Noether 整閉整域は Krull 整域

定理 6.2（「離散付値環と Dedekind 環」§6）・ ✓公理まで証明済み

$A$ を体でない Noether 整域、 $K = \operatorname{Frac} A$ とする。

$A$ $A$ が整閉なら、次の (a)、(b) が成り立つ。
- (a) すべての $\mathfrak{p} \in P^1(A)$ について、 $A_{\mathfrak{p}}$ は DVR である。
- (b) $0$ でも単元でもないすべての $a \in A$ について、 $\operatorname{Ass}(A/aA) \subseteq P^1(A)$ である。
逆に (a)、(b) が成り立てば、 $K$ の中で $A = \bigcap_{\mathfrak{p} \in P^1(A)} A_{\mathfrak{p}}$ であり、 $A$ は整閉である。
$A$ が整閉なら、 $0$ でない各 $a \in A$ を含む $\mathfrak{p} \in P^1(A)$ は有限個である。したがって $A$ は、 $A_{\mathfrak{p}}$ （ $\mathfrak{p} \in P^1(A)$ ）の付値の族について Krull 整域である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 85 件、定義なども含めて 97 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 12 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

次元と高さの基本性質✓命題 2.3・Krull 次元と単項イデアル定理
- 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
  - 素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環この先をたどる →
- 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題この先をたどる →
- 極小素イデアルの存在✓命題 4.7・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
正規性は局所的✓命題 3.2・整拡大
- 商体✓命題 3.5・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 整閉包と局所化の可換性✓命題 2.6・整拡大この先をたどる →
- 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
- 局所的性質✓定理 5.3・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
DVR の特徴づけ✓定理 3.4・離散付値環と Dedekind 環
- 中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
- 付値環の基本性質✓命題 2.2・離散付値環と Dedekind 環（上で展開済み）
- 𝔪 準素イデアルの判定✓補題 4.1・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
- 整閉局所環の極大イデアルの逆✓補題 3.3・離散付値環と Dedekind 環（上で展開済み）
- 極小生成系の個数✓系 3.6・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
- DVR の基本性質✓命題 3.2・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
随伴素イデアルと局所化✓命題 2.4・準素分解と随伴素イデアル
- 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
整閉局所環の極大イデアルの逆✓補題 3.3・離散付値環と Dedekind 環
- 整性の判定✓定理 2.3・整拡大この先をたどる →
極大イデアルが単項な Noether 局所整域✓系 3.5・離散付値環と Dedekind 環
- Krull の単項イデアル定理✓定理 4.2・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
- 次元と高さの基本性質✓命題 2.3・Krull 次元と単項イデアル定理（上で展開済み）
- DVR の特徴づけ✓定理 3.4・離散付値環と Dedekind 環（上で展開済み）
随伴素イデアルの存在と零因子✓定理 2.2・準素分解と随伴素イデアル
- 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
- 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
随伴素イデアルの有限性✓系 3.2・準素分解と随伴素イデアル
- 素フィルトレーション✓定理 3.1・準素分解と随伴素イデアルこの先をたどる →
付値環の基本性質✓命題 2.2・離散付値環と Dedekind 環
- 局所環の判定✓補題 3.9・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
台の性質✓命題 5.4・加群・完全列・中山の補題
- 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
- 素スペクトルと Zariski 位相定義 4.1・局所化と素イデアルのスペクトル
随伴素イデアルと台✓定理 3.3・準素分解と随伴素イデアル
- Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
- 随伴素イデアルの存在と零因子✓定理 2.2・準素分解と随伴素イデアル（上で展開済み）
- 随伴素イデアルと局所化✓命題 2.4・準素分解と随伴素イデアル（上で展開済み）
- 随伴素イデアルの有限性✓系 3.2・準素分解と随伴素イデアル（上で展開済み）
- 台の性質✓命題 5.4・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
- 極小素イデアルの存在✓命題 4.7・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
- 根基は素イデアルの共通部分✓系 2.7・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 5 件

正規スキームの余次元 1 の点と関数の延長✓定理 4.4・次元・正規性・非特異性と微分の層
UFD と因子類群✓命題 3.3・因子と直線束
射影空間の因子類群✓系 3.6・因子と直線束
Weil 因子と Cartier 因子の一致✓定理 4.2・因子と直線束
Serre の判定法✓定理 9.4・Cohen–Macaulay 環と正則局所環

Noether 整閉整域は Krull 整域

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 12 件）

これを使っている定理 証明で参照している 5 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 12 件）

これを使っている定理証明で参照している 5 件