数学 › 可換環論 › 準素分解と随伴素イデアル

Noether 環の極小素イデアル

系 3.4（「準素分解と随伴素イデアル」§3） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 34 件、定義なども含めて 42 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• 随伴素イデアルと台✓定理 3.3・準素分解と随伴素イデアル

  • Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環

    • 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
    • 局所化定義 3.2・局所化と素イデアルのスペクトル
    • ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
    • ヒルベルトの基底定理✓定理 5.3・多項式環と体の拡大

      • ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
    • 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環

      • イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
      • 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環 この先をたどる →
      • 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
  • 随伴素イデアルの存在と零因子✓定理 2.2・準素分解と随伴素イデアル（上で展開済み）
  • 随伴素イデアルと局所化✓命題 2.4・準素分解と随伴素イデアル

    • 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル

      • 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
      • 素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
  • 随伴素イデアルの有限性✓系 3.2・準素分解と随伴素イデアル

    • 素フィルトレーション✓定理 3.1・準素分解と随伴素イデアル この先をたどる →
  • 台の性質✓命題 5.4・加群・完全列・中山の補題

    • 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
    • 素スペクトルと Zariski 位相定義 4.1・局所化と素イデアルのスペクトル
  • 極小素イデアルの存在✓命題 4.7・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
  • 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル

    • 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環（上で展開済み）
    • 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環

      • 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
      • 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環 この先をたどる →
    • 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環 この先をたどる →
  • 根基は素イデアルの共通部分✓系 2.7・局所化と素イデアルのスペクトル

    • 冪零根基は素イデアルの共通部分✓定理 2.6・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
    • 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
• 随伴素イデアルの存在と零因子✓定理 2.2・準素分解と随伴素イデアル

  • 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
  • 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
• 極小素イデアルの存在✓命題 4.7・局所化と素イデアルのスペクトル

  • Zorn の補題✓定理 5.1・選択公理と Zorn の補題

    • 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
    • 整合的集合の比較可能性✓補題 5.5・選択公理と Zorn の補題
    • 始切片で増える整列集合の合併✓補題 5.4・選択公理と Zorn の補題
  • 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題

    • イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環

      • 左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
    • 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
  • 極大イデアルは素イデアル✓系 6.4・イデアルと剰余環

    • 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環 この先をたどる →
    • 体は整域✓定理 5.2・環と体の基礎 この先をたどる →
    • 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
  • 冪零根基は素イデアルの共通部分✓定理 2.6・局所化と素イデアルのスペクトル

    • Zorn の補題✓定理 5.1・選択公理と Zorn の補題（上で展開済み）

これを使っている定理 証明で参照している 5 件

• 有理関数の因子は有限和✓命題 3.2・因子と直線束
• CM 局所環の随伴素イデアル✓補題 3.3・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
• 被約環の随伴素イデアル✓補題 9.2・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
• Serre の判定法✓定理 9.4・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
• イデアルの極小素イデアル✓補題 2.2・Krull 次元と単項イデアル定理

関連するノック 1 問

• 可換環論 第 57 問