整元・整拡大・整閉包

$\varphi \colon A \to B$ を環準同型とする。

1. $b \in B$ が $A$ 上整であるとは、$n \ge 1$ と $a_1, \ldots, a_n \in A$ があって

となることをいう（整従属の式という）。$B$ のすべての元が $A$ 上整であるとき、$B$ は $A$ 上整であるという。$A \subseteq B$ が部分環で $B$ が $A$ 上整なとき、$A \subseteq B$ を整拡大という。 2. $A$ 上整な $B$ の元全体を、$B$ における $A$ の整閉包という。$A \subseteq B$ が部分環で整閉包が $A$ 自身に等しいとき、$A$ は $B$ で整閉であるという。 3. $b_1, \ldots, b_n \in B$ に対し、$\varphi(A)$ と $b_1, \ldots, b_n$ で生成される $B$ の部分環を $A[b_1, \ldots, b_n]$ と書く。