Weil 因子と Cartier 因子の一致

定理 4.2（「因子と直線束」§4）・ ✓公理まで証明済み

$X$ を Noether・整・分離的なスキームで、すべての局所環 $\mathcal O_{X,x}$ が UFD であるものとする（たとえば非特異多様体）。Cartier 因子 $D = \{(U_i, f_i)\}$ に Weil 因子 $\sum_Y v_Y(f_{i(Y)})\,Y$ （ $i(Y)$ は $\eta_Y \in U_i$ となる添字）を対応させる写像は、Cartier 因子の群から $\operatorname{Div} X$ への同型で、主因子を主因子に写す。したがって $\operatorname{CaCl} X \cong \operatorname{Cl} X$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 199 件、定義なども含めて 226 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Noether 整閉整域は Krull 整域✓定理 6.2・離散付値環と Dedekind 環
- 次元と高さの基本性質✓命題 2.3・Krull 次元と単項イデアル定理
  - 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題この先をたどる →
  - 極小素イデアルの存在✓命題 4.7・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 正規性は局所的✓命題 3.2・整拡大
  - 商体✓命題 3.5・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 整閉包と局所化の可換性✓命題 2.6・整拡大この先をたどる →
  - 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
  - 局所的性質✓定理 5.3・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
- DVR の特徴づけ✓定理 3.4・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
- 随伴素イデアルと局所化✓命題 2.4・準素分解と随伴素イデアル
  - 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
- 整閉局所環の極大イデアルの逆✓補題 3.3・離散付値環と Dedekind 環
  - 整性の判定✓定理 2.3・整拡大この先をたどる →
- 極大イデアルが単項な Noether 局所整域✓系 3.5・離散付値環と Dedekind 環
  - Krull の単項イデアル定理✓定理 4.2・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
  - 次元と高さの基本性質✓命題 2.3・Krull 次元と単項イデアル定理（上で展開済み）
  - DVR の特徴づけ✓定理 3.4・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
- 随伴素イデアルの存在と零因子✓定理 2.2・準素分解と随伴素イデアルこの先をたどる →
- 随伴素イデアルの有限性✓系 3.2・準素分解と随伴素イデアルこの先をたどる →
- 付値環の基本性質✓命題 2.2・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
- 台の性質✓命題 5.4・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
- 随伴素イデアルと台✓定理 3.3・準素分解と随伴素イデアルこの先をたどる →
有理関数の因子は有限和✓命題 3.2・因子と直線束
- 既約成分への分解✓命題 3.4・アフィン代数多様体と座標環この先をたどる →
- Noether 環の極小素イデアル✓系 3.4・準素分解と随伴素イデアルこの先をたどる →
高さ 1 の素イデアルによる UFD の判定✓補題 8.1・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
- 一意性と素元✓補題 2.3・多項式環と体の拡大
- ネーター環定義 5.1・多項式環と体の拡大
- イデアルの極小素イデアル✓補題 2.2・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
- Krull の単項イデアル定理✓定理 4.2・Krull 次元と単項イデアル定理この先をたどる →
正則局所環は UFD（Auslander–Buchsbaum）✓定理 8.5・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
- 正則局所環は整域✓定理 6.3・Cohen–Macaulay 環と正則局所環この先をたどる →
- 正則局所環の剰余✓命題 6.4・Cohen–Macaulay 環と正則局所環この先をたどる →
- 永田の判定法（素元一つの場合）✓補題 8.2・Cohen–Macaulay 環と正則局所環この先をたどる →
- Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
- 局所化の局所化✓補題 2.1・Cohen–Macaulay 環と正則局所環この先をたどる →
- 正則局所環の局所化✓系 7.2・Cohen–Macaulay 環と正則局所環この先をたどる →
- 高さ 1 の素イデアルによる UFD の判定✓補題 8.1・Cohen–Macaulay 環と正則局所環（上で展開済み）
- 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 可逆イデアルの特徴づけ✓定理 4.3・離散付値環と Dedekind 環この先をたどる →
- Serre の正則性定理✓定理 7.1・Cohen–Macaulay 環と正則局所環この先をたどる →
- 射影次元と Tor✓定理 6.3・Tor・Ext と深さこの先をたどる →
- 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
- 有限自由分解をもつ射影加群✓補題 8.3・Cohen–Macaulay 環と正則局所環この先をたどる →
- 次元の一意性✓定理 5.5・ベクトル空間と線形変換この先をたどる →
- 安定的に自由な可逆イデアルは単項✓補題 8.4・Cohen–Macaulay 環と正則局所環この先をたどる →

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射影空間の Picard 群✓系 4.5・因子と直線束

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