数学 › 微分位相 › ハンドル分解と手術

臨界点の通過とハンドルの接着

定理 3.6（「ハンドル分解と手術」§3） ・ ✓公理まで証明済み

f ⁣:W→[a,b]f\colon W\to[a,b] を同境 W ⁣:M0⇝M1W\colon M_0\rightsquigarrow M_1 の上の Morse 関数、ξ\xi をその勾配状ベクトル場とし、ff の臨界点 p1,…,pkp_1,\dots,p_k がすべて同じ臨界値 c0c_0 をもち、指数が λ1,…,λk\lambda_1,\dots,\lambda_k であるとする。このとき、像が互いに交わらない接着写像 φi ⁣:Sλi−1×Dn−λi→M0\varphi_i\colon S^{\lambda_i-1}\times D^{n-\lambda_i}\to M_0 と微分同相

κ ⁣:ω(M0;φ1,…,φk)→W\kappa\colon\omega(M_0;\varphi_1,\dots,\varphi_k)\to W

で、M0M_0 上で恒等写像となり、各 LλiL_{\lambda_i} の原点を pip_i に、芯を pip_i に収束する軌道の全体と pip_i の和（下降円板）に、余芯を pip_i から出る軌道の全体と pip_i の和（上昇円板）に写すものが存在する。とくに M1M_1 は χ(M0;φ1,…,φk)\chi(M_0;\varphi_1,\dots,\varphi_k) に微分同相で、WW は M0×[0,1]M_0\times[0,1] に指数 λ1,…,λk\lambda_1,\dots,\lambda_k のハンドルを同時に接着したものである。

さらに、φi\varphi_i と κ\kappa は次の形に取れる。pip_i のまわりの互いに交わらない適合チャート gig_i と、十分小さい任意の ε>0\varepsilon\gt0 について

φi(u,θv)=π(gi−1(εucosh⁡θ, εvsinh⁡θ))(u∈Sλi−1, v∈Sn−λi−1, 0≤θ≤1)\varphi_i(u,\theta v)=\pi\bigl(g_i^{-1}(\varepsilon u\cosh\theta,\ \varepsilon v\sinh\theta)\bigr)\qquad(u\in S^{\lambda_i-1},\ v\in S^{n-\lambda_i-1},\ 0\le\theta\le1)

（π\pi は 補題 2.6 の 3 の、軌道を負の向きにたどった到達点の写像）であり、κ\kappa は積の部分の各線分 {z}×[−1,1]\{z\}\times[-1,1] を、zz の軌道のうち WW に含まれる部分の上へ写す。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 75 件、定義なども含めて 92 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 10 件