アデール環の基本性質

定理 4.2（「アデールとイデール」§4）・ ✓公理まで証明済み

$\mathbb{A}_K$ は局所コンパクト Hausdorff な位相環である（加法について位相群で、乗法が連続）。
$L/K$ を代数体の $d$ 次拡大、 $\omega_1, \ldots, \omega_d$ を $L$ の $K$ 上の基底とする。 $K_v \to \prod_{w \mid v} L_w$ を対角埋め込みとし、これらを束ねた環準同型 $\mathbb{A}_K \to \mathbb{A}_L$ によって $\mathbb{A}_L$ を $\mathbb{A}_K$ 加群とみる。このとき

\Phi : \mathbb{A}_K^{\,d} \to \mathbb{A}_L, \qquad (a_1, \ldots, a_d) \mapsto \sum_{i=1}^d a_i\omega_i

は位相群の同型であり、 $K^d$ を $L$ の上へ写す。すなわち $\mathbb{A}_L \cong \mathbb{A}_K \otimes_K L$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 236 件、定義なども含めて 264 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 8 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

制限直積は局所コンパクト群✓命題 3.2・アデールとイデール
- Tychonoff の定理✓定理 6.2・積位相・商位相と Tychonoff の定理
  - コンパクト性の超フィルターによる特徴づけ✓定理 5.9・積位相・商位相と Tychonoff の定理この先をたどる →
  - 超フィルターの像は超フィルター✓補題 6.1・積位相・商位相と Tychonoff の定理この先をたどる →
  - 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
大域体のテンソル積と局所成分✓定理 3.1・局所体
- 代数体の素点の分類✓定理 8.3・付値と完備化
  - 非 Archimedes 性の判定✓命題 2.3・付値と完備化
  - Dedekind 環の特徴づけ✓定理 5.1・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
  - 同値の判定✓命題 2.5・付値と完備化
  - 完備な Archimedes 的付値体は ℝ か ℂ✓定理 8.1・付値と完備化この先をたどる →
  - 完備化の存在と一意性✓定理 4.2・付値と完備化この先をたどる →
- 完備離散付値体の拡大への絶対値の延長✓定理 2.4・局所体
  - Dedekind 環の整閉包は Dedekind✓系 7.3・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
  - 横たわり定理✓定理 4.4・整拡大この先をたどる →
  - Dedekind 環の特徴づけ✓定理 5.1・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
  - 完備体上の有限次元ノルム空間✓補題 2.3・局所体（上で展開済み）
  - 同値の判定✓命題 2.5・付値と完備化
  - 整拡大と極大イデアル✓系 4.2・整拡大この先をたどる →
  - 分解体の存在と一意性✓定理 6.6・多項式環と体の拡大この先をたどる →
  - 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大この先をたどる →
  - 特性多項式と最小多項式✓補題 2.2・局所体この先をたどる →
- 代数学の基本定理✓定理 4.3・正則関数の強力な性質
  - リューヴィルの定理✓定理 4.2・正則関数の強力な性質この先をたどる →
- 完備体上の有限次元ノルム空間✓補題 2.3・局所体（上で展開済み）
- ガロア理論の基本定理✓定理 4.1・ガロア理論への招待この先をたどる →
- 無限体上の線形空間は真の部分空間の有限和集合でない✓補題 3.2・局所体
- 中国剰余定理（環）✓補題 5.2・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
- 完備化の存在と一意性✓定理 4.2・付値と完備化この先をたどる →
- 離散付値体の完備化と逆極限✓命題 4.3・付値と完備化（上で展開済み）
- 局所体での基本等式✓定理 2.6・局所体この先をたどる →
- アルティンの定理✓補題 7.7・ガロア理論への招待
  - デデキントの補題（指標の一次独立性）✓補題 7.6・ガロア理論への招待
- 分解群の完全列✓定理 3.4・分解群・惰性群・Frobenius 元この先をたどる →
完備体上の有限次元ノルム空間✓補題 2.3・局所体
- 閉集合と点列、完備部分空間✓命題 2.3・距離空間
整基底の存在と判別式✓定理 3.4・代数体の整数環と Dedekind 整域
- 整数環の基本性質✓定理 2.3・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
- トレースとノルムの性質✓命題 3.3・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
- 自由加群の部分加群は自由✓定理 3.1・加群と PID 上の構造定理
- スミス標準形✓定理 4.1・加群と PID 上の構造定理
ハウスドルフ空間ではコンパクト集合と外部の点が分離できる✓定理 4.2・コンパクト性
- ハウスドルフ空間定義 2.1・コンパクト性
- 部分空間のコンパクト性の判定✓補題 3.3・コンパクト性
離散付値体の完備化と逆極限✓命題 4.3・付値と完備化
- 完備化の存在と一意性✓定理 4.2・付値と完備化この先をたどる →
- DVR の基本性質✓命題 3.2・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
中国剰余定理（環）✓補題 5.2・代数体の整数環と Dedekind 整域
- 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環この先をたどる →
成分ごとの同型✓補題 3.3・アデールとイデール

これを使っている定理証明で参照している 1 件

K は離散で余コンパクト✓定理 4.3・アデールとイデール

アデール環の基本性質

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 8 件）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 8 件）

これを使っている定理証明で参照している 1 件