可換環論 100 本ノック

修士100 問。全問無料です。

対象読者: 本テーマの各章（局所化と Spec から Kähler 微分まで）を一通り学んだ修士課程の人。仮定の要不要や反例を自分で考える練習ができる水準を想定します。

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執筆: Claude Code（Opus 5.5）、Claude Code（Sonnet 5.5）・監査 2 回（Claude Code）・最終 2026-10-12

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この冊について（出典・構成・使う定理）

主な参考文献

• M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley
• H. Matsumura, Commutative Ring Theory, Cambridge University Press
• D. Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Springer GTM 150
• 松村英之『可換環論』共立出版

問題はすべて Rikai の書き下ろしです。参考文献の演習や本文は転載していません。

構成

• 1〜9: 局所化と素イデアルのスペクトル
• 10〜17: 加群・完全列・中山の補題
• 18〜26: テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群
• 27〜33: Noether 環と Artin 環
• 34〜43: 整拡大と Hilbert の零点定理
• 44〜50: 準素分解と随伴素イデアル
• 51〜59: Krull 次元と単項イデアル定理
• 60〜67: 離散付値環と Dedekind 環
• 68〜74: 完備化と Artin–Rees の補題
• 75〜81: 次数環と Hilbert–Samuel 多項式
• 82〜88: Tor・Ext と深さ
• 89〜95: Cohen–Macaulay 環と正則局所環
• 96〜100: Kähler 微分と滑らかさの入口

形式: 単一選択 32・複数選択 20・○× 10・数値 16・並べ替え 6・誤り探し 8・記述 8。難易度 ★〜★★★★: 15 / 40 / 38 / 7。

この冊で使う定義・定理（173）

• 定理 6.3 極大イデアルと体 イデアルと剰余環：環を「割る」ための正規部分群 → 1 番
• 定義 5.1 ネーター環 多項式環と体の拡大：素因数分解の一意性から作図不能性まで → 28 番
• 命題 5.2 ネーター性の同値条件 多項式環と体の拡大：素因数分解の一意性から作図不能性まで → 29 番
• 命題 6.1 次数の連鎖律 多項式環と体の拡大：素因数分解の一意性から作図不能性まで → 100 番
• 定理 3.5 R が UFD なら R[x] も UFD 多項式環と体の拡大：素因数分解の一意性から作図不能性まで → 43 番
• 系 6.5 正則局所環は CM Cohen–Macaulay 環と正則局所環：深さと次元が一致する環、Serre の定理と判定法 → 78, 93 番
• 系 7.2 正則局所環の局所化 Cohen–Macaulay 環と正則局所環：深さと次元が一致する環、Serre の定理と判定法 → 90, 94 番
• 定義 3.1 Cohen–Macaulay 加群・Cohen–Macaulay 環 Cohen–Macaulay 環と正則局所環：深さと次元が一致する環、Serre の定理と判定法 → 93 番
• 定義 6.1 埋め込み次元・正則局所環・正則環 Cohen–Macaulay 環と正則局所環：深さと次元が一致する環、Serre の定理と判定法 → 89 番
• 定義 9.1 Serre の条件 (R_k)・(S_k) Cohen–Macaulay 環と正則局所環：深さと次元が一致する環、Serre の定理と判定法 → 92 番
• 命題 6.7 完全交叉は CM Cohen–Macaulay 環と正則局所環：深さと次元が一致する環、Serre の定理と判定法 → 87, 89, 90, 91, 92 番
• 命題 3.6 CM 性の局所化 Cohen–Macaulay 環と正則局所環：深さと次元が一致する環、Serre の定理と判定法 → 94 番
• 命題 2.6 Koszul 複体は極小自由分解 Cohen–Macaulay 環と正則局所環：深さと次元が一致する環、Serre の定理と判定法 → 82 番
• 命題 6.4 正則局所環の剰余 Cohen–Macaulay 環と正則局所環：深さと次元が一致する環、Serre の定理と判定法 → 89, 93 番
• 定理 5.2 パラメータイデアルの重複度と CM 性 Cohen–Macaulay 環と正則局所環：深さと次元が一致する環、Serre の定理と判定法 → 78, 91 番
• 定理 8.5 正則局所環は UFD（Auslander–Buchsbaum） Cohen–Macaulay 環と正則局所環：深さと次元が一致する環、Serre の定理と判定法 → 92, 95 番
• 定理 9.4 Serre の判定法 Cohen–Macaulay 環と正則局所環：深さと次元が一致する環、Serre の定理と判定法 → 90, 92, 94 番
• 定理 7.1 Serre の正則性定理 Cohen–Macaulay 環と正則局所環：深さと次元が一致する環、Serre の定理と判定法 → 83, 95 番
• 系 7.4 完備局所環は Hensel 局所環 完備化と Artin–Rees の補題：逆極限・Krull の交叉定理・Hensel の補題・係数体 → 68, 73 番
• 系 5.2 局所環と整域での交叉定理 完備化と Artin–Rees の補題：逆極限・Krull の交叉定理・Hensel の補題・係数体 → 70, 74 番
• 定義 3.2 I 進完備化・完備局所環 完備化と Artin–Rees の補題：逆極限・Krull の交叉定理・Hensel の補題・係数体 → 68, 71 番
• 定理 4.3 Artin–Rees の補題 完備化と Artin–Rees の補題：逆極限・Krull の交叉定理・Hensel の補題・係数体 → 72 番
• 定理 6.7 完備化の平坦性 完備化と Artin–Rees の補題：逆極限・Krull の交叉定理・Hensel の補題・係数体 → 71 番
• 定理 6.6 完備化の Noether 性と局所性 完備化と Artin–Rees の補題：逆極限・Krull の交叉定理・Hensel の補題・係数体 → 68, 69, 71, 73 番
• 定理 7.3 Hensel の補題 完備化と Artin–Rees の補題：逆極限・Krull の交叉定理・Hensel の補題・係数体 → 69 番
• 定理 5.1 Krull の交叉定理 完備化と Artin–Rees の補題：逆極限・Krull の交叉定理・Hensel の補題・係数体 → 70, 72, 74 番
• 系 7.3 Dedekind 環の整閉包は Dedekind 離散付値環と Dedekind 環：付値・可逆イデアル・Krull–秋月の定理 → 64 番
• 系 5.2 Noether 付値環と Noether Prüfer 整域 離散付値環と Dedekind 環：付値・可逆イデアル・Krull–秋月の定理 → 63 番
• 系 3.5 極大イデアルが単項な Noether 局所整域 離散付値環と Dedekind 環：付値・可逆イデアル・Krull–秋月の定理 → 60 番
• 定義 9.1 導手 離散付値環と Dedekind 環：付値・可逆イデアル・Krull–秋月の定理 → 61 番
• 定義 8.1 分岐指数と剰余次数（一般の Dedekind 環） 離散付値環と Dedekind 環：付値・可逆イデアル・Krull–秋月の定理 → 65 番
• 命題 9.2 導手と局所化 離散付値環と Dedekind 環：付値・可逆イデアル・Krull–秋月の定理 → 61 番
• 命題 3.2 DVR の基本性質 離散付値環と Dedekind 環：付値・可逆イデアル・Krull–秋月の定理 → 60, 62 番
• 命題 10.3 Dedekind 環上の有限生成加群 離散付値環と Dedekind 環：付値・可逆イデアル・Krull–秋月の定理 → 63 番
• 定理 5.1 Dedekind 環の特徴づけ 離散付値環と Dedekind 環：付値・可逆イデアル・Krull–秋月の定理 → 63, 64, 66 番
• 定理 3.4 DVR の特徴づけ 離散付値環と Dedekind 環：付値・可逆イデアル・Krull–秋月の定理 → 60, 62, 67 番
• 定理 4.3 可逆イデアルの特徴づけ 離散付値環と Dedekind 環：付値・可逆イデアル・Krull–秋月の定理 → 66 番
• 定理 7.2 Krull–秋月の定理 離散付値環と Dedekind 環：付値・可逆イデアル・Krull–秋月の定理 → 64 番
• 定理 8.2 一般の Dedekind 環での基本等式 離散付値環と Dedekind 環：付値・可逆イデアル・Krull–秋月の定理 → 65 番
• 系 6.2 零因子でない元で割ったときの次元 次数環と Hilbert–Samuel 多項式：Hilbert–Serre の定理・重複度・次元定理 dim = d = δ → 77, 96 番
• 系 4.5 Hilbert 多項式 次数環と Hilbert–Samuel 多項式：Hilbert–Serre の定理・重複度・次元定理 dim = d = δ → 75, 76, 79 番
• 定義 5.2 Hilbert–Samuel 関数・d(M) 次数環と Hilbert–Samuel 多項式：Hilbert–Serre の定理・重複度・次元定理 dim = d = δ → 81 番
• 定義 4.2 Hilbert 関数・Hilbert 級数 次数環と Hilbert–Samuel 多項式：Hilbert–Serre の定理・重複度・次元定理 dim = d = δ → 75 番
• 定義 5.5 重複度 次数環と Hilbert–Samuel 多項式：Hilbert–Serre の定理・重複度・次元定理 dim = d = δ → 81 番
• 補題 2.2 斉次部分加群の判定と剰余 次数環と Hilbert–Samuel 多項式：Hilbert–Serre の定理・重複度・次元定理 dim = d = δ → 76, 80 番
• 命題 2.3 次数環の Noether 性 次数環と Hilbert–Samuel 多項式：Hilbert–Serre の定理・重複度・次元定理 dim = d = δ → 79 番
• 命題 2.4 根基と随伴素イデアルの斉次性 次数環と Hilbert–Samuel 多項式：Hilbert–Serre の定理・重複度・次元定理 dim = d = δ → 79 番
• 命題 5.6 重複度の基本性質 次数環と Hilbert–Samuel 多項式：Hilbert–Serre の定理・重複度・次元定理 dim = d = δ → 78 番
• 定理 6.1 次元定理 次数環と Hilbert–Samuel 多項式：Hilbert–Serre の定理・重複度・次元定理 dim = d = δ → 77, 81 番
• 定理 5.1 Hilbert–Samuel 多項式の存在 次数環と Hilbert–Samuel 多項式：Hilbert–Serre の定理・重複度・次元定理 dim = d = δ → 77 番
• 定理 4.4 Hilbert–Serre の定理 次数環と Hilbert–Samuel 多項式：Hilbert–Serre の定理・重複度・次元定理 dim = d = δ → 80 番
• 系 4.3 代数閉体上の多項式環の極大イデアル Noether の正規化と Hilbert の零点定理：超越次数・Jacobson 環・正規化の有限性 → 39 番
• 定義 4.2 代数閉体・代数的集合 Noether の正規化と Hilbert の零点定理：超越次数・Jacobson 環・正規化の有限性 → 40 番
• 定理 5.4 Jacobson 環上の有限型代数 Noether の正規化と Hilbert の零点定理：超越次数・Jacobson 環・正規化の有限性 → 42 番
• 定理 3.1 Noether の正規化定理 Noether の正規化と Hilbert の零点定理：超越次数・Jacobson 環・正規化の有限性 → 41 番
• 定理 4.4 Hilbert の零点定理 Noether の正規化と Hilbert の零点定理：超越次数・Jacobson 環・正規化の有限性 → 40, 43 番
• 系 2.4 整閉包は環・整性の推移性 整拡大：整閉包・横たわり・上昇定理と下降定理 → 35, 36, 37, 38, 41 番
• 系 4.5 整拡大のスペクトルの写像は全射な閉写像 整拡大：整閉包・横たわり・上昇定理と下降定理 → 37 番
• 定義 3.1 整閉整域・正規環 整拡大：整閉包・横たわり・上昇定理と下降定理 → 35, 38 番
• 命題 4.1 整拡大と体 整拡大：整閉包・横たわり・上昇定理と下降定理 → 37 番
• 命題 5.3 整閉整域上の最小多項式 整拡大：整閉包・横たわり・上昇定理と下降定理 → 36 番
• 命題 3.2 正規性は局所的 整拡大：整閉包・横たわり・上昇定理と下降定理 → 62, 67 番
• 命題 3.3 UFD は整閉 整拡大：整閉包・横たわり・上昇定理と下降定理 → 34, 35, 36, 38, 62 番
• 定理 5.4 下降定理 整拡大：整閉包・横たわり・上昇定理と下降定理 → 34, 37 番
• 定理 2.3 整性の判定 整拡大：整閉包・横たわり・上昇定理と下降定理 → 41 番
• 定理 4.4 横たわり定理 整拡大：整閉包・横たわり・上昇定理と下降定理 → 34 番
• 系 5.3 Jacobi 行列による表示 Kähler 微分と滑らかさの入口：導分・基本完全列・エタール代数・Jacobi 判定法 → 97, 98 番
• 定義 9.3 Jacobi 行列 Kähler 微分と滑らかさの入口：導分・基本完全列・エタール代数・Jacobi 判定法 → 96 番
• 命題 8.1 余接空間と Kähler 微分 Kähler 微分と滑らかさの入口：導分・基本完全列・エタール代数・Jacobi 判定法 → 97 番
• 命題 6.3 形式的に不分岐 ⇔ Ω = 0 Kähler 微分と滑らかさの入口：導分・基本完全列・エタール代数・Jacobi 判定法 → 99 番
• 定理 8.4 体上のエタール代数の特徴づけ Kähler 微分と滑らかさの入口：導分・基本完全列・エタール代数・Jacobi 判定法 → 97, 98 番
• 定理 5.1 第一基本完全列 Kähler 微分と滑らかさの入口：導分・基本完全列・エタール代数・Jacobi 判定法 → 100 番
• 定理 9.4 Jacobi 判定法 Kähler 微分と滑らかさの入口：導分・基本完全列・エタール代数・Jacobi 判定法 → 90, 94, 96, 99 番
• 定理 7.1 分離拡大と Ω = 0 Kähler 微分と滑らかさの入口：導分・基本完全列・エタール代数・Jacobi 判定法 → 99, 100 番
• 定理 6.5 形式的に滑らかな代数の Ω は射影的 Kähler 微分と滑らかさの入口：導分・基本完全列・エタール代数・Jacobi 判定法 → 99 番
• 系 6.3 多変数多項式環の次元 Krull 次元と単項イデアル定理：高さ・パラメータ系・アフィン代数の次元 → 51, 52 番
• 系 4.4 Noether 環の素イデアルの高さは有限 Krull 次元と単項イデアル定理：高さ・パラメータ系・アフィン代数の次元 → 54 番
• 定義 2.1 Krull 次元・高さ・余高さ Krull 次元と単項イデアル定理：高さ・パラメータ系・アフィン代数の次元 → 58 番
• 定義 5.1 δ(A) とパラメータ系 Krull 次元と単項イデアル定理：高さ・パラメータ系・アフィン代数の次元 → 55 番
• 補題 4.1 𝔪 準素イデアルの判定 Krull 次元と単項イデアル定理：高さ・パラメータ系・アフィン代数の次元 → 55, 81, 91 番
• 補題 2.2 イデアルの極小素イデアル Krull 次元と単項イデアル定理：高さ・パラメータ系・アフィン代数の次元 → 53, 57, 59 番
• 命題 2.3 次元と高さの基本性質 Krull 次元と単項イデアル定理：高さ・パラメータ系・アフィン代数の次元 → 52, 54, 56, 58, 67 番
• 命題 5.3 元で割ったときの次元 Krull 次元と単項イデアル定理：高さ・パラメータ系・アフィン代数の次元 → 56 番
• 定理 7.4 アフィン整域の鎖状性 Krull 次元と単項イデアル定理：高さ・パラメータ系・アフィン代数の次元 → 51, 53, 58 番
• 定理 5.2 Noether 局所環の次元 Krull 次元と単項イデアル定理：高さ・パラメータ系・アフィン代数の次元 → 54, 55, 56 番
• 定理 6.2 多項式環の次元 Krull 次元と単項イデアル定理：高さ・パラメータ系・アフィン代数の次元 → 54 番
• 定理 4.3 一般高さ定理（Krull） Krull 次元と単項イデアル定理：高さ・パラメータ系・アフィン代数の次元 → 59 番
• 定理 4.2 Krull の単項イデアル定理 Krull 次元と単項イデアル定理：高さ・パラメータ系・アフィン代数の次元 → 53, 57, 59 番
• 系 2.7 根基は素イデアルの共通部分 局所化と素イデアルのスペクトル：根基・分数環・Zariski 位相 → 43 番
• 定義 3.2 局所化 局所化と素イデアルのスペクトル：根基・分数環・Zariski 位相 → 3 番
• 定義 3.1 積閉集合 局所化と素イデアルのスペクトル：根基・分数環・Zariski 位相 → 4 番
• 定義 2.2 根基・冪零根基・Jacobson 根基・被約環 局所化と素イデアルのスペクトル：根基・分数環・Zariski 位相 → 6, 8, 10 番
• 定義 4.1 素スペクトルと Zariski 位相 局所化と素イデアルのスペクトル：根基・分数環・Zariski 位相 → 2 番
• 補題 2.9 素イデアル回避 局所化と素イデアルのスペクトル：根基・分数環・Zariski 位相 → 4, 57 番
• 補題 2.5 剰余環のイデアルの対応 局所化と素イデアルのスペクトル：根基・分数環・Zariski 位相 → 18, 39, 52, 65 番
• 補題 4.2 V の性質 局所化と素イデアルのスペクトル：根基・分数環・Zariski 位相 → 14 番
• 命題 3.5 商体 局所化と素イデアルのスペクトル：根基・分数環・Zariski 位相 → 7 番
• 命題 2.8 Jacobson 根基の特徴づけ 局所化と素イデアルのスペクトル：根基・分数環・Zariski 位相 → 8 番
• 命題 3.10 素イデアルでの局所化は局所環 局所化と素イデアルのスペクトル：根基・分数環・Zariski 位相 → 6, 7, 9, 10, 11, 16 番
• 命題 4.8 Spec の連結性と冪等元 局所化と素イデアルのスペクトル：根基・分数環・Zariski 位相 → 30 番
• 定理 3.6 局所化のイデアルと素イデアルの対応 局所化と素イデアルのスペクトル：根基・分数環・Zariski 位相 → 3, 4, 9, 22, 48 番
• 定理 3.4 局所化の普遍性 局所化と素イデアルのスペクトル：根基・分数環・Zariski 位相 → 9 番
• 定理 2.6 冪零根基は素イデアルの共通部分 局所化と素イデアルのスペクトル：根基・分数環・Zariski 位相 → 6 番
• 定理 4.4 Spec の位相の基本性質 局所化と素イデアルのスペクトル：根基・分数環・Zariski 位相 → 1, 2, 5 番
• 系 3.6 極小生成系の個数 加群・完全列・中山の補題：行列式のトリックと局所的性質 → 11, 66, 87 番
• 系 3.4 aM = M の帰結 加群・完全列・中山の補題：行列式のトリックと局所的性質 → 72 番
• 定義 2.4 零化イデアルと台 加群・完全列・中山の補題：行列式のトリックと局所的性質 → 14 番
• 定義 2.3 完全列と分裂 加群・完全列・中山の補題：行列式のトリックと局所的性質 → 15, 17 番
• 補題 3.2 可換環上の余因子行列の恒等式 加群・完全列・中山の補題：行列式のトリックと局所的性質 → 12 番
• 補題 2.5 自由加群からの持ち上げ 加群・完全列・中山の補題：行列式のトリックと局所的性質 → 12 番
• 補題 4.1 蛇の補題 加群・完全列・中山の補題：行列式のトリックと局所的性質 → 15 番
• 命題 4.4 分裂の同値条件 加群・完全列・中山の補題：行列式のトリックと局所的性質 → 17 番
• 命題 5.4 台の性質 加群・完全列・中山の補題：行列式のトリックと局所的性質 → 14 番
• 定理 5.3 局所的性質 加群・完全列・中山の補題：行列式のトリックと局所的性質 → 13 番
• 定理 5.2 局所化は完全 加群・完全列・中山の補題：行列式のトリックと局所的性質 → 13 番
• 定理 3.5 中山の補題 加群・完全列・中山の補題：行列式のトリックと局所的性質 → 10, 11, 16, 25 番
• 定理 3.7 有限生成加群の全射自己準同型は同型 加群・完全列・中山の補題：行列式のトリックと局所的性質 → 12 番
• 系 6.5 Noether 局所環が Artin になる条件 Noether 環と Artin 環：鎖条件・組成列の長さ・秋月–Hopkins の定理 → 31 番
• 系 4.1 Noether 性の遺伝 Noether 環と Artin 環：鎖条件・組成列の長さ・秋月–Hopkins の定理 → 29 番
• 定義 5.4 加群の長さ Noether 環と Artin 環：鎖条件・組成列の長さ・秋月–Hopkins の定理 → 27 番
• 補題 2.3 鎖条件の言い換え Noether 環と Artin 環：鎖条件・組成列の長さ・秋月–Hopkins の定理 → 49 番
• 命題 6.1 Artin 環の基本性質 Noether 環と Artin 環：鎖条件・組成列の長さ・秋月–Hopkins の定理 → 33 番
• 命題 5.5 長さの加法性 Noether 環と Artin 環：鎖条件・組成列の長さ・秋月–Hopkins の定理 → 27, 30, 33, 80 番
• 命題 5.6 体上の長さは次元 Noether 環と Artin 環：鎖条件・組成列の長さ・秋月–Hopkins の定理 → 27 番
• 定理 6.3 秋月–Hopkins の定理（可換環） Noether 環と Artin 環：鎖条件・組成列の長さ・秋月–Hopkins の定理 → 28 番
• 定理 6.4 Artin 環の構造定理 Noether 環と Artin 環：鎖条件・組成列の長さ・秋月–Hopkins の定理 → 30, 33 番
• 定理 7.2 Eakin–永田の定理 Noether 環と Artin 環：鎖条件・組成列の長さ・秋月–Hopkins の定理 → 32 番
• 定理 3.1 鎖条件と短完全列 Noether 環と Artin 環：鎖条件・組成列の長さ・秋月–Hopkins の定理 → 32 番
• 定理 4.3 冪級数環の Noether 性 Noether 環と Artin 環：鎖条件・組成列の長さ・秋月–Hopkins の定理 → 29 番
• 系 3.4 Noether 環の極小素イデアル 準素分解と随伴素イデアル：Lasker–Noether の定理と記号的冪 → 57 番
• 定義 2.1 随伴素イデアル・零因子 準素分解と随伴素イデアル：Lasker–Noether の定理と記号的冪 → 49 番
• 定義 4.1 準素部分加群・準素イデアル 準素分解と随伴素イデアル：Lasker–Noether の定理と記号的冪 → 46, 50 番
• 定義 5.1 準素分解 準素分解と随伴素イデアル：Lasker–Noether の定理と記号的冪 → 44, 45 番
• 命題 4.2 準素性の判定 準素分解と随伴素イデアル：Lasker–Noether の定理と記号的冪 → 44, 45, 46 番
• 命題 5.6 準素分解と局所化 準素分解と随伴素イデアル：Lasker–Noether の定理と記号的冪 → 48 番
• 命題 6.2 記号的冪の性質 準素分解と随伴素イデアル：Lasker–Noether の定理と記号的冪 → 46, 50 番
• 定理 3.3 随伴素イデアルと台 準素分解と随伴素イデアル：Lasker–Noether の定理と記号的冪 → 47 番
• 定理 2.2 随伴素イデアルの存在と零因子 準素分解と随伴素イデアル：Lasker–Noether の定理と記号的冪 → 47, 49 番
• 定理 5.4 準素分解の第一一意性 準素分解と随伴素イデアル：Lasker–Noether の定理と記号的冪 → 44 番
• 定理 5.5 準素分解の第二一意性（孤立成分） 準素分解と随伴素イデアル：Lasker–Noether の定理と記号的冪 → 45, 48 番
• 定理 3.1 素フィルトレーション 準素分解と随伴素イデアル：Lasker–Noether の定理と記号的冪 → 47 番
• 定義 4.1 平坦加群 テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群：Baer の判定法から忠実平坦まで → 21 番
• 定義 3.4 入射加群と可除加群 テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群：Baer の判定法から忠実平坦まで → 24 番
• 補題 3.8 余誘導加群 テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群：Baer の判定法から忠実平坦まで → 23 番
• 命題 7.2 絶対平坦環の特徴づけ テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群：Baer の判定法から忠実平坦まで → 21, 28 番
• 命題 2.5 係数の拡大の基本性質 テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群：Baer の判定法から忠実平坦まで → 18 番
• 命題 4.4 平坦性の基本性質 テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群：Baer の判定法から忠実平坦まで → 20, 21, 22 番
• 命題 3.6 PID 上の入射加群 テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群：Baer の判定法から忠実平坦まで → 23 番
• 命題 8.1 PID 上の平坦加群 テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群：Baer の判定法から忠実平坦まで → 20 番
• 命題 2.3 テンソル積の基本同型 テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群：Baer の判定法から忠実平坦まで → 19, 26 番
• 定理 3.5 Baer の判定法 テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群：Baer の判定法から忠実平坦まで → 24 番
• 定理 6.2 忠実平坦の特徴づけ テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群：Baer の判定法から忠実平坦まで → 22 番
• 定理 2.6 Hom とテンソルの随伴 テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群：Baer の判定法から忠実平坦まで → 26 番
• 定理 3.3 射影加群の特徴づけ テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群：Baer の判定法から忠実平坦まで → 21, 23, 25 番
• 定理 5.1 局所環上の有限射影加群は自由 テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群：Baer の判定法から忠実平坦まで → 23, 25 番
• 定理 2.8 テンソル積の右完全性 テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群：Baer の判定法から忠実平坦まで → 18, 19, 26 番
• 系 6.5 Noether 局所環の大域次元 Tor・Ext と深さ：射影分解から Auslander–Buchsbaum の公式まで → 82, 95 番
• 定義 7.5 深さ Tor・Ext と深さ：射影分解から Auslander–Buchsbaum の公式まで → 84 番
• 定義 7.1 正則列 Tor・Ext と深さ：射影分解から Auslander–Buchsbaum の公式まで → 84 番
• 定義 4.1 Tor と Ext Tor・Ext と深さ：射影分解から Auslander–Buchsbaum の公式まで → 88 番
• 補題 4.4 次元ずらし Tor・Ext と深さ：射影分解から Auslander–Buchsbaum の公式まで → 85 番
• 補題 6.2 射影次元と Ext の消滅 Tor・Ext と深さ：射影分解から Auslander–Buchsbaum の公式まで → 88 番
• 命題 7.9 深さと次元 Tor・Ext と深さ：射影分解から Auslander–Buchsbaum の公式まで → 84, 89 番
• 命題 5.1 平坦性の Tor 判定 Tor・Ext と深さ：射影分解から Auslander–Buchsbaum の公式まで → 86 番
• 命題 3.6 極小自由分解の存在 Tor・Ext と深さ：射影分解から Auslander–Buchsbaum の公式まで → 83 番
• 定理 9.1 Auslander–Buchsbaum の公式 Tor・Ext と深さ：射影分解から Auslander–Buchsbaum の公式まで → 85, 87 番
• 定理 7.4 深さと Ext（Rees の定理） Tor・Ext と深さ：射影分解から Auslander–Buchsbaum の公式まで → 88 番
• 定理 8.3 正則列の Koszul 複体 Tor・Ext と深さ：射影分解から Auslander–Buchsbaum の公式まで → 88 番
• 定理 5.2 局所平坦性判定 Tor・Ext と深さ：射影分解から Auslander–Buchsbaum の公式まで → 85, 86, 87 番
• 定理 6.3 射影次元と Tor Tor・Ext と深さ：射影分解から Auslander–Buchsbaum の公式まで → 82, 83, 85 番
• 定理 4.6 Tor の平衡性 Tor・Ext と深さ：射影分解から Auslander–Buchsbaum の公式まで → 86 番
• 定理 6.5 極大イデアルの存在（Krull の定理） 選択公理と Zorn の補題：「無限個の選択」を極大元に置き換える → 8 番
• 定義 3.1 T0・T1・T2 分離公理と距離づけ可能性：T1 から T4 へ、そしてウリゾーンの距離化定理 → 5 番