境界の一部に沿った貼り合わせ

系 7.4（「管状近傍・カラー・イソトピーの拡張」§7）・ ✓公理まで証明済み

$X_1,X_2$ を境界付き多様体（コンパクトでなくてよい）、 $M_i\subset\partial X_i$ を $\partial X_i$ のコンパクトな開かつ閉な部分集合（有限個の連結成分の合併）、 $h\colon M_1\to M_2$ を微分同相とする。 $X_1\sqcup X_2$ で $x\sim h(x)$ （ $x\in M_1$ ）を同一視した商空間を $W=X_1\cup_hX_2$ と書く。カラー $c_i\colon\partial X_i\times[0,1)\to X_i$ に対し、定義 7.1 と同じ式で $\kappa\colon M_1\times(-1,1)\to W$ を定め、 $X_1\setminus M_1$ 、 $X_2\setminus M_2$ のチャートと $\kappa^{-1}$ から作ったチャートをアトラスとする構造を、 $(c_1,c_2)$ による貼り合わせの構造という。

$W$ は Hausdorff かつ第二可算で、貼り合わせの構造により、 $(\partial X_1\setminus M_1)\sqcup(\partial X_2\setminus M_2)$ を境界とする境界付き多様体になる。 $X_i\setminus M_i$ は $W$ の開集合で、その上で $W$ の構造は $X_i$ の構造に一致する。 $X_1,X_2$ がコンパクトなら $W$ はコンパクトである。
2 つのカラーの組 $(c_1,c_2)$ 、 $(c_1',c_2')$ による構造を $W$ 、 $W'$ と書くと、微分同相 $\Theta\colon W\to W'$ で、継ぎ目（ $M_1$ の像）を含むあるコンパクト集合 $K\subset W\setminus\partial W$ の外で恒等写像であるものが存在する。
$X_1,X_2$ が向き付けられていて、 $h$ が $M_1$ 、 $M_2$ の境界の向きについて向きを逆にするならば（ $\dim X_i=1$ のときは、定義 4.5［ストークスの定理］の符号について $\varepsilon(h(x))=-\varepsilon(x)$ ならば）、 $W$ は $X_1\setminus M_1$ 、 $X_2\setminus M_2$ の向きを延ばす向きをただ 1 つ持つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 75 件、定義なども含めて 91 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

貼り合わせの構造はカラーによらない✓定理 7.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
- カラー近傍の存在と一意性✓定理 4.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張（上で展開済み）
- コンパクトな台を持つベクトル場は完備✓命題 2.7・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
  - 常微分方程式の基本定理✓定理 2.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理（上で展開済み）
カラー近傍の存在と一意性✓定理 4.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
- 境界付き多様体での基本操作✓補題 2.1・横断性
  - 連鎖律✓定理 7.4・接ベクトル空間と接バンドル
    滑らかな写像の微分定義 7.1・接ベクトル空間と接バンドル
  - 1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理
    コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
    台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
  - コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
  - 台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
  - 滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
- 常微分方程式の基本定理✓定理 2.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
  - C¹ 級なら局所 Lipschitz✓命題 2.4・解の存在と一意性
    ベクトル値関数の平均値不等式✓補題 2.2・逆関数定理・陰関数定理と条件付き極値この先をたどる →
  - 解の一意性✓定理 3.2・解の存在と一意性
    初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性この先をたどる →
    積分のノルム✓補題 2.1・解の存在と一意性
    Gronwall の不等式✓補題 3.1・解の存在と一意性この先をたどる →
  - Picard–Lindelöf の定理✓定理 4.1・解の存在と一意性
    一様収束のコーシー判定法✓定理 6.2・関数列と一様収束この先をたどる →
    一様収束極限の連続性✓定理 4.1・関数列と一様収束この先をたどる →
    縮小写像の原理（Banach の不動点定理）✓定理 6.2・距離空間
    初期値問題と積分方程式✓補題 2.2・解の存在と一意性この先をたどる →
  - 初期値への $C^k$ 依存性✓定理 8.4・解の存在と一意性この先をたどる →
  - パラメータへの $C^k$ 依存性と滑らかな流れ✓系 8.5・解の存在と一意性
    初期値への $C^k$ 依存性✓定理 8.4・解の存在と一意性この先をたどる →
    流れの群性✓命題 7.2・解の存在と一意性この先をたどる →
- 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
- 零切断の近傍は半径関数つきの円板束を含む✓補題 3.3・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
  - ファイバー計量と直交補束✓補題 2.3・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
    1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理（上で展開済み）
    グラム・シュミットの直交化✓定理 6.1・内積空間とグラム・シュミット直交化この先をたどる →
  - 管の補題✓補題 2.3・横断性（上で展開済み）
- ホモトピックな写像による引き戻しは同型✓補題 2.4・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
  - 流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理（上で展開済み）
  - 斉次線形系の解空間✓定理 2.1・線形微分方程式系この先をたどる →
  - 閉集合の近傍で 0、外で 1 の関数✓補題 9.2・横断性この先をたどる →
  - 引き戻し・部分束・商束はベクトル束✓補題 2.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張この先をたどる →
- 管の補題✓補題 2.3・横断性
  - コンパクト空間定義 3.2・コンパクト性
カラーの一意性（全空間の微分同相による形）✓系 4.4・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
- カラー近傍の存在と一意性✓定理 4.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張（上で展開済み）
- コンパクト集合にとどまる積分曲線は途切れない✓補題 4.3・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張（上で展開済み）
コンパクト集合にとどまる積分曲線は途切れない✓補題 4.3・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
- 流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
  - 常微分方程式の基本定理✓定理 2.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理（上で展開済み）
- 管の補題✓補題 2.3・横断性（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 7 件

同境環✓定理 2.2・同境と Pontryagin–Thom 構成
円板の特徴づけ△系 2.8・h 同境定理・エキゾチック球面・低次元トポロジーの入口
ハンドル体は接着写像のイソトピー類で決まる✓命題 3.8・ハンドル分解と手術
手術と同境✓定理 3.9・ハンドル分解と手術
指数 0 と 1 の対の消去✓補題 5.6・ハンドル分解と手術
閉曲面と語✓補題 7.8・ハンドル分解と手術
境界の成分はグラフで数えられる✓補題 7.10・ハンドル分解と手術

境界の一部に沿った貼り合わせ

閉包の状態

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