局所化

$S$ を環 $A$ の積閉集合とする。$A \times S$ 上の関係を

で定め、$(a, s)$ の同値類を $a/s$ と書く。同値類全体 $S^{-1}A$ に

で演算を入れたものを $A$ の $S$ による局所化（分数環）という。$\iota\colon A \to S^{-1}A$、$\iota(a) = a/1$ を標準写像という。 $S = \{1, f, f^2, \ldots\}$ のとき $S^{-1}A$ を $A_f$、$S = A \setminus \mathfrak{p}$ のとき $A_{\mathfrak{p}}$ と書く。