数学 › 位相空間論 › コンパクト性

ハウスドルフ空間ではコンパクト集合と外部の点が分離できる

定理 4.2（「コンパクト性」§4）・ ✓公理まで証明済み

$X$ をハウスドルフ空間、 $K \subset X$ をコンパクト部分集合、 $p \in X \setminus K$ とする。このとき $X$ の開集合 $U, V$ で

K \subset U, \qquad p \in V, \qquad U \cap V = \emptyset

を満たすものが存在する。とくに $K$ は $X$ の閉集合である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 1 件、定義なども含めて 2 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

ハウスドルフ空間定義 2.1・コンパクト性
部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性

これを使っている定理証明で参照している 10 件

アデール環の基本性質✓定理 4.2・アデールとイデール
大域双曲ならば因果的に単純✓命題 4.8・因果階層
因果的に単純だが大域双曲でない✓命題 5.8・因果階層
2 つの弧長パラメータ表示の貼り合わせ✓補題 4.3・横断性
固有な単射はめ込みは閉埋め込み✓補題 8.1・横断性
C₀(X) の双対（Riesz–Markov–角谷）✓定理 6.2・Radon 測度と Riesz–Markov–角谷の表現定理
ハイネ・ボレルの定理✓定理 5.2・コンパクト性
コンパクトからハウスドルフへの連続全単射は同相✓系 6.5・コンパクト性
Stone–Čech コンパクト化の存在と普遍性✓定理 5.2・完全正則空間と埋め込み定理
完全写像と固有写像✓定理 6.2・普遍ネット・超フィルターとコンパクト性

関連するノック 3 問