整拡大：整閉包・横たわり・上昇定理と下降定理

0. この記事の要点

放物線を横から照らして $x$ 軸に影を落とすと、ほとんどの影の上に点が 2 個ずつ乗ります。双曲線では、影が原点に近づくと点が果てしなく遠くへ逃げてしまいます。この記事は「点が逃げない」という性質を、環の言葉（モニック多項式の根になること）で扱う話です。読み終えると、環を大きくしたときに素イデアル（幾何でいう点にあたるもの）がどう対応するかを、定理として説明できるようになります。

• 環 $A$ 上の元 $b$ が整であるとは、$A$ 係数のモニック多項式の根になることです。これは「$A[b]$ が有限生成 $A$ 加群になる」ことと同値で、証明は 加群・完全列・中山の補題 の行列式のトリックそのものです。この言い換えから、整な元の和と積がまた整であること（整閉包は環）と、整性の推移性が出てきます。
• 整閉包をとる操作は局所化と可換です。したがって整域が整閉であることは局所的な性質で、すべての素イデアルでの局所化が整閉であることと同値です。UFD は整閉です。
• 整拡大 $A \subseteq B$ では、$\operatorname{Spec} B \to \operatorname{Spec} A$ は全射で（横たわり）、同じ素イデアルの上の素イデアルの間に包含関係はなく（比較不能性）、$A$ の素イデアルの上昇列は $B$ に持ち上がります（上昇定理）。とくにこの写像は閉写像（閉集合を閉集合に写す写像）です。
• $A$ が整閉整域で $B$ が整域なら、下降列も持ち上がります（下降定理）。鍵は「整閉整域上で整な元の最小多項式の係数は $A$ に入る」という補題で、証明には分解体での共役（同じ最小多項式の根どうし）を使います。整閉性を外すと下降定理は壊れます（Whitney の傘の例）。
• 平坦な環準同型でも下降定理が成り立ちます。これは テンソル積と平坦性 の章の忠実平坦性から従います。

この記事で使う事前知識

• 行列式のトリック: 有限生成加群 $M$ の自己準同型 $\beta$ が $\beta(M) \subseteq \mathfrak{a}M$ を満たすなら、$\mathfrak{a}$ の元を係数とするモニック多項式が $\beta$ を $0$ にする、という主張。→ 行列式のトリック
• 有限生成加群: 有限個の元の $A$ 係数の一次結合で全体が書ける加群。→ 有限生成
• 局所化: 分母に積閉集合の元を許して環を広げる操作。→ 局所化
• 素イデアルのスペクトル $\operatorname{Spec}$: 環の素イデアル全体に Zariski 位相を入れた空間。→ 局所化と素イデアルのスペクトル
• 一意分解整域（UFD）: 0 でも単元でもない元が、順序と単元倍を除いて一意に既約元の積に書ける整域。→ 一意分解整域
• 根基: イデアル $\mathfrak{a}$ のある冪が入る元全体のなすイデアル $\sqrt{\mathfrak{a}}$。→ 根基

1. 動機

代数的整数論では、代数体 $K$ の中で「整数」と呼ぶべきものを、$\mathbb{Z}$ 係数のモニック多項式の根として定めました。$\sqrt{-3}$ だけでなく $\frac{1 + \sqrt{-3}}{2}$ も $x^2 - x + 1 = 0$ の根なので整数で、整数環は $\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ より少し大きくなります。この「モニック多項式の根」という条件を、$\mathbb{Z} \subseteq \mathbb{C}$ から一般の環の拡大 $A \subseteq B$ に移したものが整拡大です。

幾何学的には、整拡大 $A \subseteq B$ は「各点の上に有限個の点しかなく、点が無限遠に逃げない」写像 $\operatorname{Spec} B \to \operatorname{Spec} A$ に対応します。たとえば $k[x] \subseteq k[x, y]/(y^2 - x)$ は放物線を $x$ 軸に射影する写像で、$k$ が標数 $2$ でない代数閉体なら各点の上に 2 点（$x = 0$ では 1 点）が乗っています。一方 $k[x] \subseteq k[x, y]/(xy - 1)$ は双曲線の射影で、$x = 0$ の上には点がありません。$y$ は $xy - 1 = 0$ という、$y$ についてモニックでない式しか満たさず、$x \to 0$ で $y \to \infty$ に逃げるからです。横たわり定理は、整性がこの「逃げない」ことを保証すると言っています。

この記事の結果は次のように使われます。

• 代数幾何: 有限射は閉写像で全射（横たわり）、正規化（整閉包）による特異点の解消の第一歩、多様体と根基イデアルの対応（次の章の零点定理）。
• 代数的整数論: 整数環の一般論、素イデアルの上の素イデアルの存在（横たわり）。
• 次元論（Krull 次元と単項イデアル定理 の章）: 整拡大で Krull 次元が変わらないこと（上昇定理と比較不能性）、アフィン代数の鎖状性（下降定理）。

環はすべて単位元をもつ可換環です。環準同型 $\varphi \colon A \to B$ が与えられたとき $B$ を $A$ 代数といい、$a \in A$ と $b \in B$ の積 $\varphi(a)b$ を $ab$ と書きます。$A \subseteq B$ が部分環のときは包含写像を考えます。

2. 整元と有限代数

定義 2.1（整元・整拡大・整閉包）↗

$\varphi \colon A \to B$ を環準同型とする。

1. $b \in B$ が $A$ 上整であるとは、$n \ge 1$ と $a_1, \ldots, a_n \in A$ があって

$$b^n + a_1 b^{n-1} + \cdots + a_{n-1} b + a_n = 0$$

となることをいう（整従属の式という）。$B$ のすべての元が $A$ 上整であるとき、$B$ は $A$ 上整であるという。$A \subseteq B$ が部分環で $B$ が $A$ 上整なとき、$A \subseteq B$ を整拡大という。 2. $A$ 上整な $B$ の元全体を、$B$ における $A$ の整閉包という。$A \subseteq B$ が部分環で整閉包が $A$ 自身に等しいとき、$A$ は $B$ で整閉であるという。 3. $b_1, \ldots, b_n \in B$ に対し、$\varphi(A)$ と $b_1, \ldots, b_n$ で生成される $B$ の部分環を $A[b_1, \ldots, b_n]$ と書く。

定義 2.2（有限代数・有限型代数）↗

$A$ 代数 $B$ が $A$ 加群として有限生成であるとき、$B$ は $A$ 上有限であるという。ある $b_1, \ldots, b_n \in B$ について $B = A[b_1, \ldots, b_n]$ となるとき、$B$ は $A$ 上有限型（有限生成 $A$ 代数）であるという。

有限型は「多項式環 $A[x_1, \ldots, x_n]$ からの全射がある」こと、有限は「$A^n$ からの $A$ 加群としての全射がある」ことです。有限なら有限型です（加群の生成元は代数としても生成元）。逆は成り立たず、$A[x]$ は $A$ 上有限型ですが、$A \ne 0$ なら有限ではありません（有限個の多項式の $A$ 係数の一次結合では、それらの次数の最大値を超える次数の多項式は作れません）。

次の定理が整性のすべての性質の出発点です。

定理 2.3（整性の判定）✓

$\varphi \colon A \to B$ を環準同型、$b \in B$ とする。次は同値である。

1. $b$ は $A$ 上整である。
2. $A[b]$ は有限生成 $A$ 加群である。
3. $A[b]$ は、有限生成 $A$ 加群であるような $B$ の部分環 $C$ に含まれる。
4. $A[b]$ 加群 $M$ で、$A$ 加群として有限生成であり、$A[b]$ 加群として忠実（$x \in A[b]$、$xM = 0$ ならば $x = 0$）なものが存在する。

証明（定理 2.3）

(1)⇒(2): 整従属の式 $b^n = -(a_1 b^{n-1} + \cdots + a_n)$ を使うと、$m \ge n$ について $b^m = b^{m-n} b^n$ は $b^{m-1}, \ldots, b^{m-n}$ の $A$ 係数の一次結合です。$m$ についての帰納法により、すべての $b^m$ は $1, b, \ldots, b^{n-1}$ の $A$ 係数の一次結合です。$A[b]$ の元は $b$ の $A$ 係数の多項式なので、$A[b] = A + Ab + \cdots + Ab^{n-1}$ です。

(2)⇒(3): $C = A[b]$ と取ります。

(3)⇒(4): $M = C$ と取ります。$C$ は $A[b]$ を含む環なので $A[b]$ 加群で、仮定から $A$ 加群として有限生成です。$x \in A[b]$ が $xC = 0$ を満たせば、$1 \in C$ なので $x = x \cdot 1 = 0$ です。

(4)⇒(1): $b$ 倍の写像 $\beta \colon M \to M$、$m \mapsto bm$ は $A$ 線形で、$\beta(M) \subseteq M = A \cdot M$ です。行列式のトリック（定理 3.3［加群・完全列・中山の補題］）を単位イデアル $A$ に当てると、$c_1, \ldots, c_n \in A$ があって $\beta^n + c_1\beta^{n-1} + \cdots + c_n = 0$（$\operatorname{End}_A(M)$ の中で）となります。$\beta^i$ は $b^i$ 倍の写像なので、$x = b^n + c_1 b^{n-1} + \cdots + c_n \in A[b]$ は $xM = 0$ を満たします。$M$ は忠実なので $x = 0$ で、これは $b$ の整従属の式です。

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$A = \mathbb{Z}$、$B = \mathbb{C}$ の場合の (4)⇒(1) が、代数的整数論で使った加群による判定（補題 2.2［代数体の整数環と Dedekind 整域］）です。そこでは $\mathbb{C}$ の中で行列式を取りましたが、ここでは一般の可換環の上で行列式のトリックを使っています。

系 2.4（整閉包は環・整性の推移性）✓

$\varphi \colon A \to B$ を環準同型とする。

1. （有限性の推移性）$B$ が $A$ 上有限で、$B$ 代数 $C$ が $B$ 上有限なら、$C$ は $A$ 上有限である。
2. $b_1, \ldots, b_n \in B$ が $A$ 上整なら、$A[b_1, \ldots, b_n]$ は $A$ 上有限である。
3. $B$ における $A$ の整閉包は、$\varphi(A)$ を含む $B$ の部分環である。
4. $B$ が $A$ 上有限なら $B$ は $A$ 上整である。$B$ が $A$ 上有限であることと、$B$ が $A$ 上整かつ有限型であることは同値である。
5. （整性の推移性）$B$ が $A$ 上整で、$B$ 代数 $C$ が $B$ 上整なら、$C$ は $A$ 上整である。
6. $B$ における $A$ の整閉包を $C$ とすると、$C$ は $B$ で整閉である。

証明（系 2.4）

(1) $B = \sum_i A u_i$、$C = \sum_j B v_j$ とすると、$c \in C$ は $c = \sum_j \beta_j v_j$（$\beta_j \in B$）、$\beta_j = \sum_i \alpha_{ij} u_i$（$\alpha_{ij} \in A$）と書けるので $c = \sum_{i,j} \alpha_{ij}\, u_i v_j$ です。よって $C$ は有限個の $u_i v_j$ で $A$ 上生成されます。

(2) $n$ についての帰納法です。$A_k = A[b_1, \ldots, b_k]$ とします。$b_{k+1}$ は $A$ 上整なので、同じ式により $A_k$ 上も整で、定理 2.3 により $A_{k+1} = A_k[b_{k+1}]$ は $A_k$ 上有限です。帰納法の仮定（$A_k$ は $A$ 上有限）と (1) により $A_{k+1}$ は $A$ 上有限です。

(3) $b, b'$ が $A$ 上整なら、(2) により $A[b, b']$ は $A$ 上有限で、$b \pm b'$ と $bb'$ はこれに含まれます。定理 2.3 の (3)⇒(1) により、これらも整です。$\varphi(a)$ は $x - a$ の根なので整です。

(4) $B$ が $A$ 上有限なら、任意の $b \in B$ について $A[b] \subseteq B$ なので、定理 2.3 の (3) から $b$ は整です。有限なら有限型であることは定義の直後に見ました。逆に $B = A[b_1, \ldots, b_n]$ で各 $b_i$ が整なら、(2) により有限です。

(5) $c \in C$ は $c^n + \beta_1 c^{n-1} + \cdots + \beta_n = 0$（$\beta_i \in B$）を満たします。$B' = A[\beta_1, \ldots, \beta_n] \subseteq B$ とおくと、(2) から $B'$ は $A$ 上有限です。$c$ は $B'$ 上整なので $B'[c]$ は $B'$ 上有限で（定理 2.3）、(1) により $B'[c]$ は $A$ 上有限です。定理 2.3 の (3)⇒(1) により $c$ は $A$ 上整です。

(6) $x \in B$ が $C$ 上整なら、$C$ は $A$ 上整なので (5) により $x$ は $A$ 上整、すなわち $x \in C$ です。

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(3) は定義だけからは見えにくい主張です。$\sqrt{2}$ と $\sqrt{3}$ が整でも、$\sqrt{2} + \sqrt{3}$ の満たすモニック多項式 $x^4 - 10x^2 + 1$ を直接書き下すのは別の計算が要ります。行列式のトリックは、その多項式を「$A[b, b']$ の生成元に関する行列の特性多項式」として自動的に作ってくれます。

命題 2.5（整性は剰余と局所化で保たれる）✓

$A \subseteq B$ を整拡大とする。

1. $\mathfrak{b}$ を $B$ のイデアル、$\mathfrak{a} = \mathfrak{b} \cap A$ とすると、$A/\mathfrak{a} \to B/\mathfrak{b}$ は単射で、$B/\mathfrak{b}$ は $A/\mathfrak{a}$ 上整である。
2. $S$ を $A$ の積閉集合とすると、$S^{-1}A \to S^{-1}B$ は単射で、$S^{-1}B$ は $S^{-1}A$ 上整である。

証明（命題 2.5）

(1) $A \to B \to B/\mathfrak{b}$ の核は $\mathfrak{a}$ なので、誘導される $A/\mathfrak{a} \to B/\mathfrak{b}$ は単射です。$b \in B$ の整従属の式を $\mathfrak{b}$ を法として読めば、$\bar b$ の $A/\mathfrak{a}$ 上の整従属の式になります。

(2) 単射性は、包含 $A \to B$ を $A$ 加群の単射とみて局所化の完全性（定理 5.2［加群・完全列・中山の補題］）を当てたものです。$b \in B$ が $b^n + a_1 b^{n-1} + \cdots + a_n = 0$ を満たすとき、$s \in S$ について

$$\Bigl(\frac{b}{s}\Bigr)^n + \frac{a_1}{s}\Bigl(\frac{b}{s}\Bigr)^{n-1} + \cdots + \frac{a_n}{s^n} = \frac{b^n + a_1 b^{n-1} + \cdots + a_n}{s^n} = 0$$

なので、$b/s$ は $S^{-1}A$ 上整です。

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次の命題は「整閉包を先に取ってから分母を許しても、分母を許してから整閉包を取っても同じ」と言っています。証明の後半は、分母つきの整従属の式から分母を払うだけの計算です。ただし $y/1 = 0$ は $y = 0$ とは限らず、$uy = 0$ となる $u \in S$ が残るので、その $u$ を掛けて消します。

命題 2.6（整閉包と局所化の可換性）✓

$A \subseteq B$ を部分環、$C$ を $B$ における $A$ の整閉包、$S$ を $A$ の積閉集合とする。このとき $S^{-1}C$（定理 5.2［加群・完全列・中山の補題］ により $S^{-1}B$ の部分環とみなせる）は、$S^{-1}B$ における $S^{-1}A$ の整閉包に等しい。

証明（命題 2.6）

$C$ は $A$ 上整なので、命題 2.5 の (2) により $S^{-1}C$ は $S^{-1}A$ 上整です。

逆に $b/s \in S^{-1}B$ が $S^{-1}A$ 上整であるとし、整従属の式の係数の分母を払います。係数を共通の分母 $t \in S$ で $a_i/t$（$a_i \in A$）と書くと

$$\Bigl(\frac{b}{s}\Bigr)^n + \sum_{i=1}^{n} \frac{a_i}{t}\Bigl(\frac{b}{s}\Bigr)^{n-i} = 0$$

です。両辺に $(st)^n/1$ を掛けると、$\frac{a_i}{t}\bigl(\frac{b}{s}\bigr)^{n-i}(st)^n = a_i t^{i-1}s^{i}(tb)^{n-i}$ なので、

$$y = (tb)^n + \sum_{i=1}^{n} a_i t^{i-1} s^{i}\, (tb)^{n-i} \in B$$

について $y/1 = 0$ です。局所化の定義から、ある $u \in S$ で $uy = 0$ です。両辺に $u^{n-1}$ を掛けると

$$(utb)^n + \sum_{i=1}^{n} a_i t^{i-1}s^{i}u^{i}\,(utb)^{n-i} = u^n y = 0$$

となり、$utb$ は $A$ 上整、すなわち $utb \in C$ です。よって $b/s = utb/(uts) \in S^{-1}C$ です。

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分母を払う操作は、体上で考えると次の形になります。

命題 2.7（分母を払うと整になる）✓

$A$ を整域、$K = \operatorname{Frac} A$ をその商体（命題 3.5［局所化と素イデアルのスペクトル］）、$L$ を $K$ を含む体とする。$x \in L$ が $K$ 上代数的なら、$0$ でない $a \in A$ で $ax$ が $A$ 上整となるものがある。したがって $L$ が $K$ 上代数的なら、$L$ における $A$ の整閉包を $C$ とすると、$L$ の元はすべて $c/a$（$c \in C$、$0 \ne a \in A$）の形に書け、$\operatorname{Frac} C = L$ である。

証明（命題 2.7）

$x$ はモニックな $K$ 係数多項式の根なので、係数の分母を払って $x^n + (a_1/s)x^{n-1} + \cdots + a_n/s = 0$（$a_i \in A$、$0 \ne s \in A$）と書けます。$s^n$ を掛けると

$$(sx)^n + a_1 (sx)^{n-1} + a_2 s\,(sx)^{n-2} + \cdots + a_n s^{n-1} = 0$$

なので $sx$ は $A$ 上整です。$L$ が $K$ 上代数的なら各 $x \in L$ は $x = (sx)/s$ と書け、$sx \in C$ です。$C \subseteq L$ は整域で、$C$ の $0$ でない元は $L$ で可逆なので、局所化の普遍性（定理 3.4［局所化と素イデアルのスペクトル］）により $\operatorname{Frac} C \to L$、$c/c' \mapsto c c'^{-1}$ が定まり、これは体からの準同型なので単射、いま見たことから全射です。

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3. 整閉整域と正規環

定義 3.1（整閉整域・正規環）↗

整域 $A$ が商体 $\operatorname{Frac} A$ で整閉であるとき、$A$ を整閉整域という。環 $A$ が正規環であるとは、すべての素イデアル $\mathfrak{p}$ について局所化 $A_{\mathfrak{p}}$ が整閉整域であることをいう。整域 $A$ の $\operatorname{Frac} A$ における整閉包を、$A$ の正規化ともいう。

命題 3.2（正規性は局所的）✓

$A$ を整域、$K = \operatorname{Frac} A$ とする。次は同値である。

1. $A$ は整閉整域である。
2. すべての素イデアル $\mathfrak{p}$ について $A_{\mathfrak{p}}$ は整閉整域である（$A$ は正規環である）。
3. すべての極大イデアル $\mathfrak{m}$ について $A_{\mathfrak{m}}$ は整閉整域である。

証明（命題 3.2）

$C$ を $K$ における $A$ の整閉包とし、包含写像 $f \colon A \to C$ を $A$ 加群の準同型とみます。(1) は $f$ が全射であることです。

素イデアル $\mathfrak{p}$ について $S = A \setminus \mathfrak{p}$ とします。命題 3.5［局所化と素イデアルのスペクトル］ により $A_{\mathfrak{p}}$ は $K$ の部分環とみなせ、その商体は $K$ です。また $S$ の元は $K$ の単元なので、$K \to S^{-1}K$、$x \mapsto x/1$ は同型です（逆写像は $x/s \mapsto xs^{-1}$）。したがって 命題 2.6 を $A \subseteq K$ に当てると、$K$ における $A_{\mathfrak{p}}$ の整閉包は $C_{\mathfrak{p}}$ であり、$A_{\mathfrak{p}}$ が整閉整域であることは、局所化した包含写像 $f_{\mathfrak{p}} \colon A_{\mathfrak{p}} \to C_{\mathfrak{p}}$ が全射であることと同じです。

(1)⇒(2): $f$ が全射なら $f_{\mathfrak{p}}$ も全射です（定理 5.2［加群・完全列・中山の補題］）。(2)⇒(3) は明らかです。(3)⇒(1): すべての極大イデアル $\mathfrak{m}$ で $f_{\mathfrak{m}}$ が全射なので、局所的性質（定理 5.3［加群・完全列・中山の補題］ の (2)）により $f$ は全射です。

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とくに、整域が正規環であることと整閉整域であることは同じです。代数幾何では「すべての点で局所環が整閉」という形で正規性を扱うので、この同値は定義を局所的に読み替える根拠になります。

命題 3.3（UFD は整閉）✓

一意分解整域（定義 2.2［多項式環と体の拡大］）は整閉整域である。

証明（命題 3.3）

$A$ を UFD、$K = \operatorname{Frac} A$ とし、$x \in K$ が $A$ 上整であるとします。$x = a/b$（$a, b \in A$、$b \ne 0$）と書き、$a$ と $b$ の両方を割る既約元があれば両方から約しておきます（$b$ の既約元分解は有限なので、この操作は有限回で終わります）。$b$ が単元なら $x \in A$ です。そうでないとして、$b$ を割る既約元 $p$ を取ります。UFD では既約元は素元です（補題 2.3［多項式環と体の拡大］）。整従属の式 $x^n + c_1 x^{n-1} + \cdots + c_n = 0$ に $b^n$ を掛けると

$$a^n = -b\,(c_1 a^{n-1} + c_2 a^{n-2} b + \cdots + c_n b^{n-1})$$

なので $p \mid a^n$ で、$p$ は素元なので $p \mid a$ です。これは $a, b$ が共通の既約因子をもたないことに反します。よって $b$ は単元で、$x \in A$ です。

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とくに $\mathbb{Z}$、体 $k$ 上の多項式環 $k[x_1, \ldots, x_n]$ は整閉整域です（定理 3.5［多項式環と体の拡大］）。

例 3.4（尖点 y² = x³ の正規化）

$k$ を体とし、$A = k[x, y]/(y^2 - x^3)$ とします。$k[x, y]$ の元は $y^2 - x^3$（$y$ についてモニック）で割ると $f(x) + y\,g(x)$ の形の余りに一意的に書けるので、$A$ の元は $f(x) + y\,g(x)$ と一意に書けます。代入 $x \mapsto t^2$、$y \mapsto t^3$ で定まる $k[x, y] \to k[t]$ は $y^2 - x^3$ を $0$ に送り、$f(x) + y\,g(x)$ を $f(t^2) + t^3 g(t^2)$ に送ります。この像の偶数次の部分は $f(t^2)$、奇数次の部分は $t^3 g(t^2)$ なので、像が $0$ なら $f = g = 0$ です。よって

$$A \cong k[t^2, t^3] = \Bigl\{ \textstyle\sum_i c_i t^i \in k[t] : c_1 = 0 \Bigr\}$$

で、$A$ は整域です。$t = t^3/t^2$ なので $\operatorname{Frac} A = k(t)$ で、$t$ は $T^2 - t^2 = 0$（係数 $t^2 \in A$）を満たすので $A$ 上整です。

$A$ の正規化を求めます。$k[t] = A[t]$ は整な元で生成されるので $A$ 上整です（系 2.4 の (2)、(4)）。逆に $k(t)$ の元で $A$ 上整なものは $k[t]$ 上も整で、$k[t]$ は UFD なので（命題 3.3）$k[t]$ に入ります。よって $A$ の正規化は $k[t]$ で、$t \notin A$ なので $A$ は整閉ではありません。

幾何学的には、$A$ は原点に尖りをもつ曲線 $y^2 = x^3$ の座標環で、正規化 $k[t]$ は直線です。写像 $t \mapsto (t^2, t^3)$ は直線を曲線に全単射で写しますが、原点での「尖り」は正規化によって解消されています。

写像 t ↦ (t², t³)（実数の場合の模式図）。左の直線上の t = −1, 0, 1 が、右の曲線 y² = x³ の点 (1, −1), (0, 0), (1, 1) に写る。直線には尖りがなく、尖りは像の曲線の側にだけ現れる

例 3.5（Z[√-3] の整閉包）

$K = \mathbb{Q}(\sqrt{-3}) \subseteq \mathbb{C}$、$\omega = (1 + \sqrt{-3})/2$ とします。$K$ における $\mathbb{Z}$ の整閉包が $\mathbb{Z}[\omega]$ であることを確かめます。

$\omega^2 - \omega + 1 = 0$ なので $\omega$ は整で、系 2.4 から $\mathbb{Z}[\omega]$ は整閉包に含まれます。逆に $x = a + b\sqrt{-3}$（$a, b \in \mathbb{Q}$）が $\mathbb{Z}$ 上整であるとします。複素共役は $K$ をそれ自身に写す環準同型なので、$x$ の整従属の式に施すと $\bar x = a - b\sqrt{-3}$ も同じ式を満たし、整です。したがって $x + \bar x = 2a$ と $x\bar x = a^2 + 3b^2$ は整な有理数で、$\mathbb{Z}$ は UFD なので（命題 3.3）整数です。$u = 2a$ とおくと $u \in \mathbb{Z}$ で、$u^2 + 3(2b)^2 = 4(a^2 + 3b^2) \in 4\mathbb{Z}$ から $3(2b)^2 \in \mathbb{Z}$ です。$2b = r/s$（既約分数）とすると $s^2 \mid 3r^2$ から $s = 1$、すなわち $v = 2b \in \mathbb{Z}$ です。さらに $u^2 + 3v^2 \equiv u^2 - v^2 \equiv 0 \pmod 4$ から $u \equiv v \pmod 2$ です。よって

$$x = \frac{u + v\sqrt{-3}}{2} = \frac{u - v}{2} + v\,\omega \in \mathbb{Z}[\omega]$$

です。$\mathbb{Z}[\sqrt{-3}] \subsetneq \mathbb{Z}[\omega]$ なので、$\mathbb{Z}[\sqrt{-3}]$ は整閉ではありません。これは代数体の整数環の一般論（定理 2.3［代数体の整数環と Dedekind 整域］）の具体例で、$\mathbb{Z}[\omega]$ は $\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ の整数環です。

4. 横たわりと上昇定理

整拡大の素イデアルを調べる基本的な道具は、次の「体であることは整拡大で上下に伝わる」という命題です。

命題 4.1（整拡大と体）✓

$A \subseteq B$ を整域の整拡大とする。$A$ が体であることと、$B$ が体であることは同値である。

証明（命題 4.1）

$A$ が体とし、$0 \ne b \in B$ とします。$b$ の整従属の式のうち次数 $n$ が最小のもの $b^n + a_1 b^{n-1} + \cdots + a_n = 0$ を取ります。$a_n = 0$ なら $b(b^{n-1} + \cdots + a_{n-1}) = 0$ で、$B$ は整域で $b \ne 0$ なので次数 $n - 1$ の式が得られ（$n = 1$ なら $b = 0$ となり）、最小性に反します。よって $a_n \ne 0$ で、$A$ は体なので

$$b \cdot \bigl(-a_n^{-1}(b^{n-1} + a_1 b^{n-2} + \cdots + a_{n-1})\bigr) = 1$$

となり、$b$ は $B$ で可逆です。

$B$ が体とし、$0 \ne a \in A$ とします。$a^{-1} \in B$ は $A$ 上整なので $a^{-m} + a_1 a^{-m+1} + \cdots + a_m = 0$（$a_i \in A$）です。$a^{m-1}$ を掛けると $a^{-1} = -(a_1 + a_2 a + \cdots + a_m a^{m-1}) \in A$ です。

∎

整域であるという仮定は前半で使いました。$A = k$、$B = k[x]/(x^2)$ は整拡大ですが、$B$ は体ではありません。

系 4.2（整拡大と極大イデアル）✓

$A \subseteq B$ を整拡大、$\mathfrak{q}$ を $B$ の素イデアル、$\mathfrak{p} = \mathfrak{q} \cap A$ とする。$\mathfrak{q}$ が極大イデアルであることと、$\mathfrak{p}$ が極大イデアルであることは同値である。

証明（系 4.2）

命題 2.5 の (1) により $A/\mathfrak{p} \subseteq B/\mathfrak{q}$ は整拡大で、どちらも整域です（$\mathfrak{p}$ は素イデアルの引き戻しなので素イデアルであり（補題 2.4［局所化と素イデアルのスペクトル］）、命題 6.2［イデアルと剰余環］ を使います）。命題 4.1 により $A/\mathfrak{p}$ が体であることと $B/\mathfrak{q}$ が体であることは同値で、定理 6.3［イデアルと剰余環］ によりこれが主張です。

∎

次の定理の証明では、$A$ の積閉集合 $S$ を $B$ の積閉集合とみて $S^{-1}B$ を作ります。$\mathfrak{p}$ が $A$ の素イデアルで $S = A \setminus \mathfrak{p}$ のとき、$S^{-1}B$ を $B_{\mathfrak{p}}$ と書きます（$B$ の素イデアルでの局所化ではないことに注意してください）。命題 2.5 の (2) により $A_{\mathfrak{p}} \subseteq B_{\mathfrak{p}}$ は整拡大です。

定理 4.3（比較不能性）✓

$A \subseteq B$ を整拡大とし、$\mathfrak{q} \subseteq \mathfrak{q}'$ を $B$ の素イデアルで $\mathfrak{q} \cap A = \mathfrak{q}' \cap A$ を満たすものとする。このとき $\mathfrak{q} = \mathfrak{q}'$ である。

証明（定理 4.3）

$\mathfrak{p} = \mathfrak{q} \cap A$、$S = A \setminus \mathfrak{p}$ とします。$\mathfrak{q}$ と $\mathfrak{q}'$ は $S$ と交わらないので、定理 3.6［局所化と素イデアルのスペクトル］ の (3) により $\mathfrak{q}B_{\mathfrak{p}} \subseteq \mathfrak{q}'B_{\mathfrak{p}}$ は $B_{\mathfrak{p}}$ の素イデアルで、$b/s \in \mathfrak{q}B_{\mathfrak{p}}$ と $b \in \mathfrak{q}$ は同値です。したがって $A_{\mathfrak{p}}$ の元 $a/s$ が $\mathfrak{q}B_{\mathfrak{p}}$ に入ることは $a \in \mathfrak{q} \cap A = \mathfrak{p}$ と同値で、$\mathfrak{q}B_{\mathfrak{p}} \cap A_{\mathfrak{p}} = \mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$ です。$\mathfrak{q}'$ についても同じです。$\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$ は局所環 $A_{\mathfrak{p}}$ の極大イデアルなので（命題 3.10［局所化と素イデアルのスペクトル］）、系 4.2 を整拡大 $A_{\mathfrak{p}} \subseteq B_{\mathfrak{p}}$ に当てると、$\mathfrak{q}B_{\mathfrak{p}}$ と $\mathfrak{q}'B_{\mathfrak{p}}$ はともに極大イデアルです。極大イデアルの間の包含は等号なので $\mathfrak{q}B_{\mathfrak{p}} = \mathfrak{q}'B_{\mathfrak{p}}$ で、定理 3.6［局所化と素イデアルのスペクトル］ の (4) の全単射性から $\mathfrak{q} = \mathfrak{q}'$ です。

∎

定理 4.4（横たわり定理）✓

$A \subseteq B$ を整拡大、$\mathfrak{p}$ を $A$ の素イデアルとする。このとき $\mathfrak{q} \cap A = \mathfrak{p}$ を満たす $B$ の素イデアル $\mathfrak{q}$ が存在する。

証明（定理 4.4）

$A_{\mathfrak{p}} \subseteq B_{\mathfrak{p}}$ は整拡大で、$A_{\mathfrak{p}} \ne 0$ を含むので $B_{\mathfrak{p}} \ne 0$ です。極大イデアルの存在定理（定理 6.5［選択公理と Zorn の補題］）により $B_{\mathfrak{p}}$ の極大イデアル $\mathfrak{n}$ を取ります。系 4.2 により $\mathfrak{n} \cap A_{\mathfrak{p}}$ は局所環 $A_{\mathfrak{p}}$ の極大イデアルなので $\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$ です。$\mathfrak{q}$ を $\mathfrak{n}$ の $B$ への引き戻しとすると $\mathfrak{q}$ は素イデアルで（補題 2.4［局所化と素イデアルのスペクトル］）、図式

$$\begin{matrix} A & \longrightarrow & B \\ \downarrow & & \downarrow \\ A_{\mathfrak{p}} & \longrightarrow & B_{\mathfrak{p}} \end{matrix}$$

は可換なので、$\mathfrak{q} \cap A$ は $\mathfrak{n} \cap A_{\mathfrak{p}} = \mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}$ の $A$ への引き戻し、すなわち $\mathfrak{p}$ です（定理 3.6［局所化と素イデアルのスペクトル］ の (3)）。

∎

$A = \mathbb{Z}$、$B$ を代数体の整数環とすれば、各素数 $p$ について $p$ の「上にある」素イデアルが存在することになります。整性を外すと横たわりは壊れます。$\mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q}$ では、$\mathbb{Q}$ の素イデアルは $0$ だけなので、$(p)$ の上には何もありません。

系 4.5（整拡大のスペクトルの写像は全射な閉写像）✓

$A \subseteq B$ を整拡大、$\iota \colon A \to B$ を包含写像とする。$B$ の任意のイデアル $\mathfrak{b}$ について $\iota^{*}(V(\mathfrak{b})) = V(\mathfrak{b} \cap A)$ である。とくに $\iota^{*} \colon \operatorname{Spec} B \to \operatorname{Spec} A$ は全射な閉写像である。

証明（系 4.5）

$\mathfrak{q} \supseteq \mathfrak{b}$ なら $\mathfrak{q} \cap A \supseteq \mathfrak{b} \cap A$ なので $\subseteq$ は明らかです。逆に $\mathfrak{p} \supseteq \mathfrak{a} := \mathfrak{b} \cap A$ を素イデアルとします。命題 2.5 の (1) により $A/\mathfrak{a} \subseteq B/\mathfrak{b}$ は整拡大で、$\mathfrak{p}/\mathfrak{a}$ は $A/\mathfrak{a}$ の素イデアルです（補題 2.5［局所化と素イデアルのスペクトル］）。定理 4.4 により $B/\mathfrak{b}$ の素イデアル $\bar{\mathfrak{q}}$ で $\bar{\mathfrak{q}} \cap (A/\mathfrak{a}) = \mathfrak{p}/\mathfrak{a}$ となるものがあり、その $B$ への引き戻し $\mathfrak{q}$ は $\mathfrak{b}$ を含む素イデアルです。$a \in A$ について、$a \in \mathfrak{q}$ と $\bar a \in \bar{\mathfrak{q}}$ と $\bar a \in \mathfrak{p}/\mathfrak{a}$ と $a \in \mathfrak{p}$（$\mathfrak{p} \supseteq \mathfrak{a}$ による）は同値なので、$\mathfrak{q} \cap A = \mathfrak{p}$ です。

$\operatorname{Spec} B$ の閉集合は $V(\mathfrak{b})$ の形なので（補題 4.2［局所化と素イデアルのスペクトル］ の (1)）、その像 $V(\mathfrak{b} \cap A)$ は閉集合です。$\mathfrak{b} = 0$ とすれば全射性を得ます。

∎

定理 4.6（上昇定理）✓

$A \subseteq B$ を整拡大とし、$\mathfrak{p}_1 \subseteq \mathfrak{p}_2 \subseteq \cdots \subseteq \mathfrak{p}_n$ を $A$ の素イデアルの列、$\mathfrak{q}_1 \subseteq \cdots \subseteq \mathfrak{q}_m$（$1 \le m < n$）を $B$ の素イデアルの列で $\mathfrak{q}_i \cap A = \mathfrak{p}_i$（$1 \le i \le m$）を満たすものとする。このとき $B$ の素イデアルの列 $\mathfrak{q}_m \subseteq \mathfrak{q}_{m+1} \subseteq \cdots \subseteq \mathfrak{q}_n$ で $\mathfrak{q}_i \cap A = \mathfrak{p}_i$（$m < i \le n$）を満たすものが存在する。

証明（定理 4.6）

帰納法により $n = 2$、$m = 1$ の場合を示せば十分です。$\mathfrak{q}_1 \cap A = \mathfrak{p}_1$ なので、命題 2.5 の (1) により $A/\mathfrak{p}_1 \subseteq B/\mathfrak{q}_1$ は整拡大です。$\mathfrak{p}_2/\mathfrak{p}_1$ は $A/\mathfrak{p}_1$ の素イデアルなので、定理 4.4 により $B/\mathfrak{q}_1$ の素イデアル $\bar{\mathfrak{q}}$ でその上にあるものがあります。$\bar{\mathfrak{q}}$ の $B$ への引き戻しを $\mathfrak{q}_2$ とすると、$\mathfrak{q}_2 \supseteq \mathfrak{q}_1$ は素イデアルで、系 4.5 の証明と同じ計算で $\mathfrak{q}_2 \cap A = \mathfrak{p}_2$ です。

∎

上昇定理（左）と下降定理（右）。下の段が Spec A、上の段が Spec B。黒丸は与えられた素イデアル、白丸は定理が存在を保証する素イデアル。上昇は整拡大ならいつでも、下降は A が整閉整域で B が整域のとき、または A → B が平坦なときに成り立つ

5. 下降定理

上昇定理は「上の素イデアルを大きくする」方向の持ち上げでした。逆向きの「小さくする」方向の持ち上げは、整性だけでは成り立ちません（例 5.5）。$A$ が整閉整域であることを仮定し、整な元の最小多項式を調べます。下降定理の証明の核心は「整閉整域上で整な元の最小多項式は、係数がもとの環に入る」ことで、この節の前半（イデアル上整、およびその最小多項式の係数についての命題）はそのための準備です。

定義 5.1（イデアル上整）↗

$A \subseteq B$ を部分環、$\mathfrak{a}$ を $A$ のイデアルとする。$x \in B$ が $\mathfrak{a}$ 上整であるとは、$n \ge 1$ と $a_1, \ldots, a_n \in \mathfrak{a}$ があって $x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_n = 0$ となることをいう。

補題 5.2（イデアル上整な元の全体）✓

$A \subseteq B$ を部分環、$C$ を $B$ における $A$ の整閉包、$\mathfrak{a}$ を $A$ のイデアルとする。$\mathfrak{a}$ 上整な $B$ の元全体は、$C$ のイデアル $\mathfrak{a}C$ の根基 $\sqrt{\mathfrak{a}C}$（$C$ の中での根基）に等しい。とくにそれは $C$ のイデアルである。

証明（補題 5.2）

$x$ が $\mathfrak{a}$ 上整なら、$x$ は $A$ 上整なので $x \in C$ で、$x^n = -(a_1 x^{n-1} + \cdots + a_n) \in \mathfrak{a}C$ なので $x \in \sqrt{\mathfrak{a}C}$ です。

逆に $x \in \sqrt{\mathfrak{a}C}$ とし、$x^n = \sum_{i=1}^{r} a_i c_i$（$a_i \in \mathfrak{a}$、$c_i \in C$）と書きます。$M = A[c_1, \ldots, c_r]$ は 系 2.4 の (2) により有限生成 $A$ 加群で、$c_i M \subseteq M$ なので $x^n M \subseteq \mathfrak{a}M$ です。行列式のトリック（定理 3.3［加群・完全列・中山の補題］）を $x^n$ 倍の写像とイデアル $\mathfrak{a}$ に当てると、$d_j \in \mathfrak{a}^j \subseteq \mathfrak{a}$ があって $\bigl((x^n)^m + d_1 (x^n)^{m-1} + \cdots + d_m\bigr) M = 0$ で、$1 \in M$ なので

$$x^{nm} + d_1 x^{n(m-1)} + \cdots + d_{m-1}x^n + d_m = 0$$

です。これは $x$ の次数 $nm$ のモニックな式で、現れない次数の係数を $0 \in \mathfrak{a}$ とみれば係数はすべて $\mathfrak{a}$ に入ります。よって $x$ は $\mathfrak{a}$ 上整です。最後の主張は 補題 2.3［局所化と素イデアルのスペクトル］ によります。

∎

次の命題の方針は、最小多項式の根（共役）を全部集めた分解体で考えることです。係数は根の基本対称式（根の積の和）なので、整な元の和と積がまた整であること（系 2.4 の (3)）から、係数もまた整になります。

命題 5.3（整閉整域上の最小多項式）✓

$A$ を整閉整域、$K = \operatorname{Frac} A$、$L$ を $K$ を含む体、$\mathfrak{a}$ を $A$ のイデアルとする。$x \in L$ が $\mathfrak{a}$ 上整なら、$x$ は $K$ 上代数的で、その $K$ 上の最小多項式 $f(t) = t^n + c_1 t^{n-1} + \cdots + c_n$ の係数はすべて $\sqrt{\mathfrak{a}}$ に入る。とくに（$\mathfrak{a} = A$ として）$A$ 上整な元の最小多項式は $A[t]$ に属する。

証明（命題 5.3）

$x$ の整従属の式を $g(x) = 0$（$g \in A[t]$ はモニックで係数は $\mathfrak{a}$ に入る）とします。$g \ne 0$ なので $x$ は $K$ 上代数的で、最小多項式 $f$ は代入 $K[t] \to L$ の核の生成元なので $f \mid g$ です（命題 6.2［多項式環と体の拡大］）。$f$ の $L$ 上の分解体 $N$ を取り（定理 6.6［多項式環と体の拡大］）、$N[t]$ で $f = (t - x_1)\cdots(t - x_n)$ と書きます。各 $x_i$ は $f$ の根なので $g$ の根でもあり、$\mathfrak{a}$ 上整です。

$C'$ を $N$ における $A$ の整閉包とすると、補題 5.2 により $\mathfrak{a}$ 上整な $N$ の元全体 $\sqrt{\mathfrak{a}C'}$ は $C'$ のイデアルです。$f$ の係数 $c_k$ は $x_1, \ldots, x_n$ の基本対称式の $\pm 1$ 倍、すなわち $x_i$ たちの積の和なので、このイデアルに入り、$\mathfrak{a}$ 上整です。$c_k \in K$ はとくに $A$ 上整で、$A$ は整閉なので $c_k \in A$ です。さらに $c_k$ が満たす $\mathfrak{a}$ 係数の整従属の式は $K$ の中の等式なので、補題 5.2 を $A \subseteq K$（$K$ における $A$ の整閉包は $A$ 自身）に当てて、$c_k \in \sqrt{\mathfrak{a}A} = \sqrt{\mathfrak{a}}$ を得ます。

∎

証明の中の $x_1, \ldots, x_n$ が $x$ の共役です。$A = \mathbb{Z}$ の場合、この命題は「代数的整数の最小多項式は整数係数」という主張になります。整閉性は本質的で、$A = k[t^2, t^3]$（例 3.4）では $t$ は $A$ 上整ですが、$\operatorname{Frac} A = k(t)$ 上の最小多項式は $T - t$ で、係数 $t$ は $A$ に入りません。

定理 5.4（下降定理）✓

$A \subseteq B$ を整拡大とし、$A$ は整閉整域、$B$ は整域であるとする。$\mathfrak{p}_1 \supseteq \mathfrak{p}_2 \supseteq \cdots \supseteq \mathfrak{p}_n$ を $A$ の素イデアルの列、$\mathfrak{q}_1 \supseteq \cdots \supseteq \mathfrak{q}_m$（$1 \le m < n$）を $B$ の素イデアルの列で $\mathfrak{q}_i \cap A = \mathfrak{p}_i$（$1 \le i \le m$）を満たすものとする。このとき $B$ の素イデアルの列 $\mathfrak{q}_m \supseteq \mathfrak{q}_{m+1} \supseteq \cdots \supseteq \mathfrak{q}_n$ で $\mathfrak{q}_i \cap A = \mathfrak{p}_i$（$m < i \le n$）を満たすものが存在する。

証明の方針です。段階 1 で、$A$ の素イデアル $\mathfrak{p}'$ から作ったイデアルが $A$ と再び $\mathfrak{p}'$ で交わること（$\mathfrak{p}'$ より余計な元を拾わないこと）を、最小多項式の係数が $\mathfrak{p}'$ に入るという上の命題で示します。段階 2 では、そのイデアルを含む素イデアルを取って $B$ に引き戻し、求める $\mathfrak{q}'$ を得ます。

証明（定理 5.4）

帰納法により、次を示せば十分です: $\mathfrak{q}$ を $B$ の素イデアル、$\mathfrak{p} = \mathfrak{q} \cap A$、$\mathfrak{p}' \subseteq \mathfrak{p}$ を $A$ の素イデアルとすると、$\mathfrak{q}' \subseteq \mathfrak{q}$ で $\mathfrak{q}' \cap A = \mathfrak{p}'$ を満たす素イデアル $\mathfrak{q}'$ がある。

$B$ の素イデアル $\mathfrak{q}$ での局所化 $B_{\mathfrak{q}}$ と、合成 $A \to B \to B_{\mathfrak{q}}$ を考えます。$B$ は整域なので $B \to B_{\mathfrak{q}}$ は単射で（命題 3.5［局所化と素イデアルのスペクトル］）、$B_{\mathfrak{q}}$ の元 $b/s$ を $\operatorname{Frac} B$ の元とみなせます。$B_{\mathfrak{q}}$ のイデアル $\mathfrak{b} = \mathfrak{p}'B_{\mathfrak{q}}$（$\mathfrak{p}'$ の像で生成されるイデアル）を考えます。

段階 1: $\mathfrak{b} \cap A = \mathfrak{p}'$。 $\supseteq$ は明らかです。$x \in \mathfrak{b} \cap A$ とします。$\mathfrak{b}$ の元は分母をそろえると $y/s$（$y \in \mathfrak{p}'B$、$s \in B \setminus \mathfrak{q}$）と書けるので、$x = y/s$、すなわち $\operatorname{Frac} B$ の中で $y = xs$ です。$B$ は $A$ 上整なので $B$ における $A$ の整閉包は $B$ で、補題 5.2 により $y \in \mathfrak{p}'B \subseteq \sqrt{\mathfrak{p}'B}$ は $\mathfrak{p}'$ 上整です。$K = \operatorname{Frac} A \subseteq L = \operatorname{Frac} B$ とします。命題 5.3 により、$y$ の $K$ 上の最小多項式

$$t^r + u_1 t^{r-1} + \cdots + u_r$$

の係数は $\sqrt{\mathfrak{p}'} = \mathfrak{p}'$ に入ります（素イデアルは根基イデアル。系 2.7［局所化と素イデアルのスペクトル］）。

$x \notin \mathfrak{p}'$ と仮定して矛盾を導きます。このとき $x \ne 0$ なので $s = y/x$ です。$y$ の最小多項式を $x^r$ で割ると、$s$ は

$$t^r + \frac{u_1}{x}\,t^{r-1} + \cdots + \frac{u_r}{x^r}$$

の根です。$s$ がより低い次数の $K$ 係数多項式 $h$ の根なら、$y = xs$ は $h(t/x)$ の根となって $y$ の最小多項式の次数に反するので、これが $s$ の最小多項式です。$s \in B$ は $A$ 上整なので、命題 5.3（$\mathfrak{a} = A$）により $v_i = u_i/x^i \in A$ です。$x^i v_i = u_i \in \mathfrak{p}'$ で $x^i \notin \mathfrak{p}'$ なので $v_i \in \mathfrak{p}'$ です。すると

$$s^r = -(v_1 s^{r-1} + \cdots + v_r) \in \mathfrak{p}'B \subseteq \mathfrak{p}B \subseteq \mathfrak{q}$$

で、$\mathfrak{q}$ は素イデアルなので $s \in \mathfrak{q}$ となり、$s \in B \setminus \mathfrak{q}$ に反します。よって $x \in \mathfrak{p}'$ です。

段階 2: $\mathfrak{q}'$ の構成。 $T$ を $A \setminus \mathfrak{p}'$ の $B_{\mathfrak{q}}$ での像とします。$T$ は積閉集合で、段階 1 により $T \cap \mathfrak{b} = \varnothing$ です。定理 3.6［局所化と素イデアルのスペクトル］ の (1) により $T^{-1}\mathfrak{b}$ は $T^{-1}B_{\mathfrak{q}}$ の真のイデアルなので、それを含む極大イデアル $\mathfrak{n}$ があります（定理 6.5［選択公理と Zorn の補題］）。$\mathfrak{n}$ の $B_{\mathfrak{q}}$ への引き戻しを $Q$ とすると、$Q$ は $\mathfrak{b}$ を含む素イデアルで、$T$ の元は $T^{-1}B_{\mathfrak{q}}$ で単元なので $Q \cap T = \varnothing$ です。したがって $A$ への引き戻しについて $\mathfrak{p}' \subseteq Q \cap A$ かつ $(Q \cap A) \cap (A \setminus \mathfrak{p}') = \varnothing$、すなわち $Q \cap A = \mathfrak{p}'$ です。最後に $\mathfrak{q}'$ を $Q$ の $B$ への引き戻しとすると、定理 3.6［局所化と素イデアルのスペクトル］ の (4) により $\mathfrak{q}'$ は $B \setminus \mathfrak{q}$ と交わらない、すなわち $\mathfrak{q}' \subseteq \mathfrak{q}$ を満たす素イデアルで、$\mathfrak{q}' \cap A = Q \cap A = \mathfrak{p}'$ です。

∎

段階 2 は、整性とも整閉性とも関係のない一般的な議論です。「$A$ の素イデアル $\mathfrak{p}'$ が環 $R$ の素イデアルの引き戻しになるのは、$\mathfrak{p}'R$ の引き戻しが $\mathfrak{p}'$ に等しいときに限る」という判定を、$R = B_{\mathfrak{q}}$ に使っています。整閉性は段階 1 だけで使われています。

例 5.5（整閉でないと下降定理は壊れる）

$k$ を標数が $2$ でない体、$B = k[x, y]$、$A = k[x, xy, y^2] \subseteq B$ とします。$A$ は単項式 $x^{a}(xy)^{b}(y^2)^{c} = x^{a+b}y^{b+2c}$ で張られる $k$ 部分空間で、$y = x^0y^1$ はこの形に書けない（$a + b = 0$ なら $b = 0$ で $y$ の指数は偶数）ので $y \notin A$ です。一方 $y^2 \in A$ なので $B = A[y]$ は $A$ 上整で、$y = (xy)/x$ なので $\operatorname{Frac} A = \operatorname{Frac} B = k(x, y)$ です。とくに $A$ は整閉ではありません。

$\mathfrak{q} = (x, y - 1)B$ とします。$B/\mathfrak{q} \cong k$（点 $(0, 1)$ での値）なので $\mathfrak{q}$ は極大イデアルで、$\mathfrak{p} = \mathfrak{q} \cap A$ とおきます。また $\mathfrak{p}' = (y + 1)B \cap A$ とおくと、これは素イデアルです。$f \in A$ は $f(x, y) = g(x, xy, y^2)$ と書けるので $f(0, 1) = g(0, 0, 1) = f(0, -1)$ です。$f \in \mathfrak{p}'$ なら $f(0, -1) = 0$ なので $f(0, 1) = 0$、すなわち $f \in \mathfrak{q}$ です。よって $\mathfrak{p}' \subseteq \mathfrak{p}$ で、$x \in \mathfrak{p} \setminus \mathfrak{p}'$ なので包含は真です。

$\mathfrak{q}' \subseteq \mathfrak{q}$ で $\mathfrak{q}' \cap A = \mathfrak{p}'$ となる素イデアル $\mathfrak{q}'$ があったとします。$x(y + 1) = x + xy$ と $(y - 1)(y + 1) = y^2 - 1$ は $A$ の元で $(y + 1)$ に入るので、$\mathfrak{p}' \subseteq \mathfrak{q}'$ に入ります。$y + 1 \notin \mathfrak{q}'$ なら、$\mathfrak{q}'$ は素イデアルなので $x, y - 1 \in \mathfrak{q}'$ となり、$\mathfrak{q} \subseteq \mathfrak{q}'$、すなわち $\mathfrak{q}' = \mathfrak{q}$ で $\mathfrak{q}' \cap A = \mathfrak{p} \ne \mathfrak{p}'$ となって矛盾です。よって $y + 1 \in \mathfrak{q}' \subseteq \mathfrak{q}$ で、$y - 1 \in \mathfrak{q}$ と合わせて $2 \in \mathfrak{q}$ となりますが、$2$ は $k$ の単元なので矛盾です。したがって下降定理の結論は成り立ちません。

幾何学的には、$(x, y) \mapsto (x, xy, y^2)$ は平面を「Whitney の傘」と呼ばれる曲面 $\{(a, b, c) : b^2 = a^2 c\}$ に写し、直線 $x = 0$ 上の 2 点 $(0, 1)$ と $(0, -1)$ を同じ点 $(0, 0, 1)$ に貼り合わせます。$\mathfrak{p}'$ は直線 $y = -1$ の像（$(0, -1)$ を通る曲線）で、その上にある $B$ の素イデアルは $(0, 1)$ を通りません。

整閉性の代わりに平坦性を仮定しても下降定理が成り立ちます。平坦性は「ファイバーの次元が一定」という幾何学的な条件の代数的な表現で、局所化や多項式環への拡大などで自然に現れます。

定理 5.6（平坦拡大の下降定理）✓

$\varphi \colon A \to B$ を平坦な環準同型、$\mathfrak{q}$ を $B$ の素イデアル、$\mathfrak{p} = \varphi^{-1}(\mathfrak{q})$、$\mathfrak{p}' \subseteq \mathfrak{p}$ を $A$ の素イデアルとする。このとき $\mathfrak{q}' \subseteq \mathfrak{q}$ で $\varphi^{-1}(\mathfrak{q}') = \mathfrak{p}'$ を満たす $B$ の素イデアル $\mathfrak{q}'$ が存在する。

証明（定理 5.6）

$s \in A \setminus \mathfrak{p}$ なら $\varphi(s) \notin \mathfrak{q}$ なので、局所化の普遍性（定理 3.4［局所化と素イデアルのスペクトル］）により $\psi \colon A_{\mathfrak{p}} \to B_{\mathfrak{q}}$、$a/s \mapsto \varphi(a)/\varphi(s)$ が定まり、$\psi(\mathfrak{p}A_{\mathfrak{p}}) \subseteq \mathfrak{q}B_{\mathfrak{q}}$ なので $\psi$ は局所環の局所準同型です（命題 3.10［局所化と素イデアルのスペクトル］）。

$B_{\mathfrak{q}}$ は $A_{\mathfrak{p}}$ 上平坦。 $B_{\mathfrak{q}}$ は $B$ 上平坦で（命題 4.4［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ の (2)）、$B$ は $A$ 上平坦なので、同じ命題の (4) により $B_{\mathfrak{q}}$ は $A$ 上平坦です。$N$ を $A_{\mathfrak{p}}$ 加群とすると、$S = A \setminus \mathfrak{p}$ の元は $N$ に可逆に作用するので $N \to S^{-1}N$、$n \mapsto n/1$ は同型（逆は $n/s \mapsto s^{-1}n$）で、命題 2.3［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ の (6) と 命題 2.5［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ の (2) から、$N$ について自然な同型

$$B_{\mathfrak{q}} \otimes_{A_{\mathfrak{p}}} N \cong B_{\mathfrak{q}} \otimes_{A_{\mathfrak{p}}} (A_{\mathfrak{p}} \otimes_A N) \cong B_{\mathfrak{q}} \otimes_A N$$

があります。$A_{\mathfrak{p}}$ 加群の単射 $N' \to N$ は $A$ 加群の単射でもあるので、$B_{\mathfrak{q}} \otimes_A N' \to B_{\mathfrak{q}} \otimes_A N$ は単射で、したがって $B_{\mathfrak{q}} \otimes_{A_{\mathfrak{p}}} N' \to B_{\mathfrak{q}} \otimes_{A_{\mathfrak{p}}} N$ も単射です。

結論。 系 6.3［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ の (1) により $\psi$ は忠実平坦で、同じ系の (2) により $\psi^{*} \colon \operatorname{Spec} B_{\mathfrak{q}} \to \operatorname{Spec} A_{\mathfrak{p}}$ は全射です。$\mathfrak{p}' \subseteq \mathfrak{p}$ なので $\mathfrak{p}'A_{\mathfrak{p}}$ は $A_{\mathfrak{p}}$ の素イデアルで（定理 3.6［局所化と素イデアルのスペクトル］）、$\psi^{-1}(Q) = \mathfrak{p}'A_{\mathfrak{p}}$ となる $Q \in \operatorname{Spec} B_{\mathfrak{q}}$ があります。$\mathfrak{q}'$ を $Q$ の $B$ への引き戻しとすると、定理 3.6［局所化と素イデアルのスペクトル］ の (4) により $\mathfrak{q}' \subseteq \mathfrak{q}$ で、図式 $A \to B \to B_{\mathfrak{q}}$ と $A \to A_{\mathfrak{p}} \to B_{\mathfrak{q}}$ の可換性から $\varphi^{-1}(\mathfrak{q}')$ は $\mathfrak{p}'A_{\mathfrak{p}}$ の $A$ への引き戻し、すなわち $\mathfrak{p}'$ です。

∎

たとえば $A \to A[x]$ は自由加群なので平坦で（命題 4.4［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ の (1)）、下降定理が成り立ちます。これは Krull 次元と単項イデアル定理 の章で $\dim A[x]$ を調べるときに使えます。

6. 演習

演習 6.1標準

$k$ を標数が $2$ でない体とし、$A = k[x, y]/(y^2 - x^2(x + 1))$ とします。$A$ が整域で、その正規化が $k[t]$（$t = y/x$）であることを示し、$A$ が整閉でないことを確かめてください。

解答

$k[x, y]$ の元は $y^2 - x^2(x+1)$ で割って $f(x) + y\,g(x)$ と一意に書けます。代入 $x \mapsto t^2 - 1$、$y \mapsto t(t^2 - 1)$ は $y^2 - x^2(x+1)$ を $t^2(t^2-1)^2 - (t^2-1)^2 t^2 = 0$ に送り、$f(x) + y\,g(x)$ を $f(t^2 - 1) + t(t^2 - 1)g(t^2 - 1)$ に送ります。前者は $t$ の偶数次だけ、後者は奇数次だけを含むので、像が $0$ なら $f(t^2-1) = 0$ かつ $(t^2-1)g(t^2-1) = 0$ で、$t^2 - 1$ は定数でないので $f = g = 0$ です。よって $A \cong k[t^2 - 1, t(t^2 - 1)] \subseteq k[t]$ は整域です。$t = t(t^2-1)/(t^2-1)$ なので $\operatorname{Frac} A = k(t)$ で、$t^2 = x + 1 \in A$ なので $t$ は $A$ 上整です。例 3.4 と同じく、$k[t] = A[t]$ は $A$ 上整で、UFD なので整閉（命題 3.3）、よって正規化は $k[t]$ です。$A$ の像の元の奇数次の部分は $t^2 - 1$ で割り切れるので $t \notin A$ で、$A$ は整閉ではありません。幾何学的には、曲線 $y^2 = x^2(x+1)$ は原点で自分自身と交わる（結節点）曲線で、正規化は $t = \pm 1$ の 2 点を原点に貼り合わせる写像です。

演習 6.2標準

整拡大 $\mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Z}[i]$ について、素数 $p = 2, 3, 5$ の上にある $\mathbb{Z}[i]$ の素イデアルをすべて求めてください。それらがすべて極大イデアルであることを、この記事の定理から説明してください。

解答

$\mathbb{Z}[i]$ の素イデアル $\mathfrak{q}$ について、$\mathfrak{q} \cap \mathbb{Z} = (p)$ であることと $\mathfrak{q} \supseteq p\mathbb{Z}[i]$ であることは同値です（後者なら $\mathfrak{q} \cap \mathbb{Z}$ は $(p)$ を含む素イデアルで $\mathbb{Z}$ でないので $(p)$）。したがって $p$ の上の素イデアルは $\mathbb{Z}[i]/p\mathbb{Z}[i] \cong \mathbb{F}_p[t]/(t^2 + 1)$ の素イデアルと対応します（補題 2.5［局所化と素イデアルのスペクトル］）。$p = 2$ では $t^2 + 1 = (t + 1)^2$ なので素イデアルは $(t + 1)$ だけで、$\mathbb{Z}[i]$ では $(2, 1 + i) = (1 + i)$ です。$p = 3$ では $t^2 + 1$ は $\mathbb{F}_3$ に根をもたず既約なので剰余環は体で、素イデアルは $(3)$ だけです。$p = 5$ では $t^2 + 1 = (t - 2)(t + 2)$ なので素イデアルは $(5, i - 2)$ と $(5, i + 2)$ の 2 つです。$(p)$ は極大イデアルなので、系 4.2 によりその上の素イデアルはすべて極大です（比較不能性 定理 4.3 からも、同じ素数の上の素イデアルの間に包含がないことがわかります）。

演習 6.3易

体 $k$ について、$A = k[x] \subseteq B = k[x, x^{-1}]$ では、$A$ の素イデアル $(x)$ の上にある $B$ の素イデアルが存在しないことを示してください。また $x^{-1}$ が $A$ 上整でないことを直接確かめてください。

解答

$\mathfrak{q} \cap A = (x)$ なら $x \in \mathfrak{q}$ ですが、$x$ は $B$ の単元なので $\mathfrak{q} = B$ となり矛盾です。$x^{-1}$ が $x^{-n} + a_1 x^{-n+1} + \cdots + a_n = 0$（$a_i \in k[x]$）を満たすとすると、$x^{n}$ を掛けて $1 = -x(a_1 + a_2 x + \cdots + a_n x^{n-1})$ となり、右辺は $x$ で割り切れるので矛盾です。定理 4.4 の仮定（整性）が本質的であることがわかります。

参考文献

• M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, 1969 — Chapter 5（整従属・上昇定理・下降定理）。§4〜§5 の証明の流れはこの本に近く、細部は独自に補っています。
• H. Matsumura, Commutative Ring Theory, Cambridge University Press, 1986 — §9（整拡大、平坦拡大の下降定理）。
• 松村英之『可換環論』共立出版、1980 — 上の英訳の原著。整拡大の節。
• D. Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics 150, Springer, 1995 — Chapter 4（整従属と正規化）。
• I. Swanson, C. Huneke, Integral Closure of Ideals, Rings, and Modules, London Mathematical Society Lecture Note Series 336, Cambridge University Press, 2006 — Chapter 1〜2（イデアル上の整性と整閉包）。