f+\varepsilon_i f ′ = f + ε i p i p_i p i f ( p i ) + ε i f(p_i)+\varepsilon_i f ( p i ) + ε i ε i \varepsilon_i ε i
∎ Riemann 計量の勾配の代わりに、臨界点の近くで決まった形をしたベクトル場を使います。臨界点の近くの流れが具体的に書けるので、議論が計量によらなくなります。R n = R λ × R n − λ \mathbb{R}^n=\mathbb{R}^\lambda\times\mathbb{R}^{n-\lambda} R n = R λ × R n − λ ( x , y ) (x,y) ( x , y )
q λ ( x , y ) = − ∣ x ∣ 2 + ∣ y ∣ 2 , η λ = − ∑ i = 1 λ x i ∂ ∂ x i + ∑ j = 1 n − λ y j ∂ ∂ y j q_\lambda(x,y)=-|x|^2+|y|^2,\qquad \eta_\lambda=-\sum_{i=1}^{\lambda}x_i\frac{\partial}{\partial x_i}+\sum_{j=1}^{n-\lambda}y_j\frac{\partial}{\partial y_j} q λ ( x , y ) = − ∣ x ∣ 2 + ∣ y ∣ 2 , η λ = − i = 1 ∑ λ x i ∂ x i ∂ + j = 1 ∑ n − λ y j ∂ y j ∂ とおきます。η λ \eta_\lambda η λ ( x , y ) ↦ ( e − s x , e s y ) (x,y)\mapsto(e^{-s}x,e^{s}y) ( x , y ) ↦ ( e − s x , e s y ) η λ q λ = 2 ∣ x ∣ 2 + 2 ∣ y ∣ 2 \eta_\lambda q_\lambda=2|x|^2+2|y|^2 η λ q λ = 2∣ x ∣ 2 + 2∣ y ∣ 2 ∣ x ∣ ∣ y ∣ |x||y| ∣ x ∣∣ y ∣
定義 2.4 （勾配状ベクトル場 ） ↗
同境 W W W f f f W W W ξ \xi ξ f f f 勾配状ベクトル場 であるとは、
臨界点以外で ξ f = d f ( ξ ) > 0 \xi f=df(\xi)\gt0 ξ f = df ( ξ ) > 0
各臨界点 p p p λ \lambda λ p p p ( U , ( x , y ) ) (U,(x,y)) ( U , ( x , y )) U U U f = f ( p ) + q λ f=f(p)+q_\lambda f = f ( p ) + q λ ξ = η λ \xi=\eta_\lambda ξ = η λ
ことをいう。2 のチャートを適合チャート と呼ぶ。
補題 2.5 （勾配状ベクトル場の存在 ） ✓
同境の上の任意の Morse 関数は勾配状ベクトル場をもつ。
証明（補題 2.5） 各臨界点 p p p ( U p , ( x , y ) ) (U_p,(x,y)) ( U p , ( x , y )) 定理 3.2［Morse 理論］ 。座標を並べ替えて f = f ( p ) + q λ f=f(p)+q_\lambda f = f ( p ) + q λ U p U_p U p ξ p = η λ \xi_p=\eta_\lambda ξ p = η λ ξ p f = 2 ∣ x ∣ 2 + 2 ∣ y ∣ 2 \xi_pf=2|x|^2+2|y|^2 ξ p f = 2∣ x ∣ 2 + 2∣ y ∣ 2 p p p U p U_p U p p p p U p ′ U_p' U p ′ U p ′ ‾ ⊂ U p \overline{U_p'}\subset U_p U p ′ ⊂ U p w w w ( U w , u ) (U_w,u) ( U w , u ) U w U_w U w U p ′ ‾ \overline{U_p'} U p ′ U w U_w U w ξ w = ∑ i ( ∂ f / ∂ u i ) ∂ / ∂ u i \xi_w=\sum_i(\partial f/\partial u_i)\,\partial/\partial u_i ξ w = ∑ i ( ∂ f / ∂ u i ) ∂ / ∂ u i ξ w f = ∑ i ( ∂ f / ∂ u i ) 2 > 0 \xi_wf=\sum_i(\partial f/\partial u_i)^2\gt0 ξ w f = ∑ i ( ∂ f / ∂ u i ) 2 > 0 { U p } ∪ { U w } \{U_p\}\cup\{U_w\} { U p } ∪ { U w } { ρ α } \{\rho_\alpha\} { ρ α } 定理 6.3［部分多様体と正則値定理］ ）で ξ = ∑ α ρ α ξ α \xi=\sum_\alpha\rho_\alpha\xi_\alpha ξ = ∑ α ρ α ξ α ξ f = ∑ α ρ α ξ α f > 0 \xi f=\sum_\alpha\rho_\alpha\,\xi_\alpha f\gt0 ξ f = ∑ α ρ α ξ α f > 0 ρ α > 0 \rho_\alpha\gt0 ρ α > 0 ξ α f \xi_\alpha f ξ α f U p ′ U_p' U p ′ ρ p \rho_p ρ p U p ′ U_p' U p ′ ρ p = 1 \rho_p=1 ρ p = 1 ξ = η λ \xi=\eta_\lambda ξ = η λ ( U p ′ , ( x , y ) ) (U_p',(x,y)) ( U p ′ , ( x , y ))
∎ 以下、f f f ξ \xi ξ 補題 2.2 で W ^ \hat W W ^ ξ \xi ξ ξ \xi ξ 命題 2.7［ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理］ ）、流れ θ t \theta_t θ t 定理 2.5［ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理］ ）。W W W w w w 軌道 とは、θ t ( w ) \theta_t(w) θ t ( w ) W W W W W W f f f
次の補題は、「ベクトル場に沿って点を流すと、最後にどこへ行くか」を整理するものです。高さ f f f M 1 M_1 M 1 y = 0 y=0 y = 0 x = 0 x=0 x = 0 ( x , y ) (x,y) ( x , y ) f f f f ( p ) f(p) f ( p )
補題 2.6 （軌道の行き先 ） ✓
f : W → [ a , b ] f\colon W\to[a,b] f : W → [ a , b ] W : M 0 ⇝ M 1 W\colon M_0\rightsquigarrow M_1 W : M 0 ⇝ M 1 ξ \xi ξ w ∈ W w\in W w ∈ W
w w w M 1 M_1 M 1 t → ∞ t\to\infty t → ∞ M 0 M_0 M 0 t → − ∞ t\to-\infty t → − ∞ p p p ( U , ( x , y ) ) (U,(x,y)) ( U , ( x , y )) { ∣ x ∣ 2 + ∣ y ∣ 2 ≤ r 2 } \{|x|^2+|y|^2\le r^2\} { ∣ x ∣ 2 + ∣ y ∣ 2 ≤ r 2 } U U U p p p { y = 0 } \{y=0\} { y = 0 } p p p { x = 0 } \{x=0\} { x = 0 } 軌道が負の向きに M 0 M_0 M 0 D 0 D_0 D 0 W W W w ∈ D 0 w\in D_0 w ∈ D 0 π ( w ) ∈ M 0 \pi(w)\in M_0 π ( w ) ∈ M 0 π : D 0 → M 0 \pi\colon D_0\to M_0 π : D 0 → M 0
証明（補題 2.6） 正の向きを示します（負の向きは f f f − f -f − f ξ \xi ξ − ξ -\xi − ξ γ ( t ) = θ t ( w ) \gamma(t)=\theta_t(w) γ ( t ) = θ t ( w ) ξ \xi ξ γ \gamma γ T = sup { t ≥ 0 : γ ( [ 0 , t ] ) ⊂ W } T=\sup\{t\ge0:\gamma([0,t])\subset W\} T = sup { t ≥ 0 : γ ([ 0 , t ]) ⊂ W }
T < ∞ T\lt\infty T < ∞ W W W γ ( T ) ∈ W \gamma(T)\in W γ ( T ) ∈ W T T T W W W γ ( T ) ∈ ∂ W \gamma(T)\in\partial W γ ( T ) ∈ ∂ W T > 0 T\gt0 T > 0 f ( γ ( T ) ) > f ( w ) ≥ a f(\gamma(T))\gt f(w)\ge a f ( γ ( T )) > f ( w ) ≥ a γ ( T ) ∈ M 1 \gamma(T)\in M_1 γ ( T ) ∈ M 1 T = 0 T=0 T = 0 w ∈ M 0 w\in M_0 w ∈ M 0 M 0 M_0 M 0 f f f a a a d f ≠ 0 df\ne0 df = 0 ξ f > 0 \xi f\gt0 ξ f > 0 ξ \xi ξ M 0 M_0 M 0 M 0 M_0 M 0 W W W
T = ∞ T=\infty T = ∞ f ( γ ( t ) ) f(\gamma(t)) f ( γ ( t )) ℓ ≤ b \ell\le b ℓ ≤ b
∫ 0 ∞ ( ξ f ) ( γ ( t ) ) d t = ℓ − f ( w ) < ∞ \int_0^\infty(\xi f)(\gamma(t))\,dt=\ell-f(w)\lt\infty ∫ 0 ∞ ( ξ f ) ( γ ( t )) d t = ℓ − f ( w ) < ∞ です。被積分関数は非負なので、t k → ∞ t_k\to\infty t k → ∞ ( ξ f ) ( γ ( t k ) ) → 0 (\xi f)(\gamma(t_k))\to0 ( ξ f ) ( γ ( t k )) → 0 W W W γ ( t k ) → z ∈ W \gamma(t_k)\to z\in W γ ( t k ) → z ∈ W ( ξ f ) ( z ) = 0 (\xi f)(z)=0 ( ξ f ) ( z ) = 0 z z z p p p ℓ = f ( p ) \ell=f(p) ℓ = f ( p ) p p p γ ( t k ) = ( x k , y k ) → ( 0 , 0 ) \gamma(t_k)=(x_k,y_k)\to(0,0) γ ( t k ) = ( x k , y k ) → ( 0 , 0 ) s ↦ ( e − s x k , e s y k ) s\mapsto(e^{-s}x_k,e^{s}y_k) s ↦ ( e − s x k , e s y k ) y k ≠ 0 y_k\ne0 y k = 0 ∣ x ∣ 2 + ∣ y ∣ 2 = r 2 |x|^2+|y|^2=r^2 ∣ x ∣ 2 + ∣ y ∣ 2 = r 2 ( x ′ , y ′ ) (x',y') ( x ′ , y ′ ) ∣ x ′ ∣ ≤ ∣ x k ∣ |x'|\le|x_k| ∣ x ′ ∣ ≤ ∣ x k ∣ f f f f ( p ) − ∣ x ′ ∣ 2 + ∣ y ′ ∣ 2 = f ( p ) + r 2 − 2 ∣ x ′ ∣ 2 ≥ f ( p ) + r 2 − 2 ∣ x k ∣ 2 f(p)-|x'|^2+|y'|^2=f(p)+r^2-2|x'|^2\ge f(p)+r^2-2|x_k|^2 f ( p ) − ∣ x ′ ∣ 2 + ∣ y ′ ∣ 2 = f ( p ) + r 2 − 2∣ x ′ ∣ 2 ≥ f ( p ) + r 2 − 2∣ x k ∣ 2 k k k f ( p ) f(p) f ( p ) f < ℓ = f ( p ) f\lt\ell=f(p) f < ℓ = f ( p ) k k k y k = 0 y_k=0 y k = 0 ( e − s x k , 0 ) → ( 0 , 0 ) (e^{-s}x_k,0)\to(0,0) ( e − s x k , 0 ) → ( 0 , 0 ) p p p
2 の前半を示します。球の上では f = f ( p ) − ∣ x ∣ 2 + ∣ y ∣ 2 ≥ f ( p ) − r 2 f=f(p)-|x|^2+|y|^2\ge f(p)-r^2 f = f ( p ) − ∣ x ∣ 2 + ∣ y ∣ 2 ≥ f ( p ) − r 2 ∣ x ∣ = r |x|=r ∣ x ∣ = r y = 0 y=0 y = 0 ( x k , 0 ) (x_k,0) ( x k , 0 ) x k ≠ 0 x_k\ne0 x k = 0 ( e s x k , 0 ) (e^{s}x_k,0) ( e s x k , 0 ) { y = 0 } \{y=0\} { y = 0 } ∣ x ∣ = r |x|=r ∣ x ∣ = r f = f ( p ) − r 2 f=f(p)-r^2 f = f ( p ) − r 2 f f f f < f ( p ) − r 2 f\lt f(p)-r^2 f < f ( p ) − r 2 { y = 0 } \{y=0\} { y = 0 }
3。 w ∈ D 0 w\in D_0 w ∈ D 0 − T 0 -T_0 − T 0 M 0 M_0 M 0 W ^ \hat W W ^ f ^ ( θ − T 0 − δ ( w ) ) < a \hat f(\theta_{-T_0-\delta}(w))\lt a f ^ ( θ − T 0 − δ ( w )) < a δ > 0 \delta\gt0 δ > 0 w w w w ′ w' w ′ f ^ ( θ − T 0 − δ ( w ′ ) ) < a \hat f(\theta_{-T_0-\delta}(w'))\lt a f ^ ( θ − T 0 − δ ( w ′ )) < a w ′ w' w ′ M 0 M_0 M 0 D 0 D_0 D 0 τ ( w ′ ) \tau(w') τ ( w ′ ) f ^ ( θ − τ ( w ′ ) ) = a \hat f(\theta_{-\tau}(w'))=a f ^ ( θ − τ ( w ′ )) = a τ \tau τ − ( ξ f ) ≠ 0 -(\xi f)\ne0 − ( ξ f ) = 0 定理 2.1［部分多様体と正則値定理］ の系）により滑らかです。π ( w ′ ) = θ − τ ( w ′ ) ( w ′ ) \pi(w')=\theta_{-\tau(w')}(w') π ( w ′ ) = θ − τ ( w ′ ) ( w ′ )
∎ 定理 2.7 （臨界点の無い同境は積 ） ✓
同境 W : M 0 ⇝ M 1 W\colon M_0\rightsquigarrow M_1 W : M 0 ⇝ M 1 f : W → [ a , b ] f\colon W\to[a,b] f : W → [ a , b ] Φ : M 0 × [ a , b ] → W \Phi\colon M_0\times[a,b]\to W Φ : M 0 × [ a , b ] → W
Φ ( z , a ) = z , f ( Φ ( z , t ) ) = t \Phi(z,a)=z,\qquad f(\Phi(z,t))=t Φ ( z , a ) = z , f ( Φ ( z , t )) = t を満たすものが存在する。とくに M 0 M_0 M 0 M 1 M_1 M 1
証明（定理 2.7） 勾配状ベクトル場 ξ \xi ξ 補題 2.5 ）を取ります。臨界点が無いので W W W ξ f > 0 \xi f\gt0 ξ f > 0 ξ ^ = ξ / ( ξ f ) \hat\xi=\xi/(\xi f) ξ ^ = ξ / ( ξ f ) W W W ξ ^ f = 1 \hat\xi f=1 ξ ^ f = 1 ξ ^ \hat\xi ξ ^ θ ^ t \hat\theta_t θ ^ t f ( θ ^ t ( w ) ) = f ( w ) + t f(\hat\theta_t(w))=f(w)+t f ( θ ^ t ( w )) = f ( w ) + t W W W 補題 2.6 の 1 により、臨界点が無いので各軌道は M 0 M_0 M 0 M 1 M_1 M 1
Φ ( z , t ) = θ ^ t − a ( z ) , Ψ ( w ) = ( θ ^ a − f ( w ) ( w ) , f ( w ) ) \Phi(z,t)=\hat\theta_{t-a}(z),\qquad \Psi(w)=\bigl(\hat\theta_{a-f(w)}(w),\,f(w)\bigr) Φ ( z , t ) = θ ^ t − a ( z ) , Ψ ( w ) = ( θ ^ a − f ( w ) ( w ) , f ( w ) ) とおくと、Φ \Phi Φ M 0 × [ a , b ] M_0\times[a,b] M 0 × [ a , b ] W W W Ψ \Psi Ψ W W W M 0 × [ a , b ] M_0\times[a,b] M 0 × [ a , b ] 定理 2.5［ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理］ ）、θ ^ s ∘ θ ^ t = θ ^ s + t \hat\theta_s\circ\hat\theta_t=\hat\theta_{s+t} θ ^ s ∘ θ ^ t = θ ^ s + t Ψ ∘ Φ = i d \Psi\circ\Phi=\mathrm{id} Ψ ∘ Φ = id Φ ∘ Ψ = i d \Phi\circ\Psi=\mathrm{id} Φ ∘ Ψ = id Φ ( z , a ) = z \Phi(z,a)=z Φ ( z , a ) = z f ( Φ ( z , t ) ) = t f(\Phi(z,t))=t f ( Φ ( z , t )) = t Φ ( ⋅ , b ) \Phi(\cdot,b) Φ ( ⋅ , b ) M 0 M_0 M 0 M 1 M_1 M 1
∎ これは 定理 5.1［Morse 理論］ を、同境の言葉で微分同相として述べ直したものです。同じ議論から、a ≤ a ′ < b ′ ≤ b a\le a'\lt b'\le b a ≤ a ′ < b ′ ≤ b f − 1 ( [ a ′ , b ′ ] ) f^{-1}([a',b']) f − 1 ([ a ′ , b ′ ]) f − 1 ( a ′ ) f^{-1}(a') f − 1 ( a ′ ) f − 1 ( b ′ ) f^{-1}(b') f − 1 ( b ′ ) f f f 定理 4.3［部分多様体と正則値定理］ 、定理 3.2［部分多様体と正則値定理］ ）。
定義 3.1 （ハンドル ） ↗
0 ≤ λ ≤ n 0\le\lambda\le n 0 ≤ λ ≤ n h λ = D λ × D n − λ h^\lambda=D^\lambda\times D^{n-\lambda} h λ = D λ × D n − λ 指数 λ \lambda λ n n n という。D λ × 0 D^\lambda\times0 D λ × 0 芯 、0 × D n − λ 0\times D^{n-\lambda} 0 × D n − λ 余芯 、S λ − 1 × D n − λ S^{\lambda-1}\times D^{n-\lambda} S λ − 1 × D n − λ 接着領域 、S λ − 1 × 0 S^{\lambda-1}\times0 S λ − 1 × 0 接着球面 、0 × S n − λ − 1 0\times S^{n-\lambda-1} 0 × S n − λ − 1 ベルト球面 という。( n − 1 ) (n-1) ( n − 1 ) M M M φ : S λ − 1 × D n − λ → M \varphi\colon S^{\lambda-1}\times D^{n-\lambda}\to M φ : S λ − 1 × D n − λ → M 接着写像 という。接着写像とそのイソトピーは、少し大きい開円板との積 S λ − 1 × D ˚ 1 + ϵ n − λ S^{\lambda-1}\times\mathring D^{n-\lambda}_{1+\epsilon} S λ − 1 × D ˚ 1 + ϵ n − λ
次の模型 L λ L_\lambda L λ η λ \eta_\lambda η λ q λ = − 1 q_\lambda=-1 q λ = − 1 q λ = 1 q_\lambda=1 q λ = 1 ∣ x ∣ ∣ y ∣ < sinh 1 cosh 1 |x||y|\lt\sinh1\cosh1 ∣ x ∣∣ y ∣ < sinh 1 cosh 1 a − a_- a − a + a_+ a + sinh \sinh sinh cosh \cosh cosh cosh 2 θ − sinh 2 θ = 1 \cosh^2\theta-\sinh^2\theta=1 cosh 2 θ − sinh 2 θ = 1 q λ = ∓ 1 q_\lambda=\mp1 q λ = ∓ 1
位相空間としては、境界に M M M W W W W ⊔ h λ W\sqcup h^\lambda W ⊔ h λ u ∈ S λ − 1 × D n − λ u\in S^{\lambda-1}\times D^{n-\lambda} u ∈ S λ − 1 × D n − λ φ ( u ) \varphi(u) φ ( u ) φ ( S λ − 1 × S n − λ − 1 ) \varphi(S^{\lambda-1}\times S^{n-\lambda-1}) φ ( S λ − 1 × S n − λ − 1 ) R λ × R n − λ \mathbb{R}^\lambda\times\mathbb{R}^{n-\lambda} R λ × R n − λ
L λ = { ( x , y ) : − 1 ≤ q λ ( x , y ) ≤ 1 , ∣ x ∣ ∣ y ∣ < sinh 1 cosh 1 } L_\lambda=\bigl\{(x,y):\ -1\le q_\lambda(x,y)\le1,\ \ |x||y|\lt\sinh1\cosh1\bigr\} L λ = { ( x , y ) : − 1 ≤ q λ ( x , y ) ≤ 1 , ∣ x ∣∣ y ∣ < sinh 1 cosh 1 } を考えます。L λ L_\lambda L λ q λ q_\lambda q λ q λ = ± 1 q_\lambda=\pm1 q λ = ± 1 ± 1 \pm1 ± 1 q λ q_\lambda q λ ∣ x ∣ ∣ y ∣ < sinh 1 cosh 1 |x||y|\lt\sinh1\cosh1 ∣ x ∣∣ y ∣ < sinh 1 cosh 1 η λ \eta_\lambda η λ
a − : S λ − 1 × D ˚ n − λ → L λ ∩ q λ − 1 ( − 1 ) , a − ( u , θ v ) = ( u cosh θ , v sinh θ ) , a + : D ˚ λ × S n − λ − 1 → L λ ∩ q λ − 1 ( 1 ) , a + ( θ u , v ) = ( u sinh θ , v cosh θ ) \begin{aligned}
a_-&\colon S^{\lambda-1}\times\mathring D^{n-\lambda}\to L_\lambda\cap q_\lambda^{-1}(-1),&a_-(u,\theta v)&=(u\cosh\theta,\ v\sinh\theta),\\
a_+&\colon\mathring D^{\lambda}\times S^{n-\lambda-1}\to L_\lambda\cap q_\lambda^{-1}(1),&a_+(\theta u,v)&=(u\sinh\theta,\ v\cosh\theta)
\end{aligned} a − a + : S λ − 1 × D ˚ n − λ → L λ ∩ q λ − 1 ( − 1 ) , : D ˚ λ × S n − λ − 1 → L λ ∩ q λ − 1 ( 1 ) , a − ( u , θ v ) a + ( θ u , v ) = ( u cosh θ , v sinh θ ) , = ( u sinh θ , v cosh θ ) （u ∈ S λ − 1 u\in S^{\lambda-1} u ∈ S λ − 1 v ∈ S n − λ − 1 v\in S^{n-\lambda-1} v ∈ S n − λ − 1 0 ≤ θ < 1 0\le\theta\lt1 0 ≤ θ < 1 w = θ v w=\theta v w = θ v a − ( u , w ) = ( u cosh ∣ w ∣ , w sinh ∣ w ∣ / ∣ w ∣ ) a_-(u,w)=(u\cosh|w|,\ w\sinh|w|/|w|) a − ( u , w ) = ( u cosh ∣ w ∣ , w sinh ∣ w ∣/∣ w ∣ ) cosh ∣ w ∣ \cosh|w| cosh ∣ w ∣ sinh ∣ w ∣ / ∣ w ∣ \sinh|w|/|w| sinh ∣ w ∣/∣ w ∣ ∣ w ∣ 2 |w|^2 ∣ w ∣ 2 a − a_- a − θ = 0 \theta=0 θ = 0 − ∣ x ∣ 2 + ∣ y ∣ 2 = − 1 -|x|^2+|y|^2=-1 − ∣ x ∣ 2 + ∣ y ∣ 2 = − 1 ∣ x ∣ ∣ y ∣ < sinh 1 cosh 1 |x||y|\lt\sinh1\cosh1 ∣ x ∣∣ y ∣ < sinh 1 cosh 1 ∣ y ∣ = sinh θ |y|=\sinh\theta ∣ y ∣ = sinh θ ∣ x ∣ = cosh θ |x|=\cosh\theta ∣ x ∣ = cosh θ 0 ≤ θ < 1 0\le\theta\lt1 0 ≤ θ < 1 a − a_- a − a + a_+ a + 0 < θ < 1 0\lt\theta\lt1 0 < θ < 1 a − ( u , θ v ) a_-(u,\theta v) a − ( u , θ v ) η λ \eta_\lambda η λ s ↦ ( e − s u cosh θ , e s v sinh θ ) s\mapsto(e^{-s}u\cosh\theta,\ e^{s}v\sinh\theta) s ↦ ( e − s u cosh θ , e s v sinh θ ) e s = cosh θ / sinh θ e^{s}=\cosh\theta/\sinh\theta e s = cosh θ / sinh θ ( u sinh θ , v cosh θ ) = a + ( θ u , v ) (u\sinh\theta,v\cosh\theta)=a_+(\theta u,v) ( u sinh θ , v cosh θ ) = a + ( θ u , v )
手術の直感は次のとおりです。M M M S λ − 1 × D n − λ S^{\lambda-1}\times D^{n-\lambda} S λ − 1 × D n − λ S λ − 1 × S n − λ − 1 S^{\lambda-1}\times S^{n-\lambda-1} S λ − 1 × S n − λ − 1 D λ × S n − λ − 1 D^\lambda\times S^{n-\lambda-1} D λ × S n − λ − 1 n = 2 n=2 n = 2 λ = 1 \lambda=1 λ = 1 M M M − 1 -1 − 1 1 1 1
定義 3.2 （手術とその跡 ） ↗
M M M ( n − 1 ) (n-1) ( n − 1 ) φ : S λ − 1 × D n − λ → M \varphi\colon S^{\lambda-1}\times D^{n-\lambda}\to M φ : S λ − 1 × D n − λ → M
M M M φ \varphi φ 手術 （球面改変）をした多様体 χ ( M , φ ) \chi(M,\varphi) χ ( M , φ ) ( M ∖ φ ( S λ − 1 × 0 ) ) ⊔ ( D ˚ λ × S n − λ − 1 ) \bigl(M\setminus\varphi(S^{\lambda-1}\times0)\bigr)\sqcup\bigl(\mathring D^\lambda\times S^{n-\lambda-1}\bigr) ( M ∖ φ ( S λ − 1 × 0 ) ) ⊔ ( D ˚ λ × S n − λ − 1 ) φ ( u , θ v ) \varphi(u,\theta v) φ ( u , θ v ) ( θ u , v ) (\theta u,v) ( θ u , v ) 0 < θ < 1 0\lt\theta\lt1 0 < θ < 1 手術の跡 ω ( M , φ ) \omega(M,\varphi) ω ( M , φ ) ( ( M ∖ φ ( S λ − 1 × 0 ) ) × [ − 1 , 1 ] ) ⊔ L λ \bigl((M\setminus\varphi(S^{\lambda-1}\times0))\times[-1,1]\bigr)\sqcup L_\lambda ( ( M ∖ φ ( S λ − 1 × 0 )) × [ − 1 , 1 ] ) ⊔ L λ 0 < θ < 1 0\lt\theta\lt1 0 < θ < 1 c ∈ [ − 1 , 1 ] c\in[-1,1] c ∈ [ − 1 , 1 ] ( φ ( u , θ v ) , c ) (\varphi(u,\theta v),c) ( φ ( u , θ v ) , c ) a − ( u , θ v ) a_-(u,\theta v) a − ( u , θ v ) η λ \eta_\lambda η λ q λ = c q_\lambda=c q λ = c F : ω ( M , φ ) → [ − 1 , 1 ] F\colon\omega(M,\varphi)\to[-1,1] F : ω ( M , φ ) → [ − 1 , 1 ] F ( z , c ) = c F(z,c)=c F ( z , c ) = c L λ L_\lambda L λ F = q λ F=q_\lambda F = q λ
互いに交わらない像をもつ有限個の埋め込み φ 1 , … , φ k \varphi_1,\dots,\varphi_k φ 1 , … , φ k λ 1 , … , λ k \lambda_1,\dots,\lambda_k λ 1 , … , λ k L λ i L_{\lambda_i} L λ i k k k χ ( M ; φ 1 , … , φ k ) \chi(M;\varphi_1,\dots,\varphi_k) χ ( M ; φ 1 , … , φ k ) ω ( M ; φ 1 , … , φ k ) \omega(M;\varphi_1,\dots,\varphi_k) ω ( M ; φ 1 , … , φ k )
χ ( M , φ ) \chi(M,\varphi) χ ( M , φ ) M M M S λ − 1 × D ˚ n − λ S^{\lambda-1}\times\mathring D^{n-\lambda} S λ − 1 × D ˚ n − λ S λ − 1 × S n − λ − 1 S^{\lambda-1}\times S^{n-\lambda-1} S λ − 1 × S n − λ − 1 D λ × S n − λ − 1 D^\lambda\times S^{n-\lambda-1} D λ × S n − λ − 1 λ = 0 \lambda=0 λ = 0 φ \varphi φ χ ( M , ∅ ) = M ⊔ S n − 1 \chi(M,\varnothing)=M\sqcup S^{n-1} χ ( M , ∅ ) = M ⊔ S n − 1 ω ( M , ∅ ) = M × [ − 1 , 1 ] ⊔ D n \omega(M,\varnothing)=M\times[-1,1]\sqcup D^n ω ( M , ∅ ) = M × [ − 1 , 1 ] ⊔ D n
p 芯 余芯 q = −1 q = −1 q = 1 q = 1 x y n = 2、λ = 1 の模型 L。横軸が x（f の減る方向）、縦軸が y（増える方向）。左右の双曲線が下側の境界 q = −1、上下の双曲線が上側の境界 q = 1。太線が芯（下降円板）、破線が余芯（上昇円板）。L の外側には (M ∖ 接着球面) × [−1, 1] が流線に沿って貼られる。 補題 3.3 （跡は 1 つのハンドルの同境 ） ✓
M M M ( n − 1 ) (n-1) ( n − 1 ) φ 1 , … , φ k \varphi_1,\dots,\varphi_k φ 1 , … , φ k λ i \lambda_i λ i ω = ω ( M ; φ 1 , … , φ k ) \omega=\omega(M;\varphi_1,\dots,\varphi_k) ω = ω ( M ; φ 1 , … , φ k ) n n n F F F ω : M ⇝ χ ( M ; φ 1 , … , φ k ) \omega\colon M\rightsquigarrow\chi(M;\varphi_1,\dots,\varphi_k) ω : M ⇝ χ ( M ; φ 1 , … , φ k ) F F F L λ i L_{\lambda_i} L λ i λ i \lambda_i λ i 0 0 0 F − 1 ( − 1 ) F^{-1}(-1) F − 1 ( − 1 ) z ↦ ( z , − 1 ) z\mapsto(z,-1) z ↦ ( z , − 1 ) φ i ( u , w ) ↦ a − ( u , w ) \varphi_i(u,w)\mapsto a_-(u,w) φ i ( u , w ) ↦ a − ( u , w ) M M M F − 1 ( 1 ) F^{-1}(1) F − 1 ( 1 ) M M M z z z ( z , 1 ) (z,1) ( z , 1 ) D ˚ λ i × S n − λ i − 1 \mathring D^{\lambda_i}\times S^{n-\lambda_i-1} D ˚ λ i × S n − λ i − 1 ( θ u , v ) (\theta u,v) ( θ u , v ) a + ( θ u , v ) a_+(\theta u,v) a + ( θ u , v ) χ ( M ; φ 1 , … , φ k ) \chi(M;\varphi_1,\dots,\varphi_k) χ ( M ; φ 1 , … , φ k )
証明（補題 3.3） k = 1 k=1 k = 1 L λ L_\lambda L λ ( x , y ) (x,y) ( x , y ) x ≠ 0 x\ne0 x = 0 y ≠ 0 y\ne0 y = 0 q λ q_\lambda q λ − e − 2 s ∣ x ∣ 2 + e 2 s ∣ y ∣ 2 -e^{-2s}|x|^2+e^{2s}|y|^2 − e − 2 s ∣ x ∣ 2 + e 2 s ∣ y ∣ 2 s s s R \mathbb{R} R q λ = − 1 q_\lambda=-1 q λ = − 1 ∣ x ′ ∣ ∣ y ′ ∣ = ∣ x ∣ ∣ y ∣ ∈ ( 0 , sinh 1 cosh 1 ) |x'||y'|=|x||y|\in(0,\sinh1\cosh1) ∣ x ′ ∣∣ y ′ ∣ = ∣ x ∣∣ y ∣ ∈ ( 0 , sinh 1 cosh 1 ) a − ( u , θ v ) a_-(u,\theta v) a − ( u , θ v ) 0 < θ < 1 0\lt\theta\lt1 0 < θ < 1 φ ( S λ − 1 × ( D ˚ n − λ ∖ 0 ) ) × [ − 1 , 1 ] \varphi\bigl(S^{\lambda-1}\times(\mathring D^{n-\lambda}\setminus0)\bigr)\times[-1,1] φ ( S λ − 1 × ( D ˚ n − λ ∖ 0 ) ) × [ − 1 , 1 ] L λ ∩ { x ≠ 0 , y ≠ 0 } L_\lambda\cap\{x\ne0,y\ne0\} L λ ∩ { x = 0 , y = 0 } q λ = c q_\lambda=c q λ = c ( u , θ , v , c ) (u,\theta,v,c) ( u , θ , v , c ) ω \omega ω
Hausdorff 性を確かめます。分離できないおそれがあるのは、積の部分の点 ( z , c ) (z,c) ( z , c ) L λ L_\lambda L λ ( x , y ) (x,y) ( x , y ) z ∉ φ ( S λ − 1 × D ˚ n − λ ) z\notin\varphi(S^{\lambda-1}\times\mathring D^{n-\lambda}) z ∈ / φ ( S λ − 1 × D ˚ n − λ ) ∣ x ∣ ∣ y ∣ < sinh θ 0 cosh θ 0 |x||y|\lt\sinh\theta_0\cosh\theta_0 ∣ x ∣∣ y ∣ < sinh θ 0 cosh θ 0 θ 0 < 1 \theta_0\lt1 θ 0 < 1 ( x , y ) (x,y) ( x , y ) { ∣ x ∣ ∣ y ∣ < sinh θ 0 cosh θ 0 } \{|x||y|\lt\sinh\theta_0\cosh\theta_0\} { ∣ x ∣∣ y ∣ < sinh θ 0 cosh θ 0 } ( z , c ) (z,c) ( z , c ) ( M ∖ φ ( S λ − 1 × D θ 1 n − λ ) ) × [ − 1 , 1 ] \bigl(M\setminus\varphi(S^{\lambda-1}\times D^{n-\lambda}_{\theta_1})\bigr)\times[-1,1] ( M ∖ φ ( S λ − 1 × D θ 1 n − λ ) ) × [ − 1 , 1 ] θ 0 < θ 1 < 1 \theta_0\lt\theta_1\lt1 θ 0 < θ 1 < 1 D θ 1 D_{\theta_1} D θ 1 θ 1 \theta_1 θ 1 z = φ ( u , θ v ) z=\varphi(u,\theta v) z = φ ( u , θ v ) 0 < θ < 1 0\lt\theta\lt1 0 < θ < 1 x = 0 x=0 x = 0 y = 0 y=0 y = 0 ( x , y ) (x,y) ( x , y ) { ∣ x ∣ ∣ y ∣ < sinh ( θ / 2 ) cosh ( θ / 2 ) } \{|x||y|\lt\sinh(\theta/2)\cosh(\theta/2)\} { ∣ x ∣∣ y ∣ < sinh ( θ /2 ) cosh ( θ /2 )} z z z φ ( { 動径 > θ / 2 } ) \varphi(\{\text{動径}\gt\theta/2\}) φ ({ 動径 > θ /2 }) ω \omega ω ( M ∖ φ ( S λ − 1 × D ˚ 1 / 2 ) ) × [ − 1 , 1 ] \bigl(M\setminus\varphi(S^{\lambda-1}\times\mathring D_{1/2})\bigr)\times[-1,1] ( M ∖ φ ( S λ − 1 × D ˚ 1/2 ) ) × [ − 1 , 1 ] { ( x , y ) ∈ L λ : ∣ x ∣ ∣ y ∣ ≤ sinh 1 2 cosh 1 2 } \{(x,y)\in L_\lambda:|x||y|\le\sinh\tfrac12\cosh\tfrac12\} {( x , y ) ∈ L λ : ∣ x ∣∣ y ∣ ≤ sinh 2 1 cosh 2 1 }
F F F q λ = c q_\lambda=c q λ = c ( ⋅ , c ) (\cdot,c) ( ⋅ , c ) d F = d c ≠ 0 dF=dc\ne0 d F = d c = 0 L λ L_\lambda L λ d q λ = 0 dq_\lambda=0 d q λ = 0 diag ( − 2 , … , − 2 , 2 , … , 2 ) \operatorname{diag}(-2,\dots,-2,2,\dots,2) diag ( − 2 , … , − 2 , 2 , … , 2 ) − 2 -2 − 2 λ \lambda λ λ \lambda λ F − 1 ( − 1 ) F^{-1}(-1) F − 1 ( − 1 ) ( M ∖ φ ( S λ − 1 × 0 ) ) × { − 1 } (M\setminus\varphi(S^{\lambda-1}\times0))\times\{-1\} ( M ∖ φ ( S λ − 1 × 0 )) × { − 1 } a − a_- a − ( φ ( u , θ v ) , − 1 ) ∼ a − ( u , θ v ) (\varphi(u,\theta v),-1)\sim a_-(u,\theta v) ( φ ( u , θ v ) , − 1 ) ∼ a − ( u , θ v ) z ↦ ( z , − 1 ) z\mapsto(z,-1) z ↦ ( z , − 1 ) φ ( u , w ) ↦ a − ( u , w ) \varphi(u,w)\mapsto a_-(u,w) φ ( u , w ) ↦ a − ( u , w ) M M M F − 1 ( 1 ) F^{-1}(1) F − 1 ( 1 ) ( M ∖ φ ( S λ − 1 × 0 ) ) × { 1 } (M\setminus\varphi(S^{\lambda-1}\times0))\times\{1\} ( M ∖ φ ( S λ − 1 × 0 )) × { 1 } a + a_+ a + ( φ ( u , θ v ) , 1 ) ∼ a + ( θ u , v ) (\varphi(u,\theta v),1)\sim a_+(\theta u,v) ( φ ( u , θ v ) , 1 ) ∼ a + ( θ u , v ) χ ( M , φ ) \chi(M,\varphi) χ ( M , φ )
∎ 跡の中の H = { ( x , y ) ∈ L λ : ∣ x ∣ ∣ y ∣ ≤ sinh 1 2 cosh 1 2 } H=\{(x,y)\in L_\lambda:|x||y|\le\sinh\tfrac12\cosh\tfrac12\} H = {( x , y ) ∈ L λ : ∣ x ∣∣ y ∣ ≤ sinh 2 1 cosh 2 1 } D λ × D n − λ D^\lambda\times D^{n-\lambda} D λ × D n − λ ( M ∖ φ ( S λ − 1 × D ˚ 1 / 2 ) ) × [ − 1 , 1 ] \bigl(M\setminus\varphi(S^{\lambda-1}\times\mathring D_{1/2})\bigr)\times[-1,1] ( M ∖ φ ( S λ − 1 × D ˚ 1/2 ) ) × [ − 1 , 1 ] ω ( M , φ ) \omega(M,\varphi) ω ( M , φ ) M × [ − 1 , 1 ] M\times[-1,1] M × [ − 1 , 1 ] h λ h^\lambda h λ φ \varphi φ L λ L_\lambda L λ { y = 0 } ∩ L λ \{y=0\}\cap L_\lambda { y = 0 } ∩ L λ { x = 0 } ∩ L λ \{x=0\}\cap L_\lambda { x = 0 } ∩ L λ a − ( S λ − 1 × 0 ) a_-(S^{\lambda-1}\times0) a − ( S λ − 1 × 0 ) M M M a + ( 0 × S n − λ − 1 ) a_+(0\times S^{n-\lambda-1}) a + ( 0 × S n − λ − 1 ) χ ( M , φ ) \chi(M,\varphi) χ ( M , φ )
定義 3.4 （ハンドルの接着とハンドル分解 ） ↗
同境 W : M 0 ⇝ M 1 W\colon M_0\rightsquigarrow M_1 W : M 0 ⇝ M 1 φ : S λ − 1 × D n − λ → M 1 \varphi\colon S^{\lambda-1}\times D^{n-\lambda}\to M_1 φ : S λ − 1 × D n − λ → M 1 W W W ω ( M 1 , φ ) \omega(M_1,\varphi) ω ( M 1 , φ ) M 1 M_1 M 1 系 7.4［管状近傍・カラー・イソトピーの拡張］ ）
W ∪ φ h λ : = W ∪ M 1 ω ( M 1 , φ ) : M 0 ⇝ χ ( M 1 , φ ) W\cup_\varphi h^\lambda:=W\cup_{M_1}\omega(M_1,\varphi)\colon\ M_0\rightsquigarrow\chi(M_1,\varphi) W ∪ φ h λ := W ∪ M 1 ω ( M 1 , φ ) : M 0 ⇝ χ ( M 1 , φ ) を、W W W λ \lambda λ φ \varphi φ 接着 したものという。同境 W : M 0 ⇝ M 1 W\colon M_0\rightsquigarrow M_1 W : M 0 ⇝ M 1 M 0 × [ 0 , 1 ] M_0\times[0,1] M 0 × [ 0 , 1 ] W W W ハンドル分解 という。M 0 = ∅ M_0=\varnothing M 0 = ∅ 0 0 0 1 1 1 g g g g g g ハンドル体 という。
同境どうしは境界の一部（開かつ閉な部分 M 1 M_1 M 1 定理 7.2［管状近傍・カラー・イソトピーの拡張］ ではなく、その系 系 7.4［管状近傍・カラー・イソトピーの拡張］ を使います。結果は残りの境界 M 0 ⊔ χ ( M 1 , φ ) M_0\sqcup\chi(M_1,\varphi) M 0 ⊔ χ ( M 1 , φ ) φ 1 , … , φ k \varphi_1,\dots,\varphi_k φ 1 , … , φ k W ∪ M 1 ω ( M 1 ; φ 1 , … , φ k ) W\cup_{M_1}\omega(M_1;\varphi_1,\dots,\varphi_k) W ∪ M 1 ω ( M 1 ; φ 1 , … , φ k ) 同時に 接着するといいます。
同境 W : M 0 ⇝ M 1 W\colon M_0\rightsquigarrow M_1 W : M 0 ⇝ M 1 W ′ : M 0 ′ ⇝ M 1 ′ W'\colon M_0'\rightsquigarrow M_1' W ′ : M 0 ′ ⇝ M 1 ′ G : W → W ′ G\colon W\to W' G : W → W ′ G ( M 0 ) = M 0 ′ G(M_0)=M_0' G ( M 0 ) = M 0 ′ G ( M 1 ) = M 1 ′ G(M_1)=M_1' G ( M 1 ) = M 1 ′ 同境の微分同相 と呼びます。以下で、同境を等位面で切る・貼り直す・別の同境に運ぶという操作を繰り返すので、それらが微分同相類を変えないことを 1 つの補題にまとめておきます。
補題 3.5 （切って貼り直す操作と微分同相 ） ✓
（貼り合わせの自然性）X i X_i X i M i ⊂ ∂ X i M_i\subset\partial X_i M i ⊂ ∂ X i h : M 1 → M 2 h\colon M_1\to M_2 h : M 1 → M 2 X i ′ X_i' X i ′ M i ′ ⊂ ∂ X i ′ M_i'\subset\partial X_i' M i ′ ⊂ ∂ X i ′ h ′ : M 1 ′ → M 2 ′ h'\colon M_1'\to M_2' h ′ : M 1 ′ → M 2 ′ 系 7.4［管状近傍・カラー・イソトピーの拡張］ のとおりとし、微分同相 G i : X i → X i ′ G_i\colon X_i\to X_i' G i : X i → X i ′ i = 1 , 2 i=1,2 i = 1 , 2 G i ( M i ) = M i ′ G_i(M_i)=M_i' G i ( M i ) = M i ′ h ′ ∘ G 1 = G 2 ∘ h h'\circ G_1=G_2\circ h h ′ ∘ G 1 = G 2 ∘ h M 1 M_1 M 1 X 1 ∪ h X 2 → X 1 ′ ∪ h ′ X 2 ′ X_1\cup_hX_2\to X_1'\cup_{h'}X_2' X 1 ∪ h X 2 → X 1 ′ ∪ h ′ X 2 ′ G 1 ⊔ G 2 G_1\sqcup G_2 G 1 ⊔ G 2
（等位面で切る）f : W → [ a , b ] f\colon W\to[a,b] f : W → [ a , b ] W : M 0 ⇝ M 1 W\colon M_0\rightsquigarrow M_1 W : M 0 ⇝ M 1 m ∈ ( a , b ) m\in(a,b) m ∈ ( a , b ) W − = f − 1 ( [ a , m ] ) W_-=f^{-1}([a,m]) W − = f − 1 ([ a , m ]) W + = f − 1 ( [ m , b ] ) W_+=f^{-1}([m,b]) W + = f − 1 ([ m , b ]) V = f − 1 ( m ) V=f^{-1}(m) V = f − 1 ( m ) W − W_- W − W + W_+ W + V V V W W W ∂ W \partial W ∂ W
（跡を運ぶ）M M M M ′ M' M ′ ( n − 1 ) (n-1) ( n − 1 ) g : M → M ′ g\colon M\to M' g : M → M ′ φ : S λ − 1 × D n − λ → M \varphi\colon S^{\lambda-1}\times D^{n-\lambda}\to M φ : S λ − 1 × D n − λ → M A = ( A 1 , A 2 ) ∈ O ( λ ) × O ( n − λ ) A=(A_1,A_2)\in O(\lambda)\times O(n-\lambda) A = ( A 1 , A 2 ) ∈ O ( λ ) × O ( n − λ ) φ ′ = g ∘ φ ∘ ( A 1 × A 2 ) − 1 \varphi'=g\circ\varphi\circ(A_1\times A_2)^{-1} φ ′ = g ∘ φ ∘ ( A 1 × A 2 ) − 1 ( z , c ) ↦ ( g ( z ) , c ) (z,c)\mapsto(g(z),c) ( z , c ) ↦ ( g ( z ) , c ) L λ L_\lambda L λ ( x , y ) ↦ ( A 1 x , A 2 y ) (x,y)\mapsto(A_1x,A_2y) ( x , y ) ↦ ( A 1 x , A 2 y ) F F F ω ( M , φ ) → ω ( M ′ , φ ′ ) \omega(M,\varphi)\to\omega(M',\varphi') ω ( M , φ ) → ω ( M ′ , φ ′ ) M M M g g g G : W → W ′ G\colon W\to W' G : W → W ′ W : M 0 ⇝ M W\colon M_0\rightsquigarrow M W : M 0 ⇝ M W ′ : M 0 ′ ⇝ M ′ W'\colon M_0'\rightsquigarrow M' W ′ : M 0 ′ ⇝ M ′ φ ′ = G ∣ M ∘ φ ∘ ( A 1 × A 2 ) − 1 \varphi'=G|_M\circ\varphi\circ(A_1\times A_2)^{-1} φ ′ = G ∣ M ∘ φ ∘ ( A 1 × A 2 ) − 1 M 0 M_0 M 0 G G G W ∪ φ h λ → W ′ ∪ φ ′ h λ W\cup_\varphi h^\lambda\to W'\cup_{\varphi'}h^\lambda W ∪ φ h λ → W ′ ∪ φ ′ h λ
証明（補題 3.5） 1。 X i X_i X i c i c_i c i c i ′ ( x ′ , t ) = G i ( c i ( G i − 1 ( x ′ ) , t ) ) c_i'(x',t)=G_i\bigl(c_i(G_i^{-1}(x'),t)\bigr) c i ′ ( x ′ , t ) = G i ( c i ( G i − 1 ( x ′ ) , t ) ) X i ′ X_i' X i ′ ( c 1 , c 2 ) (c_1,c_2) ( c 1 , c 2 ) ( c 1 ′ , c 2 ′ ) (c_1',c_2') ( c 1 ′ , c 2 ′ ) κ \kappa κ κ ′ \kappa' κ ′ 定義 7.1［管状近傍・カラー・イソトピーの拡張］ の式）について、t ≤ 0 t\le0 t ≤ 0 G 1 ( κ ( x , t ) ) = G 1 ( c 1 ( x , − t ) ) = c 1 ′ ( G 1 ( x ) , − t ) = κ ′ ( G 1 ( x ) , t ) G_1(\kappa(x,t))=G_1(c_1(x,-t))=c_1'(G_1(x),-t)=\kappa'(G_1(x),t) G 1 ( κ ( x , t )) = G 1 ( c 1 ( x , − t )) = c 1 ′ ( G 1 ( x ) , − t ) = κ ′ ( G 1 ( x ) , t ) t ≥ 0 t\ge0 t ≥ 0 G 2 ( κ ( x , t ) ) = G 2 ( c 2 ( h ( x ) , t ) ) = c 2 ′ ( G 2 h ( x ) , t ) = c 2 ′ ( h ′ G 1 ( x ) , t ) = κ ′ ( G 1 ( x ) , t ) G_2(\kappa(x,t))=G_2(c_2(h(x),t))=c_2'(G_2h(x),t)=c_2'(h'G_1(x),t)=\kappa'(G_1(x),t) G 2 ( κ ( x , t )) = G 2 ( c 2 ( h ( x ) , t )) = c 2 ′ ( G 2 h ( x ) , t ) = c 2 ′ ( h ′ G 1 ( x ) , t ) = κ ′ ( G 1 ( x ) , t ) G 1 ⊔ G 2 G_1\sqcup G_2 G 1 ⊔ G 2 G 1 ∣ M 1 × i d G_1|_{M_1}\times\mathrm{id} G 1 ∣ M 1 × id G i G_i G i K ⊂ W ∖ ∂ W K\subset W\setminus\partial W K ⊂ W ∖ ∂ W K K K
2。 臨界値は有限個なので、ε > 0 \varepsilon\gt0 ε > 0 [ m − ε , m + ε ] ⊂ ( a , b ) [m-\varepsilon,m+\varepsilon]\subset(a,b) [ m − ε , m + ε ] ⊂ ( a , b ) f − 1 ( [ m − ε , m + ε ] ) f^{-1}([m-\varepsilon,m+\varepsilon]) f − 1 ([ m − ε , m + ε ]) 定理 2.7 の微分同相 Φ : f − 1 ( m − ε ) × [ m − ε , m + ε ] → f − 1 ( [ m − ε , m + ε ] ) \Phi\colon f^{-1}(m-\varepsilon)\times[m-\varepsilon,m+\varepsilon]\to f^{-1}([m-\varepsilon,m+\varepsilon]) Φ : f − 1 ( m − ε ) × [ m − ε , m + ε ] → f − 1 ([ m − ε , m + ε ]) f ( Φ ( z ′ , t ) ) = t f(\Phi(z',t))=t f ( Φ ( z ′ , t )) = t z ∈ V z\in V z ∈ V z = Φ ( z ′ , m ) z=\Phi(z',m) z = Φ ( z ′ , m ) z ′ z' z ′ Φ V ( z , s ) = Φ ( z ′ , m + s ) \Phi_V(z,s)=\Phi(z',m+s) Φ V ( z , s ) = Φ ( z ′ , m + s ) Φ V : V × ( − ε , ε ) → W \Phi_V\colon V\times(-\varepsilon,\varepsilon)\to W Φ V : V × ( − ε , ε ) → W f − 1 ( ( m − ε , m + ε ) ) f^{-1}((m-\varepsilon,m+\varepsilon)) f − 1 (( m − ε , m + ε )) Φ V ( z , 0 ) = z \Phi_V(z,0)=z Φ V ( z , 0 ) = z f ( Φ V ( z , s ) ) = m + s f(\Phi_V(z,s))=m+s f ( Φ V ( z , s )) = m + s V V V W − W_- W − ( z , t ) ↦ Φ V ( z , − ε t ) (z,t)\mapsto\Phi_V(z,-\varepsilon t) ( z , t ) ↦ Φ V ( z , − εt ) W + W_+ W + ( z , t ) ↦ Φ V ( z , ε t ) (z,t)\mapsto\Phi_V(z,\varepsilon t) ( z , t ) ↦ Φ V ( z , εt ) κ ( z , t ) = Φ V ( z , ε t ) \kappa(z,t)=\Phi_V(z,\varepsilon t) κ ( z , t ) = Φ V ( z , εt ) W W W W W W W − ∖ V W_-\setminus V W − ∖ V W + ∖ V W_+\setminus V W + ∖ V W W W
3。 A A A q λ q_\lambda q λ ∣ x ∣ ∣ y ∣ |x||y| ∣ x ∣∣ y ∣ L λ L_\lambda L λ η λ \eta_\lambda η λ ( x , y ) ↦ ( e − s x , e s y ) (x,y)\mapsto(e^{-s}x,e^{s}y) ( x , y ) ↦ ( e − s x , e s y ) A a − ( u , w ) = a − ( A 1 u , A 2 w ) A\,a_-(u,w)=a_-(A_1u,A_2w) A a − ( u , w ) = a − ( A 1 u , A 2 w ) ω ( M , φ ) \omega(M,\varphi) ω ( M , φ ) ( φ ( u , θ v ) , c ) (\varphi(u,\theta v),c) ( φ ( u , θ v ) , c ) a − ( u , θ v ) a_-(u,\theta v) a − ( u , θ v ) q λ = c q_\lambda=c q λ = c P P P ( g φ ( u , θ v ) , c ) = ( φ ′ ( A 1 u , θ A 2 v ) , c ) (g\varphi(u,\theta v),c)=(\varphi'(A_1u,\theta A_2v),c) ( g φ ( u , θ v ) , c ) = ( φ ′ ( A 1 u , θ A 2 v ) , c ) A P AP A P a − ( A 1 u , θ A 2 v ) = A a − ( u , θ v ) a_-(A_1u,\theta A_2v)=A\,a_-(u,\theta v) a − ( A 1 u , θ A 2 v ) = A a − ( u , θ v ) q λ = c q_\lambda=c q λ = c ω ( M ′ , φ ′ ) \omega(M',\varphi') ω ( M ′ , φ ′ ) L λ L_\lambda L λ g − 1 g^{-1} g − 1 A − 1 A^{-1} A − 1 F F F L λ i L_{\lambda_i} L λ i G G G M M M G ∣ M G|_M G ∣ M
∎ 定理 3.6 （臨界点の通過とハンドルの接着 ） ✓
f : W → [ a , b ] f\colon W\to[a,b] f : W → [ a , b ] W : M 0 ⇝ M 1 W\colon M_0\rightsquigarrow M_1 W : M 0 ⇝ M 1 ξ \xi ξ f f f p 1 , … , p k p_1,\dots,p_k p 1 , … , p k c 0 c_0 c 0 λ 1 , … , λ k \lambda_1,\dots,\lambda_k λ 1 , … , λ k φ i : S λ i − 1 × D n − λ i → M 0 \varphi_i\colon S^{\lambda_i-1}\times D^{n-\lambda_i}\to M_0 φ i : S λ i − 1 × D n − λ i → M 0
κ : ω ( M 0 ; φ 1 , … , φ k ) → W \kappa\colon\omega(M_0;\varphi_1,\dots,\varphi_k)\to W κ : ω ( M 0 ; φ 1 , … , φ k ) → W で、M 0 M_0 M 0 L λ i L_{\lambda_i} L λ i p i p_i p i p i p_i p i p i p_i p i 下降円板 ）に、余芯を p i p_i p i p i p_i p i 上昇円板 ）に写すものが存在する。とくに M 1 M_1 M 1 χ ( M 0 ; φ 1 , … , φ k ) \chi(M_0;\varphi_1,\dots,\varphi_k) χ ( M 0 ; φ 1 , … , φ k ) W W W M 0 × [ 0 , 1 ] M_0\times[0,1] M 0 × [ 0 , 1 ] λ 1 , … , λ k \lambda_1,\dots,\lambda_k λ 1 , … , λ k
さらに、φ i \varphi_i φ i κ \kappa κ p i p_i p i g i g_i g i ε > 0 \varepsilon\gt0 ε > 0
φ i ( u , θ v ) = π ( g i − 1 ( ε u cosh θ , ε v sinh θ ) ) ( u ∈ S λ i − 1 , v ∈ S n − λ i − 1 , 0 ≤ θ ≤ 1 ) \varphi_i(u,\theta v)=\pi\bigl(g_i^{-1}(\varepsilon u\cosh\theta,\ \varepsilon v\sinh\theta)\bigr)\qquad(u\in S^{\lambda_i-1},\ v\in S^{n-\lambda_i-1},\ 0\le\theta\le1) φ i ( u , θ v ) = π ( g i − 1 ( ε u cosh θ , ε v sinh θ ) ) ( u ∈ S λ i − 1 , v ∈ S n − λ i − 1 , 0 ≤ θ ≤ 1 ) （π \pi π 補題 2.6 の 3 の、軌道を負の向きにたどった到達点の写像）であり、κ \kappa κ { z } × [ − 1 , 1 ] \{z\}\times[-1,1] { z } × [ − 1 , 1 ] z z z W W W
この定理の証明の方針は、臨界点の近くでは適合チャートの中の模型 L λ L_\lambda L λ 定理 2.7 と同じく積として貼れる、というものです。
証明（定理 3.6） k = 1 k=1 k = 1 p = p 1 p=p_1 p = p 1 λ = λ 1 \lambda=\lambda_1 λ = λ 1
臨界値の近くの帯。 適合チャート g : U → R n g\colon U\to\mathbb{R}^n g : U → R n L λ L_\lambda L λ ∣ x ∣ 2 − ∣ y ∣ 2 ∈ [ − 1 , 1 ] |x|^2-|y|^2\in[-1,1] ∣ x ∣ 2 − ∣ y ∣ 2 ∈ [ − 1 , 1 ] ∣ x ∣ ∣ y ∣ < sinh 1 cosh 1 = 1 2 sinh 2 |x||y|\lt\sinh1\cosh1=\tfrac12\sinh2 ∣ x ∣∣ y ∣ < sinh 1 cosh 1 = 2 1 sinh 2
∣ x ∣ 2 + ∣ y ∣ 2 = ( ∣ x ∣ 2 − ∣ y ∣ 2 ) 2 + 4 ∣ x ∣ 2 ∣ y ∣ 2 < 1 + sinh 2 2 = cosh 2 |x|^2+|y|^2=\sqrt{(|x|^2-|y|^2)^2+4|x|^2|y|^2}\lt\sqrt{1+\sinh^22}=\cosh2 ∣ x ∣ 2 + ∣ y ∣ 2 = ( ∣ x ∣ 2 − ∣ y ∣ 2 ) 2 + 4∣ x ∣ 2 ∣ y ∣ 2 < 1 + sinh 2 2 = cosh 2 です。ε > 0 \varepsilon\gt0 ε > 0 ε cosh 2 \varepsilon\sqrt{\cosh2} ε cosh 2 g ( U ) g(U) g ( U ) a < c 0 − ε 2 a\lt c_0-\varepsilon^2 a < c 0 − ε 2 c 0 + ε 2 < b c_0+\varepsilon^2\lt b c 0 + ε 2 < b W ε = f − 1 ( [ c 0 − ε 2 , c 0 + ε 2 ] ) W_\varepsilon=f^{-1}([c_0-\varepsilon^2,c_0+\varepsilon^2]) W ε = f − 1 ([ c 0 − ε 2 , c 0 + ε 2 ]) M − = f − 1 ( c 0 − ε 2 ) M_-=f^{-1}(c_0-\varepsilon^2) M − = f − 1 ( c 0 − ε 2 )
φ : S λ − 1 × D n − λ → M − , φ ( u , θ v ) = g − 1 ( ε u cosh θ , ε v sinh θ ) ( 0 ≤ θ ≤ 1 ) \varphi\colon S^{\lambda-1}\times D^{n-\lambda}\to M_-,\qquad\varphi(u,\theta v)=g^{-1}(\varepsilon u\cosh\theta,\ \varepsilon v\sinh\theta)\quad(0\le\theta\le1) φ : S λ − 1 × D n − λ → M − , φ ( u , θ v ) = g − 1 ( ε u cosh θ , ε v sinh θ ) ( 0 ≤ θ ≤ 1 ) と定めます。f ( φ ( u , θ v ) ) = c 0 − ε 2 cosh 2 θ + ε 2 sinh 2 θ = c 0 − ε 2 f(\varphi(u,\theta v))=c_0-\varepsilon^2\cosh^2\theta+\varepsilon^2\sinh^2\theta=c_0-\varepsilon^2 f ( φ ( u , θ v )) = c 0 − ε 2 cosh 2 θ + ε 2 sinh 2 θ = c 0 − ε 2 M − M_- M − a − a_- a −
写像 k : ω ( M − , φ ) → W ε k\colon\omega(M_-,\varphi)\to W_\varepsilon k : ω ( M − , φ ) → W ε L λ L_\lambda L λ k ( x , y ) = g − 1 ( ε x , ε y ) k(x,y)=g^{-1}(\varepsilon x,\varepsilon y) k ( x , y ) = g − 1 ( ε x , ε y ) k ( z , c ) k(z,c) k ( z , c ) z z z f = c 0 + ε 2 c f=c_0+\varepsilon^2c f = c 0 + ε 2 c z ∈ M − ∖ φ ( S λ − 1 × 0 ) z\in M_-\setminus\varphi(S^{\lambda-1}\times0) z ∈ M − ∖ φ ( S λ − 1 × 0 ) f = c 0 + ε 2 f=c_0+\varepsilon^2 f = c 0 + ε 2 補題 2.6 の 1 により軌道は p p p p p p { y = 0 } \{y=0\} { y = 0 } η λ \eta_\lambda η λ y = 0 y=0 y = 0 f = c 0 − ε 2 f=c_0-\varepsilon^2 f = c 0 − ε 2 ∣ x ∣ = ε |x|=\varepsilon ∣ x ∣ = ε y = 0 y=0 y = 0 φ ( S λ − 1 × 0 ) \varphi(S^{\lambda-1}\times0) φ ( S λ − 1 × 0 ) z z z f = c 0 + ε 2 f=c_0+\varepsilon^2 f = c 0 + ε 2 f f f k ( z , c ) k(z,c) k ( z , c ) z = φ ( u , θ v ) z=\varphi(u,\theta v) z = φ ( u , θ v ) 0 < θ < 1 0\lt\theta\lt1 0 < θ < 1 z z z ε a − ( u , θ v ) \varepsilon a_-(u,\theta v) ε a − ( u , θ v ) η λ \eta_\lambda η λ ω \omega ω f ∘ k = c 0 + ε 2 F f\circ k=c_0+\varepsilon^2F f ∘ k = c 0 + ε 2 F
k k k k k k f f f 定理 2.7 の証明と同じく滑らかで、微分は同型です。L λ L_\lambda L λ g − 1 g^{-1} g − 1 f f f g g g w ∈ W ε w\in W_\varepsilon w ∈ W ε 補題 2.6 により M − M_- M − z z z p p p z ∉ φ ( S λ − 1 × 0 ) z\notin\varphi(S^{\lambda-1}\times0) z ∈ / φ ( S λ − 1 × 0 ) w = k ( z , c ) w=k(z,c) w = k ( z , c ) z ∈ φ ( S λ − 1 × 0 ) z\in\varphi(S^{\lambda-1}\times0) z ∈ φ ( S λ − 1 × 0 ) w w w { y = 0 } \{y=0\} { y = 0 } { x = 0 } \{x=0\} { x = 0 } k ( L λ ) k(L_\lambda) k ( L λ ) 系 2.2［部分多様体と正則値定理］ ）により k k k
帯を W W W 滑らかで 0 < ρ ≤ 1 0\lt\rho\le1 0 < ρ ≤ 1 [ c 0 − ε 2 / 2 , c 0 + ε 2 / 2 ] [c_0-\varepsilon^2/2,c_0+\varepsilon^2/2] [ c 0 − ε 2 /2 , c 0 + ε 2 /2 ] ρ = 1 \rho=1 ρ = 1 ∫ a c 0 ρ = ∫ c 0 b ρ = ε 2 \int_a^{c_0}\rho=\int_{c_0}^b\rho=\varepsilon^2 ∫ a c 0 ρ = ∫ c 0 b ρ = ε 2 ρ \rho ρ ε 2 / 2 < ε 2 < c 0 − a , b − c 0 \varepsilon^2/2\lt\varepsilon^2\lt c_0-a,\ b-c_0 ε 2 /2 < ε 2 < c 0 − a , b − c 0 h ( t ) = c 0 + ∫ c 0 t ρ h(t)=c_0+\int_{c_0}^t\rho h ( t ) = c 0 + ∫ c 0 t ρ h h h [ a , b ] [a,b] [ a , b ] [ c 0 − ε 2 , c 0 + ε 2 ] [c_0-\varepsilon^2,c_0+\varepsilon^2] [ c 0 − ε 2 , c 0 + ε 2 ] c 0 c_0 c 0 ρ ≤ 1 \rho\le1 ρ ≤ 1 ∣ h ( t ) − c 0 ∣ ≤ ∣ t − c 0 ∣ |h(t)-c_0|\le|t-c_0| ∣ h ( t ) − c 0 ∣ ≤ ∣ t − c 0 ∣ R : W → W ε R\colon W\to W_\varepsilon R : W → W ε R ( w ) = R(w)= R ( w ) = w w w f = h ( f ( w ) ) f=h(f(w)) f = h ( f ( w )) f ( w ) > c 0 f(w)\gt c_0 f ( w ) > c 0 h ( f ( w ) ) > c 0 h(f(w))\gt c_0 h ( f ( w )) > c 0 w w w p p p M 0 M_0 M 0 c 0 c_0 c 0 f ( w ) f(w) f ( w ) f ( w ) < c 0 f(w)\lt c_0 f ( w ) < c 0 ∣ f ( w ) − c 0 ∣ ≤ ε 2 / 2 |f(w)-c_0|\le\varepsilon^2/2 ∣ f ( w ) − c 0 ∣ ≤ ε 2 /2 R ( w ) = w R(w)=w R ( w ) = w R R R p p p h − 1 h^{-1} h − 1 R R R M 0 M_0 M 0 M − M_- M − r = R ∣ M 0 r=R|_{M_0} r = R ∣ M 0 φ \varphi φ φ 1 = r − 1 ∘ φ \varphi_1=r^{-1}\circ\varphi φ 1 = r − 1 ∘ φ ( z , c ) ↦ ( r ( z ) , c ) (z,c)\mapsto(r(z),c) ( z , c ) ↦ ( r ( z ) , c ) L λ L_\lambda L λ ω ( M 0 , φ 1 ) → ω ( M − , φ ) \omega(M_0,\varphi_1)\to\omega(M_-,\varphi) ω ( M 0 , φ 1 ) → ω ( M − , φ ) κ \kappa κ k k k R − 1 R^{-1} R − 1
芯と余芯。 k k k { y = 0 } ∩ L λ \{y=0\}\cap L_\lambda { y = 0 } ∩ L λ { y = 0 } \{y=0\} { y = 0 } 補題 2.6 の 2 と、{ y = 0 } \{y=0\} { y = 0 } ( e − s x , 0 ) (e^{-s}x,0) ( e − s x , 0 ) p p p W ε W_\varepsilon W ε p p p p p p R R R W W W
接着写像と κ \kappa κ r ( z ) r(z) r ( z ) z z z w ∈ M − w\in M_- w ∈ M − r − 1 ( w ) r^{-1}(w) r − 1 ( w ) w w w M 0 M_0 M 0 π ( w ) \pi(w) π ( w ) φ 1 = π ∘ φ \varphi_1=\pi\circ\varphi φ 1 = π ∘ φ ε \varepsilon ε g ( U ) g(U) g ( U ) a < c 0 − ε 2 a\lt c_0-\varepsilon^2 a < c 0 − ε 2 c 0 + ε 2 < b c_0+\varepsilon^2\lt b c 0 + ε 2 < b ( z , c ) (z,c) ( z , c ) ( r ( z ) , c ) (r(z),c) ( r ( z ) , c ) k ( r ( z ) , c ) k(r(z),c) k ( r ( z ) , c ) r ( z ) r(z) r ( z ) z z z R − 1 R^{-1} R − 1 R R R κ ( z , c ) \kappa(z,c) κ ( z , c ) z z z f ( κ ( z , c ) ) = h − 1 ( c 0 + ε 2 c ) f(\kappa(z,c))=h^{-1}(c_0+\varepsilon^2c) f ( κ ( z , c )) = h − 1 ( c 0 + ε 2 c ) c ∈ [ − 1 , 1 ] c\in[-1,1] c ∈ [ − 1 , 1 ] a a a b b b { z } × [ − 1 , 1 ] \{z\}\times[-1,1] { z } × [ − 1 , 1 ] z z z W W W
M 0 × [ 0 , 1 ] M_0\times[0,1] M 0 × [ 0 , 1 ] a < a ′ < c 0 a\lt a'\lt c_0 a < a ′ < c 0 a ′ a' a ′ N = f − 1 ( a ′ ) N=f^{-1}(a') N = f − 1 ( a ′ ) W − = f − 1 ( [ a , a ′ ] ) W_-=f^{-1}([a,a']) W − = f − 1 ([ a , a ′ ]) W + = f − 1 ( [ a ′ , b ] ) W_+=f^{-1}([a',b]) W + = f − 1 ([ a ′ , b ]) W − W_- W − 定理 2.7 により M 0 M_0 M 0 ( z , 0 ) ↦ z (z,0)\mapsto z ( z , 0 ) ↦ z G 0 : M 0 × [ 0 , 1 ] → W − G_0\colon M_0\times[0,1]\to W_- G 0 : M 0 × [ 0 , 1 ] → W − W + W_+ W + ψ i \psi_i ψ i N N N κ + : ω ( N ; ψ 1 , … , ψ k ) → W + \kappa_+\colon\omega(N;\psi_1,\dots,\psi_k)\to W_+ κ + : ω ( N ; ψ 1 , … , ψ k ) → W + φ i ′ = ( G 0 ∣ M 0 × { 1 } ) − 1 ∘ ψ i \varphi_i'=(G_0|_{M_0\times\{1\}})^{-1}\circ\psi_i φ i ′ = ( G 0 ∣ M 0 × { 1 } ) − 1 ∘ ψ i 補題 3.5 の 3 により M 0 × [ 0 , 1 ] M_0\times[0,1] M 0 × [ 0 , 1 ] φ i ′ \varphi_i' φ i ′ W − ∪ N ω ( N ; ψ 1 , … , ψ k ) W_-\cup_N\omega(N;\psi_1,\dots,\psi_k) W − ∪ N ω ( N ; ψ 1 , … , ψ k ) κ + \kappa_+ κ + W − ∪ N W + W_-\cup_NW_+ W − ∪ N W + W W W
∎ 定理 3.7 （ハンドル分解の存在 ） ✓
任意の同境 W : M 0 ⇝ M 1 W\colon M_0\rightsquigarrow M_1 W : M 0 ⇝ M 1 f f f λ \lambda λ λ \lambda λ
証明（定理 3.7） 命題 2.3 により、臨界値 c 1 < ⋯ < c k c_1\lt\dots\lt c_k c 1 < ⋯ < c k f : W → [ 0 , 1 ] f\colon W\to[0,1] f : W → [ 0 , 1 ] k = 0 k=0 k = 0 定理 2.7 により W ≅ M 0 × [ 0 , 1 ] W\cong M_0\times[0,1] W ≅ M 0 × [ 0 , 1 ] k ≥ 1 k\ge1 k ≥ 1 0 < a 0 < c 1 < a 1 < c 2 < ⋯ < c k < a k = 1 0\lt a_0\lt c_1\lt a_1\lt c_2\lt\dots\lt c_k\lt a_k=1 0 < a 0 < c 1 < a 1 < c 2 < ⋯ < c k < a k = 1 a i a_i a i N i = f − 1 ( a i ) N_i=f^{-1}(a_i) N i = f − 1 ( a i ) W 0 = f − 1 ( [ 0 , a 0 ] ) W_0=f^{-1}([0,a_0]) W 0 = f − 1 ([ 0 , a 0 ]) W i = f − 1 ( [ a i − 1 , a i ] ) W_i=f^{-1}([a_{i-1},a_i]) W i = f − 1 ([ a i − 1 , a i ]) i ≥ 1 i\ge1 i ≥ 1 W ( i ) = f − 1 ( [ 0 , a i ] ) W^{(i)}=f^{-1}([0,a_i]) W ( i ) = f − 1 ([ 0 , a i ]) W 0 W_0 W 0 M 0 ⇝ N 0 M_0\rightsquigarrow N_0 M 0 ⇝ N 0 定理 2.7 により M 0 M_0 M 0 ( z , 0 ) ↦ z (z,0)\mapsto z ( z , 0 ) ↦ z G 0 : M 0 × [ 0 , 1 ] → W 0 = W ( 0 ) G_0\colon M_0\times[0,1]\to W_0=W^{(0)} G 0 : M 0 × [ 0 , 1 ] → W 0 = W ( 0 ) W i W_i W i i ≥ 1 i\ge1 i ≥ 1 N i − 1 N_{i-1} N i − 1 N i N_i N i f ∣ W i f|_{W_i} f ∣ W i 補題 2.5 と 定理 3.6 により、N i − 1 N_{i-1} N i − 1 κ i : ω ( N i − 1 , φ i ) → W i \kappa_i\colon\omega(N_{i-1},\varphi_i)\to W_i κ i : ω ( N i − 1 , φ i ) → W i
Y 0 = M 0 × [ 0 , 1 ] Y_0=M_0\times[0,1] Y 0 = M 0 × [ 0 , 1 ] i ≥ 1 i\ge1 i ≥ 1 G i − 1 : Y i − 1 → W ( i − 1 ) G_{i-1}\colon Y_{i-1}\to W^{(i-1)} G i − 1 : Y i − 1 → W ( i − 1 ) φ i ′ = ( G i − 1 ∣ ∂ + Y i − 1 ) − 1 ∘ φ i \varphi_i'=(G_{i-1}|_{\partial_+Y_{i-1}})^{-1}\circ\varphi_i φ i ′ = ( G i − 1 ∣ ∂ + Y i − 1 ) − 1 ∘ φ i ∂ + \partial_+ ∂ + Y i = Y i − 1 ∪ φ i ′ h λ i Y_i=Y_{i-1}\cup_{\varphi_i'}h^{\lambda_i} Y i = Y i − 1 ∪ φ i ′ h λ i 補題 3.5 の 3 により Y i Y_i Y i W ( i − 1 ) ∪ N i − 1 ω ( N i − 1 , φ i ) W^{(i-1)}\cup_{N_{i-1}}\omega(N_{i-1},\varphi_i) W ( i − 1 ) ∪ N i − 1 ω ( N i − 1 , φ i ) κ i \kappa_i κ i W ( i − 1 ) ∪ N i − 1 W i W^{(i-1)}\cup_{N_{i-1}}W_i W ( i − 1 ) ∪ N i − 1 W i W ( i ) W^{(i)} W ( i ) G i − 1 G_{i-1} G i − 1 G i G_i G i Y k Y_k Y k M 0 × [ 0 , 1 ] M_0\times[0,1] M 0 × [ 0 , 1 ] k k k G k : Y k → W ( k ) = W G_k\colon Y_k\to W^{(k)}=W G k : Y k → W ( k ) = W
∎ 命題 3.8 （ハンドル体は接着写像のイソトピー類で決まる ） ✓
M M M ( n − 1 ) (n-1) ( n − 1 ) φ 0 , φ 1 : S λ − 1 × D n − λ → M \varphi_0,\varphi_1\colon S^{\lambda-1}\times D^{n-\lambda}\to M φ 0 , φ 1 : S λ − 1 × D n − λ → M
M M M Ψ 1 \Psi_1 Ψ 1 Ψ 1 ∘ φ 0 = φ 1 \Psi_1\circ\varphi_0=\varphi_1 Ψ 1 ∘ φ 0 = φ 1 ( z , c ) ↦ ( Ψ 1 ( z ) , c ) (z,c)\mapsto(\Psi_1(z),c) ( z , c ) ↦ ( Ψ 1 ( z ) , c ) L λ L_\lambda L λ ω ( M , φ 0 ) → ω ( M , φ 1 ) \omega(M,\varphi_0)\to\omega(M,\varphi_1) ω ( M , φ 0 ) → ω ( M , φ 1 ) 同境 W : M 0 ⇝ M W\colon M_0\rightsquigarrow M W : M 0 ⇝ M W ∪ φ 0 h λ W\cup_{\varphi_0}h^\lambda W ∪ φ 0 h λ W ∪ φ 1 h λ W\cup_{\varphi_1}h^\lambda W ∪ φ 1 h λ M 0 M_0 M 0
像が互いに交わらない有限個の接着写像の組 ( φ 0 , i ) i (\varphi_{0,i})_i ( φ 0 , i ) i ( φ 1 , i ) i (\varphi_{1,i})_i ( φ 1 , i ) i ( φ t , i ) i (\varphi_{t,i})_i ( φ t , i ) i ω ( M ; ⋅ ) \omega(M;\cdot) ω ( M ; ⋅ )
証明（命題 3.8） 1。 イソトピー拡張定理（定理 5.2［管状近傍・カラー・イソトピーの拡張］ 。Z = S λ − 1 × D ˚ 1 + ϵ n − λ Z=S^{\lambda-1}\times\mathring D^{n-\lambda}_{1+\epsilon} Z = S λ − 1 × D ˚ 1 + ϵ n − λ K = S λ − 1 × D n − λ K=S^{\lambda-1}\times D^{n-\lambda} K = S λ − 1 × D n − λ M M M Ψ t \Psi_t Ψ t Ψ 0 = i d \Psi_0=\mathrm{id} Ψ 0 = id Ψ t ∘ φ 0 = φ t \Psi_t\circ\varphi_0=\varphi_t Ψ t ∘ φ 0 = φ t ( z , c ) ↦ ( Ψ 1 ( z ) , c ) (z,c)\mapsto(\Psi_1(z),c) ( z , c ) ↦ ( Ψ 1 ( z ) , c ) ( φ 0 ( u , θ v ) , c ) (\varphi_0(u,\theta v),c) ( φ 0 ( u , θ v ) , c ) ( φ 1 ( u , θ v ) , c ) (\varphi_1(u,\theta v),c) ( φ 1 ( u , θ v ) , c ) L λ L_\lambda L λ ω \omega ω Ψ 1 − 1 \Psi_1^{-1} Ψ 1 − 1
2。 M M M c : M × [ 0 , 1 ) → W c\colon M\times[0,1)\to W c : M × [ 0 , 1 ) → W 定理 4.2［管状近傍・カラー・イソトピーの拡張］ ）と、[ 0 , 1 3 ] [0,\tfrac13] [ 0 , 3 1 ] 1 1 1 [ 2 3 , 1 ) [\tfrac23,1) [ 3 2 , 1 ) 0 0 0 τ \tau τ W W W Θ \Theta Θ c ( z , t ) ↦ c ( Ψ τ ( t ) ( z ) , t ) c(z,t)\mapsto c(\Psi_{\tau(t)}(z),t) c ( z , t ) ↦ c ( Ψ τ ( t ) ( z ) , t ) t ≤ 2 3 t\le\tfrac23 t ≤ 3 2 M 0 M_0 M 0 Θ \Theta Θ M 0 M_0 M 0 Θ \Theta Θ M M M Ψ 1 \Psi_1 Ψ 1 M M M Ψ 1 \Psi_1 Ψ 1 補題 3.5 の 1（G 1 = Θ G_1=\Theta G 1 = Θ G 2 G_2 G 2 M M M W ∪ M ω ( M , φ 0 ) → W ∪ M ω ( M , φ 1 ) W\cup_M\omega(M,\varphi_0)\to W\cup_M\omega(M,\varphi_1) W ∪ M ω ( M , φ 0 ) → W ∪ M ω ( M , φ 1 ) M 0 M_0 M 0 Θ \Theta Θ 系 7.4［管状近傍・カラー・イソトピーの拡張］ の 2）。
組の場合。 Z Z Z S λ i − 1 × D ˚ 1 + ϵ n − λ i S^{\lambda_i-1}\times\mathring D^{n-\lambda_i}_{1+\epsilon} S λ i − 1 × D ˚ 1 + ϵ n − λ i K K K S λ i − 1 × D n − λ i S^{\lambda_i-1}\times D^{n-\lambda_i} S λ i − 1 × D n − λ i ( φ t , i ) i (\varphi_{t,i})_i ( φ t , i ) i Z Z Z M M M Ψ t \Psi_t Ψ t Ψ t ∘ φ 0 , i = φ t , i \Psi_t\circ\varphi_{0,i}=\varphi_{t,i} Ψ t ∘ φ 0 , i = φ t , i i i i L λ i L_{\lambda_i} L λ i
∎ 定理 3.9 （手術と同境 ） ✓
M M M M ′ M' M ′ ( n − 1 ) (n-1) ( n − 1 )
M ′ M' M ′ M M M φ \varphi φ M ′ ≅ χ ( M , φ ) M'\cong\chi(M,\varphi) M ′ ≅ χ ( M , φ ) W : M ⇝ M ′ W\colon M\rightsquigarrow M' W : M ⇝ M ′ M M M M ′ M' M ′ M ′ M' M ′ M M M 証明（定理 3.9） 1。 M ′ ≅ χ ( M , φ ) M'\cong\chi(M,\varphi) M ′ ≅ χ ( M , φ ) 補題 3.3 により ω ( M , φ ) \omega(M,\varphi) ω ( M , φ ) W : M ⇝ M ′ W\colon M\rightsquigarrow M' W : M ⇝ M ′ 定理 3.6 により M ′ ≅ χ ( M , φ ) M'\cong\chi(M,\varphi) M ′ ≅ χ ( M , φ )
2。 同境 W : M ⇝ M ′ W\colon M\rightsquigarrow M' W : M ⇝ M ′ 定理 3.7 の証明の等位面 N 0 , N 1 , … , N k = M ′ N_0,N_1,\dots,N_k=M' N 0 , N 1 , … , N k = M ′ N 0 ≅ M N_0\cong M N 0 ≅ M W 0 W_0 W 0 N i ≅ χ ( N i − 1 , φ i ) N_i\cong\chi(N_{i-1},\varphi_i) N i ≅ χ ( N i − 1 , φ i ) N 0 N_0 N 0 M M M M ′ ≅ M M'\cong M M ′ ≅ M M = N 0 , N 1 , … , N k = M ′ M=N_0,N_1,\dots,N_k=M' M = N 0 , N 1 , … , N k = M ′ ω ( N i − 1 , φ i ) : N i − 1 ⇝ N i \omega(N_{i-1},\varphi_i)\colon N_{i-1}\rightsquigarrow N_i ω ( N i − 1 , φ i ) : N i − 1 ⇝ N i N i N_i N i 系 7.4［管状近傍・カラー・イソトピーの拡張］ ）ものが M M M M ′ M' M ′ k = 0 k=0 k = 0 M × [ 0 , 1 ] M\times[0,1] M × [ 0 , 1 ]
∎ 例 3.10 （球面と、積 S p × S q S^p × S^q S p × S q ）
S n ⊂ R n + 1 S^n\subset\mathbb{R}^{n+1} S n ⊂ R n + 1 f = x n + 1 f=x_{n+1} f = x n + 1 0 0 0 n n n S n = h 0 ∪ h n S^n=h^0\cup h^n S n = h 0 ∪ h n
p , q ≥ 1 p,q\ge1 p , q ≥ 1 M = S p × S q M=S^p\times S^q M = S p × S q φ : S p × D q → S p × S q \varphi\colon S^p\times D^q\to S^p\times S^q φ : S p × D q → S p × S q D q D^q D q S q S^q S q λ = p + 1 \lambda=p+1 λ = p + 1 n = p + q + 1 n=p+q+1 n = p + q + 1 χ ( M , φ ) \chi(M,\varphi) χ ( M , φ ) S p × D + q S^p\times D^q_+ S p × D + q D p + 1 × S q − 1 D^{p+1}\times S^{q-1} D p + 1 × S q − 1 S p × S q − 1 S^p\times S^{q-1} S p × S q − 1 ∂ ( D p + 1 × D q ) = S p × D q ∪ D p + 1 × S q − 1 \partial(D^{p+1}\times D^q)=S^p\times D^q\cup D^{p+1}\times S^{q-1} ∂ ( D p + 1 × D q ) = S p × D q ∪ D p + 1 × S q − 1 D p + 1 × D q D^{p+1}\times D^q D p + 1 × D q D p + q + 1 D^{p+q+1} D p + q + 1 注意 7.3［管状近傍・カラー・イソトピーの拡張］ の (c)。Rikai では証明していない事実で、この例の結論はそれに依ります）、χ ( M , φ ) ≅ S p + q \chi(M,\varphi)\cong S^{p+q} χ ( M , φ ) ≅ S p + q 定理 3.9 により S p × S q S^p\times S^q S p × S q S p + q S^{p+q} S p + q S p + q = ∂ D p + q + 1 S^{p+q}=\partial D^{p+q+1} S p + q = ∂ D p + q + 1 S p × S q S^p\times S^q S p × S q D p + 1 × S q D^{p+1}\times S^q D p + 1 × S q
f : W → [ a , b ] f\colon W\to[a,b] f : W → [ a , b ] ξ \xi ξ p p p λ \lambda λ m > f ( p ) m\gt f(p) m > f ( p ) f ( p ) f(p) f ( p ) m m m p p p V = f − 1 ( m ) V=f^{-1}(m) V = f − 1 ( m ) p p p 上昇球面 といいます。定理 3.6 を f ( p ) f(p) f ( p ) 定理 2.7 の流れで運ぶと、これは V V V ( n − λ − 1 ) (n-\lambda-1) ( n − λ − 1 ) m < f ( p ) m\lt f(p) m < f ( p ) V V V 下降球面 が、埋め込まれた ( λ − 1 ) (\lambda-1) ( λ − 1 )
定理 4.1 （ハンドルの並べ替え ） ✓
f : W → [ a , b ] f\colon W\to[a,b] f : W → [ a , b ] W W W ξ \xi ξ f f f P ⊔ Q P\sqcup Q P ⊔ Q f ( P ) = { c } f(P)=\{c\} f ( P ) = { c } f ( Q ) = { c ′ } f(Q)=\{c'\} f ( Q ) = { c ′ } c ≤ c ′ c\le c' c ≤ c ′
P P P Q Q Q ξ \xi ξ c = c ′ c=c' c = c ′ α , α ′ ∈ ( a , b ) \alpha,\alpha'\in(a,b) α , α ′ ∈ ( a , b ) W W W g : W → [ a , b ] g\colon W\to[a,b] g : W → [ a , b ] ξ \xi ξ g g g f f f g ( P ) = { α } g(P)=\{\alpha\} g ( P ) = { α } g ( Q ) = { α ′ } g(Q)=\{\alpha'\} g ( Q ) = { α ′ } ∂ W \partial W ∂ W g = f g=f g = f g g g P P P g = f + α − c g=f+\alpha-c g = f + α − c Q Q Q g = f + α ′ − c ′ g=f+\alpha'-c' g = f + α ′ − c ′ c < c ′ c\lt c' c < c ′ P P P Q Q Q f f f ξ ′ \xi' ξ ′ f − 1 ( ( c , c ′ ) ) f^{-1}((c,c')) f − 1 (( c , c ′ )) ξ \xi ξ P P P Q Q Q したがって、任意の同境 W W W n n n p p p f ( p ) = ( p の指数 ) f(p)=(p\text{ の指数}) f ( p ) = ( p の指数 ) f : W → [ − 1 2 , n + 1 2 ] f\colon W\to[-\tfrac12,n+\tfrac12] f : W → [ − 2 1 , n + 2 1 ] 自己指数的 な Morse 関数）が存在する。臨界点の個数は指数ごとに、もとの Morse 関数と同じに取れる。
ハンドルの言葉では、2 は「後から貼る指数 λ ′ \lambda' λ ′ λ ≥ λ ′ \lambda\ge\lambda' λ ≥ λ ′
証明（定理 4.1） 2 の証明。 c < m ′ < m < c ′ c\lt m'\lt m\lt c' c < m ′ < m < c ′ V = f − 1 ( m ) V=f^{-1}(m) V = f − 1 ( m ) P P P S P ⊂ V S_P\subset V S P ⊂ V Q Q Q S Q ⊂ V S_Q\subset V S Q ⊂ V V V V p ∈ P p\in P p ∈ P λ \lambda λ q ∈ Q q\in Q q ∈ Q λ ′ ≤ λ \lambda'\le\lambda λ ′ ≤ λ
dim ( 上昇球面 ) + dim ( 下降球面 ) = ( n − λ − 1 ) + ( λ ′ − 1 ) ≤ n − 2 < n − 1 = dim V \dim(\text{上昇球面})+\dim(\text{下降球面})=(n-\lambda-1)+(\lambda'-1)\le n-2\lt n-1=\dim V dim ( 上昇球面 ) + dim ( 下降球面 ) = ( n − λ − 1 ) + ( λ ′ − 1 ) ≤ n − 2 < n − 1 = dim V です。一般の位置の定理（系 9.5［横断性］ ）を成分ごとに順に使うと、包含写像 i : S P → V i\colon S_P\to V i : S P → V S Q S_Q S Q i ′ i' i ′ i ′ i' i ′ i i i 定理 9.1［横断性］ の証明の族）の中で、径数を初めの値のいくらでも近くに選んで得られます。埋め込みであることは多径数の族について安定なので（系 5.4［横断性］ ）、径数が十分近ければ、初めの値と結ぶ線分の上の写像はすべて埋め込みで、i i i i ′ i' i ′ 定理 5.2［管状近傍・カラー・イソトピーの拡張］ ）により、V V V h t h_t h t h 0 = i d h_0=\mathrm{id} h 0 = id h 1 ( S P ) ∩ S Q = ∅ h_1(S_P)\cap S_Q=\varnothing h 1 ( S P ) ∩ S Q = ∅
ξ ^ = ξ / ( ξ f ) \hat\xi=\xi/(\xi f) ξ ^ = ξ / ( ξ f ) Φ : V × [ m ′ , m ] → f − 1 ( [ m ′ , m ] ) \Phi\colon V\times[m',m]\to f^{-1}([m',m]) Φ : V × [ m ′ , m ] → f − 1 ([ m ′ , m ]) f ( Φ ( z , t ) ) = t f(\Phi(z,t))=t f ( Φ ( z , t )) = t Φ ( z , m ) = z \Phi(z,m)=z Φ ( z , m ) = z 定理 2.7 と同じ構成）。Φ \Phi Φ ξ ^ \hat\xi ξ ^ ∂ / ∂ t \partial/\partial t ∂ / ∂ t m ′ m' m ′ 0 0 0 m m m 1 1 1 τ : [ m ′ , m ] → [ 0 , 1 ] \tau\colon[m',m]\to[0,1] τ : [ m ′ , m ] → [ 0 , 1 ] f − 1 ( [ m ′ , m ] ) f^{-1}([m',m]) f − 1 ([ m ′ , m ]) Θ \Theta Θ Θ ( Φ ( z , t ) ) = Φ ( h τ ( t ) ( z ) , t ) \Theta(\Phi(z,t))=\Phi(h_{\tau(t)}(z),t) Θ ( Φ ( z , t )) = Φ ( h τ ( t ) ( z ) , t ) Θ \Theta Θ f f f m ′ m' m ′ m m m Φ ( z , t ) ↦ Φ ( h 1 ( z ) , t ) \Phi(z,t)\mapsto\Phi(h_1(z),t) Φ ( z , t ) ↦ Φ ( h 1 ( z ) , t )
ξ ′ = { ( ξ f ) ⋅ Θ ∗ ξ ^ ( f − 1 ( [ m ′ , m ] ) 上 ) ξ ( それ以外 ) \xi'=\begin{cases}(\xi f)\cdot\Theta_*\hat\xi&(f^{-1}([m',m])\text{ 上})\\ \xi&(\text{それ以外})\end{cases} ξ ′ = { ( ξ f ) ⋅ Θ ∗ ξ ^ ξ ( f − 1 ([ m ′ , m ]) 上 ) ( それ以外 ) とおきます。m ′ m' m ′ m m m Θ \Theta Θ ∂ / ∂ t \partial/\partial t ∂ / ∂ t Θ ∗ ξ ^ = ξ ^ \Theta_*\hat\xi=\hat\xi Θ ∗ ξ ^ = ξ ^ ξ ′ = ξ \xi'=\xi ξ ′ = ξ ξ ′ \xi' ξ ′ ( Θ ∗ ξ ^ ) f = ξ ^ ( f ∘ Θ ) ∘ Θ − 1 = 1 (\Theta_*\hat\xi)f=\hat\xi(f\circ\Theta)\circ\Theta^{-1}=1 ( Θ ∗ ξ ^ ) f = ξ ^ ( f ∘ Θ ) ∘ Θ − 1 = 1 ξ ′ f = ξ f > 0 \xi'f=\xi f\gt0 ξ ′ f = ξ f > 0 ξ ′ = ξ \xi'=\xi ξ ′ = ξ ξ ′ \xi' ξ ′ f f f ξ ′ \xi' ξ ′ ξ \xi ξ Θ \Theta Θ P P P V V V h 1 ( S P ) h_1(S_P) h 1 ( S P ) m m m ξ ′ = ξ \xi'=\xi ξ ′ = ξ Q Q Q V V V S Q S_Q S Q h 1 ( S P ) ∩ S Q = ∅ h_1(S_P)\cap S_Q=\varnothing h 1 ( S P ) ∩ S Q = ∅ P P P Q Q Q
1 の証明。 c < c ′ c\lt c' c < c ′ c = c ′ c=c' c = c ′ Q Q Q P P P c < m < c ′ c\lt m\lt c' c < m < c ′ S P , S Q ⊂ V = f − 1 ( m ) S_P,S_Q\subset V=f^{-1}(m) S P , S Q ⊂ V = f − 1 ( m ) S P ∩ S Q = ∅ S_P\cap S_Q=\varnothing S P ∩ S Q = ∅
下の境界に落とす。 補題 2.6 の 3 の開集合 D 0 D_0 D 0 π : D 0 → M 0 \pi\colon D_0\to M_0 π : D 0 → M 0 A P ⊂ M 0 A_P\subset M_0 A P ⊂ M 0 P P P c c c A P A_P A P P P P M 0 M_0 M 0 A Q ⊂ M 0 A_Q\subset M_0 A Q ⊂ M 0 Q Q Q S Q S_Q S Q S P S_P S P P P P 補題 2.6 の 1 により M 0 M_0 M 0 S Q ⊂ D 0 S_Q\subset D_0 S Q ⊂ D 0 A Q = π ( S Q ) A_Q=\pi(S_Q) A Q = π ( S Q ) A Q A_Q A Q P P P Q Q Q A P ∩ A Q = ∅ A_P\cap A_Q=\varnothing A P ∩ A Q = ∅ 系 6.4［部分多様体と正則値定理］ により、滑らかな μ 0 : M 0 → [ 0 , 1 ] \mu_0\colon M_0\to[0,1] μ 0 : M 0 → [ 0 , 1 ] A P A_P A P N P N_P N P 0 0 0 A Q A_Q A Q N Q N_Q N Q 1 1 1
軌道に沿って定数の関数 μ \mu μ W ∖ D 0 W\setminus D_0 W ∖ D 0 P P P P P P E P E_P E P Q Q Q E Q E_Q E Q μ : W → [ 0 , 1 ] \mu\colon W\to[0,1] μ : W → [ 0 , 1 ] D 0 D_0 D 0 μ = μ 0 ∘ π \mu=\mu_0\circ\pi μ = μ 0 ∘ π E P E_P E P 0 0 0 E Q E_Q E Q 1 1 1 D 0 D_0 D 0 E P E_P E P D 0 D_0 D 0 π − 1 ( N P ) \pi^{-1}(N_P) π − 1 ( N P ) E Q E_Q E Q N Q N_Q N Q μ \mu μ E P E_P E P 0 0 0 E Q E_Q E Q 1 1 1 W W W
まず p ∈ P p\in P p ∈ P D 0 D_0 D 0 w k → p w_k\to p w k → p π ( w k ) ∉ N P \pi(w_k)\notin N_P π ( w k ) ∈ / N P w k = ( x k , y k ) → ( 0 , 0 ) w_k=(x_k,y_k)\to(0,0) w k = ( x k , y k ) → ( 0 , 0 ) x k = 0 x_k=0 x k = 0 p p p x k ≠ 0 x_k\ne0 x k = 0 δ > 0 \delta\gt0 δ > 0 ( e s x k , e − s y k ) (e^{s}x_k,e^{-s}y_k) ( e s x k , e − s y k ) s ≥ 0 s\ge0 s ≥ 0 f = c − δ 2 f=c-\delta^2 f = c − δ 2 ( x k ′ , y k ′ ) (x_k',y_k') ( x k ′ , y k ′ ) ∣ x k ′ ∣ 2 − ∣ y k ′ ∣ 2 = δ 2 |x_k'|^2-|y_k'|^2=\delta^2 ∣ x k ′ ∣ 2 − ∣ y k ′ ∣ 2 = δ 2 ∣ x k ′ ∣ ∣ y k ′ ∣ = ∣ x k ∣ ∣ y k ∣ → 0 |x_k'||y_k'|=|x_k||y_k|\to0 ∣ x k ′ ∣∣ y k ′ ∣ = ∣ x k ∣∣ y k ∣ → 0 ∣ x k ′ ∣ ≥ δ |x_k'|\ge\delta ∣ x k ′ ∣ ≥ δ ∣ y k ′ ∣ → 0 |y_k'|\to0 ∣ y k ′ ∣ → 0 ∣ x k ′ ∣ → δ |x_k'|\to\delta ∣ x k ′ ∣ → δ ( x k ′ , y k ′ ) (x_k',y_k') ( x k ′ , y k ′ ) p p p { ∣ x ∣ = δ , y = 0 } \{|x|=\delta,y=0\} { ∣ x ∣ = δ , y = 0 } f = c − δ 2 f=c-\delta^2 f = c − δ 2 M 0 M_0 M 0 A P A_P A P π ( w k ) \pi(w_k) π ( w k ) A P A_P A P k k k N P N_P N P p p p O p O_p O p E P E_P E P w w w p ∈ P p\in P p ∈ P T > 0 T\gt0 T > 0 θ − T ( w ) ∈ O p \theta_{-T}(w)\in O_p θ − T ( w ) ∈ O p w w w θ − t ( w ) \theta_{-t}(w) θ − t ( w ) 0 ≤ t ≤ T 0\le t\le T 0 ≤ t ≤ T M 0 M_0 M 0 w w w O ⊂ θ T ( O p ) ∩ W O\subset\theta_T(O_p)\cap W O ⊂ θ T ( O p ) ∩ W w ′ ∈ O w'\in O w ′ ∈ O θ − t ( w ′ ) \theta_{-t}(w') θ − t ( w ′ ) 0 ≤ t ≤ T 0\le t\le T 0 ≤ t ≤ T M 0 M_0 M 0 w ′ ∈ O ∩ D 0 w'\in O\cap D_0 w ′ ∈ O ∩ D 0 θ − T ( w ′ ) ∈ O p ∩ D 0 \theta_{-T}(w')\in O_p\cap D_0 θ − T ( w ′ ) ∈ O p ∩ D 0 w ′ w' w ′ π ( w ′ ) = π ( θ − T ( w ′ ) ) ∈ N P \pi(w')=\pi(\theta_{-T}(w'))\in N_P π ( w ′ ) = π ( θ − T ( w ′ )) ∈ N P q ∈ Q q\in Q q ∈ Q q q q D 0 D_0 D 0 q q q V V V S Q S_Q S Q S Q S_Q S Q D 0 D_0 D 0 π − 1 ( N Q ) \pi^{-1}(N_Q) π − 1 ( N Q )
新しい関数。 [ a , b ] [a,b] [ a , b ] G 0 , G 1 G_0,G_1 G 0 , G 1 c c c G 0 ( t ) = t + α − c G_0(t)=t+\alpha-c G 0 ( t ) = t + α − c c ′ c' c ′ G 1 ( t ) = t + α ′ − c ′ G_1(t)=t+\alpha'-c' G 1 ( t ) = t + α ′ − c ′ α , α ′ ∈ ( a , b ) \alpha,\alpha'\in(a,b) α , α ′ ∈ ( a , b ) G ( t , s ) = ( 1 − s ) G 0 ( t ) + s G 1 ( t ) G(t,s)=(1-s)G_0(t)+sG_1(t) G ( t , s ) = ( 1 − s ) G 0 ( t ) + s G 1 ( t )
g = G ( f , μ ) g=G(f,\mu) g = G ( f , μ ) とおきます。∂ G / ∂ t > 0 \partial G/\partial t\gt0 ∂ G / ∂ t > 0 μ \mu μ ξ μ = 0 \xi\mu=0 ξ μ = 0
ξ g = ∂ G ∂ t ( f , μ ) ⋅ ξ f + ∂ G ∂ s ( f , μ ) ⋅ ξ μ = ∂ G ∂ t ( f , μ ) ⋅ ξ f > 0 \xi g=\frac{\partial G}{\partial t}(f,\mu)\cdot\xi f+\frac{\partial G}{\partial s}(f,\mu)\cdot\xi\mu=\frac{\partial G}{\partial t}(f,\mu)\cdot\xi f\gt0 ξ g = ∂ t ∂ G ( f , μ ) ⋅ ξ f + ∂ s ∂ G ( f , μ ) ⋅ ξ μ = ∂ t ∂ G ( f , μ ) ⋅ ξ f > 0 です。よって g g g P P P μ = 0 \mu=0 μ = 0 g = f + α − c g=f+\alpha-c g = f + α − c Q Q Q μ = 1 \mu=1 μ = 1 g = f + α ′ − c ′ g=f+\alpha'-c' g = f + α ′ − c ′ g g g g ( P ) = { α } g(P)=\{\alpha\} g ( P ) = { α } g ( Q ) = { α ′ } g(Q)=\{\alpha'\} g ( Q ) = { α ′ } ∂ W \partial W ∂ W f f f a a a b b b G ( t , s ) = t G(t,s)=t G ( t , s ) = t g = f g=f g = f
3 の証明。 命題 2.3 により臨界値 c 1 < ⋯ < c k c_1\lt\dots\lt c_k c 1 < ⋯ < c k f f f p 1 , … , p k p_1,\dots,p_k p 1 , … , p k i i i p i p_i p i p i + 1 p_{i+1} p i + 1 c i − 1 < a ′ < c i c_{i-1}\lt a'\lt c_i c i − 1 < a ′ < c i c i + 1 < b ′ < c i + 2 c_{i+1}\lt b'\lt c_{i+2} c i + 1 < b ′ < c i + 2 f − 1 ( [ a ′ , b ′ ] ) f^{-1}([a',b']) f − 1 ([ a ′ , b ′ ]) p i , p i + 1 p_i,p_{i+1} p i , p i + 1 P = { p i } P=\{p_i\} P = { p i } Q = { p i + 1 } Q=\{p_{i+1}\} Q = { p i + 1 } f f f g ( p i ) > g ( p i + 1 ) g(p_i)\gt g(p_{i+1}) g ( p i ) > g ( p i + 1 ) g g g f f f
(a) の関数で、同じ指数の臨界点の臨界値を 1 つにまとめます。指数 λ \lambda λ P P P q q q λ \lambda λ P ∪ { q } P\cup\{q\} P ∪ { q } α = α ′ \alpha=\alpha' α = α ′ d λ d_\lambda d λ λ < λ ′ \lambda\lt\lambda' λ < λ ′ d λ < d λ ′ d_\lambda\lt d_{\lambda'} d λ < d λ ′ d λ d_\lambda d λ t ↦ t − d λ + λ t\mapsto t-d_\lambda+\lambda t ↦ t − d λ + λ [ a , b ] → [ − 1 2 , n + 1 2 ] [a,b]\to[-\tfrac12,n+\tfrac12] [ a , b ] → [ − 2 1 , n + 2 1 ]
∎ 準備として、境界の一部に沿って「厚みのある板」を貼っても多様体は変わらないことを示します。
補題 5.1 （境界に沿って板を貼っても変わらない ） ✓
X X X X ^ \hat X X ^ 補題 2.2 の延長とし、∂ X × ( − 1 , 1 ) ⊂ X ^ \partial X\times(-1,1)\subset\hat X ∂ X × ( − 1 , 1 ) ⊂ X ^ X X X t ≥ 0 t\ge0 t ≥ 0 β : ∂ X → [ 0 , 1 ) \beta\colon\partial X\to[0,1) β : ∂ X → [ 0 , 1 )
X β = X ∪ { ( z , t ) : − β ( z ) ≤ t ≤ 0 } ⊂ X ^ X_\beta=X\cup\{(z,t):\ -\beta(z)\le t\le0\}\subset\hat X X β = X ∪ {( z , t ) : − β ( z ) ≤ t ≤ 0 } ⊂ X ^ とおくと、X β X_\beta X β X X X β = 0 \beta=0 β = 0 t ≥ 2 3 t\ge\tfrac23 t ≥ 3 2
証明（補題 5.1） [ 0 , 1 ) [0,1) [ 0 , 1 ) σ \sigma σ 0 0 0 1 1 1 t ≥ 2 3 t\ge\tfrac23 t ≥ 3 2 0 0 0 ( z , t ) ↦ ( z , t − β ( z ) σ ( t ) ) (z,t)\mapsto(z,\,t-\beta(z)\sigma(t)) ( z , t ) ↦ ( z , t − β ( z ) σ ( t )) t t t 1 − β ( z ) σ ′ ( t ) ≥ 1 1-\beta(z)\sigma'(t)\ge1 1 − β ( z ) σ ′ ( t ) ≥ 1 z z z [ 0 , 1 ) [0,1) [ 0 , 1 ) [ − β ( z ) , 1 ) [-\beta(z),1) [ − β ( z ) , 1 ) t ≥ 2 3 t\ge\tfrac23 t ≥ 3 2 X X X X β X_\beta X β
∎ E ⊂ ∂ X E\subset\partial X E ⊂ ∂ X 0 0 0 β \beta β E E E X β X_\beta X β X X X E × [ 0 , 1 ] E\times[0,1] E × [ 0 , 1 ] E × 0 = E E\times0=E E × 0 = E X β X_\beta X β
定理 5.2 （ハンドルの消去 ） ※
f : W → [ a , b ] f\colon W\to[a,b] f : W → [ a , b ] W : M 0 ⇝ M 1 W\colon M_0\rightsquigarrow M_1 W : M 0 ⇝ M 1 ξ \xi ξ f f f λ \lambda λ p p p λ + 1 \lambda+1 λ + 1 q q q f ( p ) < m < f ( q ) f(p)\lt m\lt f(q) f ( p ) < m < f ( q ) V = f − 1 ( m ) V=f^{-1}(m) V = f − 1 ( m ) q q q A A A λ \lambda λ p p p B B B n − λ − 1 n-\lambda-1 n − λ − 1 W W W M 0 × [ a , b ] M_0\times[a,b] M 0 × [ a , b ] W W W ∂ W \partial W ∂ W f f f
証明の筋（ハンドルの言葉で）。 なぜ 2 つのハンドルが消えるのかを、3 段に分けて説明します。これは証明ではなく、とくに第 2 段は上の注意のとおり、Rikai で証明していない事実に依ります。
定理 3.6 により、f − 1 ( [ a , m ] ) ≅ ω ( M 0 , φ ) f^{-1}([a,m])\cong\omega(M_0,\varphi) f − 1 ([ a , m ]) ≅ ω ( M 0 , φ ) V ≅ χ ( M 0 , φ ) V\cong\chi(M_0,\varphi) V ≅ χ ( M 0 , φ ) f − 1 ( [ m , b ] ) ≅ ω ( V , ψ ) f^{-1}([m,b])\cong\omega(V,\psi) f − 1 ([ m , b ]) ≅ ω ( V , ψ ) A = ψ ( S λ × 0 ) A=\psi(S^\lambda\times0) A = ψ ( S λ × 0 ) B B B χ ( M 0 , φ ) \chi(M_0,\varphi) χ ( M 0 , φ ) D ˚ λ × S n − λ − 1 \mathring D^\lambda\times S^{n-\lambda-1} D ˚ λ × S n − λ − 1 0 × S n − λ − 1 0\times S^{n-\lambda-1} 0 × S n − λ − 1 T = D ˚ λ × S n − λ − 1 ⊂ V T=\mathring D^\lambda\times S^{n-\lambda-1}\subset V T = D ˚ λ × S n − λ − 1 ⊂ V B B B T r = D r λ × S n − λ − 1 T_r=D^\lambda_r\times S^{n-\lambda-1} T r = D r λ × S n − λ − 1 D r D_r D r r < 1 r\lt1 r < 1 b 0 = ( 0 , e ) b_0=(0,e) b 0 = ( 0 , e )
第 1 段：交点の近くの標準形。 V V V A A A
A ∩ T 1 / 2 = D 1 / 2 λ × { e } A\cap T_{1/2}=D^\lambda_{1/2}\times\{e\} A ∩ T 1/2 = D 1/2 λ × { e } とできることを示します。
(a) 横断性は T b 0 A ⊕ T b 0 B = T b 0 V T_{b_0}A\oplus T_{b_0}B=T_{b_0}V T b 0 A ⊕ T b 0 B = T b 0 V 定理 3.3［横断性］ の定義）、T b 0 B T_{b_0}B T b 0 B p r 1 : T → D ˚ λ \mathrm{pr}_1\colon T\to\mathring D^\lambda pr 1 : T → D ˚ λ d ( p r 1 ∣ A ) b 0 d(\mathrm{pr}_1|_A)_{b_0} d ( pr 1 ∣ A ) b 0 δ > 0 \delta\gt0 δ > 0 b 0 b_0 b 0 A A A N N N N N N g : D ˚ 2 δ → S n − λ − 1 g\colon\mathring D_{2\delta}\to S^{n-\lambda-1} g : D ˚ 2 δ → S n − λ − 1 g ( 0 ) = e g(0)=e g ( 0 ) = e
(b) A ∖ N A\setminus N A ∖ N B B B δ \delta δ ( A ∖ N ) ∩ T δ = ∅ (A\setminus N)\cap T_\delta=\varnothing ( A ∖ N ) ∩ T δ = ∅ ∣ x ∣ → 0 |x|\to0 ∣ x ∣ → 0 A ∖ N A\setminus N A ∖ N ( A ∖ N ) ∩ B (A\setminus N)\cap B ( A ∖ N ) ∩ B A ∩ T δ A\cap T_\delta A ∩ T δ g g g D δ D_\delta D δ
(c) e e e S n − λ − 1 S^{n-\lambda-1} S n − λ − 1 e e e R n − λ − 1 \mathbb{R}^{n-\lambda-1} R n − λ − 1 ρ \rho ρ δ \delta δ D δ D_\delta D δ ∣ g ∣ < ρ / 8 |g|\lt\rho/8 ∣ g ∣ < ρ /8 ζ : R n − λ − 1 → [ 0 , 1 ] \zeta\colon\mathbb{R}^{n-\lambda-1}\to[0,1] ζ : R n − λ − 1 → [ 0 , 1 ] ∣ y ∣ ≤ ρ / 2 |y|\le\rho/2 ∣ y ∣ ≤ ρ /2 1 1 1 ∣ y ∣ < ρ |y|\lt\rho ∣ y ∣ < ρ ∣ d ζ ∣ ≤ 4 / ρ |d\zeta|\le4/\rho ∣ d ζ ∣ ≤ 4/ ρ β : D ˚ λ → [ 0 , 1 ] \beta\colon\mathring D^\lambda\to[0,1] β : D ˚ λ → [ 0 , 1 ] ∣ x ∣ ≤ δ / 2 |x|\le\delta/2 ∣ x ∣ ≤ δ /2 1 1 1 ∣ x ∣ < δ |x|\lt\delta ∣ x ∣ < δ s ∈ [ 0 , 1 ] s\in[0,1] s ∈ [ 0 , 1 ]
G s ( x , y ) = ( x , y − s β ( x ) ζ ( y ) g ( x ) ) G_s(x,y)=\bigl(x,\ y-s\,\beta(x)\,\zeta(y)\,g(x)\bigr) G s ( x , y ) = ( x , y − s β ( x ) ζ ( y ) g ( x ) ) とおきます（チャートの外では恒等写像）。y y y y ↦ y − s β ζ ( y ) g y\mapsto y-s\beta\zeta(y)g y ↦ y − s β ζ ( y ) g ( 4 / ρ ) ( ρ / 8 ) = 1 2 (4/\rho)(\rho/8)=\tfrac12 ( 4/ ρ ) ( ρ /8 ) = 2 1 ∣ ⋅ ∣ |\,\cdot\,| ∣ ⋅ ∣ 1 2 \tfrac12 2 1 G s G_s G s V V V x x x ( x , g ( x ) ) (x,g(x)) ( x , g ( x )) ζ = 1 \zeta=1 ζ = 1 G 1 ( x , g ( x ) ) = ( x , ( 1 − β ( x ) ) g ( x ) ) G_1(x,g(x))=(x,(1-\beta(x))g(x)) G 1 ( x , g ( x )) = ( x , ( 1 − β ( x )) g ( x )) ∣ x ∣ ≤ δ / 2 |x|\le\delta/2 ∣ x ∣ ≤ δ /2 ( x , 0 ) = ( x , e ) (x,0)=(x,e) ( x , 0 ) = ( x , e ) G 1 G_1 G 1 T δ / 2 T_{\delta/2} T δ /2 G 1 ( A ) ∩ T δ / 2 = D δ / 2 × { e } G_1(A)\cap T_{\delta/2}=D_{\delta/2}\times\{e\} G 1 ( A ) ∩ T δ /2 = D δ /2 × { e }
(d) [ 0 , 1 ) [0,1) [ 0 , 1 ) ν \nu ν 0 0 0 ν ( δ / 2 ) = 1 2 \nu(\delta/2)=\tfrac12 ν ( δ /2 ) = 2 1 1 1 1 D ˚ λ \mathring D^\lambda D ˚ λ x ↦ ν ( ∣ x ∣ ) x / ∣ x ∣ x\mapsto\nu(|x|)x/|x| x ↦ ν ( ∣ x ∣ ) x /∣ x ∣ ( 1 − s ) i d + s ν (1-s)\,\mathrm{id}+s\nu ( 1 − s ) id + s ν S n − λ − 1 S^{n-\lambda-1} S n − λ − 1 T T T V V V T δ / 2 T_{\delta/2} T δ /2 T 1 / 2 T_{1/2} T 1/2
以上のアンビエントイソトピーの終わりの微分同相を Ψ 1 \Psi_1 Ψ 1 命題 3.8 により、ψ \psi ψ Ψ 1 ∘ ψ \Psi_1\circ\psi Ψ 1 ∘ ψ W W W ψ \psi ψ A A A D 1 / 2 × { e } D_{1/2}\times\{e\} D 1/2 × { e } D 1 / 2 × D e D_{1/2}\times D_e D 1/2 × D e D e D_e D e e e e S n − λ − 1 S^{n-\lambda-1} S n − λ − 1 系 5.5［管状近傍・カラー・イソトピーの拡張］ ）と 命題 3.8 により、ψ ( S λ × D n − λ − 1 ) ∩ T 1 / 2 = D 1 / 2 × D e \psi(S^\lambda\times D^{n-\lambda-1})\cap T_{1/2}=D_{1/2}\times D_e ψ ( S λ × D n − λ − 1 ) ∩ T 1/2 = D 1/2 × D e ψ \psi ψ λ \lambda λ λ \lambda λ G L GL G L ψ − 1 ( D 1 / 2 × { e } ) \psi^{-1}(D_{1/2}\times\{e\}) ψ − 1 ( D 1/2 × { e }) S λ S^\lambda S λ λ \lambda λ 定理 6.2［管状近傍・カラー・イソトピーの拡張］ ）により S λ S^\lambda S λ D + λ D^\lambda_+ D + λ D λ + 1 D^{\lambda+1} D λ + 1 ψ − 1 ( D 1 / 2 × { e } ) = D + λ \psi^{-1}(D_{1/2}\times\{e\})=D^\lambda_+ ψ − 1 ( D 1/2 × { e }) = D + λ
第 2 段：2 つのハンドルの和は板。 補題 3.3 のあとで述べたとおり、f − 1 ( [ a , m ] ) f^{-1}([a,m]) f − 1 ([ a , m ]) M 0 × [ − 1 , 1 ] M_0\times[-1,1] M 0 × [ − 1 , 1 ] H ≈ D λ × D n − λ H\approx D^\lambda\times D^{n-\lambda} H ≈ D λ × D n − λ H ∩ V = T 1 / 2 = D λ × S n − λ − 1 H\cap V=T_{1/2}=D^\lambda\times S^{n-\lambda-1} H ∩ V = T 1/2 = D λ × S n − λ − 1 D 1 / 2 D_{1/2} D 1/2 D λ D^\lambda D λ W W W h λ + 1 = D λ + 1 × D n − λ − 1 h^{\lambda+1}=D^{\lambda+1}\times D^{n-\lambda-1} h λ + 1 = D λ + 1 × D n − λ − 1 ψ \psi ψ C = H ∪ h λ + 1 C=H\cup h^{\lambda+1} C = H ∪ h λ + 1 E = C ∩ ( M 0 × { 1 } ) E=C\cap(M_0\times\{1\}) E = C ∩ ( M 0 × { 1 }) ( C , E ) (C,E) ( C , E ) ( E × [ 0 , 1 ] , E × 0 ) (E\times[0,1],E\times0) ( E × [ 0 , 1 ] , E × 0 )
D λ + 1 D^{\lambda+1} D λ + 1 D λ × [ 0 , 1 ] D^\lambda\times[0,1] D λ × [ 0 , 1 ] D + λ D^\lambda_+ D + λ D λ × 0 D^\lambda\times0 D λ × 0 D − λ D^\lambda_- D − λ ∂ D λ × [ 0 , 1 ] ∪ D λ × 1 \partial D^\lambda\times[0,1]\cup D^\lambda\times1 ∂ D λ × [ 0 , 1 ] ∪ D λ × 1 h λ + 1 = D λ × ( [ 0 , 1 ] × D e ) h^{\lambda+1}=D^\lambda\times([0,1]\times D_e) h λ + 1 = D λ × ([ 0 , 1 ] × D e ) H = D λ × D n − λ H=D^\lambda\times D^{n-\lambda} H = D λ × D n − λ D λ × ( 0 × D e ) D^\lambda\times(0\times D_e) D λ × ( 0 × D e ) D λ D^\lambda D λ
C = D λ × D ^ , D ^ = D n − λ ∪ D e ( [ 0 , 1 ] × D e ) C=D^\lambda\times\hat D,\qquad\hat D=D^{n-\lambda}\cup_{D_e}\bigl([0,1]\times D_e\bigr) C = D λ × D ^ , D ^ = D n − λ ∪ D e ( [ 0 , 1 ] × D e ) です。D ^ \hat D D ^ D n − λ D^{n-\lambda} D n − λ D e D_e D e F = 1 × D e F=1\times D_e F = 1 × D e ( D ^ , F ) (\hat D,F) ( D ^ , F ) ( F × [ 0 , 1 ] , F × 1 ) (F\times[0,1],F\times1) ( F × [ 0 , 1 ] , F × 1 ) h λ + 1 h^{\lambda+1} h λ + 1 M 0 × { 1 } M_0\times\{1\} M 0 × { 1 } ψ ( D − λ × D n − λ − 1 ) \psi(D^\lambda_-\times D^{n-\lambda-1}) ψ ( D − λ × D n − λ − 1 ) ∂ D λ × ( [ 0 , 1 ] × D e ) ∪ D λ × F \partial D^\lambda\times([0,1]\times D_e)\cup D^\lambda\times F ∂ D λ × ([ 0 , 1 ] × D e ) ∪ D λ × F H H H ∂ D λ × D n − λ \partial D^\lambda\times D^{n-\lambda} ∂ D λ × D n − λ
E = ∂ D λ × D ^ ∪ D λ × F = F × ( ∂ D λ × [ 0 , 1 ] ∪ D λ × 1 ) E=\partial D^\lambda\times\hat D\ \cup\ D^\lambda\times F=F\times\bigl(\partial D^\lambda\times[0,1]\cup D^\lambda\times1\bigr) E = ∂ D λ × D ^ ∪ D λ × F = F × ( ∂ D λ × [ 0 , 1 ] ∪ D λ × 1 ) です（2 つ目の等号は D ^ = F × [ 0 , 1 ] \hat D=F\times[0,1] D ^ = F × [ 0 , 1 ] ( D λ × [ 0 , 1 ] , ∂ D λ × [ 0 , 1 ] ∪ D λ × 1 ) (D^\lambda\times[0,1],\ \partial D^\lambda\times[0,1]\cup D^\lambda\times1) ( D λ × [ 0 , 1 ] , ∂ D λ × [ 0 , 1 ] ∪ D λ × 1 ) ( D λ × [ 0 , 1 ] , D λ × 1 ) (D^\lambda\times[0,1],\ D^\lambda\times1) ( D λ × [ 0 , 1 ] , D λ × 1 ) ( C , E ) (C,E) ( C , E ) ( E × [ 0 , 1 ] , E × 0 ) (E\times[0,1],E\times0) ( E × [ 0 , 1 ] , E × 0 ) W W W M 0 × [ − 1 , 1 ] M_0\times[-1,1] M 0 × [ − 1 , 1 ] E × [ 0 , 1 ] E\times[0,1] E × [ 0 , 1 ] 補題 5.1 により M 0 × [ − 1 , 1 ] M_0\times[-1,1] M 0 × [ − 1 , 1 ]
第 3 段：臨界点の無い関数。 微分同相 Φ : M 0 × [ a , b ] → W \Phi\colon M_0\times[a,b]\to W Φ : M 0 × [ a , b ] → W g 0 = p r 2 ∘ Φ − 1 g_0=\mathrm{pr}_2\circ\Phi^{-1} g 0 = pr 2 ∘ Φ − 1 g 0 − 1 ( a ) = M 0 g_0^{-1}(a)=M_0 g 0 − 1 ( a ) = M 0 g 0 − 1 ( b ) = M 1 g_0^{-1}(b)=M_1 g 0 − 1 ( b ) = M 1 f f f g 0 g_0 g 0 ∂ W \partial W ∂ W f f f g 0 g_0 g 0 系 4.4［管状近傍・カラー・イソトピーの拡張］ ）により、W W W Θ \Theta Θ g 0 g_0 g 0 f f f ∂ W \partial W ∂ W g 0 ∘ Θ − 1 g_0\circ\Theta^{-1} g 0 ∘ Θ − 1 ∂ W \partial W ∂ W f f f
系 5.5 （ハンドルの生成 ） ✓
M 0 M_0 M 0 ( n − 1 ) (n-1) ( n − 1 ) 0 ≤ λ ≤ n − 1 0\le\lambda\le n-1 0 ≤ λ ≤ n − 1 M 0 × [ 0 , 1 ] M_0\times[0,1] M 0 × [ 0 , 1 ] λ \lambda λ λ + 1 \lambda+1 λ + 1 p r 2 \mathrm{pr}_2 pr 2 M 0 × [ 0 , 1 ] → [ 0 , 1 ] M_0\times[0,1]\to[0,1] M 0 × [ 0 , 1 ] → [ 0 , 1 ] λ \lambda λ λ + 1 \lambda+1 λ + 1
証明（系 5.5） R n = R × R λ × R n − λ − 1 \mathbb{R}^n=\mathbb{R}\times\mathbb{R}^\lambda\times\mathbb{R}^{n-\lambda-1} R n = R × R λ × R n − λ − 1 ( t , x , y ) (t,x,y) ( t , x , y ) r 2 = t 2 + ∣ x ∣ 2 + ∣ y ∣ 2 r^2=t^2+|x|^2+|y|^2 r 2 = t 2 + ∣ x ∣ 2 + ∣ y ∣ 2 σ : [ 0 , ∞ ) → [ − 1 , 1 ] \sigma\colon[0,\infty)\to[-1,1] σ : [ 0 , ∞ ) → [ − 1 , 1 ] [ 0 , 4 ] [0,4] [ 0 , 4 ] 1 1 1 [ 100 , ∞ ) [100,\infty) [ 100 , ∞ ) − 1 -1 − 1 ∣ σ ′ ∣ ≤ 1 32 |\sigma'|\le\tfrac1{32} ∣ σ ′ ∣ ≤ 32 1 2 / 96 2/96 2/96
G ( t , x , y ) = t 3 − 3 t σ ( r 2 ) − ∣ x ∣ 2 + ∣ y ∣ 2 G(t,x,y)=t^3-3t\,\sigma(r^2)-|x|^2+|y|^2 G ( t , x , y ) = t 3 − 3 t σ ( r 2 ) − ∣ x ∣ 2 + ∣ y ∣ 2 とおきます。偏微分は
∂ G ∂ t = 3 t 2 − 3 σ − 6 t 2 σ ′ , ∇ x G = − 2 x ( 1 + 3 t σ ′ ) , ∇ y G = 2 y ( 1 − 3 t σ ′ ) \frac{\partial G}{\partial t}=3t^2-3\sigma-6t^2\sigma',\qquad\nabla_xG=-2x(1+3t\sigma'),\qquad\nabla_yG=2y(1-3t\sigma') ∂ t ∂ G = 3 t 2 − 3 σ − 6 t 2 σ ′ , ∇ x G = − 2 x ( 1 + 3 t σ ′ ) , ∇ y G = 2 y ( 1 − 3 t σ ′ ) です。σ ′ ≠ 0 \sigma'\ne0 σ ′ = 0 r ≤ 10 r\le10 r ≤ 10 ∣ 3 t σ ′ ∣ ≤ 30 / 32 < 1 |3t\sigma'|\le30/32\lt1 ∣3 t σ ′ ∣ ≤ 30/32 < 1 x = 0 x=0 x = 0 y = 0 y=0 y = 0 r 2 = t 2 r^2=t^2 r 2 = t 2 t 2 ≤ 4 t^2\le4 t 2 ≤ 4 σ = 1 \sigma=1 σ = 1 σ ′ = 0 \sigma'=0 σ ′ = 0 ∂ G / ∂ t = 3 t 2 − 3 \partial G/\partial t=3t^2-3 ∂ G / ∂ t = 3 t 2 − 3 t = ± 1 t=\pm1 t = ± 1 0 0 0 t 2 ≥ 4 t^2\ge4 t 2 ≥ 4 σ ≤ 1 \sigma\le1 σ ≤ 1 σ ′ ≤ 0 \sigma'\le0 σ ′ ≤ 0 ∂ G / ∂ t ≥ 3 t 2 − 3 ≥ 9 > 0 \partial G/\partial t\ge3t^2-3\ge9\gt0 ∂ G / ∂ t ≥ 3 t 2 − 3 ≥ 9 > 0 ( ± 1 , 0 , 0 ) (\pm1,0,0) ( ± 1 , 0 , 0 ) diag ( ± 6 , − 2 , … , − 2 , 2 , … , 2 ) \operatorname{diag}(\pm6,-2,\dots,-2,2,\dots,2) diag ( ± 6 , − 2 , … , − 2 , 2 , … , 2 ) − 2 -2 − 2 λ \lambda λ t = 1 t=1 t = 1 λ \lambda λ t = − 1 t=-1 t = − 1 λ + 1 \lambda+1 λ + 1
r ≥ 10 r\ge10 r ≥ 10 G = G ∞ : = t 3 + 3 t − ∣ x ∣ 2 + ∣ y ∣ 2 G=G_\infty:=t^3+3t-|x|^2+|y|^2 G = G ∞ := t 3 + 3 t − ∣ x ∣ 2 + ∣ y ∣ 2 Ξ ( t , x , y ) = ( G ∞ ( t , x , y ) , x , y ) \Xi(t,x,y)=(G_\infty(t,x,y),x,y) Ξ ( t , x , y ) = ( G ∞ ( t , x , y ) , x , y ) t ↦ t 3 + 3 t t\mapsto t^3+3t t ↦ t 3 + 3 t R \mathbb{R} R R n \mathbb{R}^n R n G ∞ ∘ Ξ − 1 G_\infty\circ\Xi^{-1} G ∞ ∘ Ξ − 1 G ∘ Ξ − 1 G\circ\Xi^{-1} G ∘ Ξ − 1 K = Ξ ( { r ≤ 10 } ) K=\Xi(\{r\le10\}) K = Ξ ({ r ≤ 10 }) λ \lambda λ λ + 1 \lambda+1 λ + 1 ε > 0 \varepsilon\gt0 ε > 0 G ε ( z ) = ε ( G ∘ Ξ − 1 ) ( z / ε ) G_\varepsilon(z)=\varepsilon\,(G\circ\Xi^{-1})(z/\varepsilon) G ε ( z ) = ε ( G ∘ Ξ − 1 ) ( z / ε ) ε K \varepsilon K ε K M 0 × ( 0 , 1 ) M_0\times(0,1) M 0 × ( 0 , 1 ) p r 2 \mathrm{pr}_2 pr 2 ε K \varepsilon K ε K ε \varepsilon ε p r 2 \mathrm{pr}_2 pr 2 G ε + 定数 G_\varepsilon+\text{定数} G ε + 定数 ε K \varepsilon K ε K ∣ G ε ∣ ≤ ε max K ∣ G ∘ Ξ − 1 ∣ |G_\varepsilon|\le\varepsilon\max_K|G\circ\Xi^{-1}| ∣ G ε ∣ ≤ ε max K ∣ G ∘ Ξ − 1 ∣ ε \varepsilon ε ε K \varepsilon K ε K ( 0 , 1 ) (0,1) ( 0 , 1 ) M 0 × { 0 } M_0\times\{0\} M 0 × { 0 } M 0 × { 1 } M_0\times\{1\} M 0 × { 1 } 0 0 0 1 1 1 G ( 1 , 0 , 0 ) = 1 − 3 = − 2 G(1,0,0)=1-3=-2 G ( 1 , 0 , 0 ) = 1 − 3 = − 2 G ( − 1 , 0 , 0 ) = − 1 + 3 = 2 G(-1,0,0)=-1+3=2 G ( − 1 , 0 , 0 ) = − 1 + 3 = 2 Ξ − 1 \Xi^{-1} Ξ − 1 ε > 0 \varepsilon\gt0 ε > 0 λ \lambda λ
∎ これを使って、指数 0 0 0 1 1 1 定理 5.2 の λ = 0 \lambda=0 λ = 0
補題 5.6 （指数 0 と 1 の対の消去 ） ✓
n ≥ 1 n\ge1 n ≥ 1 f : W → [ a , b ] f\colon W\to[a,b] f : W → [ a , b ] n n n W : M 0 ⇝ M 1 W\colon M_0\rightsquigarrow M_1 W : M 0 ⇝ M 1 ξ \xi ξ f f f 0 0 0 p p p 1 1 1 q q q q q q p p p
W W W g : W → [ a , b ] g\colon W\to[a,b] g : W → [ a , b ] ∂ W \partial W ∂ W f f f M 0 M_0 M 0 ( z , a ) ↦ z (z,a)\mapsto z ( z , a ) ↦ z M 0 × [ a , b ] → W M_0\times[a,b]\to W M 0 × [ a , b ] → W f f f n n n n − 1 n-1 n − 1 n − 1 n-1 n − 1 n n n
証明（補題 5.6） 適合チャートの中で、正の向きに q q q x x x 補題 2.6 の 2）。f f f q q q 補題 2.6 の 1 により p p p M 0 M_0 M 0 p p p M 0 M_0 M 0 f ( p ) < f ( q ) f(p)\lt f(q) f ( p ) < f ( q ) M 0 ≠ ∅ M_0\ne\varnothing M 0 = ∅
P = M 0 × [ − 1 , 1 ] ⊔ D n P=M_0\times[-1,1]\sqcup D^n P = M 0 × [ − 1 , 1 ] ⊔ D n ω ( M 0 , ∅ ) \omega(M_0,\varnothing) ω ( M 0 , ∅ ) 0 0 0 L 0 = D n L_0=D^n L 0 = D n M 0 = M 0 × { − 1 } M_0=M_0\times\{-1\} M 0 = M 0 × { − 1 } N 0 : = M 0 ⊔ S n − 1 N_0:=M_0\sqcup S^{n-1} N 0 := M 0 ⊔ S n − 1 M 0 × { 1 } M_0\times\{1\} M 0 × { 1 } M 0 M_0 M 0 φ : S 0 × D n − 1 → N 0 \varphi\colon S^0\times D^{n-1}\to N_0 φ : S 0 × D n − 1 → N 0 φ ( { − 1 } × D n − 1 ) ⊂ M 0 \varphi(\{-1\}\times D^{n-1})\subset M_0 φ ({ − 1 } × D n − 1 ) ⊂ M 0 φ ( { 1 } × D n − 1 ) ⊂ S n − 1 \varphi(\{1\}\times D^{n-1})\subset S^{n-1} φ ({ 1 } × D n − 1 ) ⊂ S n − 1 橋 と呼び、Y ( φ ) = P ∪ φ h 1 Y(\varphi)=P\cup_\varphi h^1 Y ( φ ) = P ∪ φ h 1
第 1 段：標準的な表示。 次を示します。
(＊) 同境 W ′ : M 0 ⇝ M 1 ′ W'\colon M_0\rightsquigarrow M_1' W ′ : M 0 ⇝ M 1 ′ f ′ f' f ′ ξ ′ \xi' ξ ′ 0 0 0 p ′ p' p ′ 1 1 1 q ′ q' q ′ f ′ ( p ′ ) < f ′ ( q ′ ) f'(p')\lt f'(q') f ′ ( p ′ ) < f ′ ( q ′ ) φ : S 0 × D n − 1 → N 0 \varphi\colon S^0\times D^{n-1}\to N_0 φ : S 0 × D n − 1 → N 0 M 0 M_0 M 0 ( z , − 1 ) ↦ z (z,-1)\mapsto z ( z , − 1 ) ↦ z ι : P ∪ φ h 1 → W ′ \iota\colon P\cup_\varphi h^1\to W' ι : P ∪ φ h 1 → W ′ D n D^n D n p ′ p' p ′ P ∪ φ h 1 P\cup_\varphi h^1 P ∪ φ h 1 P ∪ φ h 1 P\cup_\varphi h^1 P ∪ φ h 1 φ ( ± 1 , 0 ) \varphi(\pm1,0) φ ( ± 1 , 0 ) S n − 1 S^{n-1} S n − 1 q ′ q' q ′ p ′ p' p ′
f ′ ( p ′ ) < m < f ′ ( q ′ ) f'(p')\lt m\lt f'(q') f ′ ( p ′ ) < m < f ′ ( q ′ ) m m m W − ′ = f ′ − 1 ( ( − ∞ , m ] ) W'_-=f'^{-1}((-\infty,m]) W − ′ = f ′ − 1 (( − ∞ , m ]) V = f ′ − 1 ( m ) V=f'^{-1}(m) V = f ′ − 1 ( m ) W + ′ = f ′ − 1 ( [ m , ∞ ) ) W'_+=f'^{-1}([m,\infty)) W + ′ = f ′ − 1 ([ m , ∞ )) 定理 3.6 を W − ′ W'_- W − ′ p ′ p' p ′ 0 0 0 M 0 M_0 M 0 κ − : P → W − ′ \kappa_-\colon P\to W'_- κ − : P → W − ′ D n D^n D n p ′ p' p ′ D n D^n D n p ′ p' p ′ ν : N 0 → V \nu\colon N_0\to V ν : N 0 → V ν ( S n − 1 ) \nu(S^{n-1}) ν ( S n − 1 ) p ′ p' p ′ V V V W + ′ W'_+ W + ′ q ′ q' q ′ ψ : S 0 × D n − 1 → V \psi\colon S^0\times D^{n-1}\to V ψ : S 0 × D n − 1 → V V V V κ + : ω ( V , ψ ) → W + ′ \kappa_+\colon\omega(V,\psi)\to W'_+ κ + : ω ( V , ψ ) → W + ′ q ′ q' q ′ ψ ( ± 1 , 0 ) \psi(\pm1,0) ψ ( ± 1 , 0 ) q ′ q' q ′ V V V φ = ν − 1 ∘ ψ \varphi=\nu^{-1}\circ\psi φ = ν − 1 ∘ ψ φ ( ± 1 , 0 ) ∈ S n − 1 \varphi(\pm1,0)\in S^{n-1} φ ( ± 1 , 0 ) ∈ S n − 1 p ′ p' p ′ p ′ p' p ′ 補題 3.5 の 3（g = ν g=\nu g = ν A A A ω ( N 0 , φ ) ≅ ω ( V , ψ ) \omega(N_0,\varphi)\cong\omega(V,\psi) ω ( N 0 , φ ) ≅ ω ( V , ψ ) ν \nu ν κ + \kappa_+ κ + κ + ′ : ω ( N 0 , φ ) → W + ′ \kappa_+'\colon\omega(N_0,\varphi)\to W'_+ κ + ′ : ω ( N 0 , φ ) → W + ′ N 0 N_0 N 0 ν = κ − ∣ N 0 \nu=\kappa_-|_{N_0} ν = κ − ∣ N 0 補題 3.5 の 2 の証明のとおり、W ′ W' W ′ W − ′ W'_- W − ′ W + ′ W'_+ W + ′ V V V ( c − , c + ) (c_-,c_+) ( c − , c + ) P P P ω ( N 0 , φ ) \omega(N_0,\varphi) ω ( N 0 , φ ) c − c_- c − c + c_+ c + κ − \kappa_- κ − κ + ′ \kappa_+' κ + ′ ι = κ − ⊔ κ + ′ \iota=\kappa_-\sqcup\kappa_+' ι = κ − ⊔ κ + ′ P ∪ φ h 1 = P ∪ N 0 ω ( N 0 , φ ) P\cup_\varphi h^1=P\cup_{N_0}\omega(N_0,\varphi) P ∪ φ h 1 = P ∪ N 0 ω ( N 0 , φ ) W ′ W' W ′ ι \iota ι P P P κ − \kappa_- κ − M 0 M_0 M 0 D n D^n D n p ′ p' p ′ 系 7.4［管状近傍・カラー・イソトピーの拡張］ の 2。その微分同相は境界の近傍で恒等写像）。以下、Y ( φ ) Y(\varphi) Y ( φ )
(＊) を ( W , f , ξ ) (W,f,\xi) ( W , f , ξ ) M 0 M_0 M 0 S n − 1 S^{n-1} S n − 1 φ ( − 1 , 0 ) ∈ S n − 1 \varphi(-1,0)\in S^{n-1} φ ( − 1 , 0 ) ∈ S n − 1 補題 3.5 の 3 を A = ( − 1 , I ) A=(-1,I) A = ( − 1 , I ) G = i d P G=\mathrm{id}_P G = id P φ \varphi φ φ ∘ ( A 1 × I ) \varphi\circ(A_1\times I) φ ∘ ( A 1 × I ) φ \varphi φ W ≅ Y ( φ ) W\cong Y(\varphi) W ≅ Y ( φ ) φ ( − 1 , 0 ) \varphi(-1,0) φ ( − 1 , 0 ) M 0 M_0 M 0 C C C
第 2 段：橋の足が同じ成分にあれば同じ多様体。 φ \varphi φ φ ′ \varphi' φ ′ φ ( − 1 , 0 ) \varphi(-1,0) φ ( − 1 , 0 ) φ ′ ( − 1 , 0 ) \varphi'(-1,0) φ ′ ( − 1 , 0 ) M 0 M_0 M 0 C C C Y ( φ ) → Y ( φ ′ ) Y(\varphi)\to Y(\varphi') Y ( φ ) → Y ( φ ′ ) 補題 3.5 の 3 により、同境 P P P G G G A = ( 1 , A 2 ) A=(1,A_2) A = ( 1 , A 2 ) A 2 ∈ O ( n − 1 ) A_2\in O(n-1) A 2 ∈ O ( n − 1 ) φ ′ = G ∣ N 0 ∘ φ ∘ ( 1 × A 2 ) − 1 \varphi'=G|_{N_0}\circ\varphi\circ(1\times A_2)^{-1} φ ′ = G ∣ N 0 ∘ φ ∘ ( 1 × A 2 ) − 1
n = 1 n=1 n = 1 M 0 M_0 M 0 D n − 1 D^{n-1} D n − 1 φ ( − 1 ) = φ ′ ( − 1 ) \varphi(-1)=\varphi'(-1) φ ( − 1 ) = φ ′ ( − 1 ) C C C φ ( 1 ) , φ ′ ( 1 ) ∈ S 0 = { ± 1 } = ∂ D 1 \varphi(1),\varphi'(1)\in S^0=\{\pm1\}=\partial D^1 φ ( 1 ) , φ ′ ( 1 ) ∈ S 0 = { ± 1 } = ∂ D 1 φ ( 1 ) = φ ′ ( 1 ) \varphi(1)=\varphi'(1) φ ( 1 ) = φ ′ ( 1 ) G = i d G=\mathrm{id} G = id G G G M 0 × [ − 1 , 1 ] M_0\times[-1,1] M 0 × [ − 1 , 1 ] D 1 D^1 D 1 y ↦ − y y\mapsto-y y ↦ − y
n ≥ 2 n\ge2 n ≥ 2 B R B_R B R R > 1 R\gt1 R > 1 定義 3.1 ）。e = φ ( − 1 , ⋅ ) e=\varphi(-1,\cdot) e = φ ( − 1 , ⋅ ) e ′ = φ ′ ( − 1 , ⋅ ) : B R → C e'=\varphi'(-1,\cdot)\colon B_R\to C e ′ = φ ′ ( − 1 , ⋅ ) : B R → C
(i) 定理 5.4［管状近傍・カラー・イソトピーの拡張］ の 1 により、C C C Ψ \Psi Ψ Ψ ( e ( 0 ) ) = e ′ ( 0 ) \Psi(e(0))=e'(0) Ψ ( e ( 0 )) = e ′ ( 0 ) Y C = e ′ ( B R ) Y_C=e'(B_R) Y C = e ′ ( B R ) C C C e ′ e' e ′ R n − 1 \mathbb{R}^{n-1} R n − 1 Ψ ( e ( 0 ) ) ∈ Y C \Psi(e(0))\in Y_C Ψ ( e ( 0 )) ∈ Y C ϵ 0 ∈ ( 0 , 1 ] \epsilon_0\in(0,1] ϵ 0 ∈ ( 0 , 1 ] Ψ ( e ( ϵ 0 B R ) ) ⊂ Y C \Psi(e(\epsilon_0B_R))\subset Y_C Ψ ( e ( ϵ 0 B R )) ⊂ Y C e ♯ : B R → Y C e^\sharp\colon B_R\to Y_C e ♯ : B R → Y C e ♯ ( x ) = Ψ ( e ( ϵ 0 x ) ) e^\sharp(x)=\Psi(e(\epsilon_0x)) e ♯ ( x ) = Ψ ( e ( ϵ 0 x )) det D ( e ′ − 1 ∘ e ♯ ) \det D(e'^{-1}\circ e^\sharp) det D ( e ′ − 1 ∘ e ♯ ) B R B_R B R A 2 = I A_2=I A 2 = I A 2 A_2 A 2 e ♯ ∘ A 2 e^\sharp\circ A_2 e ♯ ∘ A 2 定理 6.2［管状近傍・カラー・イソトピーの拡張］ ）を Y C Y_C Y C e ♯ ∘ A 2 e^\sharp\circ A_2 e ♯ ∘ A 2 e ′ e' e ′ Y C Y_C Y C Φ 1 \Phi^1 Φ 1 Y C Y_C Y C Φ 1 ∘ e ♯ ∘ A 2 = e ′ \Phi^1\circ e^\sharp\circ A_2=e' Φ 1 ∘ e ♯ ∘ A 2 = e ′ D n − 1 D^{n-1} D n − 1 Φ 1 \Phi^1 Φ 1 C C C ( x , t ) ↦ e ( A 2 ( ( 1 − t + t ϵ 0 ) x ) ) (x,t)\mapsto e\bigl(A_2((1-t+t\epsilon_0)x)\bigr) ( x , t ) ↦ e ( A 2 (( 1 − t + t ϵ 0 ) x ) ) e ∘ A 2 e\circ A_2 e ∘ A 2 x ↦ e ( A 2 ϵ 0 x ) x\mapsto e(A_2\epsilon_0x) x ↦ e ( A 2 ϵ 0 x ) 定理 5.2［管状近傍・カラー・イソトピーの拡張］ 。K = D n − 1 K=D^{n-1} K = D n − 1 C C C Φ 2 \Phi^2 Φ 2 Φ 2 ( e ( A 2 x ) ) = e ( ϵ 0 A 2 x ) \Phi^2(e(A_2x))=e(\epsilon_0A_2x) Φ 2 ( e ( A 2 x )) = e ( ϵ 0 A 2 x ) x ∈ D n − 1 x\in D^{n-1} x ∈ D n − 1 Φ 0 = Φ 1 ∘ Ψ ∘ Φ 2 \Phi_0=\Phi^1\circ\Psi\circ\Phi^2 Φ 0 = Φ 1 ∘ Ψ ∘ Φ 2 x ∈ D n − 1 x\in D^{n-1} x ∈ D n − 1
Φ 0 ( e ( A 2 x ) ) = Φ 1 ( Ψ ( e ( ϵ 0 A 2 x ) ) ) = Φ 1 ( e ♯ ( A 2 x ) ) = e ′ ( x ) \Phi_0\bigl(e(A_2x)\bigr)=\Phi^1\bigl(\Psi(e(\epsilon_0A_2x))\bigr)=\Phi^1\bigl(e^\sharp(A_2x)\bigr)=e'(x) Φ 0 ( e ( A 2 x ) ) = Φ 1 ( Ψ ( e ( ϵ 0 A 2 x )) ) = Φ 1 ( e ♯ ( A 2 x ) ) = e ′ ( x ) です。Φ 0 \Phi_0 Φ 0 M 0 M_0 M 0 M 0 M_0 M 0
(ii) e 1 = φ ( 1 , ⋅ ) ∘ A 2 e_1=\varphi(1,\cdot)\circ A_2 e 1 = φ ( 1 , ⋅ ) ∘ A 2 e 1 ′ = φ ′ ( 1 , ⋅ ) : B R → S n − 1 e_1'=\varphi'(1,\cdot)\colon B_R\to S^{n-1} e 1 ′ = φ ′ ( 1 , ⋅ ) : B R → S n − 1 S n − 1 S^{n-1} S n − 1 n ≥ 2 n\ge2 n ≥ 2 e 1 e_1 e 1 e 1 ′ e_1' e 1 ′ ρ ˉ = I \bar\rho=I ρ ˉ = I ρ ˉ ∈ O ( n ) \bar\rho\in O(n) ρ ˉ ∈ O ( n ) ρ = ρ ˉ ∣ S n − 1 \rho=\bar\rho|_{S^{n-1}} ρ = ρ ˉ ∣ S n − 1 S n − 1 S^{n-1} S n − 1 S n − 1 S^{n-1} S n − 1 ρ ∘ e 1 \rho\circ e_1 ρ ∘ e 1 e 1 ′ e_1' e 1 ′ S n − 1 S^{n-1} S n − 1 Φ t S \Phi^S_t Φ t S Φ 0 S = i d \Phi^S_0=\mathrm{id} Φ 0 S = id Φ 1 S ∘ ρ ∘ e 1 = e 1 ′ \Phi^S_1\circ\rho\circ e_1=e_1' Φ 1 S ∘ ρ ∘ e 1 = e 1 ′ D n − 1 D^{n-1} D n − 1 [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] τ \tau τ [ 0 , 1 3 ] [0,\tfrac13] [ 0 , 3 1 ] 0 0 0 [ 2 3 , 1 ] [\tfrac23,1] [ 3 2 , 1 ] 1 1 1 G ^ ( r u ) = r Φ τ ( r ) S ( u ) \hat G(ru)=r\,\Phi^S_{\tau(r)}(u) G ^ ( r u ) = r Φ τ ( r ) S ( u ) u ∈ S n − 1 u\in S^{n-1} u ∈ S n − 1 0 ≤ r ≤ 1 0\le r\le1 0 ≤ r ≤ 1 G ^ \hat G G ^ r ≤ 1 3 r\le\tfrac13 r ≤ 3 1 ( Φ t S ) − 1 (\Phi^S_t)^{-1} ( Φ t S ) − 1 D n D^n D n G S = G ^ ∘ ρ ˉ G_S=\hat G\circ\bar\rho G S = G ^ ∘ ρ ˉ D n D^n D n S n − 1 S^{n-1} S n − 1 Φ 1 S ∘ ρ \Phi^S_1\circ\rho Φ 1 S ∘ ρ
(iii) G = ( Φ 0 × i d [ − 1 , 1 ] ) ⊔ G S : P → P G=(\Phi_0\times\mathrm{id}_{[-1,1]})\sqcup G_S\colon P\to P G = ( Φ 0 × id [ − 1 , 1 ] ) ⊔ G S : P → P N 0 N_0 N 0 Φ 0 ⊔ ( Φ 1 S ∘ ρ ) \Phi_0\sqcup(\Phi^S_1\circ\rho) Φ 0 ⊔ ( Φ 1 S ∘ ρ ) A 2 − 1 = A 2 A_2^{-1}=A_2 A 2 − 1 = A 2 w ∈ D n − 1 w\in D^{n-1} w ∈ D n − 1 G ( φ ( − 1 , A 2 − 1 w ) ) = Φ 0 ( e ( A 2 w ) ) = e ′ ( w ) = φ ′ ( − 1 , w ) G(\varphi(-1,A_2^{-1}w))=\Phi_0(e(A_2w))=e'(w)=\varphi'(-1,w) G ( φ ( − 1 , A 2 − 1 w )) = Φ 0 ( e ( A 2 w )) = e ′ ( w ) = φ ′ ( − 1 , w ) G ( φ ( 1 , A 2 − 1 w ) ) = Φ 1 S ( ρ ( e 1 ( w ) ) ) = e 1 ′ ( w ) = φ ′ ( 1 , w ) G(\varphi(1,A_2^{-1}w))=\Phi^S_1(\rho(e_1(w)))=e_1'(w)=\varphi'(1,w) G ( φ ( 1 , A 2 − 1 w )) = Φ 1 S ( ρ ( e 1 ( w ))) = e 1 ′ ( w ) = φ ′ ( 1 , w ) φ ′ = G ∣ N 0 ∘ φ ∘ ( 1 × A 2 ) − 1 \varphi'=G|_{N_0}\circ\varphi\circ(1\times A_2)^{-1} φ ′ = G ∣ N 0 ∘ φ ∘ ( 1 × A 2 ) − 1
第 3 段：積の上の例。 系 5.5 を閉多様体 C C C λ = 0 \lambda=0 λ = 0 C × [ 0 , 1 ] C\times[0,1] C × [ 0 , 1 ] 0 0 0 p e p_e p e 1 1 1 q e q_e q e p e p_e p e M 0 M_0 M 0 p r 2 \mathrm{pr}_2 pr 2 X = M 0 × [ 0 , 1 ] X=M_0\times[0,1] X = M 0 × [ 0 , 1 ] F F F 補題 2.5 ）、(＊) を使うと、接着写像 φ e \varphi_e φ e M 0 M_0 M 0 ( z , − 1 ) ↦ ( z , 0 ) (z,-1)\mapsto(z,0) ( z , − 1 ) ↦ ( z , 0 ) ι : P ∪ φ e h 1 → X \iota\colon P\cup_{\varphi_e}h^1\to X ι : P ∪ φ e h 1 → X
φ e \varphi_e φ e X X X M 0 M_0 M 0 [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] X X X M 0 × { 0 } M_0\times\{0\} M 0 × { 0 } M 0 M_0 M 0 ω ( N 0 , φ e ) = ω ( M 0 , φ e ) ⊔ S n − 1 × [ − 1 , 1 ] \omega(N_0,\varphi_e)=\omega(M_0,\varphi_e)\sqcup S^{n-1}\times[-1,1] ω ( N 0 , φ e ) = ω ( M 0 , φ e ) ⊔ S n − 1 × [ − 1 , 1 ] D n ∪ S n − 1 × [ − 1 , 1 ] D^n\cup S^{n-1}\times[-1,1] D n ∪ S n − 1 × [ − 1 , 1 ] P ∪ φ e h 1 P\cup_{\varphi_e}h^1 P ∪ φ e h 1 M 0 × { − 1 } M_0\times\{-1\} M 0 × { − 1 } ι \iota ι S n − 1 S^{n-1} S n − 1 D n ∪ ω ( S n − 1 , φ e ) D^n\cup\omega(S^{n-1},\varphi_e) D n ∪ ω ( S n − 1 , φ e ) M 0 M_0 M 0 S n − 1 S^{n-1} S n − 1 M 0 M_0 M 0 M 0 M_0 M 0 C ′ C' C ′ ( M 0 ∖ C ′ ) × [ − 1 , 1 ] (M_0\setminus C')\times[-1,1] ( M 0 ∖ C ′ ) × [ − 1 , 1 ] P P P P ∪ φ e h 1 P\cup_{\varphi_e}h^1 P ∪ φ e h 1 Y 2 Y_2 Y 2 D n D^n D n M 0 × { − 1 } M_0\times\{-1\} M 0 × { − 1 } C ′ × { − 1 } C'\times\{-1\} C ′ × { − 1 } ι ( Y 2 ) \iota(Y_2) ι ( Y 2 ) X X X p e ∈ C × [ 0 , 1 ] p_e\in C\times[0,1] p e ∈ C × [ 0 , 1 ] C × { 0 } C\times\{0\} C × { 0 } ι ( Y 2 ) ∩ ( M 0 × { 0 } ) = C ′ × { 0 } \iota(Y_2)\cap(M_0\times\{0\})=C'\times\{0\} ι ( Y 2 ) ∩ ( M 0 × { 0 }) = C ′ × { 0 } C ′ = C C'=C C ′ = C ι \iota ι M 0 M_0 M 0 ( z , − 1 ) ↦ ( z , 0 ) (z,-1)\mapsto(z,0) ( z , − 1 ) ↦ ( z , 0 ) D n D^n D n p e p_e p e φ e ( − 1 , 0 ) ∈ S n − 1 \varphi_e(-1,0)\in S^{n-1} φ e ( − 1 , 0 ) ∈ S n − 1 φ e \varphi_e φ e φ e ∘ ( A 1 × I ) \varphi_e\circ(A_1\times I) φ e ∘ ( A 1 × I ) A 1 = − 1 A_1=-1 A 1 = − 1 φ e \varphi_e φ e φ e ( − 1 , 0 ) ∈ C \varphi_e(-1,0)\in C φ e ( − 1 , 0 ) ∈ C Y ( φ e ) ≅ X = M 0 × [ 0 , 1 ] Y(\varphi_e)\cong X=M_0\times[0,1] Y ( φ e ) ≅ X = M 0 × [ 0 , 1 ]
第 4 段：W W W 第 1〜3 段から W ≅ Y ( φ ) ≅ Y ( φ e ) ≅ M 0 × [ 0 , 1 ] W\cong Y(\varphi)\cong Y(\varphi_e)\cong M_0\times[0,1] W ≅ Y ( φ ) ≅ Y ( φ e ) ≅ M 0 × [ 0 , 1 ] Φ : M 0 × [ a , b ] → W \Phi\colon M_0\times[a,b]\to W Φ : M 0 × [ a , b ] → W Φ ( M 0 × { a } ) = M 0 \Phi(M_0\times\{a\})=M_0 Φ ( M 0 × { a }) = M 0 Φ ( M 0 × { b } ) = M 1 \Phi(M_0\times\{b\})=M_1 Φ ( M 0 × { b }) = M 1
第 5 段：境界の近くで f f f g 0 = p r 2 ∘ Φ − 1 : W → [ a , b ] g_0=\mathrm{pr}_2\circ\Phi^{-1}\colon W\to[a,b] g 0 = pr 2 ∘ Φ − 1 : W → [ a , b ] g 0 − 1 ( a ) = M 0 g_0^{-1}(a)=M_0 g 0 − 1 ( a ) = M 0 g 0 − 1 ( b ) = M 1 g_0^{-1}(b)=M_1 g 0 − 1 ( b ) = M 1 ϵ > 0 \epsilon\gt0 ϵ > 0 [ a , a + ϵ ] [a,a+\epsilon] [ a , a + ϵ ] [ b − ϵ , b ] [b-\epsilon,b] [ b − ϵ , b ] f f f 2 ϵ < b − a 2\epsilon\lt b-a 2 ϵ < b − a ∂ W \partial W ∂ W c 0 c_0 c 0 z = Φ ( z ′ , a ) ∈ M 0 z=\Phi(z',a)\in M_0 z = Φ ( z ′ , a ) ∈ M 0 c 0 ( z , t ) = Φ ( z ′ , a + ϵ t ) c_0(z,t)=\Phi(z',a+\epsilon t) c 0 ( z , t ) = Φ ( z ′ , a + ϵ t ) z = Φ ( z ′ , b ) ∈ M 1 z=\Phi(z',b)\in M_1 z = Φ ( z ′ , b ) ∈ M 1 c 0 ( z , t ) = Φ ( z ′ , b − ϵ t ) c_0(z,t)=\Phi(z',b-\epsilon t) c 0 ( z , t ) = Φ ( z ′ , b − ϵ t ) g 0 ( c 0 ( z , t ) ) g_0(c_0(z,t)) g 0 ( c 0 ( z , t )) M 0 M_0 M 0 a + ϵ t a+\epsilon t a + ϵ t M 1 M_1 M 1 b − ϵ t b-\epsilon t b − ϵ t f f f c 1 c_1 c 1 f − 1 ( [ a , a + ϵ ] ) f^{-1}([a,a+\epsilon]) f − 1 ([ a , a + ϵ ]) 定理 2.7 の微分同相 Φ a : M 0 × [ a , a + ϵ ] → f − 1 ( [ a , a + ϵ ] ) \Phi_a\colon M_0\times[a,a+\epsilon]\to f^{-1}([a,a+\epsilon]) Φ a : M 0 × [ a , a + ϵ ] → f − 1 ([ a , a + ϵ ]) Φ a ( z , a ) = z \Phi_a(z,a)=z Φ a ( z , a ) = z f ∘ Φ a = p r 2 f\circ\Phi_a=\mathrm{pr}_2 f ∘ Φ a = pr 2 z ∈ M 0 z\in M_0 z ∈ M 0 c 1 ( z , t ) = Φ a ( z , a + ϵ t ) c_1(z,t)=\Phi_a(z,a+\epsilon t) c 1 ( z , t ) = Φ a ( z , a + ϵ t ) M 1 M_1 M 1 f − 1 ( [ b − ϵ , b ] ) f^{-1}([b-\epsilon,b]) f − 1 ([ b − ϵ , b ]) − f -f − f Φ b : M 1 × [ − b , − b + ϵ ] → f − 1 ( [ b − ϵ , b ] ) \Phi_b\colon M_1\times[-b,-b+\epsilon]\to f^{-1}([b-\epsilon,b]) Φ b : M 1 × [ − b , − b + ϵ ] → f − 1 ([ b − ϵ , b ]) Φ b ( z , − b ) = z \Phi_b(z,-b)=z Φ b ( z , − b ) = z f ∘ Φ b = − p r 2 f\circ\Phi_b=-\mathrm{pr}_2 f ∘ Φ b = − pr 2 c 1 ( z , t ) = Φ b ( z , − b + ϵ t ) c_1(z,t)=\Phi_b(z,-b+\epsilon t) c 1 ( z , t ) = Φ b ( z , − b + ϵ t ) c 1 c_1 c 1 ∂ W × [ 0 , 1 ) \partial W\times[0,1) ∂ W × [ 0 , 1 ) f − 1 ( [ a , a + ϵ ) ∪ ( b − ϵ , b ] ) f^{-1}([a,a+\epsilon)\cup(b-\epsilon,b]) f − 1 ([ a , a + ϵ ) ∪ ( b − ϵ , b ])
カラーの一意性（系 4.4［管状近傍・カラー・イソトピーの拡張］ ）により、ϵ ′ ∈ ( 0 , 1 ) \epsilon'\in(0,1) ϵ ′ ∈ ( 0 , 1 ) W W W Θ \Theta Θ Θ ( c 0 ( z , t ) ) = c 1 ( z , t ) \Theta(c_0(z,t))=c_1(z,t) Θ ( c 0 ( z , t )) = c 1 ( z , t ) t ≤ ϵ ′ t\le\epsilon' t ≤ ϵ ′ Θ ∣ ∂ W = i d \Theta|_{\partial W}=\mathrm{id} Θ ∣ ∂ W = id g = g 0 ∘ Θ − 1 g=g_0\circ\Theta^{-1} g = g 0 ∘ Θ − 1 g − 1 ( a ) = M 0 g^{-1}(a)=M_0 g − 1 ( a ) = M 0 g − 1 ( b ) = M 1 g^{-1}(b)=M_1 g − 1 ( b ) = M 1 ∂ W \partial W ∂ W c 1 ( ∂ W × [ 0 , ϵ ′ ) ) c_1(\partial W\times[0,\epsilon')) c 1 ( ∂ W × [ 0 , ϵ ′ )) w = c 1 ( z , t ) w=c_1(z,t) w = c 1 ( z , t ) g ( w ) = g 0 ( c 0 ( z , t ) ) = f ( w ) g(w)=g_0(c_0(z,t))=f(w) g ( w ) = g 0 ( c 0 ( z , t )) = f ( w ) 定理 2.7 を g g g
指数 n − 1 n-1 n − 1 n n n − f : W → [ − b , − a ] -f\colon W\to[-b,-a] − f : W → [ − b , − a ] W : M 1 ⇝ M 0 W\colon M_1\rightsquigarrow M_0 W : M 1 ⇝ M 0 − ξ -\xi − ξ f f f ( x , y ) (x,y) ( x , y ) − f = − f ( p ) + ∣ x ∣ 2 − ∣ y ∣ 2 -f=-f(p)+|x|^2-|y|^2 − f = − f ( p ) + ∣ x ∣ 2 − ∣ y ∣ 2 − ξ = x ∂ x − y ∂ y -\xi=x\,\partial_x-y\,\partial_y − ξ = x ∂ x − y ∂ y x x x y y y − f -f − f − ξ -\xi − ξ λ \lambda λ n − λ n-\lambda n − λ ( − ξ ) ( − f ) = ξ f > 0 (-\xi)(-f)=\xi f\gt0 ( − ξ ) ( − f ) = ξ f > 0 − ξ -\xi − ξ ξ \xi ξ ( − f , − ξ ) (-f,-\xi) ( − f , − ξ ) 定理 2.7 を使ったものが結論を与えます。
∎ 準備として、互いに交わらない接着写像で貼るハンドルは、同時に貼っても、2 組に分けて順に貼っても同じであることを示します。
補題 5.7 （同時に貼ることと順に貼ること ） ✓
W : M 0 ⇝ M W\colon M_0\rightsquigarrow M W : M 0 ⇝ M n n n ( φ i ) i ∈ I 1 (\varphi_i)_{i\in I_1} ( φ i ) i ∈ I 1 ( φ j ) j ∈ I 2 (\varphi_j)_{j\in I_2} ( φ j ) j ∈ I 2 M M M M ′ = χ ( M ; ( φ i ) i ∈ I 1 ) M'=\chi(M;(\varphi_i)_{i\in I_1}) M ′ = χ ( M ; ( φ i ) i ∈ I 1 ) φ j \varphi_j φ j j ∈ I 2 j\in I_2 j ∈ I 2 M ∖ ⋃ i ∈ I 1 φ i ( S λ i − 1 × 0 ) ⊂ M ′ M\setminus\bigcup_{i\in I_1}\varphi_i(S^{\lambda_i-1}\times0)\subset M' M ∖ ⋃ i ∈ I 1 φ i ( S λ i − 1 × 0 ) ⊂ M ′
W ∪ M ω ( M ; ( φ i ) i ∈ I 1 ⊔ I 2 ) ≅ ( W ∪ M ω ( M ; ( φ i ) i ∈ I 1 ) ) ∪ M ′ ω ( M ′ ; ( φ j ) j ∈ I 2 ) W\cup_M\omega\bigl(M;(\varphi_i)_{i\in I_1\sqcup I_2}\bigr)\ \cong\ \Bigl(W\cup_M\omega\bigl(M;(\varphi_i)_{i\in I_1}\bigr)\Bigr)\cup_{M'}\omega\bigl(M';(\varphi_j)_{j\in I_2}\bigr) W ∪ M ω ( M ; ( φ i ) i ∈ I 1 ⊔ I 2 ) ≅ ( W ∪ M ω ( M ; ( φ i ) i ∈ I 1 ) ) ∪ M ′ ω ( M ′ ; ( φ j ) j ∈ I 2 ) で、微分同相は M 0 M_0 M 0
証明（補題 5.7） Ω = ω ( M ; ( φ i ) i ∈ I 1 ⊔ I 2 ) \Omega=\omega(M;(\varphi_i)_{i\in I_1\sqcup I_2}) Ω = ω ( M ; ( φ i ) i ∈ I 1 ⊔ I 2 ) F : Ω → [ − 1 , 1 ] F\colon\Omega\to[-1,1] F : Ω → [ − 1 , 1 ] 補題 3.3 の Morse 関数とし、L λ i L_{\lambda_i} L λ i L ( i ) L^{(i)} L ( i ) o i o_i o i
第 1 段：軌道が縦の線分になる勾配状ベクトル場。 H i = { ( x , y ) ∈ L ( i ) : ∣ x ∣ ∣ y ∣ ≤ sinh 1 2 cosh 1 2 } H_i=\{(x,y)\in L^{(i)}:|x||y|\le\sinh\tfrac12\cosh\tfrac12\} H i = {( x , y ) ∈ L ( i ) : ∣ x ∣∣ y ∣ ≤ sinh 2 1 cosh 2 1 } Ω \Omega Ω O 1 = ⋃ i L ( i ) O_1=\bigcup_iL^{(i)} O 1 = ⋃ i L ( i ) O 2 = Ω ∖ ⋃ i H i O_2=\Omega\setminus\bigcup_iH_i O 2 = Ω ∖ ⋃ i H i ρ 1 , ρ 2 \rho_1,\rho_2 ρ 1 , ρ 2 定理 6.3［部分多様体と正則値定理］ ）を取り、O 1 O_1 O 1 η λ i \eta_{\lambda_i} η λ i ( z , c ) (z,c) ( z , c ) ∂ / ∂ c \partial/\partial c ∂ / ∂ c ξ = ρ 1 η + ρ 2 ∂ / ∂ c \xi=\rho_1\eta+\rho_2\,\partial/\partial c ξ = ρ 1 η + ρ 2 ∂ / ∂ c O 1 ∩ O 2 O_1\cap O_2 O 1 ∩ O 2 c ↦ ( z , c ) c\mapsto(z,c) c ↦ ( z , c ) η \eta η q λ q_\lambda q λ ∂ / ∂ c = η / ( η q λ ) \partial/\partial c=\eta/(\eta q_\lambda) ∂ / ∂ c = η / ( η q λ ) ξ = ( ρ 1 + ρ 2 / ( η q λ ) ) η \xi=(\rho_1+\rho_2/(\eta q_\lambda))\,\eta ξ = ( ρ 1 + ρ 2 / ( η q λ )) η η \eta η o i o_i o i ξ F > 0 \xi F\gt0 ξ F > 0 H i H_i H i ξ = η \xi=\eta ξ = η L ( i ) L^{(i)} L ( i ) ξ \xi ξ F F F ξ \xi ξ { z } × [ − 1 , 1 ] \{z\}\times[-1,1] { z } × [ − 1 , 1 ] L ( i ) L^{(i)} L ( i ) η \eta η
第 2 段：臨界値を分けて切る。 定理 4.1 の 1（c = c ′ = 0 c=c'=0 c = c ′ = 0 P = { o i } i ∈ I 1 P=\{o_i\}_{i\in I_1} P = { o i } i ∈ I 1 Q = { o j } j ∈ I 2 Q=\{o_j\}_{j\in I_2} Q = { o j } j ∈ I 2 α = − 1 2 \alpha=-\tfrac12 α = − 2 1 α ′ = 1 2 \alpha'=\tfrac12 α ′ = 2 1 Ω \Omega Ω G : Ω → [ − 1 , 1 ] G\colon\Omega\to[-1,1] G : Ω → [ − 1 , 1 ] ξ \xi ξ P P P G = F − 1 2 G=F-\tfrac12 G = F − 2 1 Q Q Q G = F + 1 2 G=F+\tfrac12 G = F + 2 1 ∂ Ω \partial\Omega ∂ Ω G = F G=F G = F Ω − = G − 1 ( [ − 1 , 0 ] ) \Omega_-=G^{-1}([-1,0]) Ω − = G − 1 ([ − 1 , 0 ]) N = G − 1 ( 0 ) N=G^{-1}(0) N = G − 1 ( 0 ) Ω + = G − 1 ( [ 0 , 1 ] ) \Omega_+=G^{-1}([0,1]) Ω + = G − 1 ([ 0 , 1 ]) 補題 3.5 の 2 により、Ω ≅ Ω − ∪ N Ω + \Omega\cong\Omega_-\cup_N\Omega_+ Ω ≅ Ω − ∪ N Ω +
第 3 段：2 つの部分の接着写像。 ε ∈ ( 0 , 1 ] \varepsilon\in(0,1] ε ∈ ( 0 , 1 ] 定理 3.6 の後半を、L ( i ) L^{(i)} L ( i ) L ( i ) L^{(i)} L ( i ) ( ε u cosh θ , ε v sinh θ ) (\varepsilon u\cosh\theta,\varepsilon v\sinh\theta) ( ε u cosh θ , ε v sinh θ ) ∣ x ∣ ∣ y ∣ = 1 2 ε 2 sinh 2 θ |x||y|=\tfrac12\varepsilon^2\sinh2\theta ∣ x ∣∣ y ∣ = 2 1 ε 2 sinh 2 θ q λ = − 1 q_\lambda=-1 q λ = − 1 a − ( u , θ ′ v ) a_-(u,\theta'v) a − ( u , θ ′ v )
sinh 2 θ ′ = ε 2 sinh 2 θ , すなわち θ ′ = σ ε ( θ ) : = 1 2 arsinh ( ε 2 sinh 2 θ ) \sinh2\theta'=\varepsilon^2\sinh2\theta,\qquad\text{すなわち}\quad\theta'=\sigma_\varepsilon(\theta):=\tfrac12\operatorname{arsinh}\bigl(\varepsilon^2\sinh2\theta\bigr) sinh 2 θ ′ = ε 2 sinh 2 θ , すなわち θ ′ = σ ε ( θ ) := 2 1 arsinh ( ε 2 sinh 2 θ ) です（θ = 0 \theta=0 θ = 0 a − ( u , 0 ) a_-(u,0) a − ( u , 0 ) a − ( u , θ ′ v ) a_-(u,\theta'v) a − ( u , θ ′ v ) Ω \Omega Ω M M M φ i ( u , θ ′ v ) \varphi_i(u,\theta'v) φ i ( u , θ ′ v ) s ε ( θ v ) = σ ε ( θ ) v s_\varepsilon(\theta v)=\sigma_\varepsilon(\theta)v s ε ( θ v ) = σ ε ( θ ) v φ i ♭ = φ i ∘ ( i d × s ε ) \varphi_i^\flat=\varphi_i\circ(\mathrm{id}\times s_\varepsilon) φ i ♭ = φ i ∘ ( id × s ε )
Ω − \Omega_- Ω − o i o_i o i i ∈ I 1 i\in I_1 i ∈ I 1 − 1 2 -\tfrac12 − 2 1 M M M κ − : ω ( M ; ( φ i ♭ ) i ∈ I 1 ) → Ω − \kappa_-\colon\omega(M;(\varphi_i^\flat)_{i\in I_1})\to\Omega_- κ − : ω ( M ; ( φ i ♭ ) i ∈ I 1 ) → Ω − ( ε u cosh θ , ε v sinh θ ) (\varepsilon u\cosh\theta,\varepsilon v\sinh\theta) ( ε u cosh θ , ε v sinh θ ) M M M φ i ♭ ( u , θ v ) \varphi_i^\flat(u,\theta v) φ i ♭ ( u , θ v ) ν : χ ( M ; ( φ i ♭ ) i ∈ I 1 ) → N \nu\colon\chi(M;(\varphi_i^\flat)_{i\in I_1})\to N ν : χ ( M ; ( φ i ♭ ) i ∈ I 1 ) → N z ∈ M ∖ ⋃ i ∈ I 1 φ i ♭ ( S λ i − 1 × 0 ) z\in M\setminus\bigcup_{i\in I_1}\varphi_i^\flat(S^{\lambda_i-1}\times0) z ∈ M ∖ ⋃ i ∈ I 1 φ i ♭ ( S λ i − 1 × 0 ) ν ( z ) \nu(z) ν ( z ) z z z N N N Ω + \Omega_+ Ω + o j o_j o j j ∈ I 2 j\in I_2 j ∈ I 2 N N N κ + : ω ( N ; ( ψ j ) j ∈ I 2 ) → Ω + \kappa_+\colon\omega(N;(\psi_j)_{j\in I_2})\to\Omega_+ κ + : ω ( N ; ( ψ j ) j ∈ I 2 ) → Ω + ψ j ( u , θ v ) \psi_j(u,\theta v) ψ j ( u , θ v ) L ( j ) L^{(j)} L ( j ) ( ε u cosh θ , ε v sinh θ ) (\varepsilon u\cosh\theta,\varepsilon v\sinh\theta) ( ε u cosh θ , ε v sinh θ ) N N N M M M z = φ j ( u , θ ′ v ) z=\varphi_j(u,\theta'v) z = φ j ( u , θ ′ v ) ψ j ( u , θ v ) = ν ( φ j ♭ ( u , θ v ) ) \psi_j(u,\theta v)=\nu(\varphi_j^\flat(u,\theta v)) ψ j ( u , θ v ) = ν ( φ j ♭ ( u , θ v )) ν − 1 ∘ ψ j = φ j ♭ \nu^{-1}\circ\psi_j=\varphi_j^\flat ν − 1 ∘ ψ j = φ j ♭ 補題 3.5 の 3（g = ν g=\nu g = ν
Ω ≅ ω ( M ; ( φ i ♭ ) i ∈ I 1 ) ∪ M ♭ ω ( M ♭ ; ( φ j ♭ ) j ∈ I 2 ) , M ♭ = χ ( M ; ( φ i ♭ ) i ∈ I 1 ) \Omega\ \cong\ \omega\bigl(M;(\varphi_i^\flat)_{i\in I_1}\bigr)\cup_{M^\flat}\omega\bigl(M^\flat;(\varphi_j^\flat)_{j\in I_2}\bigr),\qquad M^\flat=\chi\bigl(M;(\varphi_i^\flat)_{i\in I_1}\bigr) Ω ≅ ω ( M ; ( φ i ♭ ) i ∈ I 1 ) ∪ M ♭ ω ( M ♭ ; ( φ j ♭ ) j ∈ I 2 ) , M ♭ = χ ( M ; ( φ i ♭ ) i ∈ I 1 ) で、微分同相は M M M
第 4 段：♭ \flat ♭ σ ε \sigma_\varepsilon σ ε σ ε ( θ ) / θ \sigma_\varepsilon(\theta)/\theta σ ε ( θ ) / θ θ 2 \theta^2 θ 2 σ ε ′ ( θ ) = ε 2 cosh 2 θ ( 1 + ε 4 sinh 2 2 θ ) − 1 / 2 > 0 \sigma_\varepsilon'(\theta)=\varepsilon^2\cosh2\theta\,(1+\varepsilon^4\sinh^22\theta)^{-1/2}\gt0 σ ε ′ ( θ ) = ε 2 cosh 2 θ ( 1 + ε 4 sinh 2 2 θ ) − 1/2 > 0 ε ≤ 1 \varepsilon\le1 ε ≤ 1 σ ε ( θ ) ≤ θ \sigma_\varepsilon(\theta)\le\theta σ ε ( θ ) ≤ θ t ∈ [ 0 , 1 ] t\in[0,1] t ∈ [ 0 , 1 ] s t ( θ v ) = ( ( 1 − t ) θ + t σ ε ( θ ) ) v s_t(\theta v)=\bigl((1-t)\theta+t\sigma_\varepsilon(\theta)\bigr)v s t ( θ v ) = ( ( 1 − t ) θ + t σ ε ( θ ) ) v s t s_t s t D ˚ 1 + ϵ n − λ \mathring D^{n-\lambda}_{1+\epsilon} D ˚ 1 + ϵ n − λ s 0 = i d s_0=\mathrm{id} s 0 = id s 1 = s ε s_1=s_\varepsilon s 1 = s ε φ i \varphi_i φ i S λ i − 1 × D ˚ 1 + ϵ n − λ i S^{\lambda_i-1}\times\mathring D^{n-\lambda_i}_{1+\epsilon} S λ i − 1 × D ˚ 1 + ϵ n − λ i ϵ \epsilon ϵ ( φ i ∘ ( i d × s t ) ) i ∈ I 1 ⊔ I 2 (\varphi_i\circ(\mathrm{id}\times s_t))_{i\in I_1\sqcup I_2} ( φ i ∘ ( id × s t ) ) i ∈ I 1 ⊔ I 2 ( φ i ) (\varphi_i) ( φ i ) ( φ i ♭ ) (\varphi_i^\flat) ( φ i ♭ ) 命題 3.8 の 1（組の場合）により、M M M Ψ t \Psi_t Ψ t Ψ 0 = i d \Psi_0=\mathrm{id} Ψ 0 = id Ψ 1 ∘ φ i = φ i ♭ \Psi_1\circ\varphi_i=\varphi_i^\flat Ψ 1 ∘ φ i = φ i ♭ i ∈ I 1 ⊔ I 2 i\in I_1\sqcup I_2 i ∈ I 1 ⊔ I 2 補題 3.5 の 3（g = Ψ 1 g=\Psi_1 g = Ψ 1 ω ( M ; ( φ i ) i ∈ I 1 ) → ω ( M ; ( φ i ♭ ) i ∈ I 1 ) \omega(M;(\varphi_i)_{i\in I_1})\to\omega(M;(\varphi_i^\flat)_{i\in I_1}) ω ( M ; ( φ i ) i ∈ I 1 ) → ω ( M ; ( φ i ♭ ) i ∈ I 1 ) M ′ → M ♭ M'\to M^\flat M ′ → M ♭ M ∖ ⋃ i ∈ I 1 φ i ( S λ i − 1 × 0 ) M\setminus\bigcup_{i\in I_1}\varphi_i(S^{\lambda_i-1}\times0) M ∖ ⋃ i ∈ I 1 φ i ( S λ i − 1 × 0 ) Ψ 1 \Psi_1 Ψ 1 φ j \varphi_j φ j φ j ♭ \varphi_j^\flat φ j ♭ j ∈ I 2 j\in I_2 j ∈ I 2
ω ( M ; ( φ i ) i ∈ I 1 ) ∪ M ′ ω ( M ′ ; ( φ j ) j ∈ I 2 ) ≅ Ω \omega\bigl(M;(\varphi_i)_{i\in I_1}\bigr)\cup_{M'}\omega\bigl(M';(\varphi_j)_{j\in I_2}\bigr)\ \cong\ \Omega ω ( M ; ( φ i ) i ∈ I 1 ) ∪ M ′ ω ( M ′ ; ( φ j ) j ∈ I 2 ) ≅ Ω で、微分同相は M M M Ψ 1 \Psi_1 Ψ 1
第 5 段：W W W 命題 3.8 の 2 の証明と同じく、M M M c ( z , t ) ↦ c ( Ψ τ ( t ) ( z ) , t ) c(z,t)\mapsto c(\Psi_{\tau(t)}(z),t) c ( z , t ) ↦ c ( Ψ τ ( t ) ( z ) , t ) W W W Θ \Theta Θ M M M Ψ 1 × i d \Psi_1\times\mathrm{id} Ψ 1 × id M 0 M_0 M 0 Θ \Theta Θ M M M Ψ 1 \Psi_1 Ψ 1 補題 3.5 の 1 により、右辺から左辺への微分同相で M 0 M_0 M 0 W W W ω ( M ; ( φ i ) i ∈ I 1 ) \omega(M;(\varphi_i)_{i\in I_1}) ω ( M ; ( φ i ) i ∈ I 1 ) ω ( M ′ ; ( φ j ) j ∈ I 2 ) \omega(M';(\varphi_j)_{j\in I_2}) ω ( M ′ ; ( φ j ) j ∈ I 2 )
∎ 命題 5.8 （ハンドルの滑らせ ） ✓
同境 W : M 0 ⇝ M W\colon M_0\rightsquigarrow M W : M 0 ⇝ M φ 1 , φ 2 : S λ − 1 × D n − λ → M \varphi_1,\varphi_2\colon S^{\lambda-1}\times D^{n-\lambda}\to M φ 1 , φ 2 : S λ − 1 × D n − λ → M λ \lambda λ h 1 , h 2 h_1,h_2 h 1 , h 2 M ′ = χ ( M , φ 1 ) M'=\chi(M,\varphi_1) M ′ = χ ( M , φ 1 ) φ 2 \varphi_2 φ 2 M ′ M' M ′ φ 2 ′ \varphi_2' φ 2 ′ M ′ M' M ′ φ 2 \varphi_2 φ 2 M ∖ φ 1 ( S λ − 1 × D n − λ ) M\setminus\varphi_1(S^{\lambda-1}\times D^{n-\lambda}) M ∖ φ 1 ( S λ − 1 × D n − λ )
W ∪ φ 1 h 1 ∪ φ 2 h 2 ≅ W ∪ φ 1 h 1 ∪ φ 2 ′ h 2 W\cup_{\varphi_1}h_1\cup_{\varphi_2}h_2\ \cong\ W\cup_{\varphi_1}h_1\cup_{\varphi_2'}h_2 W ∪ φ 1 h 1 ∪ φ 2 h 2 ≅ W ∪ φ 1 h 1 ∪ φ 2 ′ h 2 で、右辺は W W W φ 1 \varphi_1 φ 1 φ 2 ′ \varphi_2' φ 2 ′ W ∪ M ω ( M ; φ 1 , φ 2 ′ ) W\cup_M\omega(M;\varphi_1,\varphi_2') W ∪ M ω ( M ; φ 1 , φ 2 ′ ) φ 1 \varphi_1 φ 1 φ 2 \varphi_2 φ 2 φ 2 ′ \varphi_2' φ 2 ′ φ 2 \varphi_2 φ 2 φ 2 ′ \varphi_2' φ 2 ′
証明（命題 5.8） はじめの微分同相は、命題 3.8 の 2 を同境 W ∪ φ 1 h 1 : M 0 ⇝ M ′ W\cup_{\varphi_1}h_1\colon M_0\rightsquigarrow M' W ∪ φ 1 h 1 : M 0 ⇝ M ′ M ′ M' M ′ φ 2 \varphi_2 φ 2 φ 2 ′ \varphi_2' φ 2 ′ 補題 5.7 （I 1 I_1 I 1 φ 1 \varphi_1 φ 1 I 2 I_2 I 2 φ 2 ′ \varphi_2' φ 2 ′ φ 2 ′ \varphi_2' φ 2 ′ M ∖ φ 1 ( S λ − 1 × D n − λ ) M\setminus\varphi_1(S^{\lambda-1}\times D^{n-\lambda}) M ∖ φ 1 ( S λ − 1 × D n − λ ) φ 1 \varphi_1 φ 1 φ 2 ′ \varphi_2' φ 2 ′ M M M W ∪ φ 1 h 1 ∪ φ 2 ′ h 2 W\cup_{\varphi_1}h_1\cup_{\varphi_2'}h_2 W ∪ φ 1 h 1 ∪ φ 2 ′ h 2 命題 3.8 の組の場合と 補題 5.7 から同じように従います。
∎ イソトピーの途中で φ 2 \varphi_2 φ 2 h 1 h_1 h 1 D ˚ λ × S n − λ − 1 ⊂ M ′ \mathring D^\lambda\times S^{n-\lambda-1}\subset M' D ˚ λ × S n − λ − 1 ⊂ M ′ M M M h 2 h_2 h 2 h 1 h_1 h 1 φ 1 ( S λ − 1 × { v } ) \varphi_1(S^{\lambda-1}\times\{v\}) φ 1 ( S λ − 1 × { v }) h 2 h_2 h 2 h 1 h_1 h 1 n = 2 n=2 n = 2 λ = 1 \lambda=1 λ = 1
系 5.9 （0-ハンドルと n-ハンドルは 1 つずつにできる ） ✓
M M M n n n n ≥ 1 n\ge1 n ≥ 1 M M M 0 0 0 n n n
証明（系 5.9） 自己指数的な Morse 関数 f f f ξ \xi ξ 定理 4.1 の 3）、指数 0 0 0 k 0 ≥ 2 k_0\ge2 k 0 ≥ 2 M ( 0 ) = f − 1 ( [ − 1 2 , 1 2 ] ) M_{(0)}=f^{-1}([-\tfrac12,\tfrac12]) M ( 0 ) = f − 1 ([ − 2 1 , 2 1 ]) N = f − 1 ( 1 2 ) N=f^{-1}(\tfrac12) N = f − 1 ( 2 1 ) M ( 1 ) = f − 1 ( [ − 1 2 , 3 2 ] ) M_{(1)}=f^{-1}([-\tfrac12,\tfrac32]) M ( 1 ) = f − 1 ([ − 2 1 , 2 3 ]) 定理 3.6 により M ( 0 ) M_{(0)} M ( 0 ) k 0 k_0 k 0 D 1 , … , D k 0 D_1,\dots,D_{k_0} D 1 , … , D k 0 f − 1 ( [ 1 2 , 3 2 ] ) ≅ ω ( N ; φ 1 , … , φ m ) f^{-1}([\tfrac12,\tfrac32])\cong\omega(N;\varphi_1,\dots,\varphi_m) f − 1 ([ 2 1 , 2 3 ]) ≅ ω ( N ; φ 1 , … , φ m ) φ j : S 0 × D n − 1 → N = ⨆ i ∂ D i \varphi_j\colon S^0\times D^{n-1}\to N=\bigsqcup_i\partial D_i φ j : S 0 × D n − 1 → N = ⨆ i ∂ D i
M ( 1 ) M_{(1)} M ( 1 ) n = 1 n=1 n = 1 M ( 1 ) = M M_{(1)}=M M ( 1 ) = M n ≥ 2 n\ge2 n ≥ 2 M M M M ( 1 ) M_{(1)} M ( 1 ) 2 2 2 λ ≥ 2 \lambda\ge2 λ ≥ 2 定理 6.1［Morse 理論］ ）、相対ホモロジーは次数 0 , 1 0,1 0 , 1 系 6.3［Morse 理論］ ）、対の長完全列から H 0 H_0 H 0 H 0 ( M ( 1 ) ) ≅ H 0 ( M ) ≅ Z H_0(M_{(1)})\cong H_0(M)\cong\mathbb{Z} H 0 ( M ( 1 ) ) ≅ H 0 ( M ) ≅ Z M ( 1 ) M_{(1)} M ( 1 )
異なる円板をつなぐ 1-ハンドル。 どの φ j \varphi_j φ j ∂ D i \partial D_i ∂ D i M ( 1 ) M_{(1)} M ( 1 ) D i D_i D i k 0 k_0 k 0 ∂ D i \partial D_i ∂ D i ∂ D i ′ \partial D_{i'} ∂ D i ′ φ j \varphi_j φ j q q q D i ′ D_{i'} D i ′ p p p
2 つを隣り合わせる。 定理 4.1 の 1（c = c ′ c=c' c = c ′ f − 1 ( [ 1 2 , 3 2 ] ) f^{-1}([\tfrac12,\tfrac32]) f − 1 ([ 2 1 , 2 3 ]) P = { q } P=\{q\} P = { q } Q = { ほかの指数 1 の臨界点 } Q=\{\text{ほかの指数 1 の臨界点}\} Q = { ほかの指数 1 の臨界点 } α = 3 4 \alpha=\tfrac34 α = 4 3 α ′ = 1 \alpha'=1 α ′ = 1 M ( 0 ) M_{(0)} M ( 0 ) P = { ほかの最小点 } P=\{\text{ほかの最小点}\} P = { ほかの最小点 } Q = { p } Q=\{p\} Q = { p } α = 0 \alpha=0 α = 0 α ′ = 1 4 \alpha'=\tfrac14 α ′ = 4 1 g g g ξ \xi ξ S = g − 1 ( [ 1 8 , 7 8 ] ) S=g^{-1}([\tfrac18,\tfrac78]) S = g − 1 ([ 8 1 , 8 7 ]) p p p 0 0 0 q q q 1 1 1 ξ \xi ξ q q q D i ′ D_{i'} D i ′ D i D_i D i D i ′ D_{i'} D i ′ ∅ ⇝ ∂ D i ′ \varnothing\rightsquigarrow\partial D_{i'} ∅ ⇝ ∂ D i ′ p p p 補題 2.6 の 1 により、D i ′ D_{i'} D i ′ p p p D i D_i D i p p p V = g − 1 ( 1 2 ) V=g^{-1}(\tfrac12) V = g − 1 ( 2 1 ) q q q A A A p p p B B B B B B ( n − 1 ) (n-1) ( n − 1 ) V V V ( n − 1 ) (n-1) ( n − 1 ) V V V T s B = T s V T_sB=T_sV T s B = T s V
消去。 同境 S S S g ∣ S g|_S g ∣ S ξ \xi ξ 0 0 0 p p p 1 1 1 q q q q q q p p p 補題 5.6 の 1 により、S S S ∂ S \partial S ∂ S g g g S S S g g g 0 0 0 k 0 − 1 k_0-1 k 0 − 1 1 1 1 m − 1 m-1 m − 1 定理 4.1 の 3 の証明の操作で自己指数的に直し（臨界点の個数は指数ごとに変わりません）、同じことを繰り返して指数 0 0 0
指数 n n n − f -f − f 補題 5.6 の後半）、f f f n n n n − 1 n-1 n − 1 n ≥ 2 n\ge2 n ≥ 2 0 0 0 n = 1 n=1 n = 1 0 0 0 χ ( M ) = 0 \chi(M)=0 χ ( M ) = 0 M M M S 1 S^1 S 1 定理 4.4［横断性］ ）と 定理 7.3［Morse 理論］ の 2 から指数 1 1 1 定理 4.1 の 3 で自己指数的に直します（臨界点の個数は変わりません）。
∎ 例 5.10 （球面の 2 通りの分解と消去 ）
S n S^n S n n ≥ 2 n\ge2 n ≥ 2 例 3.10 の分解 h 0 ∪ h n h^0\cup h^n h 0 ∪ h n h 0 ∪ h 1 ∪ h 2 ∪ h n h^0\cup h^1\cup h^2\cup h^n h 0 ∪ h 1 ∪ h 2 ∪ h n 系 5.5 を h 0 h^0 h 0 h n h^n h n S n − 1 × [ 0 , 1 ] S^{n-1}\times[0,1] S n − 1 × [ 0 , 1 ] 1 1 1 2 2 2 定理 5.2 で消えます。n = 2 n=2 n = 2 h 0 h^0 h 0 h 1 h^1 h 1 h 2 h^2 h 2 h 2 h^2 h 2 h 1 h^1 h 1
ハンドル分解からホモロジーを計算する鎖複体を作ります。胞体鎖複体（定理 3.4［胞体ホモロジーと写像度］ ）の多様体版で、境界作用素が接着球面とベルト球面の交わり方で書けるのが特徴です。
命題 6.1 （ハンドル鎖複体 ） ✓
M M M n n n f f f ξ \xi ξ M λ = f − 1 ( ( − ∞ , λ + 1 2 ] ) M_\lambda=f^{-1}((-\infty,\lambda+\tfrac12]) M λ = f − 1 (( − ∞ , λ + 2 1 ]) V λ = f − 1 ( λ + 1 2 ) V_\lambda=f^{-1}(\lambda+\tfrac12) V λ = f − 1 ( λ + 2 1 ) λ \lambda λ p p p D ( p ) D(p) D ( p )
C λ : = H λ ( M λ , M λ − 1 ) C_\lambda:=H_\lambda(M_\lambda,M_{\lambda-1}) C λ := H λ ( M λ , M λ − 1 ) [ D ( p ) ] [D(p)] [ D ( p )] p p p λ \lambda λ k ≠ λ k\ne\lambda k = λ H k ( M λ , M λ − 1 ) = 0 H_k(M_\lambda,M_{\lambda-1})=0 H k ( M λ , M λ − 1 ) = 0 d λ + 1 : C λ + 1 → C λ d_{\lambda+1}\colon C_{\lambda+1}\to C_\lambda d λ + 1 : C λ + 1 → C λ H λ + 1 ( M λ + 1 , M λ ) → H λ ( M λ ) H_{\lambda+1}(M_{\lambda+1},M_\lambda)\to H_\lambda(M_\lambda) H λ + 1 ( M λ + 1 , M λ ) → H λ ( M λ ) H λ ( M λ ) → H λ ( M λ , M λ − 1 ) H_\lambda(M_\lambda)\to H_\lambda(M_\lambda,M_{\lambda-1}) H λ ( M λ ) → H λ ( M λ , M λ − 1 ) d λ ∘ d λ + 1 = 0 d_\lambda\circ d_{\lambda+1}=0 d λ ∘ d λ + 1 = 0 H k ( M ) ≅ ker d k / im d k + 1 H_k(M)\cong\ker d_k/\operatorname{im}d_{k+1} H k ( M ) ≅ ker d k / im d k + 1 指数 λ + 1 \lambda+1 λ + 1 q q q A q ⊂ V λ A_q\subset V_\lambda A q ⊂ V λ λ \lambda λ p p p B p ⊂ V λ B_p\subset V_\lambda B p ⊂ V λ d λ + 1 [ D ( q ) ] = ∑ p n ( q , p ) [ D ( p ) ] , n ( q , p ) = ∑ s ∈ A q ∩ B p ϵ s , d_{\lambda+1}[D(q)]=\sum_pn(q,p)\,[D(p)],\qquad n(q,p)=\sum_{s\in A_q\cap B_p}\epsilon_s, d λ + 1 [ D ( q )] = p ∑ n ( q , p ) [ D ( p )] , n ( q , p ) = s ∈ A q ∩ B p ∑ ϵ s , ϵ s = ± 1 \epsilon_s=\pm1 ϵ s = ± 1 B p B_p B p D ˚ λ × S n − λ − 1 \mathring D^\lambda\times S^{n-\lambda-1} D ˚ λ × S n − λ − 1 p r 1 \mathrm{pr}_1 pr 1 A q A_q A q s s s A q A_q A q D ( q ) D(q) D ( q ) R λ \mathbb{R}^\lambda R λ D ( p ) D(p) D ( p ) n ( q , p ) n(q,p) n ( q , p ) B p B_p B p D ( p ) D(p) D ( p ) A q A_q A q B p B_p B p V λ V_\lambda V λ B p B_p B p p p p q q q 定理 3.4［交点数と写像度］ の交点数 I ( A q , B p ) I(A_q,B_p) I ( A q , B p ) 2 2 2 p p p q q q
証明（命題 6.1） 1。 系 6.3［Morse 理論］ と、臨界値を含まない区間での変形（定理 5.1［Morse 理論］ ）により、H k ( M λ , M λ − 1 ) H_k(M_\lambda,M_{\lambda-1}) H k ( M λ , M λ − 1 ) k = λ k=\lambda k = λ λ \lambda λ c λ c_\lambda c λ k ≠ λ k\ne\lambda k = λ 0 0 0 λ \lambda λ p p p 定理 3.6 の模型 L λ L_\lambda L λ q λ > − 1 q_\lambda\gt-1 q λ > − 1 U p U_p U p M λ M_\lambda M λ c o ( p ) = { x = 0 } ⊂ U p \mathrm{co}(p)=\{x=0\}\subset U_p co ( p ) = { x = 0 } ⊂ U p M λ M_\lambda M λ M λ − 1 ⊂ M λ ∖ c o ( p ) M_{\lambda-1}\subset M_\lambda\setminus\mathrm{co}(p) M λ − 1 ⊂ M λ ∖ co ( p )
ε p : H λ ( M λ , M λ − 1 ) → H λ ( M λ , M λ ∖ c o ( p ) ) ≅ H λ ( U p , U p ∖ c o ( p ) ) → ( p r x ) ∗ H λ ( R λ , R λ ∖ 0 ) ≅ Z \varepsilon_p\colon H_\lambda(M_\lambda,M_{\lambda-1})\to H_\lambda(M_\lambda,M_\lambda\setminus\mathrm{co}(p))\cong H_\lambda(U_p,U_p\setminus\mathrm{co}(p))\xrightarrow{(\mathrm{pr}_x)_*}H_\lambda(\mathbb{R}^\lambda,\mathbb{R}^\lambda\setminus0)\cong\mathbb{Z} ε p : H λ ( M λ , M λ − 1 ) → H λ ( M λ , M λ ∖ co ( p )) ≅ H λ ( U p , U p ∖ co ( p )) ( pr x ) ∗ H λ ( R λ , R λ ∖ 0 ) ≅ Z が定まります（2 つ目は切除定理 定理 5.3［特異ホモロジー］ 、p r x ( x , y ) = x \mathrm{pr}_x(x,y)=x pr x ( x , y ) = x D ( p ) ∩ U p = { y = 0 } D(p)\cap U_p=\{y=0\} D ( p ) ∩ U p = { y = 0 } p r x \mathrm{pr}_x pr x ε p [ D ( p ) ] = ± 1 \varepsilon_p[D(p)]=\pm1 ε p [ D ( p )] = ± 1 + 1 +1 + 1 p ′ ≠ p p'\ne p p ′ = p D ( p ′ ) D(p') D ( p ′ ) c o ( p ) \mathrm{co}(p) co ( p ) ε p [ D ( p ′ ) ] = 0 \varepsilon_p[D(p')]=0 ε p [ D ( p ′ )] = 0 ( ε p ) p : C λ → Z c λ (\varepsilon_p)_p\colon C_\lambda\to\mathbb{Z}^{c_\lambda} ( ε p ) p : C λ → Z c λ c λ c_\lambda c λ [ D ( p ) ] [D(p)] [ D ( p )] z z z [ D ( p ) ] [D(p)] [ D ( p )] ε p ( z ) \varepsilon_p(z) ε p ( z )
2。 d λ ∘ d λ + 1 d_\lambda\circ d_{\lambda+1} d λ ∘ d λ + 1 ( M λ , M λ − 1 ) (M_\lambda,M_{\lambda-1}) ( M λ , M λ − 1 ) 系 3.2［特異ホモロジー］ ）の隣り合う 2 つの射 H λ ( M λ ) → H λ ( M λ , M λ − 1 ) → H λ − 1 ( M λ − 1 ) H_\lambda(M_\lambda)\to H_\lambda(M_\lambda,M_{\lambda-1})\to H_{\lambda-1}(M_{\lambda-1}) H λ ( M λ ) → H λ ( M λ , M λ − 1 ) → H λ − 1 ( M λ − 1 ) 0 0 0
(i) k > λ k\gt\lambda k > λ H k ( M λ ) = 0 H_k(M_\lambda)=0 H k ( M λ ) = 0 λ \lambda λ H k ( M λ − 1 ) → H k ( M λ ) → H k ( M λ , M λ − 1 ) H_k(M_{\lambda-1})\to H_k(M_\lambda)\to H_k(M_\lambda,M_{\lambda-1}) H k ( M λ − 1 ) → H k ( M λ ) → H k ( M λ , M λ − 1 ) 0 0 0 M − 1 = ∅ M_{-1}=\varnothing M − 1 = ∅
(ii) k < λ k\lt\lambda k < λ H k ( M λ ) → H k ( M λ + 1 ) H_k(M_\lambda)\to H_k(M_{\lambda+1}) H k ( M λ ) → H k ( M λ + 1 ) H k + 1 ( M λ + 1 , M λ ) → H k ( M λ ) → H k ( M λ + 1 ) → H k ( M λ + 1 , M λ ) H_{k+1}(M_{\lambda+1},M_\lambda)\to H_k(M_\lambda)\to H_k(M_{\lambda+1})\to H_k(M_{\lambda+1},M_\lambda) H k + 1 ( M λ + 1 , M λ ) → H k ( M λ ) → H k ( M λ + 1 ) → H k ( M λ + 1 , M λ ) 0 0 0 M n = M M_n=M M n = M H k ( M ) ≅ H k ( M k + 1 ) H_k(M)\cong H_k(M_{k+1}) H k ( M ) ≅ H k ( M k + 1 )
(iii) 完全列 H k + 1 ( M k + 1 , M k ) → ∂ H k ( M k ) → H k ( M k + 1 ) → H k ( M k + 1 , M k ) = 0 H_{k+1}(M_{k+1},M_k)\xrightarrow{\partial}H_k(M_k)\to H_k(M_{k+1})\to H_k(M_{k+1},M_k)=0 H k + 1 ( M k + 1 , M k ) ∂ H k ( M k ) → H k ( M k + 1 ) → H k ( M k + 1 , M k ) = 0 H k ( M k + 1 ) ≅ H k ( M k ) / im ∂ H_k(M_{k+1})\cong H_k(M_k)/\operatorname{im}\partial H k ( M k + 1 ) ≅ H k ( M k ) / im ∂ H k ( M k − 1 ) = 0 H_k(M_{k-1})=0 H k ( M k − 1 ) = 0 j : H k ( M k ) → C k j\colon H_k(M_k)\to C_k j : H k ( M k ) → C k ∂ ′ : C k → H k − 1 ( M k − 1 ) \partial'\colon C_k\to H_{k-1}(M_{k-1}) ∂ ′ : C k → H k − 1 ( M k − 1 ) H k − 1 ( M k − 1 ) → C k − 1 H_{k-1}(M_{k-1})\to C_{k-1} H k − 1 ( M k − 1 ) → C k − 1 ker ∂ ′ = ker d k \ker\partial'=\ker d_k ker ∂ ′ = ker d k j j j H k ( M k ) ≅ ker d k H_k(M_k)\cong\ker d_k H k ( M k ) ≅ ker d k im ∂ ≅ im d k + 1 \operatorname{im}\partial\cong\operatorname{im}d_{k+1} im ∂ ≅ im d k + 1
3。 D ( q ) ∩ f − 1 ( [ λ + 1 2 , λ + 3 2 ] ) D(q)\cap f^{-1}([\lambda+\tfrac12,\lambda+\tfrac32]) D ( q ) ∩ f − 1 ([ λ + 2 1 , λ + 2 3 ]) A q A_q A q ∂ [ D ( q ) ] ∈ H λ ( M λ ) \partial[D(q)]\in H_\lambda(M_\lambda) ∂ [ D ( q )] ∈ H λ ( M λ ) A q ≅ S λ A_q\cong S^\lambda A q ≅ S λ [ D ( p ) ] [D(p)] [ D ( p )] ε p \varepsilon_p ε p A q ⊂ V λ A_q\subset V_\lambda A q ⊂ V λ c o ( p ) \mathrm{co}(p) co ( p ) B p = c o ( p ) ∩ V λ B_p=\mathrm{co}(p)\cap V_\lambda B p = co ( p ) ∩ V λ V λ V_\lambda V λ a + ( θ u , v ) = ( u sinh θ , v cosh θ ) a_+(\theta u,v)=(u\sinh\theta,v\cosh\theta) a + ( θ u , v ) = ( u sinh θ , v cosh θ ) p r x ∘ a + \mathrm{pr}_x\circ a_+ pr x ∘ a + p r 1 \mathrm{pr}_1 pr 1 θ u ↦ u sinh θ \theta u\mapsto u\sinh\theta θ u ↦ u sinh θ A q A_q A q B p B_p B p S λ → R λ ∪ { ∞ } = S λ S^\lambda\to\mathbb{R}^\lambda\cup\{\infty\}=S^\lambda S λ → R λ ∪ { ∞ } = S λ ε p ( ∂ [ D ( q ) ] ) \varepsilon_p(\partial[D(q)]) ε p ( ∂ [ D ( q )]) A q ∩ B p A_q\cap B_p A q ∩ B p T s A q ⊕ T s B p = T s V λ T_sA_q\oplus T_sB_p=T_sV_\lambda T s A q ⊕ T s B p = T s V λ T s B p = ker d p r 1 T_sB_p=\ker d\,\mathrm{pr}_1 T s B p = ker d pr 1 s s s p r 1 ∣ A q \mathrm{pr}_1|_{A_q} pr 1 ∣ A q 定理 5.4［胞体ホモロジーと写像度］ ）と、局所微分同相の局所写像度が Jacobi 行列式の符号であること（補題 4.8［交点数と写像度］ ）から、写像度は ∑ s ϵ s \sum_s\epsilon_s ∑ s ϵ s A q ∩ B p A_q\cap B_p A q ∩ B p p p p q q q
∎ 命題 6.2 （双対ハンドル分解 ） ✓
f : W → [ a , b ] f\colon W\to[a,b] f : W → [ a , b ] W : M 0 ⇝ M 1 W\colon M_0\rightsquigarrow M_1 W : M 0 ⇝ M 1 ξ \xi ξ
− f -f − f W : M 1 ⇝ M 0 W\colon M_1\rightsquigarrow M_0 W : M 1 ⇝ M 0 − ξ -\xi − ξ f f f λ \lambda λ − f -f − f n − λ n-\lambda n − λ W W W M 0 × [ 0 , 1 ] M_0\times[0,1] M 0 × [ 0 , 1 ] λ 1 , … , λ k \lambda_1,\dots,\lambda_k λ 1 , … , λ k W W W M 1 × [ 0 , 1 ] M_1\times[0,1] M 1 × [ 0 , 1 ] n − λ k , … , n − λ 1 n-\lambda_k,\dots,n-\lambda_1 n − λ k , … , n − λ 1 M M M n n n χ ( M ) = ( − 1 ) n χ ( M ) \chi(M)=(-1)^n\chi(M) χ ( M ) = ( − 1 ) n χ ( M ) n n n χ ( M ) = 0 \chi(M)=0 χ ( M ) = 0 M M M n n n 命題 6.1 の 3 の横断性の仮定がすべての λ \lambda λ − f -f − f n − f n-f n − f f f f ± 1 \pm1 ± 1 rank H k ( M ) = rank H n − k ( M ) \operatorname{rank}H_k(M)=\operatorname{rank}H_{n-k}(M) rank H k ( M ) = rank H n − k ( M ) 証明（命題 6.2） 1。 適合チャート ( x , y ) (x,y) ( x , y ) − f = − f ( p ) + ∣ x ∣ 2 − ∣ y ∣ 2 -f=-f(p)+|x|^2-|y|^2 − f = − f ( p ) + ∣ x ∣ 2 − ∣ y ∣ 2 − ξ = x ∂ x − y ∂ y -\xi=x\,\partial_x-y\,\partial_y − ξ = x ∂ x − y ∂ y x x x y y y ( y , x ) (y,x) ( y , x ) − f -f − f − ξ -\xi − ξ n − λ n-\lambda n − λ ( − ξ ) ( − f ) = ξ f > 0 (-\xi)(-f)=\xi f\gt0 ( − ξ ) ( − f ) = ξ f > 0 − ξ -\xi − ξ ξ \xi ξ − f -f − f f f f 定理 3.7 を − f -f − f
2。 指数 λ \lambda λ c λ c_\lambda c λ 定理 7.3［Morse 理論］ の 2 を f f f − f -f − f
χ ( M ) = ∑ λ ( − 1 ) λ c λ , χ ( M ) = ∑ λ ( − 1 ) n − λ c λ = ( − 1 ) n ∑ λ ( − 1 ) λ c λ \chi(M)=\sum_\lambda(-1)^\lambda c_\lambda,\qquad\chi(M)=\sum_\lambda(-1)^{n-\lambda}c_\lambda=(-1)^n\sum_\lambda(-1)^\lambda c_\lambda χ ( M ) = λ ∑ ( − 1 ) λ c λ , χ ( M ) = λ ∑ ( − 1 ) n − λ c λ = ( − 1 ) n λ ∑ ( − 1 ) λ c λ です。
3。 n − f n-f n − f ( n − λ ) (n-\lambda) ( n − λ ) f f f λ \lambda λ p p p ( n − λ − 1 ) (n-\lambda-1) ( n − λ − 1 ) λ + 1 \lambda+1 λ + 1 q q q 命題 6.1 の 3 を n − f n-f n − f [ 上昇円板 ( p ) ] [\text{上昇円板}(p)] [ 上昇円板 ( p )] [ 上昇円板 ( q ) ] [\text{上昇円板}(q)] [ 上昇円板 ( q )] n ′ ( p , q ) n'(p,q) n ′ ( p , q ) V λ V_\lambda V λ B p ∩ A q B_p\cap A_q B p ∩ A q M M M 命題 3.5［交点数と写像度］ ）と同じ計算で、交点によらない符号（p p p q q q n ′ ( p , q ) = ± n ( q , p ) n'(p,q)=\pm n(q,p) n ′ ( p , q ) = ± n ( q , p ) ± 1 \pm1 ± 1 r k = rank d k r_k=\operatorname{rank}d_k r k = rank d k f f f rank H k ( M ) = c k − r k − r k + 1 \operatorname{rank}H_k(M)=c_k-r_k-r_{k+1} rank H k ( M ) = c k − r k − r k + 1 n − f n-f n − f rank H n − k ( M ) = c k − r k + 1 − r k \operatorname{rank}H_{n-k}(M)=c_k-r_{k+1}-r_k rank H n − k ( M ) = c k − r k + 1 − r k
∎ 3 は Betti 数の対称性 b k = b n − k b_k=b_{n-k} b k = b n − k 系 6.5［コホモロジーと双対性］ の 2）の別証明です。de Rham コホモロジーでは外積と積分の対が双対を与えましたが、ここではハンドル分解を上下逆さに見ることが双対です。向きが無い場合も、符号を忘れて Z / 2 \mathbb{Z}/2 Z /2
n = 2 n=2 n = 2 T 2 = S 1 × S 1 T^2=S^1\times S^1 T 2 = S 1 × S 1 R P 2 \mathbb{R}P^2 R P 2 Σ 0 = S 2 \Sigma_0=S^2 Σ 0 = S 2 Σ g \Sigma_g Σ g T 2 T^2 T 2 g g g N k N_k N k R P 2 \mathbb{R}P^2 R P 2 k k k 系 6.4［管状近傍・カラー・イソトピーの拡張］ のとおりです。向きを決めていない連結な閉曲面 M 1 M_1 M 1 M 2 M_2 M 2 R P 2 \mathbb{R}P^2 R P 2 定義 6.3［管状近傍・カラー・イソトピーの拡張］ の構成を、円板の埋め込み f 1 f_1 f 1 f 2 f_2 f 2 M 1 # M 2 M_1\#M_2 M 1 # M 2 f 1 f_1 f 1 f 2 f_2 f 2 定理 7.5 の証明の中で示します。
M M M 系 5.9 の Morse 関数 f f f D 0 = f − 1 ( [ − 1 2 , 1 2 ] ) D_0=f^{-1}([-\tfrac12,\tfrac12]) D 0 = f − 1 ([ − 2 1 , 2 1 ]) D 2 = f − 1 ( [ 3 2 , 5 2 ] ) D_2=f^{-1}([\tfrac32,\tfrac52]) D 2 = f − 1 ([ 2 3 , 2 5 ]) 定理 3.6 により
W 1 : = f − 1 ( [ − 1 2 , 3 2 ] ) = D 0 ∪ S 1 ω ( S 1 ; φ 1 , … , φ m ) , φ j : S 0 × D 1 → S 1 = ∂ D 0 W^1:=f^{-1}([-\tfrac12,\tfrac32])=D_0\cup_{S^1}\omega(S^1;\varphi_1,\dots,\varphi_m),\qquad\varphi_j\colon S^0\times D^1\to S^1=\partial D_0 W 1 := f − 1 ([ − 2 1 , 2 3 ]) = D 0 ∪ S 1 ω ( S 1 ; φ 1 , … , φ m ) , φ j : S 0 × D 1 → S 1 = ∂ D 0 です。W 1 W^1 W 1 D 0 D_0 D 0 m m m 帯 h j = D 1 × D 1 h_j=D^1\times D^1 h j = D 1 × D 1 ∂ W 1 = ∂ D 2 \partial W^1=\partial D_2 ∂ W 1 = ∂ D 2 定理 7.3［Morse 理論］ の 2 により χ ( M ) = 2 − m \chi(M)=2-m χ ( M ) = 2 − m
∂ D 0 \partial D_0 ∂ D 0 h j h_j h j 足 φ j ( { ± 1 } × D 1 ) \varphi_j(\{\pm1\}\times D^1) φ j ({ ± 1 } × D 1 ) t ↦ φ j ( ± 1 , t ) t\mapsto\varphi_j(\pm1,t) t ↦ φ j ( ± 1 , t ) + 1 +1 + 1 − 1 -1 − 1 ∂ D 0 \partial D_0 ∂ D 0 a j ± 1 a_j^{\pm1} a j ± 1 a j a_j a j h j h_j h j 語 といいます。各文字はちょうど 2 回現れます。帯の D 1 D^1 D 1 ( s , t ) ↦ ( s , − t ) (s,t)\mapsto(s,-t) ( s , t ) ↦ ( s , − t ) h j h_j h j W 1 W^1 W 1
帯 D 1 × D 1 D^1\times D^1 D 1 × D 1 d s ∧ d t ds\wedge dt d s ∧ d t s = 1 s=1 s = 1 t t t s = − 1 s=-1 s = − 1 t t t D 0 D_0 D 0 s = 1 s=1 s = 1 − 1 -1 − 1 s = − 1 s=-1 s = − 1 + 1 +1 + 1
2 つの足の指数が逆（⋯ a ⋯ a − 1 ⋯ \cdots a\cdots a^{-1}\cdots ⋯ a ⋯ a − 1 ⋯ ⟺ \iff ⟺ D 0 ∪ h D_0\cup h D 0 ∪ h a a a ねじれていない という。
2 つの足の指数が同じ（⋯ a ⋯ a ⋯ \cdots a\cdots a\cdots ⋯ a ⋯ a ⋯ ⟺ \iff ⟺ D 0 ∪ h D_0\cup h D 0 ∪ h a a a ねじれている という。
円板 D₀ に 2 本の帯 a, b を貼った W¹。足の並びは a, b, a⁻¹, b⁻¹ で、境界は 1 つの円周になり、円板 D₂ でふたをするとトーラスになる。帯 b の足は、帯 a を付けた曲面の境界に沿って動かせる（滑らせ）。 補題 7.1 （円周の微分同相 ） ✓
S 1 S^1 S 1 S 1 S^1 S 1 D 2 D^2 D 2
証明（補題 7.1） S 1 = R / Z S^1=\mathbb{R}/\mathbb{Z} S 1 = R / Z h h h h ~ : R → R \tilde h\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} h ~ : R → R 定理 3.6［基本群と被覆空間］ ）、h ~ ( t + 1 ) = h ~ ( t ) + 1 \tilde h(t+1)=\tilde h(t)+1 h ~ ( t + 1 ) = h ~ ( t ) + 1 h ~ ′ > 0 \tilde h'\gt0 h ~ ′ > 0 h ~ s ( t ) = ( 1 − s ) h ~ ( t ) + s t \tilde h_s(t)=(1-s)\tilde h(t)+st h ~ s ( t ) = ( 1 − s ) h ~ ( t ) + s t S 1 S^1 S 1 h s h_s h s h 0 = h h_0=h h 0 = h h 1 = i d h_1=\mathrm{id} h 1 = id [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] τ \tau τ [ 0 , 1 3 ] [0,\tfrac13] [ 0 , 3 1 ] 1 1 1 [ 2 3 , 1 ] [\tfrac23,1] [ 3 2 , 1 ] 0 0 0 H ( r e 2 π i t ) = r e 2 π i h ~ τ ( r ) ( t ) H(re^{2\pi it})=re^{2\pi i\tilde h_{\tau(r)}(t)} H ( r e 2 π i t ) = r e 2 π i h ~ τ ( r ) ( t ) H H H r ≤ 1 3 r\le\tfrac13 r ≤ 3 1 r = 1 r=1 r = 1 h h h D 2 D^2 D 2 D 2 D^2 D 2
∎ 補題 7.2 （語が曲面を決める ） ✓
語が等しい（巡回的な並べ替えと文字の名前の付け替え、1 つの文字の 2 か所の指数の同時反転を除いて等しい）2 つの「帯の付いた円板」は微分同相である。∂ W 1 \partial W^1 ∂ W 1 W 1 W^1 W 1 W 1 W^1 W 1
また、次が成り立つ（足の置き直し）。Σ \Sigma Σ S 1 S^1 S 1 e 1 , … , e r e_1,\dots,e_r e 1 , … , e r e 1 ′ , … , e r ′ e_1',\dots,e_r' e 1 ′ , … , e r ′ r ≥ 1 r\ge1 r ≥ 1 D 1 → Σ D^1\to\Sigma D 1 → Σ Σ \Sigma Σ l l l e l e_l e l e l ′ e_l' e l ′ Σ \Sigma Σ k k k k ∘ e l = e l ′ k\circ e_l=e_l' k ∘ e l = e l ′ l l l
証明（補題 7.2） 足の置き直し。 最後の主張から示します。向きを保つ微分同相で Σ = R / Z \Sigma=\mathbb{R}/\mathbb{Z} Σ = R / Z g l = e l ′ ∘ e l − 1 g_l=e_l'\circ e_l^{-1} g l = e l ′ ∘ e l − 1 e l e_l e l e l ′ e_l' e l ′ e l ( D 1 ) e_l(D^1) e l ( D 1 ) e l + 1 ( D 1 ) e_{l+1}(D^1) e l + 1 ( D 1 ) e r + 1 = e 1 e_{r+1}=e_1 e r + 1 = e 1 J l J_l J l e ′ e' e ′ J l ′ J_l' J l ′ Σ \Sigma Σ e l ( D 1 ) e_l(D^1) e l ( D 1 ) J l J_l J l e l ′ ( D 1 ) e_l'(D^1) e l ′ ( D 1 ) J l ′ J_l' J l ′ J l J_l J l J l ′ J_l' J l ′ R \mathbb{R} R [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] g l g_l g l 0 0 0 g l + 1 g_{l+1} g l + 1 1 1 1 γ 0 \gamma_0 γ 0 γ 1 \gamma_1 γ 1 γ 0 ( 0 ) = 0 \gamma_0(0)=0 γ 0 ( 0 ) = 0 γ 1 ( 1 ) = 1 \gamma_1(1)=1 γ 1 ( 1 ) = 1 δ ∈ ( 0 , 1 3 ) \delta\in(0,\tfrac13) δ ∈ ( 0 , 3 1 ) γ 0 \gamma_0 γ 0 [ 0 , δ ] [0,\delta] [ 0 , δ ] γ 1 \gamma_1 γ 1 [ 1 − δ , 1 ] [1-\delta,1] [ 1 − δ , 1 ] γ 0 ( δ ) < 1 3 \gamma_0(\delta)\lt\tfrac13 γ 0 ( δ ) < 3 1 γ 1 ( 1 − δ ) > 2 3 \gamma_1(1-\delta)\gt\tfrac23 γ 1 ( 1 − δ ) > 3 2 [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] ρ 0 , ρ 1 , β \rho_0,\rho_1,\beta ρ 0 , ρ 1 , β [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] ρ 0 \rho_0 ρ 0 [ 0 , δ 2 ] [0,\tfrac\delta2] [ 0 , 2 δ ] 1 1 1 [ δ , 1 ] [\delta,1] [ δ , 1 ] 0 0 0 ρ 1 \rho_1 ρ 1 [ 1 − δ 2 , 1 ] [1-\tfrac\delta2,1] [ 1 − 2 δ , 1 ] 1 1 1 [ 0 , 1 − δ ] [0,1-\delta] [ 0 , 1 − δ ] 0 0 0 β \beta β ( δ 2 , 1 − δ 2 ) (\tfrac\delta2,1-\tfrac\delta2) ( 2 δ , 1 − 2 δ ) 0 0 0
p = ρ 0 γ 0 ′ + ρ 1 γ 1 ′ + c β , c = ( 1 − ∫ 0 1 ρ 0 γ 0 ′ − ∫ 0 1 ρ 1 γ 1 ′ ) / ∫ 0 1 β p=\rho_0\gamma_0'+\rho_1\gamma_1'+c\,\beta,\qquad c=\Bigl(1-\int_0^1\rho_0\gamma_0'-\int_0^1\rho_1\gamma_1'\Bigr)\Big/\int_0^1\beta p = ρ 0 γ 0 ′ + ρ 1 γ 1 ′ + c β , c = ( 1 − ∫ 0 1 ρ 0 γ 0 ′ − ∫ 0 1 ρ 1 γ 1 ′ ) / ∫ 0 1 β とおきます。∫ 0 1 ρ 0 γ 0 ′ ≤ γ 0 ( δ ) < 1 3 \int_0^1\rho_0\gamma_0'\le\gamma_0(\delta)\lt\tfrac13 ∫ 0 1 ρ 0 γ 0 ′ ≤ γ 0 ( δ ) < 3 1 ∫ 0 1 ρ 1 γ 1 ′ ≤ 1 − γ 1 ( 1 − δ ) < 1 3 \int_0^1\rho_1\gamma_1'\le1-\gamma_1(1-\delta)\lt\tfrac13 ∫ 0 1 ρ 1 γ 1 ′ ≤ 1 − γ 1 ( 1 − δ ) < 3 1 c > 0 c\gt0 c > 0 p p p [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] ∫ 0 1 p = 1 \int_0^1p=1 ∫ 0 1 p = 1 k l ( x ) = ∫ 0 x p k_l(x)=\int_0^xp k l ( x ) = ∫ 0 x p [ 0 , 1 ] [0,1] [ 0 , 1 ] [ 0 , δ 2 ] [0,\tfrac\delta2] [ 0 , 2 δ ] γ 0 \gamma_0 γ 0 [ 1 − δ 2 , 1 ] [1-\tfrac\delta2,1] [ 1 − 2 δ , 1 ] 1 − ∫ x 1 γ 1 ′ = γ 1 1-\int_x^1\gamma_1'=\gamma_1 1 − ∫ x 1 γ 1 ′ = γ 1 k k k e l ( D 1 ) e_l(D^1) e l ( D 1 ) g l g_l g l J l J_l J l k l k_l k l J l → J l ′ J_l\to J_l' J l → J l ′ J l J_l J l k l k_l k l g l g_l g l g l + 1 g_{l+1} g l + 1 k k k Σ \Sigma Σ k ∘ e l = e l ′ k\circ e_l=e_l' k ∘ e l = e l ′
語と W 1 W^1 W 1 文字の名前の付け替えは接着写像の添字の付け替えです。語は、1 つの文字の 2 つの足のどちらが s = − 1 s=-1 s = − 1 φ j \varphi_j φ j φ j ∘ ( A 1 × A 2 ) \varphi_j\circ(A_1\times A_2) φ j ∘ ( A 1 × A 2 ) A 1 , A 2 ∈ { ± 1 } = O ( 1 ) A_1,A_2\in\{\pm1\}=O(1) A 1 , A 2 ∈ { ± 1 } = O ( 1 ) 補題 3.5 の 3（g g g G G G W 1 W^1 W 1 ( φ j ) (\varphi_j) ( φ j ) ( φ j ′ ) (\varphi_j') ( φ j ′ ) s = ± 1 s=\pm1 s = ± 1 S 1 S^1 S 1 2 m 2m 2 m φ j ( u , ⋅ ) \varphi_j(u,\cdot) φ j ( u , ⋅ ) φ j ′ ( u , ⋅ ) \varphi_j'(u,\cdot) φ j ′ ( u , ⋅ ) u = ± 1 u=\pm1 u = ± 1 S 1 S^1 S 1 S 1 S^1 S 1 k k k k ∘ φ j = φ j ′ k\circ\varphi_j=\varphi_j' k ∘ φ j = φ j ′ 補題 7.1 により k k k k t k_t k t ( k t ∘ φ j ) j (k_t\circ\varphi_j)_j ( k t ∘ φ j ) j ( φ j ) (\varphi_j) ( φ j ) ( φ j ′ ) (\varphi_j') ( φ j ′ ) 命題 3.8 の 2（組の場合）により、2 つの W 1 W^1 W 1 ∂ D 2 = S 1 \partial D^2=S^1 ∂ D 2 = S 1 D 2 D^2 D 2 補題 7.1 ）から従います。
∎ 語 w w w W 1 W^1 W 1 W ( w ) W(w) W ( w ) ∂ W ( w ) \partial W(w) ∂ W ( w ) M ( w ) M(w) M ( w ) W = D 0 W=D_0 W = D 0 M = S 2 M=S^2 M = S 2 例 3.10 ）です。
大文字 U , V , … U,V,\dots U , V , … U − 1 U^{-1} U − 1 U U U
補題 7.3 （帯の滑らせの規則 ） ✓
次の語の書き換えは W ( w ) W(w) W ( w )
（ねじれていない帯）a U a − 1 V a\,U\,a^{-1}\,V a U a − 1 V U U U V V V
（ねじれた帯）a U 1 U 2 a V → a U 1 a V U 2 − 1 a\,U_1U_2\,a\,V\ \to\ a\,U_1\,a\,V\,U_2^{-1} a U 1 U 2 a V → a U 1 a V U 2 − 1 a U 1 U 2 a V → a U 2 a U 1 − 1 V a\,U_1U_2\,a\,V\ \to\ a\,U_2\,a\,U_1^{-1}\,V a U 1 U 2 a V → a U 2 a U 1 − 1 V
（閉じた部分語）w = B T w=B\,T w = B T B B B B B B ∂ W ( B ) \partial W(B) ∂ W ( B ) T T T
証明（補題 7.3） 語 w w w φ 1 , … , φ m : S 0 × D 1 → S 1 \varphi_1,\dots,\varphi_m\colon S^0\times D^1\to S^1 φ 1 , … , φ m : S 0 × D 1 → S 1 Γ \Gamma Γ 補題 7.10 の直前で定めたものを、χ ( S 1 ; ⋅ ) \chi(S^1;\cdot) χ ( S 1 ; ⋅ )
準備 1：帯を 2 組に分ける。 文字の集合を I 1 I_1 I 1 I 2 I_2 I 2
X = D 2 ∪ S 1 ω ( S 1 ; ( φ i ) i ∈ I 1 ) , S ′ = ∂ X = χ ( S 1 ; ( φ i ) i ∈ I 1 ) , R = S 1 ∖ ⋃ i ∈ I 1 φ i ( S 0 × D 1 ) X=D^2\cup_{S^1}\omega\bigl(S^1;(\varphi_i)_{i\in I_1}\bigr),\qquad S'=\partial X=\chi\bigl(S^1;(\varphi_i)_{i\in I_1}\bigr),\qquad R=S^1\setminus\bigcup_{i\in I_1}\varphi_i(S^0\times D^1) X = D 2 ∪ S 1 ω ( S 1 ; ( φ i ) i ∈ I 1 ) , S ′ = ∂ X = χ ( S 1 ; ( φ i ) i ∈ I 1 ) , R = S 1 ∖ i ∈ I 1 ⋃ φ i ( S 0 × D 1 ) とおきます。R R R S ′ S' S ′ S ′ S' S ′ S 1 S^1 S 1 補題 3.3 の上の境界の記述と 定義 3.2 の 1。χ \chi χ φ j \varphi_j φ j j ∈ I 2 j\in I_2 j ∈ I 2 R R R ( φ j ′ ) j ∈ I 2 (\varphi_j')_{j\in I_2} ( φ j ′ ) j ∈ I 2 R R R S ′ S' S ′ k t k_t k t 0 ≤ t ≤ 1 0\le t\le1 0 ≤ t ≤ 1 k 0 = i d k_0=\mathrm{id} k 0 = id k 1 ∘ φ j = φ j ′ k_1\circ\varphi_j=\varphi_j' k 1 ∘ φ j = φ j ′ j ∈ I 2 j\in I_2 j ∈ I 2 ( φ i ) i ∈ I 1 (\varphi_i)_{i\in I_1} ( φ i ) i ∈ I 1 ( φ j ′ ) j ∈ I 2 (\varphi_j')_{j\in I_2} ( φ j ′ ) j ∈ I 2 w ′ w' w ′ W ( w ) ≅ W ( w ′ ) W(w)\cong W(w') W ( w ) ≅ W ( w ′ ) 補題 5.7 （W = D 2 : ∅ ⇝ S 1 W=D^2\colon\varnothing\rightsquigarrow S^1 W = D 2 : ∅ ⇝ S 1 M = S 1 M=S^1 M = S 1
W ( w ) ≅ X ∪ S ′ ω ( S ′ ; ( φ j ) j ∈ I 2 ) , W ( w ′ ) ≅ X ∪ S ′ ω ( S ′ ; ( φ j ′ ) j ∈ I 2 ) W(w)\cong X\cup_{S'}\omega\bigl(S';(\varphi_j)_{j\in I_2}\bigr),\qquad W(w')\cong X\cup_{S'}\omega\bigl(S';(\varphi_j')_{j\in I_2}\bigr) W ( w ) ≅ X ∪ S ′ ω ( S ′ ; ( φ j ) j ∈ I 2 ) , W ( w ′ ) ≅ X ∪ S ′ ω ( S ′ ; ( φ j ′ ) j ∈ I 2 ) で、( k t ∘ φ j ) j ∈ I 2 (k_t\circ\varphi_j)_{j\in I_2} ( k t ∘ φ j ) j ∈ I 2 S ′ S' S ′ 命題 3.8 の 2（組の場合）により右辺どうしは微分同相です。
準備 2：1 つの成分の上で足を置き直す。 Σ \Sigma Σ S ′ S' S ′ Σ \Sigma Σ 定理 4.4［横断性］ ）、向きを 1 つ決めます。I 2 I_2 I 2 φ j ( { u } × D 1 ) \varphi_j(\{u\}\times D^1) φ j ({ u } × D 1 ) D 1 D^1 D 1 Σ \Sigma Σ Σ \Sigma Σ e 1 , … , e r e_1,\dots,e_r e 1 , … , e r e 1 ′ , … , e r ′ e_1',\dots,e_r' e 1 ′ , … , e r ′ Σ ∩ R \Sigma\cap R Σ ∩ R D 1 D^1 D 1
Σ \Sigma Σ e 1 ′ , … , e r ′ e_1',\dots,e_r' e 1 ′ , … , e r ′ 各 l l l e l e_l e l e l ′ e_l' e l ′ Σ \Sigma Σ
ものとします。このとき、補題 7.2 の足の置き直しの主張により、Σ \Sigma Σ k k k k ∘ e l = e l ′ k\circ e_l=e_l' k ∘ e l = e l ′ Σ \Sigma Σ k k k 補題 7.1 により k k k k t k_t k t S ′ S' S ′ R R R W ( w ) W(w) W ( w ) Σ \Sigma Σ Σ \Sigma Σ
準備 3：隙間の中の列は回せる。 γ \gamma γ I 1 I_1 I 1 Σ \Sigma Σ γ \gamma γ S ′ S' S ′ Σ \Sigma Σ I 2 I_2 I 2 γ \gamma γ γ \gamma γ Σ \Sigma Σ Σ \Sigma Σ γ \gamma γ Σ \Sigma Σ γ \gamma γ γ \gamma γ e 1 , … , e r e_1,\dots,e_r e 1 , … , e r Σ \Sigma Σ e l ′ e_l' e l ′ γ ∩ R \gamma\cap R γ ∩ R e 2 ′ , … , e r ′ , e 1 ′ e_2',\dots,e_r',e_1' e 2 ′ , … , e r ′ , e 1 ′ γ \gamma γ
1。 I 1 = { a } I_1=\{a\} I 1 = { a } a a − 1 a\,a^{-1} a a − 1 a a a = a − 1 =a^{-1} = a − 1 γ U \gamma_U γ U a − 1 a^{-1} a − 1 = a =a = a γ V \gamma_V γ V U U U γ U \gamma_U γ U V V V γ V \gamma_V γ V a a a Γ ( a a − 1 ) \Gamma(a\,a^{-1}) Γ ( a a − 1 ) { a の後ろ , a − 1 の前 } = { γ U , γ U } \{a\text{ の後ろ},a^{-1}\text{ の前}\}=\{\gamma_U,\gamma_U\} { a の後ろ , a − 1 の前 } = { γ U , γ U } { γ V , γ V } \{\gamma_V,\gamma_V\} { γ V , γ V } 補題 7.10 の 1 により γ U \gamma_U γ U γ V \gamma_V γ V S ′ S' S ′ Σ U \Sigma_U Σ U Σ V \Sigma_V Σ V I 2 I_2 I 2 γ U ∪ γ V \gamma_U\cup\gamma_V γ U ∪ γ V Σ U \Sigma_U Σ U γ U \gamma_U γ U U U U V V V
2。 I 1 = { a } I_1=\{a\} I 1 = { a } a a a ι \iota ι = = = γ U \gamma_U γ U = = = γ V \gamma_V γ V 補題 7.10 の 5 により、点集合として S ′ = γ U ⊔ γ V ⊔ { n + , n − } S'=\gamma_U\sqcup\gamma_V\sqcup\{n_+,n_-\} S ′ = γ U ⊔ γ V ⊔ { n + , n − } n v n_v n v D ˚ 1 × S 0 \mathring D^1\times S^0 D ˚ 1 × S 0 ( 0 , v ) (0,v) ( 0 , v ) n v n_v n v n v n_v n v v ι = 1 v\iota=1 v ι = 1 v ι = − 1 v\iota=-1 v ι = − 1 γ U \gamma_U γ U γ V \gamma_V γ V x : ( 0 , 1 ) → γ U x\colon(0,1)\to\gamma_U x : ( 0 , 1 ) → γ U y : ( 0 , 1 ) → γ V y\colon(0,1)\to\gamma_V y : ( 0 , 1 ) → γ V n ι n_\iota n ι x ( s ) x(s) x ( s ) y ( s ) y(s) y ( s ) s s s 0 0 0 n − ι n_{-\iota} n − ι s s s 1 1 1
c : R / 2 Z → S ′ , c ( 0 ) = n ι , c ( s ) = x ( s ) ( 0 < s < 1 ) , c ( 1 ) = n − ι , c ( s ) = y ( 2 − s ) ( 1 < s < 2 ) c\colon\mathbb{R}/2\mathbb{Z}\to S',\qquad c(0)=n_\iota,\quad c(s)=x(s)\ (0\lt s\lt1),\quad c(1)=n_{-\iota},\quad c(s)=y(2-s)\ (1\lt s\lt2) c : R /2 Z → S ′ , c ( 0 ) = n ι , c ( s ) = x ( s ) ( 0 < s < 1 ) , c ( 1 ) = n − ι , c ( s ) = y ( 2 − s ) ( 1 < s < 2 ) は連続な全単射で、コンパクト空間から Hausdorff 空間への写像なので同相写像です。したがって S ′ S' S ′ Σ \Sigma Σ Σ \Sigma Σ γ U \gamma_U γ U S 1 → Σ S^1\to\Sigma S 1 → Σ c c c R \mathbb{R} R c c c γ U \gamma_U γ U s s s Σ \Sigma Σ Σ \Sigma Σ γ V \gamma_V γ V 時計回り で、Σ \Sigma Σ U U U V V V
U = U 1 U 2 U=U_1U_2 U = U 1 U 2 e 1 , … , e k e_1,\dots,e_k e 1 , … , e k U 1 U_1 U 1 e k + 1 , … , e p e_{k+1},\dots,e_p e k + 1 , … , e p U 2 U_2 U 2 V V V f 1 , … , f q f_1,\dots,f_q f 1 , … , f q e 1 , … , e p , f q , … , f 1 e_1,\dots,e_p,f_q,\dots,f_1 e 1 , … , e p , f q , … , f 1 e 1 ′ , … , e k ′ e_1',\dots,e_k' e 1 ′ , … , e k ′ γ U \gamma_U γ U γ V \gamma_V γ V e k + 1 ′ , … , e p ′ , f q ′ , … , f 1 ′ e_{k+1}',\dots,e_p',f_q',\dots,f_1' e k + 1 ′ , … , e p ′ , f q ′ , … , f 1 ′ γ V \gamma_V γ V f 1 ′ , … , f q ′ , e p ′ , … , e k + 1 ′ f_1',\dots,f_q',e_p',\dots,e_{k+1}' f 1 ′ , … , f q ′ , e p ′ , … , e k + 1 ′ f l ′ f_l' f l ′ γ U \gamma_U γ U e l ′ e_l' e l ′ Σ \Sigma Σ γ V \gamma_V γ V a U 1 a V U 2 − 1 a\,U_1\,a\,V\,U_2^{-1} a U 1 a V U 2 − 1 e k + 1 ′ , … , e p ′ e_{k+1}',\dots,e_p' e k + 1 ′ , … , e p ′ γ U \gamma_U γ U γ V \gamma_V γ V f q ′ , … , f 1 ′ , e 1 ′ , … , e k ′ f_q',\dots,f_1',e_1',\dots,e_k' f q ′ , … , f 1 ′ , e 1 ′ , … , e k ′ e k + 1 , … , e p , f q , … , f 1 , e 1 , … , e k e_{k+1},\dots,e_p,f_q,\dots,f_1,e_1,\dots,e_k e k + 1 , … , e p , f q , … , f 1 , e 1 , … , e k γ V \gamma_V γ V e k ′ , … , e 1 ′ , f 1 ′ , … , f q ′ e_k',\dots,e_1',f_1',\dots,f_q' e k ′ , … , e 1 ′ , f 1 ′ , … , f q ′ a U 2 a U 1 − 1 V a\,U_2\,a\,U_1^{-1}\,V a U 2 a U 1 − 1 V
3。 I 1 I_1 I 1 B B B S ′ = ∂ W ( B ) S'=\partial W(B) S ′ = ∂ W ( B ) Σ \Sigma Σ T T T B B B B B B = = = γ \gamma γ T T T
∎ 証明（命題 7.4） 境界の成分の個数は、§7.4 の 補題 7.10 （語だけから決まるグラフの連結成分の個数として数える。その証明はこの命題を使いません）で数えます。以下「書き換え」は、補題 7.3 の規則 1〜3、巡回語としての読み直し、文字の名前の付け替え、1 つの文字の 2 か所の指数の同時反転を有限回行うことを指します。
第 0 段：部分語の書き換えは全体の書き換え。 B B B B B B ∂ W ( B ) \partial W(B) ∂ W ( B ) T T T T ′ T' T ′ B T BT B T B T ′ BT' B T ′ B T BT B T T T T T T T B T BT B T
規則 1。T = a U a − 1 V T=a\,U\,a^{-1}\,V T = a U a − 1 V T ′ = a U ′ a − 1 V 2 V 1 T'=a\,U'\,a^{-1}\,V_2V_1 T ′ = a U ′ a − 1 V 2 V 1 U ′ U' U ′ U U U V = V 1 V 2 V=V_1V_2 V = V 1 V 2 B T BT B T a U a − 1 ( V B ) a\,U\,a^{-1}\,(VB) a U a − 1 ( V B ) U U U U ′ U' U ′ V 1 V 2 B V_1V_2B V 1 V 2 B V 2 B V 1 V_2BV_1 V 2 B V 1 a U ′ a − 1 V 2 B V 1 = B ( V 1 a U ′ a − 1 V 2 ) a\,U'\,a^{-1}\,V_2BV_1=B\,(V_1\,a\,U'\,a^{-1}\,V_2) a U ′ a − 1 V 2 B V 1 = B ( V 1 a U ′ a − 1 V 2 ) B a U ′ a − 1 V 2 V 1 = B T ′ B\,a\,U'\,a^{-1}\,V_2V_1=BT' B a U ′ a − 1 V 2 V 1 = B T ′
規則 2。T = a U 1 U 2 a V T=a\,U_1U_2\,a\,V T = a U 1 U 2 a V B T = a U 1 U 2 a ( V B ) BT=a\,U_1U_2\,a\,(VB) B T = a U 1 U 2 a ( V B ) a U 1 a V B U 2 − 1 = B ( U 2 − 1 a U 1 a V ) a\,U_1\,a\,VB\,U_2^{-1}=B\,(U_2^{-1}\,a\,U_1\,a\,V) a U 1 a V B U 2 − 1 = B ( U 2 − 1 a U 1 a V ) B a U 1 a V U 2 − 1 B\,a\,U_1\,a\,V\,U_2^{-1} B a U 1 a V U 2 − 1 a U 2 a U 1 − 1 V B = B a U 2 a U 1 − 1 V a\,U_2\,a\,U_1^{-1}\,VB=B\,a\,U_2\,a\,U_1^{-1}\,V a U 2 a U 1 − 1 V B = B a U 2 a U 1 − 1 V
規則 3。T = B ′ T ′ ′ T=B'\,T'' T = B ′ T ′′ B ′ B' B ′ B ′ B' B ′ ∂ W ( B ′ ) \partial W(B') ∂ W ( B ′ ) T ′ ′ T'' T ′′ B B ′ BB' B B ′ B B ′ BB' B B ′ 補題 7.10 の 2 により ∂ W ( B B ′ ) \partial W(BB') ∂ W ( B B ′ ) 1 + 1 − 1 = 1 1+1-1=1 1 + 1 − 1 = 1 B T = ( B B ′ ) T ′ ′ BT=(BB')\,T'' B T = ( B B ′ ) T ′′
第 1 段：ブロックの積にする。 c c cc cc a b a − 1 b − 1 aba^{-1}b^{-1} ab a − 1 b − 1 ブロック と呼び、文字数についての帰納法で、∂ W ( w ) \partial W(w) ∂ W ( w ) w w w g = 0 g=0 g = 0 B B B ∂ W ( B ) \partial W(B) ∂ W ( B ) 補題 7.10 の 3）。
ねじれた文字があるとき。 w = a U a V w=a\,U\,a\,V w = a U a V U 1 = ∅ U_1=\varnothing U 1 = ∅ U 2 = U U_2=U U 2 = U a a V U − 1 a\,a\,V\,U^{-1} a a V U − 1 B = a a B=aa B = aa T = V U − 1 T=VU^{-1} T = V U − 1 T T T W ( ⋅ ) W(\cdot) W ( ⋅ ) ∂ W ( B T ) \partial W(BT) ∂ W ( B T ) 補題 7.10 の 2 により ∂ W ( T ) \partial W(T) ∂ W ( T ) ∂ W ( B T ) \partial W(BT) ∂ W ( B T ) ∂ W ( T ) \partial W(T) ∂ W ( T ) T T T T T T T ∗ T^\ast T ∗ B T BT B T B T ∗ BT^\ast B T ∗
ねじれた文字が無いとき。 文字 a a a w = a U a − 1 V w=a\,U\,a^{-1}\,V w = a U a − 1 V U U U V V V b b b 補題 7.10 の 4 により ∂ W ( w ) \partial W(w) ∂ W ( w ) b b b w = a U 1 b U 2 a − 1 V 1 b − 1 V 2 w=a\,U_1\,b\,U_2\,a^{-1}\,V_1\,b^{-1}\,V_2 w = a U 1 b U 2 a − 1 V 1 b − 1 V 2
a U 1 b U 2 a − 1 V 1 b − 1 V 2 → a b U 2 U 1 a − 1 b − 1 V 2 V 1 ( a について U , V を回す ) = b U 2 U 1 a − 1 b − 1 V 2 V 1 a ( 巡回語として読み直す ) → b a − 1 U 2 U 1 b − 1 V 2 V 1 a ( b について回す ) = a b a − 1 U 2 U 1 b − 1 V 2 V 1 ( 読み直す ) → a b a − 1 b − 1 V 2 V 1 U 2 U 1 ( a について回す ) \begin{aligned}
a\,U_1bU_2\,a^{-1}\,V_1b^{-1}V_2&\ \to\ a\,bU_2U_1\,a^{-1}\,b^{-1}V_2V_1&&(a\text{ について }U,V\text{ を回す})\\
&\ =\ b\,U_2U_1a^{-1}\,b^{-1}\,V_2V_1a&&(\text{巡回語として読み直す})\\
&\ \to\ b\,a^{-1}U_2U_1\,b^{-1}\,V_2V_1a&&(b\text{ について回す})\\
&\ =\ a\,b\,a^{-1}\,U_2U_1b^{-1}V_2V_1&&(\text{読み直す})\\
&\ \to\ a\,b\,a^{-1}\,b^{-1}V_2V_1U_2U_1&&(a\text{ について回す})
\end{aligned} a U 1 b U 2 a − 1 V 1 b − 1 V 2 → a b U 2 U 1 a − 1 b − 1 V 2 V 1 = b U 2 U 1 a − 1 b − 1 V 2 V 1 a → b a − 1 U 2 U 1 b − 1 V 2 V 1 a = a b a − 1 U 2 U 1 b − 1 V 2 V 1 → a b a − 1 b − 1 V 2 V 1 U 2 U 1 ( a について U , V を回す ) ( 巡回語として読み直す ) ( b について回す ) ( 読み直す ) ( a について回す ) B = a b a − 1 b − 1 B=aba^{-1}b^{-1} B = ab a − 1 b − 1 T = V 2 V 1 U 2 U 1 T=V_2V_1U_2U_1 T = V 2 V 1 U 2 U 1 ∂ W ( T ) \partial W(T) ∂ W ( T ) 補題 7.10 の 2）。帰納法の仮定と第 0 段により、B T BT B T
第 2 段：ブロックを並べ替える。 規則 3 により、ブロック B B B T T T B T 1 T 2 → B T 2 T 1 = T 1 B T 2 B\,T_1T_2\to B\,T_2T_1=T_1BT_2 B T 1 T 2 → B T 2 T 1 = T 1 B T 2
第 3 段：ねじれたブロックがあれば、すべてねじれたブロックにする。 c c a b a − 1 b − 1 R cc\,aba^{-1}b^{-1}\,R cc ab a − 1 b − 1 R
c c a b a − 1 b − 1 R = c ( a ⋅ b a − 1 b − 1 R ) c → c b a − 1 b − 1 R c a − 1 ( c について。 U 1 = a を後ろへ ) = a − 1 ( b − 1 R c ) a − 1 ( c b ) ( 読み直す。 a はねじれた ) → a − 1 a − 1 c b c − 1 R − 1 b ( a について。 U = b − 1 R c を前へ ) = b ( a − 1 a − 1 c ) b ( c − 1 R − 1 ) ( 読み直す。 b はねじれた ) → b b c − 1 R − 1 c − 1 a a ( b について ) = c − 1 ( R − 1 ) c − 1 ( a a b b ) ( 読み直す ) → c − 1 c − 1 a a b b R ( c について ) \begin{aligned}
c\,c\,a\,b\,a^{-1}b^{-1}R&\ =\ c\,(a\cdot ba^{-1}b^{-1}R)\,c&&\\
&\ \to\ c\,ba^{-1}b^{-1}R\,c\,a^{-1}&&(c\text{ について。}U_1=a\text{ を後ろへ})\\
&\ =\ a^{-1}\,(b^{-1}Rc)\,a^{-1}\,(cb)&&(\text{読み直す。}a\text{ はねじれた})\\
&\ \to\ a^{-1}a^{-1}\,c\,b\,c^{-1}R^{-1}b&&(a\text{ について。}U=b^{-1}Rc\text{ を前へ})\\
&\ =\ b\,(a^{-1}a^{-1}c)\,b\,(c^{-1}R^{-1})&&(\text{読み直す。}b\text{ はねじれた})\\
&\ \to\ b\,b\,c^{-1}R^{-1}\,c^{-1}\,a\,a&&(b\text{ について})\\
&\ =\ c^{-1}\,(R^{-1})\,c^{-1}\,(a\,a\,b\,b)&&(\text{読み直す})\\
&\ \to\ c^{-1}c^{-1}\,a\,a\,b\,b\,R&&(c\text{ について})
\end{aligned} c c a b a − 1 b − 1 R = c ( a ⋅ b a − 1 b − 1 R ) c → c b a − 1 b − 1 R c a − 1 = a − 1 ( b − 1 R c ) a − 1 ( c b ) → a − 1 a − 1 c b c − 1 R − 1 b = b ( a − 1 a − 1 c ) b ( c − 1 R − 1 ) → b b c − 1 R − 1 c − 1 a a = c − 1 ( R − 1 ) c − 1 ( a a b b ) → c − 1 c − 1 a a b b R ( c について。 U 1 = a を後ろへ ) ( 読み直す。 a はねじれた ) ( a について。 U = b − 1 R c を前へ ) ( 読み直す。 b はねじれた ) ( b について ) ( 読み直す ) ( c について ) 文字の指数を付け替えれば c c a a b b R cc\,aa\,bb\,R cc aa bb R a b a − 1 b − 1 aba^{-1}b^{-1} ab a − 1 b − 1 a a b b aabb aabb c c cc cc
ねじれた文字の有無。 「語にねじれた文字がある」という性質は、どの書き換えでも変わりません。規則 1・3 と読み直しは指数を変えず、名前の付け替えと同時反転は各文字の 2 つの指数が等しいかどうかを変えません。規則 2 は、ねじれた文字 a a a a a a c 1 c 1 ⋯ c k c k c_1c_1\cdots c_kc_k c 1 c 1 ⋯ c k c k a 1 b 1 a 1 − 1 b 1 − 1 ⋯ a_1b_1a_1^{-1}b_1^{-1}\cdots a 1 b 1 a 1 − 1 b 1 − 1 ⋯ w w w
∎ 定理 7.5 （閉曲面の分類定理 ） ✓
連結な閉曲面 M M M
球面 S 2 = Σ 0 S^2=\Sigma_0 S 2 = Σ 0 g g g Σ g \Sigma_g Σ g g ≥ 1 g\ge1 g ≥ 1 χ ( Σ g ) = 2 − 2 g \chi(\Sigma_g)=2-2g χ ( Σ g ) = 2 − 2 g
射影平面の k k k N k N_k N k k ≥ 1 k\ge1 k ≥ 1 χ ( N k ) = 2 − k \chi(N_k)=2-k χ ( N k ) = 2 − k
とくに、連結な閉曲面は向き付け可能性と Euler 標数で微分同相を除いて決まる。また T 2 # R P 2 ≅ R P 2 # R P 2 # R P 2 T^2\#\mathbb{R}P^2\cong\mathbb{R}P^2\#\mathbb{R}P^2\#\mathbb{R}P^2 T 2 # R P 2 ≅ R P 2 # R P 2 # R P 2
証明（定理 7.5） 標準形の曲面。 P g = M ( a 1 b 1 a 1 − 1 b 1 − 1 ⋯ a g b g a g − 1 b g − 1 ) P_g=M(a_1b_1a_1^{-1}b_1^{-1}\cdots a_gb_ga_g^{-1}b_g^{-1}) P g = M ( a 1 b 1 a 1 − 1 b 1 − 1 ⋯ a g b g a g − 1 b g − 1 ) g ≥ 0 g\ge0 g ≥ 0 P 0 = S 2 P_0=S^2 P 0 = S 2 Q k = M ( c 1 c 1 ⋯ c k c k ) Q_k=M(c_1c_1\cdots c_kc_k) Q k = M ( c 1 c 1 ⋯ c k c k ) k ≥ 1 k\ge1 k ≥ 1 ∂ W ( w ) \partial W(w) ∂ W ( w ) W = D 2 W=D^2 W = D 2 B = c c B=cc B = cc a b a − 1 b − 1 aba^{-1}b^{-1} ab a − 1 b − 1 ∂ W ( B ) \partial W(B) ∂ W ( B ) ∂ W ( B T ) \partial W(BT) ∂ W ( B T ) ∂ W ( T ) \partial W(T) ∂ W ( T ) 補題 7.10 の 3 と 2）、ブロックの個数についての帰納法で従います）。この証明で使う補題 補題 7.7 、補題 7.8 、補題 7.9 、補題 7.10 は §7.4 で証明します（どれもこの定理を使いません）。補題 7.8 の 2・3 により、P g P_g P g Q k Q_k Q k P g P_g P g P g P_g P g Q k Q_k Q k Q k Q_k Q k χ ( P g ) = 2 − 2 g \chi(P_g)=2-2g χ ( P g ) = 2 − 2 g χ ( Q k ) = 2 − k \chi(Q_k)=2-k χ ( Q k ) = 2 − k 系 4.3［胞体ホモロジーと写像度］ ）なので、P g P_g P g g ≥ 0 g\ge0 g ≥ 0 Q k Q_k Q k k ≥ 1 k\ge1 k ≥ 1
どの閉曲面も標準形のどれかに微分同相。 補題 7.8 の 1・2 により、連結な閉曲面 M M M M ( w ) M(w) M ( w ) w w w m = 2 − χ ( M ) m=2-\chi(M) m = 2 − χ ( M ) ∂ W ( w ) \partial W(w) ∂ W ( w ) 命題 7.4 と 補題 7.2 により M ≅ P g M\cong P_g M ≅ P g M ≅ Q k M\cong Q_k M ≅ Q k M M M M ≅ P g M\cong P_g M ≅ P g g = 1 − 1 2 χ ( M ) g=1-\tfrac12\chi(M) g = 1 − 2 1 χ ( M ) M ≅ Q k M\cong Q_k M ≅ Q k k = 2 − χ ( M ) k=2-\chi(M) k = 2 − χ ( M )
連結和の Euler 標数と向き付け可能性。 M 1 M_1 M 1 M 2 M_2 M 2 M 1 # M 2 M_1\#M_2 M 1 # M 2 f i : B R → M i f_i\colon B_R\to M_i f i : B R → M i 系 6.4［管状近傍・カラー・イソトピーの拡張］ の最後の主張（向きを決めていない場合）により、M 1 # M 2 M_1\#M_2 M 1 # M 2 M i ∖ { f i ( 0 ) } M_i\setminus\{f_i(0)\} M i ∖ { f i ( 0 )} X i = M i ∖ f i ( B 1 / 2 ) X_i=M_i\setminus f_i(B_{1/2}) X i = M i ∖ f i ( B 1/2 )
(i) χ ( M 1 # M 2 ) = χ ( M 1 ) + χ ( M 2 ) − 2 \chi(M_1\#M_2)=\chi(M_1)+\chi(M_2)-2 χ ( M 1 # M 2 ) = χ ( M 1 ) + χ ( M 2 ) − 2 C i = f i ( { ∣ x ∣ = 1 2 } ) C_i=f_i(\{|x|=\tfrac12\}) C i = f i ({ ∣ x ∣ = 2 1 }) E i = f i ( { ∣ x ∣ ≤ 1 2 } ) E_i=f_i(\{|x|\le\tfrac12\}) E i = f i ({ ∣ x ∣ ≤ 2 1 }) X i X_i X i M i M_i M i C i C_i C i f i f_i f i X i X_i X i C i C_i C i X 1 : ∅ ⇝ C 1 X_1\colon\varnothing\rightsquigarrow C_1 X 1 : ∅ ⇝ C 1 X 2 : C 2 ⇝ ∅ X_2\colon C_2\rightsquigarrow\varnothing X 2 : C 2 ⇝ ∅ g 1 g_1 g 1 g 2 g_2 g 2 命題 2.3 ）、g i g_i g i ( − 1 ) λ (-1)^\lambda ( − 1 ) λ σ i \sigma_i σ i 補題 2.5［同境と Pontryagin–Thom 構成］ （その証明はこの節の結果を使いません）により χ ( X 1 ) = σ 1 \chi(X_1)=\sigma_1 χ ( X 1 ) = σ 1 χ ( X 2 ) = χ ( C 2 ) + σ 2 = σ 2 \chi(X_2)=\chi(C_2)+\sigma_2=\sigma_2 χ ( X 2 ) = χ ( C 2 ) + σ 2 = σ 2 C 2 C_2 C 2 0 0 0 命題 6.2 の 2）。以下、∣ z ∣ = 1 2 |z|=\tfrac12 ∣ z ∣ = 2 1 0 ≤ t < 1 0\le t\lt1 0 ≤ t < 1 C i C_i C i X i X_i X i c i ( f i ( z ) , t ) = f i ( ( 1 + t ) z ) c_i(f_i(z),t)=f_i((1+t)z) c i ( f i ( z ) , t ) = f i (( 1 + t ) z ) E i E_i E i c i ′ ( f i ( z ) , t ) = f i ( ( 1 − t ) z ) c_i'(f_i(z),t)=f_i((1-t)z) c i ′ ( f i ( z ) , t ) = f i (( 1 − t ) z )
M 1 M_1 M 1 E 1 E_1 E 1 − ∣ f 1 − 1 ( ⋅ ) ∣ 2 -|f_1^{-1}(\cdot)|^2 − ∣ f 1 − 1 ( ⋅ ) ∣ 2 [ − 1 4 , 1 ] [-\tfrac14,1] [ − 4 1 , 1 ] E 1 : C 1 ⇝ ∅ E_1\colon C_1\rightsquigarrow\varnothing E 1 : C 1 ⇝ ∅ 2 2 2 f 1 ( 0 ) f_1(0) f 1 ( 0 ) X 1 X_1 X 1 E 1 E_1 E 1 C 1 C_1 C 1 ( c 1 , c 1 ′ ) (c_1,c_1') ( c 1 , c 1 ′ ) 定義 7.1［管状近傍・カラー・イソトピーの拡張］ の式）は、t ≤ 0 t\le0 t ≤ 0 c 1 ( f 1 ( z ) , − t ) c_1(f_1(z),-t) c 1 ( f 1 ( z ) , − t ) t ≥ 0 t\ge0 t ≥ 0 c 1 ′ ( f 1 ( z ) , t ) c_1'(f_1(z),t) c 1 ′ ( f 1 ( z ) , t ) κ ( f 1 ( z ) , t ) = f 1 ( ( 1 − t ) z ) \kappa(f_1(z),t)=f_1((1-t)z) κ ( f 1 ( z ) , t ) = f 1 (( 1 − t ) z ) − 1 < t < 1 -1\lt t\lt1 − 1 < t < 1 M 1 M_1 M 1 f 1 ( { 0 < ∣ x ∣ < 1 } ) f_1(\{0\lt|x|\lt1\}) f 1 ({ 0 < ∣ x ∣ < 1 }) M 1 M_1 M 1 X 1 ∖ C 1 X_1\setminus C_1 X 1 ∖ C 1 E 1 ∖ C 1 E_1\setminus C_1 E 1 ∖ C 1 M 1 M_1 M 1 補題 7.7 により、M 1 M_1 M 1 g 1 g_1 g 1 2 2 2 補題 2.5［同境と Pontryagin–Thom 構成］ により χ ( M 1 ) = σ 1 + 1 = χ ( X 1 ) + 1 \chi(M_1)=\sigma_1+1=\chi(X_1)+1 χ ( M 1 ) = σ 1 + 1 = χ ( X 1 ) + 1
M 2 M_2 M 2 E 2 E_2 E 2 ∣ f 2 − 1 ( ⋅ ) ∣ 2 |f_2^{-1}(\cdot)|^2 ∣ f 2 − 1 ( ⋅ ) ∣ 2 [ − 1 , 1 4 ] [-1,\tfrac14] [ − 1 , 4 1 ] E 2 : ∅ ⇝ C 2 E_2\colon\varnothing\rightsquigarrow C_2 E 2 : ∅ ⇝ C 2 0 0 0 E 2 E_2 E 2 X 2 X_2 X 2 ( c 2 ′ , c 2 ) (c_2',c_2) ( c 2 ′ , c 2 ) κ ( f 2 ( z ) , t ) = f 2 ( ( 1 + t ) z ) \kappa(f_2(z),t)=f_2((1+t)z) κ ( f 2 ( z ) , t ) = f 2 (( 1 + t ) z ) M 2 M_2 M 2 χ ( M 2 ) = 1 + σ 2 = χ ( X 2 ) + 1 \chi(M_2)=1+\sigma_2=\chi(X_2)+1 χ ( M 2 ) = 1 + σ 2 = χ ( X 2 ) + 1
M 1 # M 2 M_1\#M_2 M 1 # M 2 M 1 # M 2 M_1\#M_2 M 1 # M 2 X 1 X_1 X 1 X 2 X_2 X 2 f 1 ( t u ) f_1(tu) f 1 ( t u ) 1 2 < t < 1 \tfrac12\lt t\lt1 2 1 < t < 1 f 2 ( ( 1 − t ) u ) ∉ X 2 f_2((1-t)u)\notin X_2 f 2 (( 1 − t ) u ) ∈ / X 2 C 1 C_1 C 1 C 2 C_2 C 2 f 1 ( z ) ∼ f 2 ( z ) f_1(z)\sim f_2(z) f 1 ( z ) ∼ f 2 ( z ) ∣ z ∣ = 1 2 |z|=\tfrac12 ∣ z ∣ = 2 1 M 1 # M 2 M_1\#M_2 M 1 # M 2 X 1 X_1 X 1 X 2 X_2 X 2 h : C 1 → C 2 h\colon C_1\to C_2 h : C 1 → C 2 h ( f 1 ( z ) ) = f 2 ( z ) h(f_1(z))=f_2(z) h ( f 1 ( z )) = f 2 ( z ) ( c 1 , c 2 ) (c_1,c_2) ( c 1 , c 2 ) t ≤ 0 t\le0 t ≤ 0 c 1 ( f 1 ( z ) , − t ) = f 1 ( ( 1 − t ) z ) c_1(f_1(z),-t)=f_1((1-t)z) c 1 ( f 1 ( z ) , − t ) = f 1 (( 1 − t ) z ) t ≥ 0 t\ge0 t ≥ 0 c 2 ( f 2 ( z ) , t ) = f 2 ( ( 1 + t ) z ) c_2(f_2(z),t)=f_2((1+t)z) c 2 ( f 2 ( z ) , t ) = f 2 (( 1 + t ) z ) z = 1 2 u z=\tfrac12u z = 2 1 u ∣ u ∣ = 1 |u|=1 ∣ u ∣ = 1 f 2 ( ( 1 − s ) u ) ∼ f 1 ( s u ) f_2((1-s)u)\sim f_1(su) f 2 (( 1 − s ) u ) ∼ f 1 ( s u ) s = 1 2 ( 1 − t ) s=\tfrac12(1-t) s = 2 1 ( 1 − t ) f 2 ( ( 1 + t ) z ) ∼ f 1 ( ( 1 − t ) z ) f_2((1+t)z)\sim f_1((1-t)z) f 2 (( 1 + t ) z ) ∼ f 1 (( 1 − t ) z ) κ ( f 1 ( z ) , t ) \kappa(f_1(z),t) κ ( f 1 ( z ) , t ) − 1 < t < 1 -1\lt t\lt1 − 1 < t < 1 f 1 ( ( 1 − t ) z ) f_1((1-t)z) f 1 (( 1 − t ) z ) M 1 # M 2 M_1\#M_2 M 1 # M 2 f 1 ( { 0 < ∣ x ∣ < 1 } ) f_1(\{0\lt|x|\lt1\}) f 1 ({ 0 < ∣ x ∣ < 1 }) M i ∖ { f i ( 0 ) } M_i\setminus\{f_i(0)\} M i ∖ { f i ( 0 )} X i ∖ C i X_i\setminus C_i X i ∖ C i M 1 # M 2 M_1\#M_2 M 1 # M 2 補題 7.7 により、M 1 # M 2 M_1\#M_2 M 1 # M 2 g 1 g_1 g 1 g 2 g_2 g 2 χ ( M 1 # M 2 ) = σ 1 + σ 2 = χ ( X 1 ) + χ ( X 2 ) = χ ( M 1 ) + χ ( M 2 ) − 2 \chi(M_1\#M_2)=\sigma_1+\sigma_2=\chi(X_1)+\chi(X_2)=\chi(M_1)+\chi(M_2)-2 χ ( M 1 # M 2 ) = σ 1 + σ 2 = χ ( X 1 ) + χ ( X 2 ) = χ ( M 1 ) + χ ( M 2 ) − 2
(ii) M 1 # M 2 M_1\#M_2 M 1 # M 2 M 1 M_1 M 1 M 2 M_2 M 2 M 1 M_1 M 1 M 2 M_2 M 2 f 1 f_1 f 1 f 2 f_2 f 2 系 6.4［管状近傍・カラー・イソトピーの拡張］ により M 1 # M 2 M_1\#M_2 M 1 # M 2 M 1 # M 2 M_1\#M_2 M 1 # M 2 M 1 ∖ { f 1 ( 0 ) } M_1\setminus\{f_1(0)\} M 1 ∖ { f 1 ( 0 )} f 1 ( B R ∖ { 0 } ) f_1(B_R\setminus\{0\}) f 1 ( B R ∖ { 0 }) f 1 f_1 f 1 R 2 \mathbb{R}^2 R 2 f 1 ( B R ) f_1(B_R) f 1 ( B R ) M 1 M_1 M 1 M 2 M_2 M 2
連結和は標準形。 T 2 = S 1 × S 1 T^2=S^1\times S^1 T 2 = S 1 × S 1 χ ( T 2 ) = 0 \chi(T^2)=0 χ ( T 2 ) = 0 補題 7.9 ）。(i)(ii) を繰り返し使うと、T 2 T^2 T 2 g g g 0 ⋅ g − 2 ( g − 1 ) = 2 − 2 g 0\cdot g-2(g-1)=2-2g 0 ⋅ g − 2 ( g − 1 ) = 2 − 2 g P g P_g P g Σ g ≅ P g \Sigma_g\cong P_g Σ g ≅ P g g = 0 g=0 g = 0 Σ 0 = S 2 = P 0 \Sigma_0=S^2=P_0 Σ 0 = S 2 = P 0 R P 2 \mathbb{R}P^2 R P 2 χ ( R P 2 ) = 1 \chi(\mathbb{R}P^2)=1 χ ( R P 2 ) = 1 補題 7.9 ）は奇数なので、向き付け不可能で、R P 2 ≅ Q 1 \mathbb{R}P^2\cong Q_1 R P 2 ≅ Q 1 R P 2 \mathbb{R}P^2 R P 2 k k k k − 2 ( k − 1 ) = 2 − k k-2(k-1)=2-k k − 2 ( k − 1 ) = 2 − k N k ≅ Q k N_k\cong Q_k N k ≅ Q k
以上から、連結な閉曲面は Σ g ≅ P g \Sigma_g\cong P_g Σ g ≅ P g g ≥ 0 g\ge0 g ≥ 0 N k ≅ Q k N_k\cong Q_k N k ≅ Q k k ≥ 1 k\ge1 k ≥ 1 χ ( Σ g ) = 2 − 2 g \chi(\Sigma_g)=2-2g χ ( Σ g ) = 2 − 2 g χ ( N k ) = 2 − k \chi(N_k)=2-k χ ( N k ) = 2 − k
最後の主張。 T 2 # R P 2 T^2\#\mathbb{R}P^2 T 2 # R P 2 0 + 1 − 2 = − 1 0+1-2=-1 0 + 1 − 2 = − 1 Q 3 ≅ N 3 Q_3\cong N_3 Q 3 ≅ N 3 命題 7.4 の証明の第 3 段（R R R c c a b a − 1 b − 1 → c c a a b b cc\,aba^{-1}b^{-1}\to cc\,aa\,bb cc ab a − 1 b − 1 → cc aa bb
∎ 例 7.6 （Klein の壺と、消えないハンドル ）
Klein の壺 K K K a b a − 1 b aba^{-1}b ab a − 1 b D 0 D_0 D 0 D 0 D_0 D 0 a a a b b b D 2 D_2 D 2 K K K a b a − 1 b a\,b\,a^{-1}\,b a b a − 1 b T 2 = R 2 / Z 2 T^2=\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2 T 2 = R 2 / Z 2 a b a − 1 b − 1 aba^{-1}b^{-1} ab a − 1 b − 1 b b b b ( a − 1 ) b ( a ) b\,(a^{-1})\,b\,(a) b ( a − 1 ) b ( a ) 補題 7.3 の規則 2 を使うと b b a a b\,b\,a\,a b b a a K ≅ N 2 = R P 2 # R P 2 K\cong N_2=\mathbb{R}P^2\#\mathbb{R}P^2 K ≅ N 2 = R P 2 # R P 2 χ ( K ) = 0 \chi(K)=0 χ ( K ) = 0 定理 7.5 からも、向き付け不可能で χ = 0 \chi=0 χ = 0 N 2 N_2 N 2
語 a b a − 1 b aba^{-1}b ab a − 1 b K K K D 2 D_2 D 2 ∂ W 1 \partial W^1 ∂ W 1 a a a D 2 D_2 D 2 a a a 0 0 0 b b b ± 2 \pm2 ± 2 命題 6.1 の鎖複体は 0 → Z → ( 0 , 2 ) Z 2 → 0 Z → 0 0\to\mathbb{Z}\xrightarrow{(0,2)}\mathbb{Z}^2\xrightarrow{0}\mathbb{Z}\to0 0 → Z ( 0 , 2 ) Z 2 0 Z → 0 H 1 ( K ) ≅ Z ⊕ Z / 2 H_1(K)\cong\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}/2 H 1 ( K ) ≅ Z ⊕ Z /2 a a a D 2 D_2 D 2 ± 1 \pm1 ± 1 ± 1 \pm1 ± 1
定理 7.5 の証明で使った 3 つの補題と、§7.2 で境界の成分を数えるのに使った補題 補題 7.10 を証明します。どれも分類定理を使わず、補題 7.10 は §7.2 の結果も使いません。
補題 7.7 （貼り合わせた同境の上の Morse 関数 ） ✓
X 1 : M 0 ⇝ M X_1\colon M_0\rightsquigarrow M X 1 : M 0 ⇝ M X 2 : M ′ ⇝ M 1 X_2\colon M'\rightsquigarrow M_1 X 2 : M ′ ⇝ M 1 n n n f i f_i f i X i X_i X i h : M → M ′ h\colon M\to M' h : M → M ′ X 1 X_1 X 1 X 2 X_2 X 2 h h h X 1 ∪ h X 2 : M 0 ⇝ M 1 X_1\cup_hX_2\colon M_0\rightsquigarrow M_1 X 1 ∪ h X 2 : M 0 ⇝ M 1 系 7.4［管状近傍・カラー・イソトピーの拡張］ 。どのカラーによる構造でもよい）の上に、指数 λ \lambda λ λ \lambda λ f 1 f_1 f 1 f 2 f_2 f 2
証明（補題 7.7） 値域の区間の向きを保つ 1 次式を合成して、f 1 : X 1 → [ 0 , 1 ] f_1\colon X_1\to[0,1] f 1 : X 1 → [ 0 , 1 ] f 2 : X 2 → [ 1 , 2 ] f_2\colon X_2\to[1,2] f 2 : X 2 → [ 1 , 2 ] ε ∈ ( 0 , 1 ) \varepsilon\in(0,1) ε ∈ ( 0 , 1 ) [ 1 − ε , 1 ] [1-\varepsilon,1] [ 1 − ε , 1 ] f 1 f_1 f 1 [ 1 , 1 + ε ] [1,1+\varepsilon] [ 1 , 1 + ε ] f 2 f_2 f 2 1 1 1 f 2 − 1 ( [ 1 , 1 + ε ] ) f_2^{-1}([1,1+\varepsilon]) f 2 − 1 ([ 1 , 1 + ε ]) 定理 2.7 の微分同相 Φ 2 : M ′ × [ 1 , 1 + ε ] → f 2 − 1 ( [ 1 , 1 + ε ] ) \Phi_2\colon M'\times[1,1+\varepsilon]\to f_2^{-1}([1,1+\varepsilon]) Φ 2 : M ′ × [ 1 , 1 + ε ] → f 2 − 1 ([ 1 , 1 + ε ]) Φ 2 ( z , 1 ) = z \Phi_2(z,1)=z Φ 2 ( z , 1 ) = z f 2 ∘ Φ 2 = p r 2 f_2\circ\Phi_2=\mathrm{pr}_2 f 2 ∘ Φ 2 = pr 2 c 2 ( z , t ) = Φ 2 ( z , 1 + ε t ) c_2(z,t)=\Phi_2(z,1+\varepsilon t) c 2 ( z , t ) = Φ 2 ( z , 1 + εt ) 0 ≤ t < 1 0\le t\lt1 0 ≤ t < 1 M ′ M' M ′ X 2 X_2 X 2 f 2 ( c 2 ( z , t ) ) = 1 + ε t f_2(c_2(z,t))=1+\varepsilon t f 2 ( c 2 ( z , t )) = 1 + εt f 1 − 1 ( [ 1 − ε , 1 ] ) : M ⇝ f 1 − 1 ( 1 − ε ) f_1^{-1}([1-\varepsilon,1])\colon M\rightsquigarrow f_1^{-1}(1-\varepsilon) f 1 − 1 ([ 1 − ε , 1 ]) : M ⇝ f 1 − 1 ( 1 − ε ) − f 1 -f_1 − f 1 M M M X 1 X_1 X 1 c 1 c_1 c 1 f 1 ( c 1 ( z , t ) ) = 1 − ε t f_1(c_1(z,t))=1-\varepsilon t f 1 ( c 1 ( z , t )) = 1 − εt f = f 1 ∪ f 2 f=f_1\cup f_2 f = f 1 ∪ f 2 κ \kappa κ 定義 7.1［管状近傍・カラー・イソトピーの拡張］ の式）について f ( κ ( z , t ) ) = 1 + ε t f(\kappa(z,t))=1+\varepsilon t f ( κ ( z , t )) = 1 + εt − 1 < t < 1 -1\lt t\lt1 − 1 < t < 1 f = f i f=f_i f = f i f : X 1 ∪ h X 2 → [ 0 , 2 ] f\colon X_1\cup_hX_2\to[0,2] f : X 1 ∪ h X 2 → [ 0 , 2 ] f − 1 ( 0 ) = M 0 f^{-1}(0)=M_0 f − 1 ( 0 ) = M 0 f − 1 ( 2 ) = M 1 f^{-1}(2)=M_1 f − 1 ( 2 ) = M 1 f 1 f_1 f 1 f 2 f_2 f 2 W ′ W' W ′ Θ \Theta Θ ∂ \partial ∂ f ∘ Θ − 1 f\circ\Theta^{-1} f ∘ Θ − 1
∎ 補題 7.8 （閉曲面と語 ） ✓
連結な閉曲面 M M M ∂ W ( w ) \partial W(w) ∂ W ( w ) w w w M ( w ) M(w) M ( w )
w w w m m m ∂ W ( w ) \partial W(w) ∂ W ( w ) M ( w ) M(w) M ( w ) χ ( M ( w ) ) = 2 − m \chi(M(w))=2-m χ ( M ( w )) = 2 − m 2 の w w w M ( w ) M(w) M ( w ) w w w
証明（補題 7.8） W ( w ) = D 2 ∪ S 1 ω ( S 1 ; φ 1 , … , φ m ) W(w)=D^2\cup_{S^1}\omega(S^1;\varphi_1,\dots,\varphi_m) W ( w ) = D 2 ∪ S 1 ω ( S 1 ; φ 1 , … , φ m ) φ j : S 0 × D 1 → S 1 \varphi_j\colon S^0\times D^1\to S^1 φ j : S 0 × D 1 → S 1 w w w M ( w ) = W ( w ) ∪ h D 2 M(w)=W(w)\cup_hD^2 M ( w ) = W ( w ) ∪ h D 2 h : S 1 → ∂ W ( w ) h\colon S^1\to\partial W(w) h : S 1 → ∂ W ( w ) φ j \varphi_j φ j h h h 補題 7.2 のとおりです。ω = ω ( S 1 ; φ 1 , … , φ m ) \omega=\omega(S^1;\varphi_1,\dots,\varphi_m) ω = ω ( S 1 ; φ 1 , … , φ m )
1。 系 5.9 の自己指数的な Morse 関数 f : M → [ − 1 2 , 5 2 ] f\colon M\to[-\tfrac12,\tfrac52] f : M → [ − 2 1 , 2 5 ] D 0 = f − 1 ( [ − 1 2 , 1 2 ] ) D_0=f^{-1}([-\tfrac12,\tfrac12]) D 0 = f − 1 ([ − 2 1 , 2 1 ]) N = f − 1 ( 1 2 ) N=f^{-1}(\tfrac12) N = f − 1 ( 2 1 ) W 1 = f − 1 ( [ 1 2 , 3 2 ] ) W_1=f^{-1}([\tfrac12,\tfrac32]) W 1 = f − 1 ([ 2 1 , 2 3 ]) W 1 = D 0 ∪ W 1 W^1=D_0\cup W_1 W 1 = D 0 ∪ W 1 D 2 = f − 1 ( [ 3 2 , 5 2 ] ) D_2=f^{-1}([\tfrac32,\tfrac52]) D 2 = f − 1 ([ 2 3 , 2 5 ]) 定理 3.6 を D 0 D_0 D 0 0 0 0 κ 0 : D 2 → D 0 \kappa_0\colon D^2\to D_0 κ 0 : D 2 → D 0 W 1 W_1 W 1 ψ j : S 0 × D 1 → N \psi_j\colon S^0\times D^1\to N ψ j : S 0 × D 1 → N N N N κ 1 : ω ( N ; ψ 1 , … , ψ m ) → W 1 \kappa_1\colon\omega(N;\psi_1,\dots,\psi_m)\to W_1 κ 1 : ω ( N ; ψ 1 , … , ψ m ) → W 1 φ j = ( κ 0 ∣ S 1 ) − 1 ∘ ψ j \varphi_j=(\kappa_0|_{S^1})^{-1}\circ\psi_j φ j = ( κ 0 ∣ S 1 ) − 1 ∘ ψ j 補題 3.5 の 3・1・2 により
D 2 ∪ S 1 ω ( S 1 ; φ 1 , … , φ m ) ≅ D 0 ∪ N ω ( N ; ψ 1 , … , ψ m ) ≅ D 0 ∪ N W 1 ≅ W 1 D^2\cup_{S^1}\omega(S^1;\varphi_1,\dots,\varphi_m)\ \cong\ D_0\cup_N\omega(N;\psi_1,\dots,\psi_m)\ \cong\ D_0\cup_NW_1\ \cong\ W^1 D 2 ∪ S 1 ω ( S 1 ; φ 1 , … , φ m ) ≅ D 0 ∪ N ω ( N ; ψ 1 , … , ψ m ) ≅ D 0 ∪ N W 1 ≅ W 1 です。( φ j ) (\varphi_j) ( φ j ) w w w W 1 ≅ W ( w ) W^1\cong W(w) W 1 ≅ W ( w ) D 2 D_2 D 2 − f -f − f 0 0 0 命題 6.2 の 1）、同じく D 2 D^2 D 2 ∂ W ( w ) ≅ ∂ W 1 = ∂ D 2 \partial W(w)\cong\partial W^1=\partial D_2 ∂ W ( w ) ≅ ∂ W 1 = ∂ D 2 補題 3.5 の 2 により M ≅ W 1 ∪ D 2 M\cong W^1\cup D_2 M ≅ W 1 ∪ D 2 W ( w ) W(w) W ( w ) D 2 D^2 D 2 M ( w ) M(w) M ( w )
2。 M ( w ) M(w) M ( w ) ω \omega ω [ − 1 , 1 ] [-1,1] [ − 1 , 1 ] m = 0 m=0 m = 0 S 1 × [ − 1 , 1 ] S^1\times[-1,1] S 1 × [ − 1 , 1 ] S 1 S^1 S 1 L 1 L_1 L 1 W ( w ) W(w) W ( w ) M ( w ) M(w) M ( w ) D 2 D^2 D 2 ∣ y ∣ 2 |y|^2 ∣ y ∣ 2 [ − 1 , 1 ] [-1,1] [ − 1 , 1 ] D 2 : ∅ ⇝ S 1 D^2\colon\varnothing\rightsquigarrow S^1 D 2 : ∅ ⇝ S 1 − 1 -1 − 1 1 1 1 S 1 S^1 S 1 0 0 0 ω \omega ω F F F ω : S 1 ⇝ ∂ W ( w ) \omega\colon S^1\rightsquigarrow\partial W(w) ω : S 1 ⇝ ∂ W ( w ) 1 1 1 m m m 補題 3.3 ）、− ∣ y ∣ 2 -|y|^2 − ∣ y ∣ 2 [ − 1 , 1 ] [-1,1] [ − 1 , 1 ] D 2 : S 1 ⇝ ∅ D^2\colon S^1\rightsquigarrow\varnothing D 2 : S 1 ⇝ ∅ 2 2 2 補題 7.7 を 2 回使うと、M ( w ) M(w) M ( w ) 0 , 1 , 2 0,1,2 0 , 1 , 2 1 , m , 1 1,m,1 1 , m , 1 補題 2.5［同境と Pontryagin–Thom 構成］ （その証明はこの節の結果を使いません）により χ ( M ( w ) ) = 1 − m + 1 = 2 − m \chi(M(w))=1-m+1=2-m χ ( M ( w )) = 1 − m + 1 = 2 − m
3。 まず ω \omega ω Int ω \operatorname{Int}\omega Int ω w w w Z = S 1 ∖ ⋃ j φ j ( S 0 × 0 ) Z=S^1\setminus\bigcup_j\varphi_j(S^0\times0) Z = S 1 ∖ ⋃ j φ j ( S 0 × 0 ) ω \omega ω Z × [ − 1 , 1 ] Z\times[-1,1] Z × [ − 1 , 1 ] L 1 L_1 L 1 L ( j ) L^{(j)} L ( j ) S 1 S^1 S 1 ∂ / ∂ c \partial/\partial c ∂ / ∂ c o o o L ( j ) ⊂ R 2 L^{(j)}\subset\mathbb{R}^2 L ( j ) ⊂ R 2 d x ∧ d y dx\wedge dy d x ∧ d y φ j ( { u } × D 1 ) \varphi_j(\{u\}\times D^1) φ j ({ u } × D 1 ) u = ± 1 u=\pm1 u = ± 1 ι j , u = ± 1 \iota_{j,u}=\pm1 ι j , u = ± 1 ω \omega ω s ∈ ( − 1 , 1 ) ∖ { 0 } s\in(-1,1)\setminus\{0\} s ∈ ( − 1 , 1 ) ∖ { 0 } c ∈ [ − 1 , 1 ] c\in[-1,1] c ∈ [ − 1 , 1 ] ( φ j ( u , s ) , c ) (\varphi_j(u,s),c) ( φ j ( u , s ) , c ) a − ( u , s ) = ( u cosh s , sinh s ) a_-(u,s)=(u\cosh s,\sinh s) a − ( u , s ) = ( u cosh s , sinh s ) η 1 \eta_1 η 1 q 1 = c q_1=c q 1 = c T ( s , c ) T(s,c) T ( s , c ) c = − 1 c=-1 c = − 1 ∂ T / ∂ s = ( u sinh s , cosh s ) \partial T/\partial s=(u\sinh s,\cosh s) ∂ T / ∂ s = ( u sinh s , cosh s ) ∂ T / ∂ c \partial T/\partial c ∂ T / ∂ c η 1 = ( − x , y ) = ( − u cosh s , sinh s ) \eta_1=(-x,y)=(-u\cosh s,\sinh s) η 1 = ( − x , y ) = ( − u cosh s , sinh s )
sign det ( u sinh s − u cosh s cosh s sinh s ) = sign ( u cosh 2 s ) = u \operatorname{sign}\det\begin{pmatrix}u\sinh s&-u\cosh s\\ \cosh s&\sinh s\end{pmatrix}=\operatorname{sign}\bigl(u\cosh2s\bigr)=u sign det ( u sinh s cosh s − u cosh s sinh s ) = sign ( u cosh 2 s ) = u です。T T T s > 0 s\gt0 s > 0 s < 0 s\lt0 s < 0 ∂ / ∂ s \partial/\partial s ∂ / ∂ s ι j , u \iota_{j,u} ι j , u o o o d x ∧ d y dx\wedge dy d x ∧ d y u ι j , u u\,\iota_{j,u} u ι j , u
Int ω \operatorname{Int}\omega Int ω A × ( − 1 , 1 ) A\times(-1,1) A × ( − 1 , 1 ) A A A Z Z Z L ( j ) L^{(j)} L ( j ) { − 1 < q 1 < 1 , ∣ x ∣ ∣ y ∣ < sinh 1 cosh 1 } \{-1\lt q_1\lt1,\ |x||y|\lt\sinh1\cosh1\} { − 1 < q 1 < 1 , ∣ x ∣∣ y ∣ < sinh 1 cosh 1 } σ A o \sigma_A\,o σ A o ϵ j d x ∧ d y \epsilon_j\,dx\wedge dy ϵ j d x ∧ d y σ A , ϵ j = ± 1 \sigma_A,\epsilon_j=\pm1 σ A , ϵ j = ± 1 ( j , u ) (j,u) ( j , u ) s > 0 s\gt0 s > 0 A A A s < 0 s\lt0 s < 0 A ′ A' A ′ σ A u ι j , u = ϵ j = σ A ′ u ι j , u \sigma_A\,u\,\iota_{j,u}=\epsilon_j=\sigma_{A'}\,u\,\iota_{j,u} σ A u ι j , u = ϵ j = σ A ′ u ι j , u σ A = σ A ′ \sigma_A=\sigma_{A'} σ A = σ A ′ Z Z Z σ A \sigma_A σ A σ \sigma σ ι j , 1 = σ ϵ j = − ι j , − 1 \iota_{j,1}=\sigma\epsilon_j=-\iota_{j,-1} ι j , 1 = σ ϵ j = − ι j , − 1 u ι j , u = ι j , 1 u\,\iota_{j,u}=\iota_{j,1} u ι j , u = ι j , 1 u = ± 1 u=\pm1 u = ± 1 o o o L ( j ) L^{(j)} L ( j ) ι j , 1 d x ∧ d y \iota_{j,1}\,dx\wedge dy ι j , 1 d x ∧ d y ω \omega ω
次に M ( w ) M(w) M ( w ) Int ω \operatorname{Int}\omega Int ω W ( w ) W(w) W ( w ) W ( w ) ∖ ∂ W ( w ) W(w)\setminus\partial W(w) W ( w ) ∖ ∂ W ( w ) M ( w ) M(w) M ( w ) 系 7.4［管状近傍・カラー・イソトピーの拡張］ の 1）。よって M ( w ) M(w) M ( w ) Int ω \operatorname{Int}\omega Int ω w w w ω \omega ω S 1 S^1 S 1 D 2 D^2 D 2 ∂ D 2 → S 1 ⊂ ∂ ω \partial D^2\to S^1\subset\partial\omega ∂ D 2 → S 1 ⊂ ∂ ω W ( w ) W(w) W ( w ) ∂ W ( w ) \partial W(w) ∂ W ( w ) M ( w ) = W ( w ) ∪ h D 2 M(w)=W(w)\cup_hD^2 M ( w ) = W ( w ) ∪ h D 2
∎ 補題 7.9 （トーラスと射影平面の Euler 標数 ） ✓
T 2 = S 1 × S 1 T^2=S^1\times S^1 T 2 = S 1 × S 1 χ ( T 2 ) = 0 \chi(T^2)=0 χ ( T 2 ) = 0 χ ( R P 2 ) = 1 \chi(\mathbb{R}P^2)=1 χ ( R P 2 ) = 1
証明（補題 7.9） T 2 = R 2 / Z 2 T^2=\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2 T 2 = R 2 / Z 2 ( θ 1 , θ 2 ) (\theta_1,\theta_2) ( θ 1 , θ 2 ) T 2 T^2 T 2 ∂ / ∂ θ 1 \partial/\partial\theta_1 ∂ / ∂ θ 1 定理 7.6［交点数と写像度］ ）の左辺は空の和で、χ ( T 2 ) = 0 \chi(T^2)=0 χ ( T 2 ) = 0 χ ( R P 2 ) = 1 2 ( 1 + ( − 1 ) 2 ) = 1 \chi(\mathbb{R}P^2)=\tfrac12(1+(-1)^2)=1 χ ( R P 2 ) = 2 1 ( 1 + ( − 1 ) 2 ) = 1 補題 2.7［同境と Pontryagin–Thom 構成］ の m = 2 m=2 m = 2 補題 2.5［同境と Pontryagin–Thom 構成］ だけに依り、この節の結果を使いません）。
∎ 最後に、∂ W ( w ) \partial W(w) ∂ W ( w ) w w w m ≥ 1 m\ge1 m ≥ 1 φ 1 , … , φ m : S 0 × D 1 → S 1 \varphi_1,\dots,\varphi_m\colon S^0\times D^1\to S^1 φ 1 , … , φ m : S 0 × D 1 → S 1 S 1 S^1 S 1 2 m 2m 2 m φ j ( ± 1 , 0 ) \varphi_j(\pm1,0) φ j ( ± 1 , 0 ) 2 m 2m 2 m w w w 隙間 と呼びます。足の中心の反時計回り側に隣り合う隙間をその足の後ろ の隙間、時計回り側に隣り合う隙間を前 の隙間といいます。どの隙間も、ちょうど 1 つの足の後ろの隙間で、ちょうど 1 つの足の前の隙間です。頂点を隙間の全体とし、各文字について、その 2 つの足を e e e e ′ e' e ′ Γ ( w ) \Gamma(w) Γ ( w )
文字がねじれていないとき：{ e の後ろ , e ′ の前 } \{e\text{ の後ろ},\ e'\text{ の前}\} { e の後ろ , e ′ の前 } { e の前 , e ′ の後ろ } \{e\text{ の前},\ e'\text{ の後ろ}\} { e の前 , e ′ の後ろ }
文字がねじれているとき：{ e の後ろ , e ′ の後ろ } \{e\text{ の後ろ},\ e'\text{ の後ろ}\} { e の後ろ , e ′ の後ろ } { e の前 , e ′ の前 } \{e\text{ の前},\ e'\text{ の前}\} { e の前 , e ′ の前 }
Γ ( w ) \Gamma(w) Γ ( w ) w w w
補題 7.10 （境界の成分はグラフで数えられる ） ✓
w w w m ≥ 1 m\ge1 m ≥ 1 ∂ W ( w ) \partial W(w) ∂ W ( w ) ∂ W ( w ) \partial W(w) ∂ W ( w ) Γ ( w ) \Gamma(w) Γ ( w ) ∂ W ( w ) \partial W(w) ∂ W ( w ) ∂ W ( w ) \partial W(w) ∂ W ( w ) Γ ( w ) \Gamma(w) Γ ( w ) w = B T w=B\,T w = B T B B B B B B T T T T T T ∂ W ( B ) \partial W(B) ∂ W ( B ) ∂ W ( T ) \partial W(T) ∂ W ( T ) ∂ W ( B T ) \partial W(BT) ∂ W ( B T ) β ( B ) \beta(B) β ( B ) β ( T ) \beta(T) β ( T ) β ( B T ) \beta(BT) β ( B T ) β ( B T ) = β ( B ) + β ( T ) − 1 \beta(BT)=\beta(B)+\beta(T)-1 β ( B T ) = β ( B ) + β ( T ) − 1 β = 1 \beta=1 β = 1 ∂ W ( c c ) \partial W(c\,c) ∂ W ( c c ) ∂ W ( a b a − 1 b − 1 ) \partial W(a\,b\,a^{-1}\,b^{-1}) ∂ W ( a b a − 1 b − 1 ) w = a U a − 1 V w=a\,U\,a^{-1}\,V w = a U a − 1 V a a a U U U V V V ∂ W ( w ) \partial W(w) ∂ W ( w ) （1 の点集合としての形）w w w m ≥ 1 m\ge1 m ≥ 1 φ j ( { u } × D 1 ) \varphi_j(\{u\}\times D^1) φ j ({ u } × D 1 ) ι j , u \iota_{j,u} ι j , u ∂ W ( w ) = χ ( S 1 ; φ 1 , … , φ m ) \partial W(w)=\chi(S^1;\varphi_1,\dots,\varphi_m) ∂ W ( w ) = χ ( S 1 ; φ 1 , … , φ m ) 2 m 2m 2 m n j , v n_{j,v} n j , v j j j D ˚ 1 × S 0 \mathring D^1\times S^0 D ˚ 1 × S 0 ( 0 , v ) (0,v) ( 0 , v ) v = ± 1 v=\pm1 v = ± 1 n j , v n_{j,v} n j , v n j , v n_{j,v} n j , v u = ± 1 u=\pm1 u = ± 1 ( j , u ) (j,u) ( j , u ) v ι j , u = 1 v\,\iota_{j,u}=1 v ι j , u = 1 v ι j , u = − 1 v\,\iota_{j,u}=-1 v ι j , u = − 1
証明（補題 7.10） 1。 W ( w ) = D 2 ∪ S 1 ω ( S 1 ; φ 1 , … , φ m ) W(w)=D^2\cup_{S^1}\omega(S^1;\varphi_1,\dots,\varphi_m) W ( w ) = D 2 ∪ S 1 ω ( S 1 ; φ 1 , … , φ m ) χ = χ ( S 1 ; φ 1 , … , φ m ) \chi=\chi(S^1;\varphi_1,\dots,\varphi_m) χ = χ ( S 1 ; φ 1 , … , φ m ) 補題 3.3 と 系 7.4［管状近傍・カラー・イソトピーの拡張］ の 1）。定義 3.2 の 1 により、χ \chi χ S 1 S^1 S 1 Z Z Z D ˚ 1 × S 0 \mathring D^1\times S^0 D ˚ 1 × S 0 m m m φ j ( u , θ v ) \varphi_j(u,\theta v) φ j ( u , θ v ) j j j ( θ u , v ) (\theta u,v) ( θ u , v ) u , v ∈ { ± 1 } u,v\in\{\pm1\} u , v ∈ { ± 1 } 0 < θ < 1 0\lt\theta\lt1 0 < θ < 1 φ j ( S 0 × ( D ˚ 1 ∖ 0 ) ) \varphi_j(S^0\times(\mathring D^1\setminus0)) φ j ( S 0 × ( D ˚ 1 ∖ 0 )) ( D ˚ 1 ∖ 0 ) × S 0 (\mathring D^1\setminus0)\times S^0 ( D ˚ 1 ∖ 0 ) × S 0 Z Z Z χ \chi χ χ \chi χ j j j D ˚ 1 × { v } \mathring D^1\times\{v\} D ˚ 1 × { v } E j , v E_{j,v} E j , v
χ = Z ⊔ { n j , v } , E j , v = H j , − 1 , v ⊔ { n j , v } ⊔ H j , 1 , v , H j , u , v = φ j ( { u } × { θ v : 0 < θ < 1 } ) \chi=Z\sqcup\{n_{j,v}\},\qquad E_{j,v}=H_{j,-1,v}\sqcup\{n_{j,v}\}\sqcup H_{j,1,v},\qquad H_{j,u,v}=\varphi_j\bigl(\{u\}\times\{\theta v:0\lt\theta\lt1\}\bigr) χ = Z ⊔ { n j , v } , E j , v = H j , − 1 , v ⊔ { n j , v } ⊔ H j , 1 , v , H j , u , v = φ j ( { u } × { θ v : 0 < θ < 1 } ) （n j , v n_{j,v} n j , v ( 0 , v ) (0,v) ( 0 , v ) E j , v E_{j,v} E j , v D ˚ 1 × { v } \mathring D^1\times\{v\} D ˚ 1 × { v } n j , v n_{j,v} n j , v n j , v n_{j,v} n j , v H j , ± 1 , v H_{j,\pm1,v} H j , ± 1 , v θ < ϵ \theta\lt\epsilon θ < ϵ 0 < ϵ < 1 0\lt\epsilon\lt1 0 < ϵ < 1 H j , u , v H_{j,u,v} H j , u , v φ j ( u , 0 ) \varphi_j(u,0) φ j ( u , 0 ) t ↦ φ j ( u , t ) t\mapsto\varphi_j(u,t) t ↦ φ j ( u , t ) ι j , u \iota_{j,u} ι j , u + 1 +1 + 1 − 1 -1 − 1 v ι j , u = 1 v\,\iota_{j,u}=1 v ι j , u = 1 ( j , u ) (j,u) ( j , u ) v ι j , u = − 1 v\,\iota_{j,u}=-1 v ι j , u = − 1 E j , v E_{j,v} E j , v ( j , − 1 ) (j,-1) ( j , − 1 ) v ι j , − 1 v\,\iota_{j,-1} v ι j , − 1 ( j , 1 ) (j,1) ( j , 1 ) v ι j , 1 v\,\iota_{j,1} v ι j , 1 + + + − - − v = ± 1 v=\pm1 v = ± 1 ι j , 1 = − ι j , − 1 \iota_{j,1}=-\iota_{j,-1} ι j , 1 = − ι j , − 1 { \{ { } \} } { \{ { } \} } ι j , 1 = ι j , − 1 \iota_{j,1}=\iota_{j,-1} ι j , 1 = ι j , − 1 { \{ { } \} } { \{ { } \} } Γ ( w ) \Gamma(w) Γ ( w ) a j a_j a j Γ ( w ) \Gamma(w) Γ ( w ) 2 m 2m 2 m E j , v E_{j,v} E j , v E j , v E_{j,v} E j , v
隙間と E j , v E_{j,v} E j , v χ \chi χ χ \chi χ E j , v E_{j,v} E j , v Γ ( w ) \Gamma(w) Γ ( w ) K K K K K K K K K E j , v E_{j,v} E j , v O K O_K O K O K O_K O K K K K 命題 5.3［連結性］ を繰り返し使って連結です。K ≠ K ′ K\ne K' K = K ′ K K K K ′ K' K ′ E j , v E_{j,v} E j , v K ′ K' K ′ O K ∩ O K ′ = ∅ O_K\cap O_{K'}=\varnothing O K ∩ O K ′ = ∅ O K O_K O K χ \chi χ χ \chi χ O K O_K O K O K O_K O K
2。 B B B T T T Γ ( w ) \Gamma(w) Γ ( w ) 辺の端 と呼びます。各頂点（隙間）には、ちょうど 2 つの辺の端（その隙間を後ろにもつ足の「後ろ」と、前にもつ足の「前」）があります。辺はどれも端を 2 つもち、その 2 つは同じ連結成分にあるので、辺の端を頂点にどのように配ったグラフでも、1 つの連結成分に含まれる辺の端の総数は偶数です。
B B B e 1 , … , e p e_1,\dots,e_p e 1 , … , e p T T T e p + 1 , … , e p + q e_{p+1},\dots,e_{p+q} e p + 1 , … , e p + q B B B T T T B T BT B T Γ ( B T ) \Gamma(BT) Γ ( B T ) Γ ( B ) \Gamma(B) Γ ( B ) Γ ( T ) \Gamma(T) Γ ( T ) Γ ( B ) \Gamma(B) Γ ( B ) Γ ( B T ) \Gamma(BT) Γ ( B T ) 1 ≤ i < p 1\le i\lt p 1 ≤ i < p e i e_i e i e i + 1 e_{i+1} e i + 1 T T T
Γ ( B ) \Gamma(B) Γ ( B ) e p e_p e p e 1 e_1 e 1 β 0 \beta_0 β 0 Γ ( T ) \Gamma(T) Γ ( T ) e p + q e_{p+q} e p + q e p + 1 e_{p+1} e p + 1 τ 0 \tau_0 τ 0 Γ ( B T ) \Gamma(BT) Γ ( B T ) e p e_p e p e p + 1 e_{p+1} e p + 1 e p + q e_{p+q} e p + q e 1 e_1 e 1 よって Γ ( B T ) \Gamma(BT) Γ ( B T ) Γ ( B ) \Gamma(B) Γ ( B ) β 0 \beta_0 β 0 e p e_p e p β + \beta_+ β + e 1 e_1 e 1 β − \beta_- β − Γ ( T ) \Gamma(T) Γ ( T ) τ 0 \tau_0 τ 0 τ + \tau_+ τ + e p + q e_{p+q} e p + q τ − \tau_- τ − e p + 1 e_{p+1} e p + 1 β + \beta_+ β + τ − \tau_- τ − τ + \tau_+ τ + β − \beta_- β −
Γ ( B ) \Gamma(B) Γ ( B ) β 0 \beta_0 β 0 K B K_B K B β 0 \beta_0 β 0 K B ′ K_B' K B ′ K B ′ K_B' K B ′ K B ′ K_B' K B ′ β + \beta_+ β + β − \beta_- β − K B K_B K B β 0 \beta_0 β 0 β 0 \beta_0 β 0 β + \beta_+ β + β − \beta_- β − K B ′ K_B' K B ′ β + \beta_+ β + β + \beta_+ β + Γ ( T ) \Gamma(T) Γ ( T ) τ 0 \tau_0 τ 0 K T K_T K T K T ′ K_T' K T ′ Γ ( B T ) \Gamma(BT) Γ ( B T ) K B ′ K_B' K B ′ K T ′ K_T' K T ′ Γ ( B ) \Gamma(B) Γ ( B ) Γ ( T ) \Gamma(T) Γ ( T ) Γ ( B T ) \Gamma(BT) Γ ( B T ) Γ ( B T ) \Gamma(BT) Γ ( B T ) ( β ( B ) − 1 ) + ( β ( T ) − 1 ) + 1 (\beta(B)-1)+(\beta(T)-1)+1 ( β ( B ) − 1 ) + ( β ( T ) − 1 ) + 1
3。 語 c c c\,c c c e 1 , e 2 e_1,e_2 e 1 , e 2 g 1 g_1 g 1 e 1 e_1 e 1 = e 2 =e_2 = e 2 g 2 g_2 g 2 e 2 e_2 e 2 = e 1 =e_1 = e 1 c c c { e 1 の後ろ , e 2 の後ろ } = { g 1 , g 2 } \{e_1\text{ の後ろ},e_2\text{ の後ろ}\}=\{g_1,g_2\} { e 1 の後ろ , e 2 の後ろ } = { g 1 , g 2 } { e 1 の前 , e 2 の前 } = { g 2 , g 1 } \{e_1\text{ の前},e_2\text{ の前}\}=\{g_2,g_1\} { e 1 の前 , e 2 の前 } = { g 2 , g 1 } Γ ( c c ) \Gamma(c\,c) Γ ( c c ) a b a − 1 b − 1 a\,b\,a^{-1}\,b^{-1} a b a − 1 b − 1 e 1 , … , e 4 e_1,\dots,e_4 e 1 , … , e 4 e i e_i e i g i g_i g i e i e_i e i g i − 1 g_{i-1} g i − 1 g 0 = g 4 g_0=g_4 g 0 = g 4 a a a e 1 , e 3 e_1,e_3 e 1 , e 3 b b b e 2 , e 4 e_2,e_4 e 2 , e 4
{ g 1 , g 2 } , { g 4 , g 3 } ( a ) , { g 2 , g 3 } , { g 1 , g 4 } ( b ) \{g_1,g_2\},\quad\{g_4,g_3\}\quad(a),\qquad\{g_2,g_3\},\quad\{g_1,g_4\}\quad(b) { g 1 , g 2 } , { g 4 , g 3 } ( a ) , { g 2 , g 3 } , { g 1 , g 4 } ( b ) の 4 本で、g 1 , g 2 , g 3 , g 4 g_1,g_2,g_3,g_4 g 1 , g 2 , g 3 , g 4 ∂ W \partial W ∂ W
4。 a a a e e e a a a e ′ e' e ′ a − 1 a^{-1} a − 1 e e e e ′ e' e ′ G U G_U G U U U U U U U e e e = e ′ =e' = e ′ e ′ e' e ′ e e e G V G_V G V a a a { e の後ろ , e ′ の前 } \{e\text{ の後ろ},e'\text{ の前}\} { e の後ろ , e ′ の前 } G U G_U G U { e の前 , e ′ の後ろ } \{e\text{ の前},e'\text{ の後ろ}\} { e の前 , e ′ の後ろ } G V G_V G V U U U G U G_U G U V V V G V G_V G V G U G_U G U G V G_V G V Γ ( w ) \Gamma(w) Γ ( w ) ∂ W ( w ) \partial W(w) ∂ W ( w )
5。 1 の証明の第 1 段落で示したことです。χ = Z ⊔ { n j , v } \chi=Z\sqcup\{n_{j,v}\} χ = Z ⊔ { n j , v } Z Z Z n j , v n_{j,v} n j , v n j , v n_{j,v} n j , v H j , ± 1 , v H_{j,\pm1,v} H j , ± 1 , v θ < ϵ \theta\lt\epsilon θ < ϵ H j , u , v H_{j,u,v} H j , u , v ( j , u ) (j,u) ( j , u ) v ι j , u = 1 v\,\iota_{j,u}=1 v ι j , u = 1 − 1 -1 − 1
∎ 定理 8.1 （Heegaard 分解の存在 ） ✓
M M M g ≥ 0 g\ge0 g ≥ 0 M M M g g g H 1 H_1 H 1 H 2 H_2 H 2 M = H 1 ∪ H 2 M=H_1\cup H_2 M = H 1 ∪ H 2 H 1 ∩ H 2 = ∂ H 1 = ∂ H 2 ≅ Σ g H_1\cap H_2=\partial H_1=\partial H_2\cong\Sigma_g H 1 ∩ H 2 = ∂ H 1 = ∂ H 2 ≅ Σ g 種数 g g g という。
証明（定理 8.1） 系 5.9 の自己指数的な Morse 関数 f f f 1 1 1 2 2 2 g g g g ′ g' g ′ H 1 = f − 1 ( [ − 1 2 , 3 2 ] ) H_1=f^{-1}([-\tfrac12,\tfrac32]) H 1 = f − 1 ([ − 2 1 , 2 3 ]) g g g g g g H 2 = f − 1 ( [ 3 2 , 7 2 ] ) H_2=f^{-1}([\tfrac32,\tfrac72]) H 2 = f − 1 ([ 2 3 , 2 7 ]) 命題 6.2 の 1 により − f -f − f g ′ g' g ′ g ′ g' g ′ M M M 0 0 0 F = f − 1 ( 3 2 ) F=f^{-1}(\tfrac32) F = f − 1 ( 2 3 ) 命題 6.2 の 2 により χ ( M ) = 0 \chi(M)=0 χ ( M ) = 0 定理 7.3［Morse 理論］ の 2 から 1 − g + g ′ − 1 = 0 1-g+g'-1=0 1 − g + g ′ − 1 = 0 g = g ′ g=g' g = g ′
F F F Σ g \Sigma_g Σ g F = ∂ H 1 F=\partial H_1 F = ∂ H 1 S 2 = ∂ h 0 S^2=\partial h^0 S 2 = ∂ h 0 1 1 1 g g g 定理 3.6 ）。指数 1 1 1 D 1 × S 1 D^1\times S^1 D 1 × S 1 F F F F F F 1 1 1 2 2 2 N N N N ′ N' N ′ N N N N ′ N' N ′ 定理 6.1［Morse 理論］ を f f f − f -f − f χ ( N ) − 1 = χ ( N ′ ) + 1 \chi(N)-1=\chi(N')+1 χ ( N ) − 1 = χ ( N ′ ) + 1 χ \chi χ 2 2 2 χ ( F ) = 2 − 2 g \chi(F)=2-2g χ ( F ) = 2 − 2 g F F F H 1 H_1 H 1 定義 4.5［ストークスの定理］ ）、定理 7.5 により F ≅ Σ g F\cong\Sigma_g F ≅ Σ g
∎ 種数 1 1 1 V = S 1 × D 2 V=S^1\times D^2 V = S 1 × D 2 ソリッドトーラス といいます。S 1 × D 2 S^1\times D^2 S 1 × D 2 S 1 S^1 S 1 h 0 ∪ h 1 h^0\cup h^1 h 0 ∪ h 1 1 1 1 ∂ V = T 2 = R 2 / Z 2 \partial V=T^2=\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2 ∂ V = T 2 = R 2 / Z 2 ( θ , ϕ ) (\theta,\phi) ( θ , ϕ ) θ \theta θ S 1 S^1 S 1 ϕ \phi ϕ ∂ D 2 \partial D^2 ∂ D 2 A ∈ G L 2 ( Z ) A\in GL_2(\mathbb{Z}) A ∈ G L 2 ( Z ) T 2 T^2 T 2 h A h_A h A
命題 8.3 （種数 1 の Heegaard 分解とレンズ空間 ） ✓
A = ( r p s q ) ∈ G L 2 ( Z ) A=\begin{pmatrix}r&p\\s&q\end{pmatrix}\in GL_2(\mathbb{Z}) A = ( r s p q ) ∈ G L 2 ( Z ) V 1 V_1 V 1 V 2 V_2 V 2 h A : ∂ V 2 → ∂ V 1 h_A\colon\partial V_2\to\partial V_1 h A : ∂ V 2 → ∂ V 1 M A M_A M A
M A M_A M A A A A ( p , q ) (p,q) ( p , q ) L ( p , q ) L(p,q) L ( p , q ) p ≥ 2 p\ge2 p ≥ 2 レンズ空間 という）。π 1 ( M A ) ≅ Z / ∣ p ∣ \pi_1(M_A)\cong\mathbb{Z}/|p| π 1 ( M A ) ≅ Z /∣ p ∣ p = 0 p=0 p = 0 Z \mathbb{Z} Z ∣ p ∣ |p| ∣ p ∣ M A M_A M A L ( 0 , 1 ) ≅ S 1 × S 2 L(0,1)\cong S^1\times S^2 L ( 0 , 1 ) ≅ S 1 × S 2 L ( 1 , 0 ) ≅ S 3 L(1,0)\cong S^3 L ( 1 , 0 ) ≅ S 3 証明（命題 8.3） 1。 A A A A ′ A' A ′ A − 1 A ′ A^{-1}A' A − 1 A ′ e 2 = ( 0 , 1 ) T e_2=(0,1)^{\mathsf T} e 2 = ( 0 , 1 ) T G L 2 ( Z ) GL_2(\mathbb{Z}) G L 2 ( Z ) ( ϵ 0 k 1 ) \begin{pmatrix}\epsilon&0\\k&1\end{pmatrix} ( ϵ k 0 1 ) ϵ = ± 1 \epsilon=\pm1 ϵ = ± 1 k ∈ Z k\in\mathbb{Z} k ∈ Z ∂ V 2 \partial V_2 ∂ V 2 ( θ , ϕ ) ↦ ( ϵ θ , k θ + ϕ ) (\theta,\phi)\mapsto(\epsilon\theta,k\theta+\phi) ( θ , ϕ ) ↦ ( ϵ θ , k θ + ϕ ) V 2 = S 1 × D 2 V_2=S^1\times D^2 V 2 = S 1 × D 2 ( θ , z ) ↦ ( ϵ θ , e 2 π i k θ z ) (\theta,z)\mapsto(\epsilon\theta,e^{2\pi ik\theta}z) ( θ , z ) ↦ ( ϵ θ , e 2 π ik θ z ) G G G V 1 V_1 V 1 V 2 V_2 V 2 G G G h A ′ = h A ∘ G ∣ ∂ V 2 h_{A'}=h_A\circ G|_{\partial V_2} h A ′ = h A ∘ G ∣ ∂ V 2 M A ′ → M A M_{A'}\to M_A M A ′ → M A
2。 V i V_i V i 定理 6.1［基本群と被覆空間］ ）を使います。共通部分は T 2 T^2 T 2 π 1 ( T 2 ) ≅ Z 2 \pi_1(T^2)\cong\mathbb{Z}^2 π 1 ( T 2 ) ≅ Z 2 θ \theta θ ℓ \ell ℓ ϕ \phi ϕ μ \mu μ 命題 2.11［基本群と被覆空間］ と 定理 4.1［基本群と被覆空間］ ）、π 1 ( V i ) ≅ Z \pi_1(V_i)\cong\mathbb{Z} π 1 ( V i ) ≅ Z ℓ i \ell_i ℓ i D 2 D^2 D 2 ∂ V i → V i \partial V_i\to V_i ∂ V i → V i ℓ ↦ ℓ i \ell\mapsto\ell_i ℓ ↦ ℓ i μ ↦ 1 \mu\mapsto1 μ ↦ 1 ∂ V 2 \partial V_2 ∂ V 2 μ \mu μ V 2 V_2 V 2 V 1 V_1 V 1 h A ( μ ) = p ℓ + q μ ↦ ℓ 1 p h_A(\mu)=p\ell+q\mu\mapsto\ell_1^{\,p} h A ( μ ) = p ℓ + q μ ↦ ℓ 1 p ∂ V 2 \partial V_2 ∂ V 2 ℓ \ell ℓ V 2 V_2 V 2 ℓ 2 \ell_2 ℓ 2 V 1 V_1 V 1 r ℓ + s μ ↦ ℓ 1 r r\ell+s\mu\mapsto\ell_1^{\,r} r ℓ + s μ ↦ ℓ 1 r
π 1 ( M A ) ≅ ⟨ ℓ 1 , ℓ 2 ∣ ℓ 1 p = 1 , ℓ 1 r = ℓ 2 ⟩ ≅ Z / ∣ p ∣ \pi_1(M_A)\cong\langle\ell_1,\ell_2\mid\ell_1^{\,p}=1,\ \ell_1^{\,r}=\ell_2\rangle\cong\mathbb{Z}/|p| π 1 ( M A ) ≅ ⟨ ℓ 1 , ℓ 2 ∣ ℓ 1 p = 1 , ℓ 1 r = ℓ 2 ⟩ ≅ Z /∣ p ∣ です。
3。 A = I A=I A = I ( p , q ) = ( 0 , 1 ) (p,q)=(0,1) ( p , q ) = ( 0 , 1 ) M I = S 1 × ( D 2 ∪ i d D 2 ) = S 1 × S 2 M_I=S^1\times(D^2\cup_{\mathrm{id}}D^2)=S^1\times S^2 M I = S 1 × ( D 2 ∪ id D 2 ) = S 1 × S 2 S 3 = { ( z 1 , z 2 ) ∈ C 2 : ∣ z 1 ∣ 2 + ∣ z 2 ∣ 2 = 2 } S^3=\{(z_1,z_2)\in\mathbb{C}^2:|z_1|^2+|z_2|^2=2\} S 3 = {( z 1 , z 2 ) ∈ C 2 : ∣ z 1 ∣ 2 + ∣ z 2 ∣ 2 = 2 } V 1 = { ∣ z 1 ∣ ≤ 1 } V_1=\{|z_1|\le1\} V 1 = { ∣ z 1 ∣ ≤ 1 } V 2 = { ∣ z 2 ∣ ≤ 1 } V_2=\{|z_2|\le1\} V 2 = { ∣ z 2 ∣ ≤ 1 } V 1 = { ( z 1 , z 2 ) : ∣ z 1 ∣ ≤ 1 , z 2 = 2 − ∣ z 1 ∣ 2 e 2 π i θ } ≅ S 1 × D 2 V_1=\{(z_1,z_2):|z_1|\le1,\ z_2=\sqrt{2-|z_1|^2}\,e^{2\pi i\theta}\}\cong S^1\times D^2 V 1 = {( z 1 , z 2 ) : ∣ z 1 ∣ ≤ 1 , z 2 = 2 − ∣ z 1 ∣ 2 e 2 π i θ } ≅ S 1 × D 2 θ \theta θ S 1 S^1 S 1 z 1 z_1 z 1 D 2 D^2 D 2 V 2 V_2 V 2 { ∣ z 1 ∣ = ∣ z 2 ∣ = 1 } \{|z_1|=|z_2|=1\} { ∣ z 1 ∣ = ∣ z 2 ∣ = 1 } V 2 V_2 V 2 D 2 D^2 D 2 z 2 z_2 z 2 V 1 V_1 V 1 S 1 S^1 S 1 V 2 V_2 V 2 S 1 S^1 S 1 V 1 V_1 V 1 D 2 D^2 D 2 A = ( 0 1 1 0 ) A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} A = ( 0 1 1 0 ) ( p , q ) = ( 1 , 0 ) (p,q)=(1,0) ( p , q ) = ( 1 , 0 )
∎ 演習 9.1 標準
M M M ( n − 1 ) (n-1) ( n − 1 ) φ : S λ − 1 × D n − λ → M \varphi\colon S^{\lambda-1}\times D^{n-\lambda}\to M φ : S λ − 1 × D n − λ → M χ ( χ ( M , φ ) ) = χ ( M ) + ( − 1 ) λ − ( − 1 ) n − λ \chi(\chi(M,\varphi))=\chi(M)+(-1)^\lambda-(-1)^{n-\lambda} χ ( χ ( M , φ )) = χ ( M ) + ( − 1 ) λ − ( − 1 ) n − λ n − 1 n-1 n − 1
解答 跡 ω = ω ( M , φ ) \omega=\omega(M,\varphi) ω = ω ( M , φ ) F F F 補題 3.3 ）を考えます。F F F λ \lambda λ 定理 6.1［Morse 理論］ と 定理 2.7 により ω \omega ω M M M λ \lambda λ H k ( ω , M ) H_k(\omega,M) H k ( ω , M ) k = λ k=\lambda k = λ Z \mathbb{Z} Z 0 0 0 補題 6.2［Morse 理論］ ）。対の長完全列の階数の交代和から χ ( ω ) = χ ( M ) + ( − 1 ) λ \chi(\omega)=\chi(M)+(-1)^\lambda χ ( ω ) = χ ( M ) + ( − 1 ) λ − F -F − F χ ( M , φ ) \chi(M,\varphi) χ ( M , φ ) n − λ n-\lambda n − λ 命題 6.2 ）、同じ議論で χ ( ω ) = χ ( χ ( M , φ ) ) + ( − 1 ) n − λ \chi(\omega)=\chi(\chi(M,\varphi))+(-1)^{n-\lambda} χ ( ω ) = χ ( χ ( M , φ )) + ( − 1 ) n − λ n n n ( − 1 ) n − λ = − ( − 1 ) λ (-1)^{n-\lambda}=-(-1)^\lambda ( − 1 ) n − λ = − ( − 1 ) λ 2 ( − 1 ) λ 2(-1)^\lambda 2 ( − 1 ) λ 定理 3.9 と合わせると、偶数次元の閉多様体の Euler 標数の偶奇は同境で不変です。
演習 9.2 標準
トーラス T 2 T^2 T 2 a b a − 1 b − 1 aba^{-1}b^{-1} ab a − 1 b − 1 R P 2 \mathbb{R}P^2 R P 2 c c cc cc 命題 6.1 の境界作用素を求め、ホモロジー群を計算せよ。
解答 どちらも 0-ハンドルは 1 つで、各 1-ハンドルの接着球面は 2 点、0-ハンドルの上昇球面は ∂ D 0 \partial D_0 ∂ D 0 p r 1 \mathrm{pr}_1 pr 1 S 0 = ∂ D 1 S^0=\partial D^1 S 0 = ∂ D 1 + 1 +1 + 1 − 1 -1 − 1 d 1 = 0 d_1=0 d 1 = 0
T 2 T^2 T 2 ∂ W 1 \partial W^1 ∂ W 1 a a a a a a ∂ W 1 \partial W^1 ∂ W 1 a a a + 1 +1 + 1 − 1 -1 − 1 n ( D 2 , a ) = 0 n(D_2,a)=0 n ( D 2 , a ) = 0 n ( D 2 , b ) = 0 n(D_2,b)=0 n ( D 2 , b ) = 0 0 → Z → 0 Z 2 → 0 Z → 0 0\to\mathbb{Z}\xrightarrow{0}\mathbb{Z}^2\xrightarrow{0}\mathbb{Z}\to0 0 → Z 0 Z 2 0 Z → 0 H 0 = Z H_0=\mathbb{Z} H 0 = Z H 1 = Z 2 H_1=\mathbb{Z}^2 H 1 = Z 2 H 2 = Z H_2=\mathbb{Z} H 2 = Z
R P 2 \mathbb{R}P^2 R P 2 c c c ∂ W 1 \partial W^1 ∂ W 1 n ( D 2 , c ) = ± 2 n(D_2,c)=\pm2 n ( D 2 , c ) = ± 2 0 → Z → 2 Z → 0 Z → 0 0\to\mathbb{Z}\xrightarrow{2}\mathbb{Z}\xrightarrow{0}\mathbb{Z}\to0 0 → Z 2 Z 0 Z → 0 H 0 = Z H_0=\mathbb{Z} H 0 = Z H 1 = Z / 2 H_1=\mathbb{Z}/2 H 1 = Z /2 H 2 = 0 H_2=0 H 2 = 0 例 3.6［胞体ホモロジーと写像度］ ）と一致します。
演習 9.3 標準
語 a b c a − 1 b − 1 c − 1 a\,b\,c\,a^{-1}\,b^{-1}\,c^{-1} a b c a − 1 b − 1 c − 1 ∂ W ( w ) \partial W(w) ∂ W ( w ) M ( w ) M(w) M ( w )
解答 ねじれた文字は無いので M ( w ) M(w) M ( w ) ∂ W ( w ) \partial W(w) ∂ W ( w ) χ = 2 − 3 = − 1 \chi=2-3=-1 χ = 2 − 3 = − 1 2 − 2 g 2-2g 2 − 2 g 定理 7.5 ）に反します。実際に境界を数えます。命題 7.4 の第 1 段を a a a b b b U = b c U=bc U = b c V = b − 1 c − 1 V=b^{-1}c^{-1} V = b − 1 c − 1 b b b U U U V V V U 1 = ∅ U_1=\varnothing U 1 = ∅ U 2 = c U_2=c U 2 = c V 1 = ∅ V_1=\varnothing V 1 = ∅ V 2 = c − 1 V_2=c^{-1} V 2 = c − 1 w w w a b a − 1 b − 1 V 2 V 1 U 2 U 1 = a b a − 1 b − 1 c − 1 c a\,b\,a^{-1}b^{-1}\,V_2V_1U_2U_1=aba^{-1}b^{-1}\,c^{-1}c a b a − 1 b − 1 V 2 V 1 U 2 U 1 = ab a − 1 b − 1 c − 1 c c − 1 c c^{-1}c c − 1 c W ( w ) W(w) W ( w ) ∂ W ( w ) \partial W(w) ∂ W ( w ) w w w χ = 0 \chi=0 χ = 0
J. Milnor, Lectures on the h-Cobordism Theorem , Princeton University Press, 1965 — §2–§5（同境の上の Morse 関数、勾配状ベクトル場、手術の跡の模型、並べ替えと消去）。
J. Milnor, Morse Theory , Princeton University Press, 1963 — Part I。
A. A. Kosinski, Differential Manifolds , Academic Press, 1993 — 第 VI 章・第 VII 章（ハンドルの接着、消去、ハンドル体による表示）。
M. W. Hirsch, Differential Topology , Graduate Texts in Mathematics 33, Springer, 1976 — 第 6 章（Morse 理論）、第 9 章（曲面の分類）。
R. E. Gompf, A. I. Stipsicz, 4-Manifolds and Kirby Calculus , Graduate Studies in Mathematics 20, American Mathematical Society, 1999 — 第 4 章（ハンドル分解、滑らせ、消去）。
松本幸夫『Morse 理論の基礎』岩波書店、2005 — 第 3 章（ハンドル体）、第 5 章（低次元多様体）。
執筆: Claude Code（Opus 5.5）、Claude Code（Sonnet 5.5）・監査 5 回（Claude Code）・最終 2026-10-12