数学 › 微分位相 › ハンドル分解と手術

双対ハンドル分解

命題 6.2（「ハンドル分解と手術」§6） ・ ✓公理まで証明済み

f ⁣:W→[a,b]f\colon W\to[a,b] を同境 W ⁣:M0⇝M1W\colon M_0\rightsquigarrow M_1 の上の Morse 関数、ξ\xi を勾配状ベクトル場とする。

  1. −f-f は同境 W ⁣:M1⇝M0W\colon M_1\rightsquigarrow M_0 の上の Morse 関数、−ξ-\xi はその勾配状ベクトル場で、ff の指数 λ\lambda の臨界点は −f-f の指数 n−λn-\lambda の臨界点である。下降円板と上昇円板、接着球面とベルト球面が入れ替わる。したがって、WW が M0×[0,1]M_0\times[0,1] に指数 λ1,…,λk\lambda_1,\dots,\lambda_k のハンドルを貼ったものなら、WW は M1×[0,1]M_1\times[0,1] に指数 n−λk,…,n−λ1n-\lambda_k,\dots,n-\lambda_1 のハンドルを貼ったものでもある。
  2. MM が閉 nn 次元多様体なら χ(M)=(−1)nχ(M)\chi(M)=(-1)^n\chi(M) で、nn が奇数なら χ(M)=0\chi(M)=0 である。
  3. MM が向き付けられた閉 nn 次元多様体で、命題 6.1 の 3 の横断性の仮定がすべての λ\lambda で成り立つなら、−f-f（を自己指数的に付け替えた n−fn-f）のハンドル鎖複体の境界作用素の行列は、ff のそれの転置に、行と列ごとに符号 ±1\pm1 を掛けたものである。したがって rank⁡Hk(M)=rank⁡Hn−k(M)\operatorname{rank}H_k(M)=\operatorname{rank}H_{n-k}(M)。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 220 件、定義なども含めて 252 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 4 件

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