数学 › 可換環論 › 整拡大

正規性は局所的

命題 3.2（「整拡大」§3）・ ✓公理まで証明済み

$A$ を整域、 $K = \operatorname{Frac} A$ とする。次は同値である。

$A$ は整閉整域である。
すべての素イデアル $\mathfrak{p}$ について $A_{\mathfrak{p}}$ は整閉整域である（ $A$ は正規環である）。
すべての極大イデアル $\mathfrak{m}$ について $A_{\mathfrak{m}}$ は整閉整域である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 10 件、定義なども含めて 12 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

商体✓命題 3.5・局所化と素イデアルのスペクトル
- 局所化は環になる✓補題 3.3・局所化と素イデアルのスペクトル
- 局所化の普遍性✓定理 3.4・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 環準同型定義 7.1・環と体の基礎
整閉包と局所化の可換性✓命題 2.6・整拡大
- 整性は剰余と局所化で保たれる✓命題 2.5・整拡大
  - 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
局所的性質✓定理 5.3・加群・完全列・中山の補題
- 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題
  - イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環
    左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
- 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題

これを使っている定理証明で参照している 3 件

曲線の射は有限✓定理 3.1・曲線と Riemann–Roch の定理
Dedekind 環の特徴づけ✓定理 5.1・離散付値環と Dedekind 環
Noether 整閉整域は Krull 整域✓定理 6.2・離散付値環と Dedekind 環

関連するノック 2 問