語が曲面を決める

補題 7.2（「ハンドル分解と手術」§7）・ ✓公理まで証明済み

語が等しい（巡回的な並べ替えと文字の名前の付け替え、1 つの文字の 2 か所の指数の同時反転を除いて等しい）2 つの「帯の付いた円板」は微分同相である。 $\partial W^1$ が円周のとき、 $W^1$ に円板を貼って得られる閉曲面は貼り方によらず、 $W^1$ の微分同相類だけで決まる。

また、次が成り立つ（足の置き直し）。 $\Sigma$ を $S^1$ に微分同相な向き付けられた多様体とし、 $e_1,\dots,e_r$ と $e_1',\dots,e_r'$ （ $r\ge1$ ）を、それぞれ像が互いに交わらない埋め込み $D^1\to\Sigma$ （少し大きい開区間の埋め込みに延びるもの）の組とする。 $\Sigma$ を正の向きに 1 周して像に出会う巡回順序がどちらの組でも添字の順で、各 $l$ について $e_l$ と $e_l'$ がともに向きを保つか、ともに向きを逆にするならば、 $\Sigma$ の向きを保つ微分同相 $k$ で $k\circ e_l=e_l'$ （すべての $l$ ）となるものが存在する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 103 件、定義なども含めて 120 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

切って貼り直す操作と微分同相✓補題 3.5・ハンドル分解と手術
- 境界に沿った貼り合わせ定義 7.1・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
- 臨界点の無い同境は積✓定理 2.7・ハンドル分解と手術
  - 勾配状ベクトル場の存在✓補題 2.5・ハンドル分解と手術
    Morse の補題✓定理 3.2・Morse 理論この先をたどる →
    1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
  - 軌道の行き先✓補題 2.6・ハンドル分解と手術
    逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
  - 流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理
    常微分方程式の基本定理✓定理 2.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
円周の微分同相✓補題 7.1・ハンドル分解と手術
- ホモトピーの持ち上げ✓定理 3.6・基本群と被覆空間
  - 持ち上げの一意性✓補題 3.5・基本群と被覆空間
    連結性の特徴づけ✓命題 3.1・連結性
  - Lebesgue 数✓補題 3.4・基本群と被覆空間
    最大値・最小値の定理✓系 6.2・コンパクト性この先をたどる →
ハンドル体は接着写像のイソトピー類で決まる✓命題 3.8・ハンドル分解と手術
- イソトピー拡張定理✓定理 5.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
  - コンパクトからハウスドルフへの連続全単射は同相✓系 6.5・コンパクト性
    コンパクト空間の閉部分集合はコンパクト✓定理 4.1・コンパクト性この先をたどる →
    コンパクト集合の連続像はコンパクト✓定理 6.1・コンパクト性この先をたどる →
    ハウスドルフ空間ではコンパクト集合と外部の点が分離できる✓定理 4.2・コンパクト性この先をたどる →
  - はめ込みの局所標準形✓定理 3.3・部分多様体と正則値定理
  - 滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
  - コンパクト集合にとどまる積分曲線は途切れない✓補題 4.3・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
    流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理（上で展開済み）
    管の補題✓補題 2.3・横断性（上で展開済み）
  - 流れの基本定理✓定理 2.5・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理（上で展開済み）
- カラー近傍の存在と一意性✓定理 4.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
  - 境界付き多様体での基本操作✓補題 2.1・横断性
    連鎖律✓定理 7.4・接ベクトル空間と接バンドルこの先をたどる →
    1 の分割の存在✓定理 6.3・部分多様体と正則値定理この先をたどる →
    コンパクト集合による枚挙✓補題 6.2・部分多様体と正則値定理
    台の小さな滑らかな関数✓補題 6.1・部分多様体と正則値定理
    滑らかなウリゾーンの補題✓系 6.4・部分多様体と正則値定理
  - 常微分方程式の基本定理✓定理 2.3・ベクトル場の流れ・Lie 微分・Frobenius の定理この先をたどる →
  - 逆関数定理✓定理 2.1・部分多様体と正則値定理
  - 零切断の近傍は半径関数つきの円板束を含む✓補題 3.3・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
    ファイバー計量と直交補束✓補題 2.3・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張この先をたどる →
    管の補題✓補題 2.3・横断性（上で展開済み）
  - ホモトピックな写像による引き戻しは同型✓補題 2.4・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張この先をたどる →
  - 管の補題✓補題 2.3・横断性
    コンパクト空間定義 3.2・コンパクト性
- 切って貼り直す操作と微分同相✓補題 3.5・ハンドル分解と手術（上で展開済み）
- 境界の一部に沿った貼り合わせ✓系 7.4・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張
  - 貼り合わせの構造はカラーによらない✓定理 7.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張この先をたどる →
  - カラー近傍の存在と一意性✓定理 4.2・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張（上で展開済み）
  - カラーの一意性（全空間の微分同相による形）✓系 4.4・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張この先をたどる →
  - コンパクト集合にとどまる積分曲線は途切れない✓補題 4.3・管状近傍・カラー・イソトピーの拡張（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 3 件

帯の滑らせの規則✓補題 7.3・ハンドル分解と手術
閉曲面の分類定理✓定理 7.5・ハンドル分解と手術
閉曲面と語✓補題 7.8・ハンドル分解と手術

語が曲面を決める

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理証明で参照している 3 件