数学 › 微分位相 › ハンドル分解と手術

切って貼り直す操作と微分同相

補題 3.5（「ハンドル分解と手術」§3） ・ ✓公理まで証明済み

  1. （貼り合わせの自然性）XiX_i、Mi⊂∂XiM_i\subset\partial X_i、h ⁣:M1→M2h\colon M_1\to M_2 と Xi′X_i'、Mi′⊂∂Xi′M_i'\subset\partial X_i'、h′ ⁣:M1′→M2′h'\colon M_1'\to M_2' をそれぞれ 系 7.4［管状近傍・カラー・イソトピーの拡張］ のとおりとし、微分同相 Gi ⁣:Xi→Xi′G_i\colon X_i\to X_i'（i=1,2i=1,2）が Gi(Mi)=Mi′G_i(M_i)=M_i'、h′∘G1=G2∘hh'\circ G_1=G_2\circ h（M1M_1 上）を満たすとする。このとき、どのカラーによる貼り合わせの構造についても、微分同相 X1∪hX2→X1′∪h′X2′X_1\cup_hX_2\to X_1'\cup_{h'}X_2' で、境界の近傍で G1⊔G2G_1\sqcup G_2 に一致するものが存在する。
  2. （等位面で切る）f ⁣:W→[a,b]f\colon W\to[a,b] を同境 W ⁣:M0⇝M1W\colon M_0\rightsquigarrow M_1 の上の Morse 関数、m∈(a,b)m\in(a,b) を正則値とし、W−=f−1([a,m])W_-=f^{-1}([a,m])、W+=f−1([m,b])W_+=f^{-1}([m,b])、V=f−1(m)V=f^{-1}(m) とおく。このとき、W−W_- と W+W_+ を VV に沿って（恒等写像で）貼り合わせた多様体から WW への微分同相で、∂W\partial W の近傍で恒等写像であるものが存在する。
  3. （跡を運ぶ）MM、M′M' を閉 (n−1)(n-1) 次元多様体、g ⁣:M→M′g\colon M\to M' を微分同相、φ ⁣:Sλ−1×Dn−λ→M\varphi\colon S^{\lambda-1}\times D^{n-\lambda}\to M を接着写像、A=(A1,A2)∈O(λ)×O(n−λ)A=(A_1,A_2)\in O(\lambda)\times O(n-\lambda) とし、φ′=g∘φ∘(A1×A2)−1\varphi'=g\circ\varphi\circ(A_1\times A_2)^{-1} とおく。このとき、積の部分で (z,c)↦(g(z),c)(z,c)\mapsto(g(z),c)、LλL_\lambda の上で (x,y)↦(A1x,A2y)(x,y)\mapsto(A_1x,A_2y) と定めた写像は、関数 FF を保つ微分同相 ω(M,φ)→ω(M′,φ′)\omega(M,\varphi)\to\omega(M',\varphi') で、下の境界 MM の上では gg である。有限個の接着写像の組についても同じことが成り立つ。したがって、同境の微分同相 G ⁣:W→W′G\colon W\to W'（W ⁣:M0⇝MW\colon M_0\rightsquigarrow M、W′ ⁣:M0′⇝M′W'\colon M_0'\rightsquigarrow M'）と φ′=G∣M∘φ∘(A1×A2)−1\varphi'=G|_M\circ\varphi\circ(A_1\times A_2)^{-1} について、M0M_0 の近傍で GG に一致する微分同相 W∪φhλ→W′∪φ′hλW\cup_\varphi h^\lambda\to W'\cup_{\varphi'}h^\lambda が存在する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 73 件、定義なども含めて 89 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 7 件

関連するノック 1 問