数学 › 微分位相 › h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口

h 同境定理の証明のうち、ハンドル分解の定理から従う部分

命題 2.12（「h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口」§2） ・ △証明あり（閉包未完）

n≥2n\ge2 とし、W ⁣:M0⇝M1W\colon M_0\rightsquigarrow M_1 を連結な nn 次元の同境で、M0M_0、M1M_1 が空でなく、Hk(W,M0)=0H_k(W,M_0)=0（すべての kk）であるものとする。3 の最後の主張だけは、一般の指数のハンドルの消去定理（定理 5.2［ハンドル分解と手術］。同章で主張のみ）を仮定したうえでの主張である（λ=0\lambda=0 と λ=n−1\lambda=n-1 の場合は仮定なしに成り立つ）。

  1. WW の上に、指数 00 と指数 nn の臨界点をもたない自己指数的な Morse 関数が存在する。
  2. WW の上の任意の Morse 関数について、指数 λ\lambda の臨界点の個数を cλc_\lambda とすると ∑λ(−1)λcλ=0\sum_\lambda(-1)^\lambda c_\lambda=0。とくに、臨界点の指数が λ\lambda と λ+1\lambda+1 だけなら cλ=cλ+1c_\lambda=c_{\lambda+1}。
  3. Morse 関数 ff の臨界点が、指数 λ\lambda の pp と指数 λ+1\lambda+1 の qq のちょうど 2 つで、f(p)<f(q)f(p)\lt f(q)、間の等位面 VV の中で qq の下降球面 AA と pp の上昇球面 BB が横断的に交わるとする。このとき、符号つきの交点数（命題 6.1［ハンドル分解と手術］ の n(q,p)n(q,p)）は ±1\pm1 である。さらに A∩BA\cap B がちょうど 1 点なら、WW は M0×[0,1]M_0\times[0,1] に微分同相である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

△ 証明あり（閉包未完）

証明は Rikai にありますが、たどった先に主張のみの定理（または循環）があり、公理まではつながっていません。止めている前提:

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 8 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。