閉曲面と語
- 連結な閉曲面 は、 が連結なある語 について に微分同相である。
- を 文字の語で が連結なものとすると、 は連結な閉曲面で、 である。
- 2 の について、 が向き付け可能であることと、 にねじれた文字が無いことは同値である。
閉包の状態
✓ 公理まで証明済み
証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 238 件、定義なども含めて 271 件）。
印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。
前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 9 件）
▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。
語が曲面を決める✓補題 7.2・ハンドル分解と手術
- 切って貼り直す操作と微分同相✓補題 3.5・ハンドル分解と手術（上で展開済み）
円周の微分同相✓補題 7.1・ハンドル分解と手術
- ホモトピーの持ち上げ✓定理 3.6・基本群と被覆空間 この先をたどる →
ハンドル体は接着写像のイソトピー類で決まる✓命題 3.8・ハンドル分解と手術
- イソトピー拡張定理✓定理 5.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張 この先をたどる →
- カラー近傍の存在と一意性✓定理 4.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張 この先をたどる →
- 切って貼り直す操作と微分同相✓補題 3.5・ハンドル分解と手術（上で展開済み）
- 境界の一部に沿った貼り合わせ✓系 7.4・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張（上で展開済み）
0-ハンドルと n-ハンドルは 1 つずつにできる✓系 5.9・ハンドル分解と手術
- ハンドルの並べ替え✓定理 4.1・ハンドル分解と手術 この先をたどる →
- 臨界点の通過とハンドルの接着✓定理 3.6・ハンドル分解と手術（上で展開済み）
- 臨界点の通過と胞体の接着✓定理 6.1・Morse 理論 この先をたどる →
臨界値をまたぐ相対ホモロジー✓系 6.3・Morse 理論
- 胞体を足したときの相対ホモロジー✓補題 6.2・Morse 理論 この先をたどる →
- 指数 0 と 1 の対の消去✓補題 5.6・ハンドル分解と手術 この先をたどる →
- コンパクトな 1 次元多様体の分類✓定理 4.4・横断性 この先をたどる →
- Morse 不等式✓定理 7.3・Morse 理論 この先をたどる →
臨界点の通過とハンドルの接着✓定理 3.6・ハンドル分解と手術
- 軌道の行き先✓補題 2.6・ハンドル分解と手術（上で展開済み）
- 臨界点の無い同境は積✓定理 2.7・ハンドル分解と手術 この先をたどる →
- 多様体上の逆関数定理✓系 2.2・部分多様体と正則値定理 この先をたどる →
- 切って貼り直す操作と微分同相✓補題 3.5・ハンドル分解と手術（上で展開済み）
切って貼り直す操作と微分同相✓補題 3.5・ハンドル分解と手術
- 境界に沿った貼り合わせ定義 7.1・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
- 臨界点の無い同境は積✓定理 2.7・ハンドル分解と手術 この先をたどる →
- 跡は 1 つのハンドルの同境✓補題 3.3・ハンドル分解と手術
貼り合わせた同境の上の Morse 関数✓補題 7.7・ハンドル分解と手術
- 臨界点の無い同境は積✓定理 2.7・ハンドル分解と手術 この先をたどる →
- 境界に沿った貼り合わせ定義 7.1・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
Morse 関数と Euler 標数✓補題 2.5・同境と Pontryagin–Thom 構成
- 同境の上の Morse 関数の存在✓命題 2.3・ハンドル分解と手術 この先をたどる →
- ハンドル分解の存在✓定理 3.7・ハンドル分解と手術 この先をたどる →
- 臨界点の無い同境は積✓定理 2.7・ハンドル分解と手術 この先をたどる →
- 境界の外への延長✓補題 2.2・ハンドル分解と手術 この先をたどる →
- 臨界値をまたぐ相対ホモロジー✓系 6.3・Morse 理論（上で展開済み）
- 臨界値を含まない区間の変形✓定理 5.1・Morse 理論 この先をたどる →
- 対の長完全列✓系 3.2・特異ホモロジー この先をたどる →
境界の一部に沿った貼り合わせ✓系 7.4・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
- 貼り合わせの構造はカラーによらない✓定理 7.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張 この先をたどる →
- カラー近傍の存在と一意性✓定理 4.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張 この先をたどる →
- カラーの一意性（全空間の微分同相による形）✓系 4.4・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張 この先をたどる →
- コンパクト集合にとどまる積分曲線は途切れない✓補題 4.3・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張 この先をたどる →
これを使っている定理 証明で参照している 1 件
- 閉曲面の分類定理✓定理 7.5・ハンドル分解と手術