準素性の判定

命題 4.2（「準素分解と随伴素イデアル」§4）・ ✓公理まで証明済み

$A$ を Noether 環、 $M$ を有限生成 $A$ 加群、 $Q \subsetneq M$ を部分加群とする。

$Q$ が準素であることと、 $\operatorname{Ass}(M/Q)$ がただ一つの素イデアル $\mathfrak{p}$ からなることは同値である。このとき $\mathfrak{p} = \sqrt{\operatorname{Ann}(M/Q)}$ であり、 $Q$ は $\mathfrak{p}$ 準素であるという。イデアル $\mathfrak{q}$ については $\mathfrak{p} = \sqrt{\mathfrak{q}}$ である。
$\mathfrak{p}$ 準素な部分加群の有限個の共通部分は $\mathfrak{p}$ 準素である。
$\mathfrak{q}$ がイデアルで $\sqrt{\mathfrak{q}}$ が極大イデアル $\mathfrak{m}$ なら、 $\mathfrak{q}$ は $\mathfrak{m}$ 準素である。とくに極大イデアルの冪 $\mathfrak{m}^n$ は $\mathfrak{m}$ 準素である。
$Q$ が $\mathfrak{p}$ 準素なら $Z(M/Q) = \mathfrak{p}$ であり、 $s \notin \mathfrak{p}$ 、 $sm \in Q$ ならば $m \in Q$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 35 件、定義なども含めて 43 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

随伴素イデアルの存在と零因子✓定理 2.2・準素分解と随伴素イデアル
- 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
- 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
随伴素イデアルと台✓定理 3.3・準素分解と随伴素イデアル
- Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環
  - 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
  - 局所化定義 3.2・局所化と素イデアルのスペクトル
  - ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
  - ヒルベルトの基底定理✓定理 5.3・多項式環と体の拡大
    ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
  - 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環
    イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
    剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
    法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
- 随伴素イデアルの存在と零因子✓定理 2.2・準素分解と随伴素イデアル（上で展開済み）
- 随伴素イデアルと局所化✓命題 2.4・準素分解と随伴素イデアル
  - 局所化のイデアルと素イデアルの対応✓定理 3.6・局所化と素イデアルのスペクトル
    単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
    素イデアルの引き戻し✓補題 2.4・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 随伴素イデアルの有限性✓系 3.2・準素分解と随伴素イデアル（上で展開済み）
- 台の性質✓命題 5.4・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）
- 極小素イデアルの存在✓命題 4.7・局所化と素イデアルのスペクトル
  - Zorn の補題✓定理 5.1・選択公理と Zorn の補題この先をたどる →
  - 極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題この先をたどる →
  - 極大イデアルは素イデアル✓系 6.4・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 冪零根基は素イデアルの共通部分✓定理 2.6・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
- 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環（上で展開済み）
  - 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環（上で展開済み）
  - 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環この先をたどる →
- 根基は素イデアルの共通部分✓系 2.7・局所化と素イデアルのスペクトル
  - 冪零根基は素イデアルの共通部分✓定理 2.6・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
  - 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
随伴素イデアルと完全列✓命題 2.3・準素分解と随伴素イデアル
- 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環
  - 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
  - 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
台の性質✓命題 5.4・加群・完全列・中山の補題
- 局所化は完全✓定理 5.2・加群・完全列・中山の補題
- 素スペクトルと Zariski 位相定義 4.1・局所化と素イデアルのスペクトル
V の性質✓補題 4.2・局所化と素イデアルのスペクトル
- 根基は素イデアルの共通部分✓系 2.7・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
随伴素イデアルの有限性✓系 3.2・準素分解と随伴素イデアル
- 素フィルトレーション✓定理 3.1・準素分解と随伴素イデアル
  - 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
  - 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
  - 随伴素イデアルの存在と零因子✓定理 2.2・準素分解と随伴素イデアル（上で展開済み）
  - 加群の同型定理と対応定理✓補題 2.1・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
  - 随伴素イデアルと完全列✓命題 2.3・準素分解と随伴素イデアル（上で展開済み）
  - 台の性質✓命題 5.4・加群・完全列・中山の補題（上で展開済み）

これを使っている定理証明で参照している 7 件

𝔪 準素イデアルの判定✓補題 4.1・Krull 次元と単項イデアル定理
Krull の単項イデアル定理✓定理 4.2・Krull 次元と単項イデアル定理
Lasker–Noether の定理（存在）✓定理 5.3・準素分解と随伴素イデアル
準素分解の第一一意性✓定理 5.4・準素分解と随伴素イデアル
準素分解の第二一意性（孤立成分）✓定理 5.5・準素分解と随伴素イデアル
準素分解と局所化✓命題 5.6・準素分解と随伴素イデアル
記号的冪の性質✓命題 6.2・準素分解と随伴素イデアル

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前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

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