準素分解と随伴素イデアル：Lasker–Noether の定理と記号的冪

0. この記事の要点

整数 $12$ は $2^2 \times 3$ と素数の冪の積に分けられます。この記事は、これと同じことを一般の環のイデアルでやる話です。整数のようにきれいにはいかず、「余分な情報」が残る場合があるので、それをどう見分けて、どこまで分解が一意に決まるのかを調べます。読み終えると、イデアルを「素イデアルに近い部品」の共通部分に分け、どの部品が分解によらず、どの部品が選び方で変わるのかを言えるようになります。

• 加群 $M$ の元の零化イデアル（その元を $0$ にする環の元の全体）として現れる素イデアルを随伴素イデアルといい、その全体を $\operatorname{Ass}(M)$ と書きます。Noether 環上では、$M \ne 0$ なら $\operatorname{Ass}(M) \ne \varnothing$ で、$M$ の零因子の全体は随伴素イデアルの和集合です。
• Noether 環上の有限生成加群は、各段が $A/\mathfrak{p}$ と同型な部分加群の列（素フィルトレーション）をもちます。ここから $\operatorname{Ass}(M)$ は有限集合で、$\operatorname{Supp}(M)$ に含まれ、両者の極小元は一致することが出ます。とくに Noether 環の極小素イデアルは有限個です。
• 零因子がすべて冪零になる部分加群を準素といいます。Noether 環上では「$\operatorname{Ass}(M/Q)$ がただ一つの素イデアルからなる」ことと同値です。
• Lasker–Noether の定理: Noether 環上の有限生成加群の真部分加群は、準素部分加群の有限個の共通部分に無駄なく書けます。現れる素イデアルの集合は $\operatorname{Ass}(M/N)$ に等しく（第一一意性）、極小な素イデアルに対応する成分は分解によらずに決まります（第二一意性）。埋没成分は一意ではありません。
• 素イデアル $\mathfrak{p}$ の記号的冪 $\mathfrak{p}^{(n)}$ は $\mathfrak{p}^n$ の $\mathfrak{p}$ 準素成分で、$\mathfrak{p}^n$ 自身は準素とは限りません。記号的冪は Krull 次元と単項イデアル定理 の章で単項イデアル定理の証明に使います。

この記事で使う事前知識

• 加群の台 $\operatorname{Supp}(M)$ と零化イデアル $\operatorname{Ann}$: $\operatorname{Supp}(M)$ は局所化しても $0$ にならない素イデアルの全体、$\operatorname{Ann}(M)$ は $M$ 全体を $0$ にする環の元の全体。→ 加群・完全列・中山の補題
• 局所化: 積閉集合の元を単元にするように分数を作ること。$A_{\mathfrak{p}}$ は $\mathfrak{p}$ の外の元で割る局所化。→ 局所化
• 冪零根基: 何乗かして $0$ になる元の全体。イデアル $I$ の根基 $\sqrt{I}$ は、何乗かして $I$ に入る元の全体。→ 冪零根基
• Noether 加群: 部分加群の昇鎖がいつか止まる加群。Noether 環上の有限生成加群はこれになる。→ Noether 加群
• $V(\mathfrak{p})$ と $\operatorname{Spec}$: $\operatorname{Spec}A$ は素イデアル全体、$V(\mathfrak{p})$ は $\mathfrak{p}$ を含む素イデアルの全体。→ 局所化と素イデアルのスペクトル

1. 動機

整数 $n = \pm p_1^{e_1}\cdots p_r^{e_r}$ の素因数分解は、イデアルの言葉では $(n) = (p_1^{e_1}) \cap \cdots \cap (p_r^{e_r})$ と書けます。Dedekind 整域ではイデアルが素イデアルの積に一意に分解しましたが、一般の Noether 環ではそうはいきません。（Dedekind 整域は、整数環のように素イデアルの積への一意分解が成り立つ整域のことです。）たとえば $k[x, y]$ のイデアル $(x^2, xy)$ は素イデアルの積としては書けません。それでも、「素イデアルの冪」の代わりに「準素イデアル」を使えば、共通部分としての分解が存在します。

幾何学的には、$(x^2, xy) = (x) \cap (x, y)^2$ は、直線 $x = 0$ と、その上の原点に「埋め込まれた太った点」の和として読めます。$\mathbf{V}(x^2, xy)$ は集合としては直線 $x = 0$ にすぎませんが、イデアルは原点に余分な情報（$x$ 方向の 1 次の無限小）をもっています。準素分解は、この情報を既約成分（孤立成分）と埋没成分に分けて記述します。孤立成分は一意に決まりますが、埋没成分は $(x, y)^2$ の代わりに $(x^2, y)$ としてもよく、一意ではありません。

V(x², xy) は直線 x = 0 そのもの。原点の円は、そこにイデアルが余分な情報（埋没成分）をもつことを表す。

この記事の道具立ては、イデアルよりも加群の言葉で整えるのが見通しがよいです。中心になるのは、$M$ の元 $m$ の零化イデアル $\operatorname{Ann}(m)$ として現れる素イデアル、すなわち $A/\mathfrak{p}$ を部分加群として含むような $\mathfrak{p}$ です。これらは $M$ の「台の中で本当に必要な素イデアル」を表し、Tor・Ext と深さ の章の深さ（$\operatorname{depth} M \le \dim A/\mathfrak{p}$）と Cohen–Macaulay 環と正則局所環 の章の Serre の条件でも中心的な役割を果たします。

環はすべて単位元をもつ可換環です。加群の記号（$\operatorname{Ann}$、$\operatorname{Supp}$、局所化 $S^{-1}M$）は 加群・完全列・中山の補題 のものを使います。

2. 随伴素イデアル

定義 2.1（随伴素イデアル・零因子）↗

$A$ を環、$M$ を $A$ 加群とする。

1. $A$ の素イデアル $\mathfrak{p}$ が、ある $m \in M$ について $\mathfrak{p} = \operatorname{Ann}(m)$ となるとき、$\mathfrak{p}$ を $M$ の随伴素イデアルという。その全体を $\operatorname{Ass}_A(M)$ または $\operatorname{Ass}(M)$ と書く。
2. $a \in A$ が $M$ の零因子であるとは、$0$ でない $m \in M$ で $am = 0$ となるものがあることをいう。その全体を $Z(M)$ と書く。

$\mathfrak{p} = \operatorname{Ann}(m)$ であることは、$A \to M$、$a \mapsto am$ が単射 $A/\mathfrak{p} \hookrightarrow M$ を誘導することと同じです。つまり $\mathfrak{p} \in \operatorname{Ass}(M)$ は「$A/\mathfrak{p}$ が $M$ の部分加群として現れる」ことです。$\mathfrak{p}$ は素イデアルなので $\mathfrak{p} \ne A$ で、そのような $m$ は $0$ ではありません。

定理 2.2（随伴素イデアルの存在と零因子）✓

$A$ を Noether 環、$M$ を $A$ 加群とする。

1. 集合 $\{ \operatorname{Ann}(m) : m \in M,\ m \ne 0 \}$ の（包含に関する）極大元は素イデアルであり、したがって $\operatorname{Ass}(M)$ に属する。
2. $M \ne 0$ なら $\operatorname{Ass}(M) \ne \varnothing$ である。
3. $Z(M) = \bigcup_{\mathfrak{p} \in \operatorname{Ass}(M)} \mathfrak{p}$ である。

証明（定理 2.2）

(1) $I = \operatorname{Ann}(m)$（$m \ne 0$）を極大元とします。$m \ne 0$ なので $1 \notin I$ で、$I \ne A$ です。$ab \in I$、$b \notin I$ とすると $bm \ne 0$ で、$\operatorname{Ann}(bm) \supseteq \operatorname{Ann}(m) = I$ なので、極大性から $\operatorname{Ann}(bm) = I$ です。$a(bm) = 0$ なので $a \in \operatorname{Ann}(bm) = I$ です。よって $I$ は素イデアルです（定義 6.1［イデアルと剰余環］）。

(2) $M \ne 0$ なら (1) の集合は空でなく、$A$ は Noether 環なので極大元をもちます（補題 2.3［Noether 環と Artin 環］ の (1)）。

(3) $\mathfrak{p} = \operatorname{Ann}(m) \in \operatorname{Ass}(M)$ なら $m \ne 0$ なので $\mathfrak{p} \subseteq Z(M)$ です。逆に $a \in Z(M)$ とし、$am = 0$、$m \ne 0$ とします。集合 $\{ \operatorname{Ann}(m') : m' \ne 0,\ \operatorname{Ann}(m') \supseteq \operatorname{Ann}(m) \}$ は $\operatorname{Ann}(m)$ を含むので空でなく、極大元 $\operatorname{Ann}(m'')$ をもちます。これは (1) の集合全体の中でも極大です（それより大きい $\operatorname{Ann}(m''')$ は $\operatorname{Ann}(m)$ を含むので部分集合の元）。(1) により $\operatorname{Ann}(m'')$ は随伴素イデアルで、$a \in \operatorname{Ann}(m) \subseteq \operatorname{Ann}(m'')$ です。

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次の注意は、(2) で Noether 性が本当に必要であることを示すためのものです。素イデアルはただ一つ（極大イデアル $\mathfrak{m}$）しかないのに、どの元の零化イデアルも $\mathfrak{m}$ にならない環の例を作ります。

(2) は Noether 性なしでは成り立ちません。たとえば $A = k[x_1, x_2, \ldots]/(x_1, x_2^2, x_3^3, \ldots)$ の極大イデアル $\mathfrak{m} = (x_1, x_2, \ldots)$ はただ一つの素イデアルですが（各 $x_i$ が冪零）、単項式で生成されるイデアルによる剰余なので、各 $x_i$ の指数が $i$ 未満の単項式の像が $A$ の $k$ 上の基底になります。$0$ でない元 $f$ をこの基底で書き、$f$ に現れない変数 $x_N$（$N \ge 2$）を取ると、$x_N f$ も基底の元の $0$ でない一次結合なので $x_N f \ne 0$ です。よって $\operatorname{Ann}(f) \ne \mathfrak{m}$ で、$\operatorname{Ass}(A) = \varnothing$ です。

命題 2.3（随伴素イデアルと完全列）✓

$A$ を環とする。

1. $\mathfrak{p}$ が素イデアルなら、$A/\mathfrak{p}$ の $0$ でない元の零化イデアルはすべて $\mathfrak{p}$ で、$\operatorname{Ass}(A/\mathfrak{p}) = \{\mathfrak{p}\}$ である。
2. $0 \to M' \xrightarrow{f} M \xrightarrow{g} M'' \to 0$ が完全なら $\operatorname{Ass}(M') \subseteq \operatorname{Ass}(M) \subseteq \operatorname{Ass}(M') \cup \operatorname{Ass}(M'')$ である。
3. $\operatorname{Ass}(M_1 \oplus M_2) = \operatorname{Ass}(M_1) \cup \operatorname{Ass}(M_2)$ である。

証明（命題 2.3）

(1) $A/\mathfrak{p}$ は整域なので（命題 6.2［イデアルと剰余環］）、$\bar x \ne 0$ について $a\bar x = 0$ と $\bar a = 0$、すなわち $a \in \mathfrak{p}$ は同値です。

(2) $f$ は単射なので $\operatorname{Ann}(f(m')) = \operatorname{Ann}(m')$ で、最初の包含を得ます。$\mathfrak{p} = \operatorname{Ann}(m) \in \operatorname{Ass}(M)$ とし、$N = Am \cong A/\mathfrak{p}$ とします。$N \cap f(M') \ne 0$ なら、その $0$ でない元 $x$ は (1) により $\operatorname{Ann}(x) = \mathfrak{p}$ を満たし、$x = f(m')$ と書くと $\operatorname{Ann}(m') = \mathfrak{p}$ なので $\mathfrak{p} \in \operatorname{Ass}(M')$ です。$N \cap f(M') = 0$ なら、$g$ の $N$ への制限の核は $N \cap \ker g = N \cap f(M') = 0$ なので $g|_N$ は単射で、$\operatorname{Ann}(g(m)) = \operatorname{Ann}(m) = \mathfrak{p}$ となり $\mathfrak{p} \in \operatorname{Ass}(M'')$ です。

(3) 包含 $M_i \to M_1 \oplus M_2$ に (2) の最初の包含を当てて $\supseteq$、短完全列 $0 \to M_1 \to M_1 \oplus M_2 \to M_2 \to 0$ に (2) の二つ目の包含を当てて $\subseteq$ を得ます。

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命題 2.4（随伴素イデアルと局所化）✓

$A$ を Noether 環、$S$ を積閉集合、$M$ を $A$ 加群とする。このとき

$$\operatorname{Ass}_{S^{-1}A}(S^{-1}M) = \{ S^{-1}\mathfrak{p} : \mathfrak{p} \in \operatorname{Ass}_A(M),\ \mathfrak{p} \cap S = \varnothing \}$$

である。

証明（命題 2.4）

$\supseteq$: $\mathfrak{p} = \operatorname{Ann}(m)$、$\mathfrak{p} \cap S = \varnothing$ とします。$S^{-1}\mathfrak{p}$ は $S^{-1}A$ の素イデアルです（定理 3.6［局所化と素イデアルのスペクトル］ の (3)）。$a \in \mathfrak{p}$ なら $(a/s)(m/1) = 0$ なので $S^{-1}\mathfrak{p} \subseteq \operatorname{Ann}(m/1)$ です。逆に $(a/s)(m/1) = 0$ なら、ある $u \in S$ で $uam = 0$、すなわち $ua \in \mathfrak{p}$ で、$u \notin \mathfrak{p}$ なので $a \in \mathfrak{p}$ です。よって $\operatorname{Ann}(m/1) = S^{-1}\mathfrak{p}$ です。

$\subseteq$: $P \in \operatorname{Ass}_{S^{-1}A}(S^{-1}M)$、$P = \operatorname{Ann}(m/s)$ とし、$\mathfrak{p}$ を $P$ の $A$ への引き戻しとします。$\mathfrak{p}$ は $S$ と交わらない素イデアルで $P = S^{-1}\mathfrak{p}$ です（同じ定理の (4)）。$A$ は Noether なので $\mathfrak{p} = (a_1, \ldots, a_r)$ と書けます。$(a_i/1)(m/s) = 0$ なので $u_ia_im = 0$ となる $u_i \in S$ があり、$u = u_1\cdots u_r$ とおくと $\mathfrak{p} \subseteq \operatorname{Ann}(um)$ です。逆に $b \cdot um = 0$ なら $(b/1)(m/s) = bum/(us) = 0$ なので $b/1 \in P$、すなわち $b \in \mathfrak{p}$ です。よって $\mathfrak{p} = \operatorname{Ann}(um) \in \operatorname{Ass}_A(M)$ です。

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3. 素フィルトレーションと台

この節の狙いは、加群を「$A/\mathfrak{p}$ の形の部品」に段階的に分け、その部品に現れる素イデアルから $\operatorname{Ass}(M)$ や $\operatorname{Supp}(M)$ を調べることです。整数の素因数分解が、整数を素数ごとの部品に分けるのに近い役割を果たします。

定理 3.1（素フィルトレーション）✓

$A$ を Noether 環、$M \ne 0$ を有限生成 $A$ 加群とする。

1. 部分加群の列 $0 = M_0 \subsetneq M_1 \subsetneq \cdots \subsetneq M_n = M$ で、各 $i$ について $M_i/M_{i-1} \cong A/\mathfrak{p}_i$（$\mathfrak{p}_i$ は素イデアル）となるものが存在する（素フィルトレーション）。
2. 任意のそのような列について $\operatorname{Ass}(M) \subseteq \{\mathfrak{p}_1, \ldots, \mathfrak{p}_n\} \subseteq \operatorname{Supp}(M)$ である。

証明（定理 3.1）

(1) $M$ は Noether 加群です（定理 3.1［Noether 環と Artin 環］ の (3)）。(1) の形の列をもつ部分加群 $N \subseteq M$（$N = 0$ は $n = 0$ の列をもつ）の全体は空でないので、極大元 $N$ があります（補題 2.3［Noether 環と Artin 環］）。$N \ne M$ と仮定すると、定理 2.2 により $M/N$ の随伴素イデアル $\mathfrak{p} = \operatorname{Ann}(\bar x)$ があり、$A\bar x \cong A/\mathfrak{p}$ です。$A\bar x$ の $M$ への引き戻しを $N'$ とすると、$N \subsetneq N'$ で $N'/N \cong A\bar x \cong A/\mathfrak{p}$（補題 2.1［Noether 環と Artin 環］ の対応定理）なので、$N$ の列に $N'$ を継ぎ足せて極大性に反します。よって $N = M$ です。

(2) 命題 2.3 の (2) を $0 \to M_{i-1} \to M_i \to A/\mathfrak{p}_i \to 0$ に当て、(1) と合わせると $\operatorname{Ass}(M_i) \subseteq \operatorname{Ass}(M_{i-1}) \cup \{\mathfrak{p}_i\}$ です。帰納法により $\operatorname{Ass}(M) \subseteq \{\mathfrak{p}_1, \ldots, \mathfrak{p}_n\}$ です。また $\mathfrak{p}_i \in V(\mathfrak{p}_i) = \operatorname{Supp}(A/\mathfrak{p}_i)$（命題 5.4［加群・完全列・中山の補題］ の (3)）で、同じ命題の (1) を短完全列に繰り返し当てると $\operatorname{Supp}(A/\mathfrak{p}_i) \subseteq \operatorname{Supp}(M_i) \subseteq \operatorname{Supp}(M)$ です。

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系 3.2（随伴素イデアルの有限性）✓

$A$ を Noether 環、$M$ を有限生成 $A$ 加群とすると、$\operatorname{Ass}(M)$ は有限集合で、$\operatorname{Supp}(M)$ に含まれる。

証明（系 3.2）

$M = 0$ なら $\operatorname{Ass}(M) = \varnothing$ です。$M \ne 0$ なら 定理 3.1 の (2) から従います。

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素フィルトレーションの $\mathfrak{p}_i$ の集合は列の取り方によって変わり、$\operatorname{Ass}(M)$ より大きくなることもあります。たとえば $\mathbb{Z}$ 上の $M = \mathbb{Z}$ には $0 \subsetneq 2\mathbb{Z} \subsetneq \mathbb{Z}$ という列もあり、段は $\mathbb{Z}$ と $\mathbb{Z}/2$ で、素イデアル $0$ と $(2)$ が現れますが、$\operatorname{Ass}(\mathbb{Z}) = \{0\}$ です。組成列の Jordan–Hölder の定理のような一意性はありません。

定理 3.3（随伴素イデアルと台）✓

$A$ を Noether 環、$M$ を有限生成 $A$ 加群とする。

1. $\operatorname{Supp}(M)$ の（包含に関する）極小元はすべて $\operatorname{Ass}(M)$ に属する。
2. $\operatorname{Supp}(M) = \bigcup_{\mathfrak{p} \in \operatorname{Ass}(M)} V(\mathfrak{p})$ である。とくに $\operatorname{Ass}(M)$ の極小元と $\operatorname{Supp}(M)$ の極小元は一致し、有限個である。
3. $\sqrt{\operatorname{Ann}(M)} = \bigcap_{\mathfrak{p} \in \operatorname{Ass}(M)} \mathfrak{p}$ である。

証明（定理 3.3）

(1) $\mathfrak{p}$ を $\operatorname{Supp}(M)$ の極小元とすると $M_{\mathfrak{p}} \ne 0$ です。$A_{\mathfrak{p}}$ は Noether 環なので（系 4.1［Noether 環と Artin 環］ の (2)）、定理 2.2 により $\operatorname{Ass}_{A_{\mathfrak{p}}}(M_{\mathfrak{p}}) \ne \varnothing$ で、命題 2.4 によりその元は $\mathfrak{q}A_{\mathfrak{p}}$（$\mathfrak{q} \in \operatorname{Ass}(M)$、$\mathfrak{q} \subseteq \mathfrak{p}$）の形です。系 3.2 により $\mathfrak{q} \in \operatorname{Supp}(M)$ で、$\mathfrak{p}$ の極小性から $\mathfrak{q} = \mathfrak{p}$、すなわち $\mathfrak{p} \in \operatorname{Ass}(M)$ です。

(2) 命題 5.4［加群・完全列・中山の補題］ の (2) により $\operatorname{Supp}(M) = V(\operatorname{Ann} M)$ です。$\mathfrak{p} \in \operatorname{Ass}(M)$ なら $\mathfrak{p} \in \operatorname{Supp}(M)$ なので $\mathfrak{p} \supseteq \operatorname{Ann} M$ で、$V(\mathfrak{p}) \subseteq V(\operatorname{Ann}M)$ です。逆に $P \in V(\operatorname{Ann} M)$ とします。$P/\operatorname{Ann}M$ は $A/\operatorname{Ann}M$ の素イデアルで、極小素イデアルを含みます（命題 4.7［局所化と素イデアルのスペクトル］）。剰余環の対応（補題 2.5［局所化と素イデアルのスペクトル］）により、それは $V(\operatorname{Ann}M)$ の極小元 $\mathfrak{p} \subseteq P$ に対応し、(1) により $\mathfrak{p} \in \operatorname{Ass}(M)$ なので $P \in V(\mathfrak{p})$ です。後半: $\operatorname{Ass}(M) \subseteq \operatorname{Supp}(M)$ と前半から、両者の極小元は一致し、$\operatorname{Ass}(M)$ は有限なので有限個です。

(3) 系 2.7［局所化と素イデアルのスペクトル］ により $\sqrt{\operatorname{Ann}M}$ は $V(\operatorname{Ann}M) = \operatorname{Supp}(M)$ の元すべての共通部分で、(2) によりそれは $\operatorname{Ass}(M)$ の元すべての共通部分に等しくなります（$V(\mathfrak{p})$ の元はどれも $\mathfrak{p}$ を含むため）。

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系 3.4（Noether 環の極小素イデアル）✓

Noether 環 $A \ne 0$ の極小素イデアルは有限個で、すべて $\operatorname{Ass}(A)$ に属する。$A$ の零因子の全体は $\operatorname{Ass}(A)$ の元の和集合であり、冪零根基 $\operatorname{nil}(A)$ は極小素イデアルの共通部分である。

証明（系 3.4）

すべての素イデアル $\mathfrak{p}$ で $A_{\mathfrak{p}} \ne 0$ なので $\operatorname{Supp}(A) = \operatorname{Spec}A$ で、その極小元は極小素イデアルです。定理 3.3 の (2) によりそれらは $\operatorname{Ass}(A)$ の極小元で有限個です。零因子の主張は 定理 2.2 の (3) です。最後の主張は 命題 4.7［局所化と素イデアルのスペクトル］ によります。

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幾何学的には、$\operatorname{Spec}A$ の既約成分は極小素イデアル $\mathfrak{p}$ に対応する閉集合 $V(\mathfrak{p})$ なので（定理 4.4［局所化と素イデアルのスペクトル］ の (5)）、この系は「Noether 環のスペクトルの既約成分は有限個」と言い換えられます。$\operatorname{Ass}(A)$ のうち極小でないものを埋没素イデアルといい、既約成分の中に埋め込まれた部分集合 $V(\mathfrak{p})$ で $A$ が「余分な構造」をもつ場所を表します。

例 3.5（Ass の計算）

$k$ を体、$A = k[x, y]$、$M = A/(x^2, xy)$ とします。$(x^2, xy) = x(x, y)$ に注意します。

• $\bar x$ の零化イデアル: $fx \in x(x, y)$ は $f \in (x, y)$ と同値なので、$\operatorname{Ann}(\bar x) = (x, y)$ です。
• $\bar y$ の零化イデアル: $fy \in x(x, y)$ なら $x \mid fy$ で、$x$ は素元なので $x \mid f$ です。逆に $f = xg$ なら $fy = x \cdot gy \in x(x, y)$ です。よって $\operatorname{Ann}(\bar y) = (x)$ です。

したがって $(x), (x, y) \in \operatorname{Ass}(M)$ です。一方、$0 \subsetneq A\bar x \subsetneq M$ は $A\bar x \cong A/(x, y)$、$M/A\bar x \cong A/(x)$ という素フィルトレーションなので、定理 3.1 により $\operatorname{Ass}(M) = \{(x), (x, y)\}$ です。$\operatorname{Supp}(M) = V(x)$ で、極小元は $(x)$、埋没素イデアルは $(x, y)$ です。$M$ の零因子の全体は $(x) \cup (x, y) = (x, y)$ です。

4. 準素部分加群

定義 4.1（準素部分加群・準素イデアル）↗

$M$ を $A$ 加群とする。部分加群 $Q \subsetneq M$ が準素であるとは、$M/Q$ の零因子 $a \in A$ がすべて $M/Q$ 上で冪零であること、すなわち $a \in Z(M/Q)$ ならある $n \ge 1$ で $a^nM \subseteq Q$ となることをいう。$M = A$ のとき、準素部分加群を準素イデアルという。

イデアル $\mathfrak{q} \ne A$ が準素であることは、「$xy \in \mathfrak{q}$、$x \notin \mathfrak{q}$ ならば $y^n \in \mathfrak{q}$ となる $n$ がある」ことと同じです（$y$ が $A/\mathfrak{q}$ の零因子であることが $xy \in \mathfrak{q}$、$x \notin \mathfrak{q}$ の意味で、$y^nA \subseteq \mathfrak{q}$ は $y^n \in \mathfrak{q}$ と同じ）。素イデアルは準素イデアルです。

命題 4.2（準素性の判定）✓

$A$ を Noether 環、$M$ を有限生成 $A$ 加群、$Q \subsetneq M$ を部分加群とする。

1. $Q$ が準素であることと、$\operatorname{Ass}(M/Q)$ がただ一つの素イデアル $\mathfrak{p}$ からなることは同値である。このとき $\mathfrak{p} = \sqrt{\operatorname{Ann}(M/Q)}$ であり、$Q$ は $\mathfrak{p}$ 準素であるという。イデアル $\mathfrak{q}$ については $\mathfrak{p} = \sqrt{\mathfrak{q}}$ である。
2. $\mathfrak{p}$ 準素な部分加群の有限個の共通部分は $\mathfrak{p}$ 準素である。
3. $\mathfrak{q}$ がイデアルで $\sqrt{\mathfrak{q}}$ が極大イデアル $\mathfrak{m}$ なら、$\mathfrak{q}$ は $\mathfrak{m}$ 準素である。とくに極大イデアルの冪 $\mathfrak{m}^n$ は $\mathfrak{m}$ 準素である。
4. $Q$ が $\mathfrak{p}$ 準素なら $Z(M/Q) = \mathfrak{p}$ であり、$s \notin \mathfrak{p}$、$sm \in Q$ ならば $m \in Q$ である。

証明（命題 4.2）

(1) $N = M/Q \ne 0$ とします。$a$ が $N$ 上で冪零であることは $a \in \sqrt{\operatorname{Ann}N}$ と同じです。定理 2.2 の (3) と 定理 3.3 の (3) により

$$Z(N) = \bigcup_{\mathfrak{p} \in \operatorname{Ass}N}\mathfrak{p}, \qquad \sqrt{\operatorname{Ann}N} = \bigcap_{\mathfrak{p} \in \operatorname{Ass}N}\mathfrak{p}$$

です。$Q$ が準素であることは $Z(N) \subseteq \sqrt{\operatorname{Ann}N}$（逆の包含は $\operatorname{Ass}N \ne \varnothing$ からいつも成り立つ）、すなわち和集合が共通部分に含まれることで、$\operatorname{Ass}N$ は空でないので、これはただ一つの元からなることと同値です。そのとき $\mathfrak{p} = \sqrt{\operatorname{Ann}N}$ で、$M = A$ なら $\operatorname{Ann}(A/\mathfrak{q}) = \mathfrak{q}$ です。

(2) $Q_1, Q_2$ が $\mathfrak{p}$ 準素なら、$M/(Q_1 \cap Q_2) \to M/Q_1 \oplus M/Q_2$ は単射で、命題 2.3 の (2)、(3) により $\operatorname{Ass}(M/(Q_1 \cap Q_2)) \subseteq \{\mathfrak{p}\}$ です。$Q_1 \cap Q_2 \ne M$ なので左辺は空でなく（定理 2.2）、(1) により $Q_1 \cap Q_2$ は $\mathfrak{p}$ 準素です。有限個は帰納法です。

(3) $\operatorname{Supp}(A/\mathfrak{q}) = V(\mathfrak{q}) = V(\sqrt{\mathfrak{q}}) = \{\mathfrak{m}\}$ です（命題 5.4［加群・完全列・中山の補題］ の (3) と 補題 4.2［局所化と素イデアルのスペクトル］ の (1)。$\mathfrak{m}$ を含む素イデアルは $\mathfrak{m}$ だけ）。系 3.2 により $\operatorname{Ass}(A/\mathfrak{q}) \subseteq \{\mathfrak{m}\}$ で、空でないので等号が成り立ち、(1) により $\mathfrak{q}$ は $\mathfrak{m}$ 準素です。$x \in \mathfrak{m}$ なら $x^n \in \mathfrak{m}^n$、$x^k \in \mathfrak{m}^n \subseteq \mathfrak{m}$ なら $x \in \mathfrak{m}$ なので $\sqrt{\mathfrak{m}^n} = \mathfrak{m}$ で、後半を得ます。

(4) $Z(M/Q) = \mathfrak{p}$ は 定理 2.2 の (3) と (1) から従います。$s \notin \mathfrak{p}$ は $M/Q$ の零因子でないので、$s\bar m = 0$ なら $\bar m = 0$ です。

∎

素イデアルの冪は準素とは限りません（例 4.3）。逆に、準素イデアルが素イデアルの冪とも限りません。$(x, y^2) \subseteq k[x, y]$ は根基が極大イデアル $(x, y)$ なので準素ですが、$(x, y)$ の冪ではありません（演習 7.2）。

例 4.3（素イデアルの冪が準素でない例）

$k$ を体、$A = k[x, y, z]/(xy - z^2)$、$\mathfrak{p} = (x, z)A$ とします。$A/\mathfrak{p} \cong k[x, y, z]/(xy - z^2, x, z) \cong k[y]$ は整域なので、$\mathfrak{p}$ は素イデアルです。$\mathfrak{p}^2 = (x^2, xz, z^2)A$ で、$A$ では $xy = z^2 \in \mathfrak{p}^2$ です。

$x \notin \mathfrak{p}^2$ です。実際、$x \in \mathfrak{p}^2$ なら $k[x, y, z]$ で $x = g_1x^2 + g_2xz + g_3z^2 + h(xy - z^2)$ と書けますが、右辺の各項は次数 $2$ 以上の単項式だけからなる（$x^2, xz, z^2, xy - z^2$ は 2 次斉次式）ので、両辺の 1 次の部分を比べると $x = 0$ となって矛盾です。また $y \notin \mathfrak{p}$（$A/\mathfrak{p} \cong k[y]$ で $y$ の像は $0$ でない）なので、$y$ のどの冪も $\mathfrak{p}$ に入らず、$\mathfrak{p}^2 \subseteq \mathfrak{p}$ にも入りません。よって $xy \in \mathfrak{p}^2$、$x \notin \mathfrak{p}^2$、$y^n \notin \mathfrak{p}^2$ で、$\mathfrak{p}^2$ は準素ではありません。

幾何学的には、$A$ は 2 次錐面の座標環で、$\mathfrak{p}$ は錐面上の直線 $x = z = 0$ に対応します。この直線は錐の頂点を通り、$xy = z^2$ という関係のために、頂点の近くで $\mathfrak{p}^2$ が準素性を失っています（演習 7.3 で、$\mathfrak{p}$ の外の元 $y$ で割ると $x$ が $\mathfrak{p}^2$ の局所化に入ることを確かめます）。

5. Lasker–Noether の定理

定義 5.1（準素分解）↗

$M$ を $A$ 加群、$N \subsetneq M$ を部分加群とする。$N = Q_1 \cap \cdots \cap Q_r$ で各 $Q_i$ が $M$ の $\mathfrak{p}_i$ 準素部分加群であるとき、これを $N$ の準素分解という。$\mathfrak{p}_1, \ldots, \mathfrak{p}_r$ が相異なり、どの $i$ についても $\bigcap_{j \ne i} Q_j \not\subseteq Q_i$ であるとき、極小な準素分解という。$\{\mathfrak{p}_i\}$ の極小元を孤立素イデアル、それ以外を埋没素イデアルといい、対応する $Q_i$ をそれぞれ孤立成分・埋没成分という。

部分加群 $N \subsetneq M$ が既約であるとは、部分加群 $N_1, N_2$ について $N = N_1 \cap N_2$ ならば $N = N_1$ または $N = N_2$ となることをいいます。

次の補題のねらいは、Lasker–Noether の定理の材料を作ることです。(1) は、Noether 性により真部分加群を既約なものの共通部分に砕いていけることを言い、(2) は、既約なものは準素になることを言います。(2) の証明では、$a$ 倍写像の核の昇鎖が止まるところまで進み、そこで「像と核が交わらない」状態を作って、既約性に結びつけます。

補題 5.2（既約部分加群は準素）✓

$A$ を Noether 環、$M$ を有限生成 $A$ 加群とする。

1. $M$ の任意の真部分加群は、有限個の既約部分加群の共通部分である。
2. 既約部分加群は準素である。

証明（補題 5.2）

$M$ は Noether 加群です（定理 3.1［Noether 環と Artin 環］ の (3)）。

(1) 有限個の既約部分加群の共通部分として書けない真部分加群の全体が空でないとして、その極大元 $N$ を取ります（補題 2.3［Noether 環と Artin 環］）。$N$ は既約でないので、$N = N_1 \cap N_2$、$N \subsetneq N_1$、$N \subsetneq N_2$ と書けます。$N_1 = M$ なら $N = N_2$ となるので $N_1 \ne M$、同様に $N_2 \ne M$ です。極大性から $N_1, N_2$ は既約部分加群の有限個の共通部分で、したがって $N$ もそうなり、矛盾です。

(2) $N$ を既約部分加群、$a \in Z(M/N)$ とし、$\bar M = M/N$ の上の $a$ 倍の写像を $\alpha$ とします。$\ker\alpha \subseteq \ker\alpha^2 \subseteq \cdots$ は $\bar M$ の部分加群の昇鎖なので、ある $n$ で $\ker\alpha^n = \ker\alpha^{n+1}$ です。$\alpha^n(\bar M) \cap \ker\alpha = 0$ を示します。$x = \alpha^n(y)$ が $\alpha(x) = 0$ を満たすなら $y \in \ker\alpha^{n+1} = \ker\alpha^n$ なので $x = 0$ です。$\pi \colon M \to \bar M$ による引き戻しを取ると（補題 2.1［Noether 環と Artin 環］ の対応定理は共通部分を保ちます）

$$N = \pi^{-1}\bigl(\alpha^n(\bar M)\bigr) \cap \pi^{-1}(\ker\alpha) = (a^nM + N) \cap \pi^{-1}(\ker\alpha)$$

です。$a$ は零因子なので $\ker\alpha \ne 0$、すなわち $\pi^{-1}(\ker\alpha) \ne N$ です。$N$ は既約なので $a^nM + N = N$、すなわち $a^nM \subseteq N$ で、$a$ は $\bar M$ 上で冪零です。

∎

定理 5.3（Lasker–Noether の定理（存在））✓

$A$ を Noether 環、$M$ を有限生成 $A$ 加群とする。$M$ の任意の真部分加群 $N$ は極小な準素分解をもつ。

証明（定理 5.3）

補題 5.2 により、$N$ は有限個の準素部分加群の共通部分 $N = Q_1 \cap \cdots \cap Q_r$ です。同じ素イデアルに対応する成分をまとめて一つにすると、命題 4.2 の (2) により準素分解のまま素イデアルを相異なるようにできます。次に、$\bigcap_{j \ne i}Q_j \subseteq Q_i$ となる成分 $Q_i$ があれば取り除きます（共通部分は変わりません）。成分は有限個なので、この操作は有限回で終わり、極小な準素分解が得られます。

∎

定理 5.4（準素分解の第一一意性）✓

$A$ を Noether 環、$M$ を有限生成 $A$ 加群、$N \subsetneq M$ とし、$N = Q_1 \cap \cdots \cap Q_r$ を極小な準素分解、$Q_i$ を $\mathfrak{p}_i$ 準素とする。このとき

$$\{\mathfrak{p}_1, \ldots, \mathfrak{p}_r\} = \operatorname{Ass}(M/N)$$

である。とくに $r$ と素イデアルの集合は極小な準素分解の取り方によらない。

証明（定理 5.4）

$M/N \to \bigoplus_i M/Q_i$、$\bar m \mapsto (m + Q_i)_i$ は単射なので、命題 2.3 の (2)、(3) と 命題 4.2 の (1) により $\operatorname{Ass}(M/N) \subseteq \bigcup_i \operatorname{Ass}(M/Q_i) = \{\mathfrak{p}_1, \ldots, \mathfrak{p}_r\}$ です。

逆に、$i$ を固定して $N_i = \bigcap_{j \ne i}Q_j$ とおきます。極小性から $N_i \not\subseteq Q_i$ で、$N_i \cap Q_i = N$ です。第二同型定理（補題 2.1［Noether 環と Artin 環］）により

$$N_i/N = N_i/(N_i \cap Q_i) \cong (N_i + Q_i)/Q_i \subseteq M/Q_i$$

で、これは $0$ でない部分加群です。命題 2.3 の (2) と 定理 2.2 の (2) により $\varnothing \ne \operatorname{Ass}(N_i/N) \subseteq \operatorname{Ass}(M/Q_i) = \{\mathfrak{p}_i\}$ なので $\mathfrak{p}_i \in \operatorname{Ass}(N_i/N) \subseteq \operatorname{Ass}(M/N)$ です。

∎

定理 5.5（準素分解の第二一意性（孤立成分））✓

定理 5.4 と同じ状況で、$\mathfrak{p}_i$ が $\operatorname{Ass}(M/N)$ の極小元（孤立素イデアル）なら

$$Q_i = \{ m \in M : \text{ある } s \in A \setminus \mathfrak{p}_i \text{ で } sm \in N \}$$

であり、これは自然な写像 $M \to (M/N)_{\mathfrak{p}_i}$ の核に等しい。とくに孤立成分は極小な準素分解の取り方によらない。

証明（定理 5.5）

右辺を $Q'$ とします。$m \in Q'$、$sm \in N \subseteq Q_i$（$s \notin \mathfrak{p}_i$）なら、命題 4.2 の (4) により $m \in Q_i$ です。

逆に $m \in Q_i$ とします。$j \ne i$ について $\mathfrak{p}_j \ne \mathfrak{p}_i$ で、$\mathfrak{p}_i$ は極小なので $\mathfrak{p}_j \not\subseteq \mathfrak{p}_i$ です。$s_j \in \mathfrak{p}_j \setminus \mathfrak{p}_i$ を取ると、$\mathfrak{p}_j = \sqrt{\operatorname{Ann}(M/Q_j)}$（命題 4.2 の (1)）なので、ある $n_j$ で $s_j^{n_j}M \subseteq Q_j$ です。$s = \prod_{j \ne i}s_j^{n_j}$ は素イデアル $\mathfrak{p}_i$ に入らず、$sm \in Q_j$（$j \ne i$）かつ $sm \in Q_i$ なので $sm \in N$ です。よって $m \in Q'$ です。

最後に、$m$ の像 $(m + N)/1 \in (M/N)_{\mathfrak{p}_i}$ が $0$ であることは、ある $s \notin \mathfrak{p}_i$ で $s(m + N) = 0$、すなわち $sm \in N$ となることと同値です。

∎

命題 5.6（準素分解と局所化）✓

$A$ を Noether 環、$M$ を有限生成 $A$ 加群、$S$ を積閉集合とする。

1. $Q$ を $\mathfrak{p}$ 準素部分加群とする。$S \cap \mathfrak{p} \ne \varnothing$ なら $S^{-1}Q = S^{-1}M$ である。$S \cap \mathfrak{p} = \varnothing$ なら、$S^{-1}Q$ は $S^{-1}M$ の $S^{-1}\mathfrak{p}$ 準素部分加群で、$\{ m \in M : m/1 \in S^{-1}Q \} = Q$ である。
2. $N = Q_1 \cap \cdots \cap Q_r$ を極小な準素分解（$Q_i$ は $\mathfrak{p}_i$ 準素）とし、番号を付け替えて、$\mathfrak{p}_i \cap S = \varnothing$ となる $i$ が $1, \ldots, l$ であるとする。$l \ge 1$ なら $S^{-1}N = S^{-1}Q_1 \cap \cdots \cap S^{-1}Q_l$ は $S^{-1}N$ の極小な準素分解であり、$l = 0$ なら $S^{-1}N = S^{-1}M$ である。

証明（命題 5.6）

(1) $t \in S \cap \mathfrak{p}$ なら、ある $n$ で $t^nM \subseteq Q$ なので、$m/u = t^nm/(t^nu) \in S^{-1}Q$ です。$S \cap \mathfrak{p} = \varnothing$ とします。局所化は完全なので（定理 5.2［加群・完全列・中山の補題］）$S^{-1}M/S^{-1}Q \cong S^{-1}(M/Q)$ で、命題 2.4 によりその随伴素イデアルの集合は $\{S^{-1}\mathfrak{p}\}$ です。とくに $S^{-1}(M/Q) \ne 0$ で、$S^{-1}A$ は Noether 環（系 4.1［Noether 環と Artin 環］）、$S^{-1}M$ は有限生成なので、命題 4.2 の (1) により $S^{-1}Q$ は $S^{-1}\mathfrak{p}$ 準素です。$m/1 \in S^{-1}Q$ なら、$m/1 = q/u$ からある $v \in S$ で $v(um - q) = 0$、すなわち $vum \in Q$ で、$vu \notin \mathfrak{p}$ なので 命題 4.2 の (4) により $m \in Q$ です。

(2) 部分加群 $N_1, N_2$ について、完全列 $0 \to N_1 \cap N_2 \to M \to M/N_1 \oplus M/N_2$ を局所化すると、$S^{-1}(N_1 \cap N_2) = S^{-1}N_1 \cap S^{-1}N_2$ がわかります（定理 5.2［加群・完全列・中山の補題］）。帰納法と (1) により $S^{-1}N = \bigcap_{i \le l}S^{-1}Q_i$（$l = 0$ なら $S^{-1}M$）です。$l \ge 1$ のとき、$S^{-1}N \subseteq S^{-1}Q_1 \ne S^{-1}M$ で、$S^{-1}\mathfrak{p}_1, \ldots, S^{-1}\mathfrak{p}_l$ は相異なります（定理 3.6［局所化と素イデアルのスペクトル］ の (4)）。ある成分 $S^{-1}Q_i$ が余分だとすると、それを除いた分解から 定理 5.3 の証明の操作で極小な分解が得られ、その素イデアルは $S^{-1}\mathfrak{p}_i$ を含みません。一方 定理 5.4 によりそれは $\operatorname{Ass}(S^{-1}M/S^{-1}N) = \operatorname{Ass}(S^{-1}(M/N))$ に等しく、定理 5.4（$\operatorname{Ass}(M/N) = \{\mathfrak{p}_1, \ldots, \mathfrak{p}_r\}$）と 命題 2.4 によりこれは $\{S^{-1}\mathfrak{p}_1, \ldots, S^{-1}\mathfrak{p}_l\}$ なので、$S^{-1}\mathfrak{p}_i$ を含み、矛盾です。

∎

例 5.7（埋没成分は一意でない）

$k$ を体、$A = k[x, y]$、$I = (x^2, xy)$ とします。単項式で生成されるイデアルに多項式 $f$ が属することは、$f$ の各項の単項式が生成元のどれかで割り切れることと同値です（$\sum g_i m_i$ の各項は $m_i$ で割り切れ、逆は明らか）。これを使うと

$$(x) \cap (x, y)^2 = (x^2, xy) = (x) \cap (x^2, y)$$

が確かめられます。実際、$xg$ が $(x^2, xy, y^2)$ に入ることも $(x^2, y)$ に入ることも、$g$ の各項が $x$ または $y$ で割り切れること、すなわち $g \in (x, y)$ と同値で、$x(x, y) = (x^2, xy)$ です。$(x)$ は素イデアル、$(x, y)^2$ と $(x^2, y)$ は根基が極大イデアル $(x, y)$ なので $(x, y)$ 準素です（命題 4.2 の (3)）。どちらの分解も極小で、素イデアルの集合は 例 3.5 の $\operatorname{Ass}(A/I) = \{(x), (x, y)\}$ に一致します。孤立成分 $(x)$ は共通ですが、埋没成分は $(x, y)^2 \ne (x^2, y)$ で一意ではありません。実際、任意の $n \ge 2$ について $(x) \cap (x^2, xy, y^n)$ も同じ $I$ の極小な準素分解です。

例 5.8（Z と k[x] の準素分解）

$n = \pm p_1^{e_1}\cdots p_r^{e_r}$（$p_i$ は相異なる素数）について $(n) = (p_1^{e_1}) \cap \cdots \cap (p_r^{e_r})$ で、$(p_i^{e_i})$ は根基が極大イデアル $(p_i)$ なので $(p_i)$ 準素です（命題 4.2 の (3)）。$p_i^{e_i}$ は互いに素なので、中国剰余定理（定理 6.1［整除と素因数分解］）を繰り返し使うと $\mathbb{Z}/(n) \cong \prod_i \mathbb{Z}/(p_i^{e_i})$ となり、準素分解が環の直積分解として実現されます。$\mathbb{Z}$ では 0 でない素イデアルはすべて極大なので埋没素イデアルは現れず、準素分解は一意です。体 $k$ 上の $k[x]$ でも、多項式の既約分解 $f = c\,f_1^{e_1}\cdots f_r^{e_r}$ から同じ形の分解 $(f) = \bigcap_i (f_i^{e_i})$ が得られます。

6. 記号的冪

定義 6.1（記号的冪）↗

$\mathfrak{p}$ を環 $A$ の素イデアル、$n \ge 1$ とする。

$$\mathfrak{p}^{(n)} = \{ a \in A : a/1 \in \mathfrak{p}^nA_{\mathfrak{p}} \} = \{ a \in A : \text{ある } s \in A \setminus \mathfrak{p} \text{ で } sa \in \mathfrak{p}^n \}$$

を $\mathfrak{p}$ の $n$ 次の記号的冪という。

二つの表示が一致するのは、$\mathfrak{p}^nA_{\mathfrak{p}}$ の元が $b/t$（$b \in \mathfrak{p}^n$、$t \notin \mathfrak{p}$）と書けることと、$a/1 = b/t$ がある $u \notin \mathfrak{p}$ で $u(ta - b) = 0$、したがって $(ut)a = ub \in \mathfrak{p}^n$ を意味することによります（逆に $sa \in \mathfrak{p}^n$ なら $a/1 = sa/s$）。

命題 6.2（記号的冪の性質）✓

$A$ を Noether 環、$\mathfrak{p}$ を素イデアル、$m, n \ge 1$ とする。

1. $\sqrt{\mathfrak{p}^n} = \mathfrak{p}$ であり、$\mathfrak{p}$ は $\operatorname{Ass}(A/\mathfrak{p}^n)$ のただ一つの極小元である。
2. $\mathfrak{p}^{(n)}$ は $\mathfrak{p}^n$ の任意の極小な準素分解における $\mathfrak{p}$ 準素成分（孤立成分）に等しい。とくに $\mathfrak{p}^{(n)}$ は $\mathfrak{p}$ 準素で、$\mathfrak{p}^n \subseteq \mathfrak{p}^{(n)}$ である。
3. $\mathfrak{p}^{(n)} = \mathfrak{p}^n$ であることと、$\mathfrak{p}^n$ が準素であることは同値である。とくに $\mathfrak{p}$ が極大イデアルなら $\mathfrak{p}^{(n)} = \mathfrak{p}^n$ である。
4. $\mathfrak{p}^{(n)}A_{\mathfrak{p}} = \mathfrak{p}^nA_{\mathfrak{p}}$、$\mathfrak{p}^{(m)}\mathfrak{p}^{(n)} \subseteq \mathfrak{p}^{(m+n)}$、$\mathfrak{p}^{(n+1)} \subseteq \mathfrak{p}^{(n)}$ である。

証明（命題 6.2）

(1) $x \in \mathfrak{p}$ なら $x^n \in \mathfrak{p}^n$、$x^k \in \mathfrak{p}^n \subseteq \mathfrak{p}$ なら $x \in \mathfrak{p}$ なので $\sqrt{\mathfrak{p}^n} = \mathfrak{p}$ です。$\operatorname{Supp}(A/\mathfrak{p}^n) = V(\mathfrak{p}^n) = V(\mathfrak{p})$（命題 5.4［加群・完全列・中山の補題］ の (3)、補題 4.2［局所化と素イデアルのスペクトル］ の (1)）のただ一つの極小元は $\mathfrak{p}$ で、定理 3.3 の (2) によりこれが $\operatorname{Ass}(A/\mathfrak{p}^n)$ のただ一つの極小元です。

(2) 定理 5.3 により $\mathfrak{p}^n$ の極小な準素分解があり、定理 5.4 と (1) により、その素イデアルのうち $\mathfrak{p}$ はただ一つの孤立素イデアルです。定理 5.5 により対応する成分は $\{ a : \text{ある } s \notin \mathfrak{p} \text{ で } sa \in \mathfrak{p}^n \} = \mathfrak{p}^{(n)}$ です。$s = 1$ と取れば $\mathfrak{p}^n \subseteq \mathfrak{p}^{(n)}$ です。

(3) $\mathfrak{p}^{(n)}$ は準素なので、$\mathfrak{p}^{(n)} = \mathfrak{p}^n$ なら $\mathfrak{p}^n$ は準素です。逆に $\mathfrak{p}^n$ が準素なら、$\mathfrak{p}^n$ 自身がただ一つの成分からなる極小な準素分解で、(2) により $\mathfrak{p}^{(n)} = \mathfrak{p}^n$ です。$\mathfrak{p}$ が極大なら $\mathfrak{p}^n$ は準素です（命題 4.2 の (3)）。

(4) $\mathfrak{p}^n \subseteq \mathfrak{p}^{(n)}$ から $\supseteq$ が、$a \in \mathfrak{p}^{(n)}$、$t \notin \mathfrak{p}$ について $a/t = (1/t)(a/1) \in \mathfrak{p}^nA_{\mathfrak{p}}$ から $\subseteq$ が従います。$sa \in \mathfrak{p}^m$、$tb \in \mathfrak{p}^n$（$s, t \notin \mathfrak{p}$）なら $(st)(ab) \in \mathfrak{p}^{m+n}$ で、$st \notin \mathfrak{p}$ なので $ab \in \mathfrak{p}^{(m+n)}$ です。最後は $\mathfrak{p}^{n+1} \subseteq \mathfrak{p}^n$ から明らかです。

∎

(4) の $\mathfrak{p}^{(n)}A_{\mathfrak{p}} = \mathfrak{p}^nA_{\mathfrak{p}}$ は、「局所環 $A_{\mathfrak{p}}$ で見れば記号的冪は普通の冪」ということです。Krull 次元と単項イデアル定理 の章の単項イデアル定理の証明では、局所環 $A$ の降鎖 $\mathfrak{p}^{(n)} + (x)$ を Artin 環 $A/(x)$ の中で止め、この等式を使って高さを評価します。幾何学的には、$\mathfrak{p}^{(n)}$ は「$V(\mathfrak{p})$ の一般の点で $n$ 位以上消える関数」の全体で、体上の多項式環では「$V(\mathfrak{p})$ のすべての点で $n$ 位以上消える関数」と一致することが知られています（Zariski–永田の定理。記号的冪を「各点での消え方」で言い換える定理で、この記事では使いません）。

7. 演習

演習 7.1易

正の整数 $n \ge 2$ について、$\operatorname{Ass}_{\mathbb{Z}}(\mathbb{Z}/n) = \{(p) : p \text{ は } n \text{ を割る素数}\}$ であることを示してください。

解答

$p \mid n$ なら $\overline{n/p} \in \mathbb{Z}/n$ の零化イデアルは $\{a : n \mid a\,n/p\} = (p)$ なので $(p) \in \operatorname{Ass}$ です。逆に $\operatorname{Ass}(\mathbb{Z}/n) \subseteq \operatorname{Supp}(\mathbb{Z}/n) = V((n))$（系 3.2 と 命題 5.4［加群・完全列・中山の補題］ の (3)）で、$(n)$ を含む素イデアルは $n$ を割る素数 $p$ の $(p)$ だけです（$0 \not\supseteq (n)$）。

演習 7.2標準

体 $k$ について、$\mathfrak{q} = (x, y^2) \subseteq k[x, y]$ は $(x, y)$ 準素イデアルですが、どの素イデアルの冪でもないことを示してください。

解答

$\sqrt{\mathfrak{q}} \supseteq (x, y)$ で、$(x, y)$ は極大イデアル（$k[x,y]/(x,y) \cong k$）なので $\sqrt{\mathfrak{q}} = (x, y)$ です（$\sqrt{\mathfrak{q}} \ne k[x, y]$ は $\mathfrak{q} \subseteq (x, y)$ から）。命題 4.2 の (3) により $\mathfrak{q}$ は $(x, y)$ 準素です。$\mathfrak{q} = \mathfrak{p}^n$（$\mathfrak{p}$ は素イデアル）なら $\mathfrak{p} = \sqrt{\mathfrak{p}^n} = \sqrt{\mathfrak{q}} = (x, y)$ です（命題 6.2 の (1)）。$n = 1$ なら $y \in \mathfrak{q}$ となりますが、$\mathfrak{q}$ の元の 1 次の部分は $x$ の定数倍なので $y \notin \mathfrak{q}$ です。$n \ge 2$ なら $x \in (x, y)^2$ となりますが、$(x, y)^2$ の元は 2 次以上の項しかもたないので矛盾です。

演習 7.3標準

例 4.3 の $A = k[x, y, z]/(xy - z^2)$、$\mathfrak{p} = (x, z)$ について、$x \in \mathfrak{p}^{(2)}$ を示し、$\mathfrak{p}^{(2)} \ne \mathfrak{p}^2$ を確かめてください。また、この結果が 命題 6.2 の (3) と整合することを説明してください。

解答

$A$ では $yx = z^2 \in \mathfrak{p}^2$ で、$y \notin \mathfrak{p}$ なので、定義から $x \in \mathfrak{p}^{(2)}$ です。例 4.3 で $x \notin \mathfrak{p}^2$ を示したので、$\mathfrak{p}^{(2)} \ne \mathfrak{p}^2$ です。命題 6.2 の (3) によれば、$\mathfrak{p}^{(2)} \ne \mathfrak{p}^2$ は $\mathfrak{p}^2$ が準素でないことと同値で、これは 例 4.3 の結論と一致します。局所環 $A_{\mathfrak{p}}$ では $y$ が単元なので $x = z^2/y \in \mathfrak{p}^2A_{\mathfrak{p}}$ となり、(4) の $\mathfrak{p}^{(2)}A_{\mathfrak{p}} = \mathfrak{p}^2A_{\mathfrak{p}}$ の具体例になっています。

参考文献

• M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, 1969 — Chapter 4（イデアルの準素分解）。
• H. Matsumura, Commutative Ring Theory, Cambridge University Press, 1986 — §6（随伴素イデアルと準素分解）。§2〜§5 の加群による構成はこの本に近く、証明の細部は独自に補っています。
• 松村英之『可換環論』共立出版、1980 — 上の英訳の原著。
• D. Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics 150, Springer, 1995 — Chapter 3（随伴素イデアルと準素分解、記号的冪）。
• E. Lasker, “Zur Theorie der Moduln und Ideale”, Mathematische Annalen 60 (1905), 20–116。
• E. Noether, “Idealtheorie in Ringbereichen”, Mathematische Annalen 83 (1921), 24–66。