Dedekind 環の特徴づけ

定理 5.1（「離散付値環と Dedekind 環」§5）・ ✓公理まで証明済み

$A$ を体でない Noether 整域とする。次は同値である。

$A$ は Dedekind 環である。
すべての極大イデアル $\mathfrak{m}$ について、 $A_{\mathfrak{m}}$ は DVR である。
すべての分数イデアルは可逆である。
$0$ でないすべてのイデアルは可逆である。

このとき $\operatorname{Inv}(A)$ は分数イデアル全体の群で、 $\operatorname{Cl}(A)$ は数論の章のイデアル類群に一致し、 $\operatorname{Pic}(A) \cong \operatorname{Cl}(A)$ である。 $\operatorname{Cl}(A)$ が自明であることと $A$ が単項イデアル整域であることは同値である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 125 件、定義なども含めて 137 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 10 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

分数イデアルの群✓定理 4.7・代数体の整数環と Dedekind 整域
- イデアルの素イデアル分解✓定理 4.5・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 素イデアルの逆✓補題 4.4・代数体の整数環と Dedekind 整域（上で展開済み）
- 素イデアルの逆✓補題 4.4・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 素イデアルの積を含む✓補題 4.3・代数体の整数環と Dedekind 整域
  - 加群による整性の判定✓補題 2.2・代数体の整数環と Dedekind 整域この先をたどる →
Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
- 局所化定義 3.2・局所化と素イデアルのスペクトル
- ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
- ヒルベルトの基底定理✓定理 5.3・多項式環と体の拡大
  - ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
- 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環この先をたどる →
素イデアルでの局所化は局所環✓命題 3.10・局所化と素イデアルのスペクトル
- 局所化は環になる✓補題 3.3・局所化と素イデアルのスペクトル
- 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
- 局所環の判定✓補題 3.9・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題この先をたどる →
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
- 局所化と剰余の可換性✓命題 3.7・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
- 商体✓命題 3.5・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル
- 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
- 素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
可逆イデアルの特徴づけ✓定理 4.3・離散付値環と Dedekind 環
- 分裂の同値条件✓命題 4.4・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
- 射影加群の特徴づけ✓定理 3.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
- 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
- 局所環上の有限射影加群は自由✓定理 5.1・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
- 局所的性質✓定理 5.3・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
極大イデアルが単項な Noether 局所整域✓系 3.5・離散付値環と Dedekind 環
- Krull の単項イデアル定理✓定理 4.2・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
- 次元と高さの基本性質✓命題 2.3・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
- DVR の特徴づけ✓定理 3.4・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
付値環の基本性質✓命題 2.2・離散付値環と Dedekind 環
- 局所環の判定✓補題 3.9・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
正規性は局所的✓命題 3.2・整拡大
- 商体✓命題 3.5・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 整閉包と局所化の可換性✓命題 2.6・整拡大この先をたどる →
- 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
- 局所的性質✓定理 5.3・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
DVR の基本性質✓命題 3.2・離散付値環と Dedekind 環
- 付値環の基本性質✓命題 2.2・離散付値環と Dedekind 環（上で展開済み）
- 付値と付値環の対応✓命題 2.3・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
Pic = Cl✓系 4.4・離散付値環と Dedekind 環
- 射影加群の特徴づけ✓定理 3.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
- 可逆イデアルの特徴づけ✓定理 4.3・離散付値環と Dedekind 環（上で展開済み）
- 平坦性の基本性質✓命題 4.4・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →
- テンソル積の基本同型✓命題 2.3・テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 7 件

引き戻しの次数✓命題 5.3・曲線と Riemann–Roch の定理
局所化の補題✓補題 2.3・分解群・惰性群・Frobenius 元
完備離散付値体の拡大への絶対値の延長✓定理 2.4・局所体
代数体の素点の分類✓定理 8.3・付値と完備化
Noether 付値環と Noether Prüfer 整域✓系 5.2・離散付値環と Dedekind 環
一般の Dedekind 環での基本等式✓定理 8.2・離散付値環と Dedekind 環
Dedekind 環上の有限生成加群✓命題 10.3・離散付値環と Dedekind 環

Dedekind 環の特徴づけ

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 10 件）

これを使っている定理 証明で参照している 7 件

関連するノック 3 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 10 件）

これを使っている定理証明で参照している 7 件