指数 0 と 1 の対の消去

補題 5.6（「ハンドル分解と手術」§5）・ ✓公理まで証明済み

$n\ge1$ とし、 $f\colon W\to[a,b]$ を $n$ 次元の同境 $W\colon M_0\rightsquigarrow M_1$ の上の Morse 関数、 $\xi$ を勾配状ベクトル場とする。 $f$ の臨界点が指数 $0$ の $p$ と指数 $1$ の $q$ のちょうど 2 つで、正の向きに $q$ に収束する 2 本の軌道のうち、ちょうど 1 本が負の向きに $p$ に収束するとする。このとき、

$W$ 上の臨界点をもたない Morse 関数 $g\colon W\to[a,b]$ で、 $\partial W$ の近傍で $f$ と一致するものが存在する。
$M_0$ の上で $(z,a)\mapsto z$ となる微分同相 $M_0\times[a,b]\to W$ が存在する。

$f$ の臨界点が指数 $n$ と指数 $n-1$ のちょうど 2 つで、指数 $n-1$ の臨界点から出る 2 本の軌道のうちちょうど 1 本が指数 $n$ の臨界点に収束するときも、同じ結論が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 113 件、定義なども含めて 134 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 12 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

軌道の行き先✓補題 2.6・ハンドル分解と手術
- 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
臨界点の通過とハンドルの接着✓定理 3.6・ハンドル分解と手術
- 軌道の行き先✓補題 2.6・ハンドル分解と手術（上で展開済み）
- 臨界点の無い同境は積✓定理 2.7・ハンドル分解と手術（上で展開済み）
- 多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理
  - 多様体間の $C^k$ 級写像と微分同相定義 6.3・微分可能多様体の定義
  - 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
- 切って貼り直す操作と微分同相✓補題 3.5・ハンドル分解と手術（上で展開済み）
切って貼り直す操作と微分同相✓補題 3.5・ハンドル分解と手術
- 境界に沿った貼り合わせ定義 7.1・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
- 臨界点の無い同境は積✓定理 2.7・ハンドル分解と手術（上で展開済み）
境界の一部に沿った貼り合わせ✓系 7.4・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
- 貼り合わせの構造はカラーによらない✓定理 7.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
  - カラー近傍の存在と一意性✓定理 4.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張（上で展開済み）
  - コンパクトな台を持つベクトル場は完備✓命題 2.7・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
- カラー近傍の存在と一意性✓定理 4.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
  - 境界付き多様体での基本操作✓補題 2.1・横断性この先をたどる →
  - 常微分方程式の基本定理✓定理 2.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
  - 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
  - 零切断の近傍は半径関数つきの円板束を含む✓補題 3.3・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張この先をたどる →
  - ホモトピックな写像による引き戻しは同型✓補題 2.4・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張この先をたどる →
  - 管の補題✓補題 2.3・横断性この先をたどる →
- カラーの一意性（全空間の微分同相による形）✓系 4.4・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張（上で展開済み）
- コンパクト集合にとどまる積分曲線は途切れない✓補題 4.3・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張この先をたどる →
ハンドル定義 3.1・ハンドル分解と手術
微分同相群は点の組に推移的に作用する✓定理 5.4・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
- 分離と連結性定義 2.1・連結性
円板定理（Palais, Cerf）✓定理 6.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
- イソトピー拡張定理✓定理 5.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張（上で展開済み）
- 微分同相群は点の組に推移的に作用する✓定理 5.4・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張（上で展開済み）
- 原点を止める埋め込みは包含写像にイソトピック✓補題 6.1・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張この先をたどる →
イソトピー拡張定理✓定理 5.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
- コンパクトからハウスドルフへの連続全単射は同相✓系 6.5・コンパクト性この先をたどる →
- はめ込みの局所標準形✓定理 3.3・部分多様体と正則値定理
- 滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
- コンパクト集合にとどまる積分曲線は途切れない✓補題 4.3・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張この先をたどる →
- 流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
  - 常微分方程式の基本定理✓定理 2.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
ハンドルの生成✓系 5.5・ハンドル分解と手術
勾配状ベクトル場の存在✓補題 2.5・ハンドル分解と手術
- Morse の補題✓定理 3.2・Morse 理論この先をたどる →
- 1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
臨界点の無い同境は積✓定理 2.7・ハンドル分解と手術
- 勾配状ベクトル場の存在✓補題 2.5・ハンドル分解と手術（上で展開済み）
- 軌道の行き先✓補題 2.6・ハンドル分解と手術（上で展開済み）
- 流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理（上で展開済み）
カラーの一意性（全空間の微分同相による形）✓系 4.4・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
- カラー近傍の存在と一意性✓定理 4.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張（上で展開済み）
- コンパクト集合にとどまる積分曲線は途切れない✓補題 4.3・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 2 件

h 同境定理の証明のうち、ハンドル分解の定理から従う部分△命題 2.12・h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口
0-ハンドルと n-ハンドルは 1 つずつにできる✓系 5.9・ハンドル分解と手術

指数 0 と 1 の対の消去

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 12 件）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 12 件）

これを使っている定理証明で参照している 2 件