次数環と Hilbert–Samuel 多項式：Hilbert–Serre の定理・重複度・次元定理 dim = d = δ

0. この記事の要点

この記事は、「次数ごとの大きさを数える」ことで環の次元を測る話です。たとえば $x, y$ の多項式のうち $n$ 次の斉次なもの全体は、$n + 1$ 次元の空間をなします。このように次数ごとに数えた大きさが、一般には $n$ の多項式で表されることを示し、その多項式の次数から環の次元が計算できることを読み終えると理解できます。曲線の尖った点の「尖り具合」も、原点のまわりの $n$ 次未満の項の数え方から数として取り出せます。

• 次数環 $A = \bigoplus_{n \ge 0} A_n$ は、$A_0$ が Noether で $A$ が $A_0$ 上有限生成であるとき、そしてそのときに限り Noether です。斉次イデアルの根基と、次数加群の随伴素イデアルはまた斉次になります。
• Hilbert–Serre の定理: $A_0$ が Artin 環で、$A$ が正の次数の斉次元 $x_1, \ldots, x_s$ で生成されるとき、有限生成次数加群 $M$ の Hilbert 級数 $\sum_n \ell(M_n)t^n$ に $\prod_i (1 - t^{\deg x_i})$ を掛けると整数係数の多項式になります。生成元の次数がすべて $1$ なら、$\ell(M_n)$ は $n$ が大きいところで $n$ の多項式（Hilbert 多項式）に一致し、その次数は $t = 1$ での極の位数（有理関数として書いたとき、分母が $t = 1$ で何重に $0$ になるか）から $1$ を引いたものです。
• 整数で整数値をとる多項式（数値多項式）は二項係数多項式 $\binom{X}{k}$ の整数係数の一次結合です。差分をとる・和をとる操作で次数が $1$ ずつ動くことが、以下の議論の計算の芯です。
• Noether 局所環 $(A, \mathfrak{m})$ と $\mathfrak{m}$ 準素イデアル $\mathfrak{q}$ について、$\ell(M/\mathfrak{q}^nM)$ は最終的に多項式（Hilbert–Samuel 多項式）になり、その次数 $d(M)$ は $\mathfrak{q}$ によりません。最高次の係数から重複度 $e(\mathfrak{q}, M)$ を定めます。Artin–Rees の補題がフィルトレーションの取り替えを保証します。
• 次元定理: $\dim A = d(A) = \delta(A)$。Krull 次元・Hilbert–Samuel 多項式の次数・$\mathfrak{m}$ 準素イデアルの生成元の最小個数の三つが一致します。系として、完備化で次元は変わりません（$\dim \widehat{A} = \dim A$）。
• 例として、多項式環と超曲面の Hilbert 多項式（次数と算術種数の入口）、尖点 $y^2 = x^3$ の局所環の Hilbert–Samuel 関数 $2n - 1$ と重複度 $2$ を計算します。

この記事で使う事前知識

• 加群の長さ: 加群を、それ以上細かく分けられない部分商（単純加群）に刻んだときの段数。→ 加群の長さ
• 組成列: 部分加群の列で、隣り合う商がすべて単純加群になっているもの。長さはその列の段数です。→ 組成列
• 随伴素イデアル: ある元の零化イデアルとして現れる素イデアル。準素分解の素イデアルと結びつきます。→ 随伴素イデアル
• 準素イデアル: 積 $ab$ が入るとき、$a$ が入るか $b$ のある冪が入るイデアル。極大イデアルを根基にもつものが $\mathfrak{m}$ 準素です。→ 準素イデアル
• 局所環: 極大イデアルがただ一つの環。→ 局所環
• Krull 次元: 素イデアルの真の増加列の長さの上限。→ Krull 次元

1. 動機

平面曲線 $y^2 = x^3$ は原点で尖っています。この「尖り具合」を代数的に測るにはどうすればよいでしょうか。一つの方法は、原点のまわりの関数を「何次の項まで見るか」で区切って数えることです。原点での局所環 $A$ とその極大イデアル $\mathfrak{m} = (x, y)$ について、$A/\mathfrak{m}^n$ は「$n$ 次未満の Taylor 展開」の空間で、その次元 $\ell(A/\mathfrak{m}^n)$ は $n$ について増えていきます。平面そのもの（$k[x, y]$ の原点）なら $n$ 次未満の単項式の個数 $n(n+1)/2$、滑らかな曲線なら $n$ です。尖点では $2n - 1$ になります（例 5.7）。

この数え上げから二つの量が読み取れます。一つは増え方の次数です。平面では $2$ 次、曲線では $1$ 次で、これは次元に一致します。もう一つは最高次の係数で、曲線の場合、滑らかな点では $1$、尖点では $2$ です。前者がこの記事の中心である次元定理、後者が重複度です。

次元定理の意義は、Krull 次元という「素イデアルの鎖の長さ」で定義された量が、長さの数え上げという計算できる量と一致することにあります。鎖の長さは直接には計算しにくいのに対し、$\ell(A/\mathfrak{m}^n)$ は随伴次数環 $\operatorname{gr}_{\mathfrak{m}}(A) = \bigoplus \mathfrak{m}^n/\mathfrak{m}^{n+1}$ を通して多項式環の数え上げに帰着できます。こうして $\dim k[[x_1, \ldots, x_r]] = r$ や $\dim \widehat{A} = \dim A$ が、ほぼ計算だけで出ます。

射影幾何でも同じ数え上げが現れます。射影多様体の斉次座標環（射影空間の斉次座標の多項式環を、その多様体を定めるイデアルで割った環）の $n$ 次部分の次元は、$n$ が大きいところで多項式になり、その次数が多様体の次元、最高次の係数が多様体の次数、定数項が算術種数を与えます（例 4.7）。

この記事では §2 で次数環と次数加群、§3 で数値多項式、§4 で Hilbert–Serre の定理、§5 で Hilbert–Samuel 多項式と重複度、§6 で次元定理を扱います。環はすべて単位元をもつ可換環です。長さ $\ell_A$ と組成列は Noether 環と Artin 環、Krull 次元・$\delta(A)$・パラメータ系は Krull 次元と単項イデアル定理、フィルトレーション・Rees 環・Artin–Rees の補題・完備化は 完備化と Artin–Rees の補題 のものを使います。

2. 次数環と次数加群

定義 2.1（次数環・次数加群・斉次元）↗

1. 環 $A$ と加法部分群の族 $(A_n)_{n \ge 0}$ で、$A = \bigoplus_{n \ge 0} A_n$（加法群としての直和）かつすべての $m, n$ について $A_mA_n \subseteq A_{m+n}$ となるものを次数環という。$A_n$ の元を $n$ 次の斉次元という。$a \in A$ を $a = \sum_n a_n$（$a_n \in A_n$、有限個を除いて $0$）と書いたとき、$a_n$ を $a$ の $n$ 次斉次成分という。$A_+ = \bigoplus_{n > 0} A_n$ と書く。
2. 次数環 $A$ 上の加群 $M$ と加法部分群の族 $(M_n)_{n \ge 0}$ で、$M = \bigoplus_{n \ge 0} M_n$ かつ $A_mM_n \subseteq M_{m+n}$ となるものを次数加群という。斉次元・斉次成分も同様に定める。
3. 次数加群 $M$ の部分加群 $N$ が、その元の斉次成分をすべて含むとき、$N$ を斉次部分加群という。$M = A$ のときは斉次イデアルという。

$1$ は $0$ 次の斉次元です。実際 $1 = \sum_n e_n$ と分けると、$m$ 次の斉次元 $a$ について $a = a \cdot 1 = \sum_n ae_n$ の $m$ 次成分を比べて $a = ae_0$ です。斉次元の和で書けるすべての元についても $a = ae_0$ なので $e_0 = 1$ です。したがって $A_0$ は $A$ の部分環で、各 $A_n$ と $M_n$ は $A_0$ 加群です。射影 $A \to A_0$、$a \mapsto a_0$ は環準同型で（積の $0$ 次成分は $a_0b_0$ だけです）、その核が $A_+$ なので、$A_+$ はイデアルで $A/A_+ \cong A_0$ です。

多項式環 $k[x_0, \ldots, x_n]$ は、$A_m$ を $m$ 次斉次多項式の全体として次数環です。Rees 環 $\bigoplus I^nt^n$ と随伴次数環 $\operatorname{gr}_I(A) = \bigoplus I^n/I^{n+1}$（定義 4.1［完備化と Artin–Rees の補題］）も次数環です。

補題 2.2（斉次部分加群の判定と剰余）✓

$A$ を次数環、$M$ を次数加群、$N$ をその部分加群とする。

1. $N$ が斉次部分加群であることと、$N$ が斉次元で生成されることは同値である。
2. $N$ が斉次部分加群なら、$N_n = N \cap M_n$、$(M/N)_n = M_n/N_n$ により $N$ と $M/N$ は次数加群になる。
3. $x \in A$ を $k$ 次の斉次元とする。$\{ y \in M : xy = 0 \}$ と $xM$ は斉次部分加群である。

証明（補題 2.2）

(1) 斉次部分加群は、その元の斉次成分（これも $N$ の元）全体で生成されます。逆に $N$ が斉次元 $h_j$（次数 $d_j$）で生成されるとし、$y = \sum_j c_j h_j \in N$（$c_j \in A$）をとります。$y$ の $n$ 次成分は $\sum_j (c_j)_{n - d_j}h_j$（$n < d_j$ の項は $0$）で、これは $N$ の元です。

(2) $N$ の元はその斉次成分の和なので $N = \bigoplus_n N_n$ で、$A_mN_n \subseteq N \cap M_{m+n}$ です。$M/N$ については、自然な写像 $\bigoplus_n M_n/N_n \to M/N$ は全射で、$\sum_n y_n \in N$（$y_n \in M_n$）なら斉次部分加群の定義から各 $y_n \in N_n$ なので単射です。$A_m(M_n/N_n) \subseteq M_{m+n}/N_{m+n}$ は $M$ の性質から従います。

(3) $xy = 0$、$y = \sum_n y_n$ とすると、$xy = \sum_n xy_n$ の各項 $xy_n \in M_{n+k}$ は次数が相異なるので、すべて $0$ です。よって $y_n$ も $x$ で消えます。$xM$ は斉次元 $xy_n$（$y \in M$）で生成されるので、(1) により斉次です。

∎

命題 2.3（次数環の Noether 性）✓

$A = \bigoplus_{n \ge 0} A_n$ を次数環とする。次は同値である。

1. $A$ は Noether 環である。
2. $A_0$ は Noether 環で、$A$ は $A_0$ 代数として有限生成である。

さらにこのとき、$A$ は正の次数の有限個の斉次元 $x_1, \ldots, x_s$ により $A = A_0[x_1, \ldots, x_s]$ と生成される。

証明（命題 2.3）

2 ⇒ 1 は 系 4.1［Noether 環と Artin 環］ の (3)（Hilbert の基底定理 定理 5.3［多項式環と体の拡大］ から導かれたもの）そのものです。

1 ⇒ 2: $A_0 \cong A/A_+$ なので 系 4.1［Noether 環と Artin 環］ の (1) により $A_0$ は Noether です。$A_+$ は Noether 環のイデアルなので有限生成で（命題 5.2［多項式環と体の拡大］）、生成元の斉次成分（$A_+$ は斉次イデアルなので、成分はすべて正の次数で $A_+$ に入ります）をとり直して、正の次数 $k_i$ の斉次元 $x_1, \ldots, x_s$ で生成されるとしてよいです。$A' = A_0[x_1, \ldots, x_s]$ とし、$A_n \subseteq A'$ を $n$ についての帰納法で示します。$n = 0$ は明らかです。$n > 0$ で $y \in A_n$ とすると $y \in A_+$ なので $y = \sum_i a_ix_i$（$a_i \in A$）と書け、$n$ 次成分を比べて $y = \sum_i (a_i)_{n - k_i}x_i$ です（$n < k_i$ の項は $0$）。$n - k_i < n$ なので帰納法の仮定により $(a_i)_{n-k_i} \in A'$、したがって $y \in A'$ です。よって $A = A'$ で、最後の主張も示されました。

∎

次の命題のねらいは、斉次イデアルから作られる根基や随伴素イデアルが、また斉次イデアルになることを確かめることです。証明は、元を斉次成分に分け、次数のいちばん高い成分（または低い成分）を取り出して、残る成分の個数を一つずつ減らす帰納法で進みます。

命題 2.4（根基と随伴素イデアルの斉次性）✓

$A$ を次数環、$M$ を次数 $A$ 加群とする。

1. 斉次イデアル $I$ の根基 $\sqrt{I}$ は斉次イデアルである。
2. $M$ の随伴素イデアル $\mathfrak{p} \in \operatorname{Ass}(M)$ は斉次イデアルであり、ある斉次元 $y \in M$ について $\mathfrak{p} = \operatorname{Ann}(y)$ となる。

証明（命題 2.4）

(1) $a \in \sqrt{I}$ の斉次成分がすべて $\sqrt{I}$ に入ることを、$0$ でない斉次成分の個数 $m$ についての帰納法で示します。$m = 0$ なら $a = 0$ です。$a = a_{e_1} + \cdots + a_{e_m}$（$e_1 < \cdots < e_m$、各成分は $0$ でない）とし、$a^r \in I$ とします。$a^r$ の $re_m$ 次成分は $a_{e_m}^r$ で、$I$ は斉次なので $a_{e_m}^r \in I$、すなわち $a_{e_m} \in \sqrt{I}$ です。$\sqrt{I}$ はイデアル（補題 2.3［局所化と素イデアルのスペクトル］）なので $a - a_{e_m} \in \sqrt{I}$ で、これは成分が $m - 1$ 個なので帰納法の仮定が使えます。

(2) 定義 2.1［準素分解と随伴素イデアル］ により $\mathfrak{p} = \operatorname{Ann}(x)$ となる $x \in M$ があります。$\mathfrak{p} \ne A$ なので $x \ne 0$ です。$\operatorname{Ann}(x) = \mathfrak{p}$ を満たす $x$ のうち、$0$ でない斉次成分の個数 $n$ が最小のものを選び、$x = x_1 + \cdots + x_n$（$x_i$ は $d_i$ 次、$d_1 < \cdots < d_n$）とします。

$b \notin \mathfrak{p}$ なら $\operatorname{Ann}(bx) = \mathfrak{p}$。 $c\,bx = 0$ は $cb \in \mathfrak{p}$ と同じで、$\mathfrak{p}$ は素イデアルで $b \notin \mathfrak{p}$ なので、これは $c \in \mathfrak{p}$ と同じです。

$\mathfrak{p}$ は斉次。 $a \in \mathfrak{p}$ の斉次成分がすべて $\mathfrak{p}$ に入ることを、成分の個数 $m$ についての帰納法で示します。$a = a_{e_1} + \cdots + a_{e_m}$（$e_1 < \cdots < e_m$）とします。$ax = 0$ の $e_1 + d_1$ 次成分は $a_{e_1}x_1$ だけ（他の積 $a_{e_j}x_i$ の次数はこれより大きい）なので、$a_{e_1}x_1 = 0$ です。もし $a_{e_1} \notin \mathfrak{p}$ なら、上の段落により $\operatorname{Ann}(a_{e_1}x) = \mathfrak{p}$ ですが、$a_{e_1}x = a_{e_1}x_2 + \cdots + a_{e_1}x_n$ の $0$ でない斉次成分は $n - 1$ 個以下で、$n$ の最小性に反します。よって $a_{e_1} \in \mathfrak{p}$ で、$a - a_{e_1} \in \mathfrak{p}$ に帰納法の仮定を使えます。

斉次元の零化イデアルになる。 $\mathfrak{p}$ の斉次元 $h$ について $hx = \sum_i hx_i = 0$ の各項は次数が異なるので $hx_i = 0$ です。$\mathfrak{p}$ は斉次元で生成されるので（補題 2.2 の (1)）、$\mathfrak{p} \subseteq \operatorname{Ann}(x_i)$ がすべての $i$ で成り立ちます。もしどの $i$ でも $\operatorname{Ann}(x_i) \not\subseteq \mathfrak{p}$ なら、$c_i \in \operatorname{Ann}(x_i) \setminus \mathfrak{p}$ をとると $c = c_1 \cdots c_n$ は $cx = 0$ を満たすので $c \in \mathfrak{p}$ となり、$\mathfrak{p}$ が素イデアルであることに反します。よってある $i$ で $\operatorname{Ann}(x_i) = \mathfrak{p}$ です。

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斉次イデアル $I \subseteq k[x_0, \ldots, x_n]$ の準素分解の素イデアルは $A/I$ の随伴素イデアルなので、(2) によりすべて斉次です。射影空間の中の図形の既約成分を斉次素イデアルで記述できるのは、このためです。

次に、フィルトレーションから次数加群を作ります。以下、$A$ を環、$I$ をイデアルとし、$I$ フィルトレーションは 定義 3.1［完備化と Artin–Rees の補題］ のものとします。

定義 2.5（随伴次数加群）↗

$A$ 加群 $M$ の $I$ フィルトレーション $(M_n)$ について、$\operatorname{gr}(M) = \bigoplus_{n \ge 0} M_n/M_{n+1}$ に、$a \in I^i$、$y \in M_j$ について $(a + I^{i+1})(y + M_{j+1}) = ay + M_{i+j+1}$ で $\operatorname{gr}_I(A)$ の作用を入れた次数加群を、$(M_n)$ の随伴次数加群という。$M_n = I^nM$ のときは $\operatorname{gr}_I(M)$ と書く。

$IM_n \subseteq M_{n+1}$ から帰納的に $I^iM_j \subseteq M_{i+j}$ です。$a \in I^{i+1}$ なら $ay \in I^{i+1}M_j \subseteq M_{i+j+1}$、$y \in M_{j+1}$ なら $ay \in I^iM_{j+1} \subseteq M_{i+j+1}$ なので、作用は well-defined です。

命題 2.6（随伴次数環の Noether 性）✓

$A$ を Noether 環、$I = (a_1, \ldots, a_r)$ をイデアルとする。

1. $\operatorname{gr}_I(A)$ は、$a_i$ の $I/I^2$ での像 $\bar a_i$（$1$ 次の斉次元）により $\operatorname{gr}_I(A) = (A/I)[\bar a_1, \ldots, \bar a_r]$ と生成され、Noether 環である。
2. $M$ を有限生成 $A$ 加群、$(M_n)$ を $M$ の安定な $I$ フィルトレーションとすると、$\operatorname{gr}(M)$ は有限生成 $\operatorname{gr}_I(A)$ 加群であり、各 $M_n/M_{n+1}$ は有限生成 $A/I$ 加群である。

証明（命題 2.6）

(1) $I^n$ は $a_i$ の $n$ 次の単項式 $a^\alpha = a_1^{\alpha_1} \cdots a_r^{\alpha_r}$（$|\alpha| = n$）で生成されるので、$I^n/I^{n+1}$ はその像で $A/I$ 加群として生成されます。$\operatorname{gr}_I(A)$ の積の定義から、$a^\alpha$ の像は $\bar a_1^{\alpha_1} \cdots \bar a_r^{\alpha_r}$ です。よって $\operatorname{gr}_I(A) = (A/I)[\bar a_1, \ldots, \bar a_r]$ で、$A/I$ は Noether（系 4.1［Noether 環と Artin 環］ の (1)）なので、命題 2.3 により $\operatorname{gr}_I(A)$ は Noether です。

(2) 定理 3.1［Noether 環と Artin 環］ の (3) により $M$ は Noether 加群で、補題 2.3［Noether 環と Artin 環］ の (2) により各 $M_n$ は有限生成です。$IM_n \subseteq M_{n+1}$ なので $M_n/M_{n+1}$ は $I$ で消え、有限生成 $A/I$ 加群です。安定性から、ある $n_0$ について $M_{n_0 + j} = I^jM_{n_0}$（$j \ge 0$）です。$M_{n_0+j}$ の元 $\sum_l c_ly_l$（$c_l \in I^j$、$y_l \in M_{n_0}$）の $M_{n_0+j}/M_{n_0+j+1}$ での類は $\sum_l (c_l + I^{j+1})(y_l + M_{n_0+1})$ です。したがって $\operatorname{gr}(M)$ は、$M_0/M_1, \ldots, M_{n_0}/M_{n_0+1}$ のそれぞれの $A/I$ 加群としての有限個の生成元で、$\operatorname{gr}_I(A)$ 加群として生成されます。

∎

長さについての小さな注意を補題にしておきます。剰余環の上の加群の長さを、もとの環の上で測っても同じだということです。

補題 2.7（剰余環上の長さ）✓

$\mathfrak{a}$ を環 $A$ のイデアル、$N$ を $\mathfrak{a}N = 0$ を満たす $A$ 加群とする。$N$ を $A/\mathfrak{a}$ 加群とみなすと、$\ell_A(N) = \ell_{A/\mathfrak{a}}(N)$ である（$\infty$ を含めて）。とくに $\ell_A(A/\mathfrak{a}) = \ell_{A/\mathfrak{a}}(A/\mathfrak{a})$ である。

証明（補題 2.7）

$A/\mathfrak{a}$ の作用は $(a + \mathfrak{a})y = ay$ なので、$N$ の部分集合が $A$ 部分加群であることと $A/\mathfrak{a}$ 部分加群であることは同じです。したがって部分加群の列が組成列であるかどうかも両者で一致し、定義 5.4［Noether 環と Artin 環］ の長さは等しくなります。

∎

3. 数値多項式

Hilbert 関数は整数値の関数で、それが「最終的に多項式になる」ことを示すのがこの記事の目標の一つです。整数値をとる多項式は、係数が有理数でも二項係数を使うと整数で書けます。この節では、そのような多項式の扱いをまとめます。

有理数係数の多項式環 $\mathbb{Q}[X]$ で、$k \ge 1$ について

$$\binom{X}{k} = \frac{X(X-1)\cdots(X-k+1)}{k!}, \qquad \binom{X}{0} = 1$$

とおきます。$\binom{X}{k}$ は次数 $k$、最高次の係数 $1/k!$ の多項式です。整数 $c$ について $\binom{X+c}{k}$ も、$k$ 個のモニックな一次式の積を $k!$ で割ったものなので、次数 $k$、最高次の係数 $1/k!$ です。

定義 3.1（数値多項式）↗

$P \in \mathbb{Q}[X]$ が、十分大きいすべての整数 $n$ について $P(n) \in \mathbb{Z}$ を満たすとき、$P$ を数値多項式という。多項式 $P$ について $(\Delta P)(X) = P(X+1) - P(X)$ を $P$ の差分という。

補題 3.2（数値多項式の基本性質）✓

1. $k \ge 1$ について $\binom{X+1}{k} - \binom{X}{k} = \binom{X}{k-1}$ である。整数 $N \ge 0$ について、$\binom{X}{k}$ の $X = N$ での値は二項係数 $\binom{N}{k}$ に等しい。$\binom{X}{0}, \binom{X}{1}, \ldots$ は $\mathbb{Q}[X]$ の $\mathbb{Q}$ 上の基底である。
2. $P$ が数値多項式なら、整数 $c_k$ により $P = \sum_k c_k\binom{X}{k}$ と書ける。とくにすべての整数 $n$ で $P(n) \in \mathbb{Z}$ である。また、十分大きいすべての整数 $n$ で $P(n) = 0$ なら $P = 0$ である。
3. $f\colon \mathbb{Z}_{\ge 0} \to \mathbb{Z}$ を関数、$P$ を数値多項式とし、ある $n_0$ 以上のすべての $n$ で $f(n+1) - f(n) = P(n)$ であるとする。このとき数値多項式 $Q$ で、$n \ge n_0$ で $f(n) = Q(n)$、かつ $\Delta Q = P$ となるものがある。$P = 0$ なら $Q$ は定数で、$P \ne 0$ が次数 $e$、最高次の係数 $c$ なら、$Q$ は次数 $e + 1$、最高次の係数 $c/(e+1)$ である。

証明（補題 3.2）

(1) 差分の等式は直接の計算です。

$$\binom{X+1}{k} - \binom{X}{k} = \frac{X(X-1)\cdots(X-k+2)}{k!}\bigl((X+1) - (X-k+1)\bigr) = \frac{X(X-1)\cdots(X-k+2)}{(k-1)!} = \binom{X}{k-1}.$$

値については、$N \ge k$ なら $N(N-1)\cdots(N-k+1)/k! = N!/(k!\,(N-k)!)$ で、これは 命題 7.2［数え上げと母関数］ の閉じた式により $\binom{N}{k}$ です。$0 \le N < k$ なら積に因子 $N - N = 0$ が現れて値は $0$ で、定義 7.1［数え上げと母関数］ により $\binom{N}{k} = 0$ です。基底であることは、$\binom{X}{k}$ の次数がちょうど $k$ であることから、次数の高い方から順に係数を決めていけばわかります。

(2) まず、すべての整数 $n$ と $k \ge 0$ について $\binom{n}{k} \in \mathbb{Z}$（多項式の値として）を示します。$n \ge 0$ では (1) により二項係数です。$n < 0$ では (1) の差分の等式 $\binom{n}{k} = \binom{n+1}{k} - \binom{n}{k-1}$ を使い、$k$ についての帰納法（$k = 0$ では $1$）と $n$ の大きい方からの帰納法で整数です。

$P \ne 0$ の次数 $e$ についての帰納法で、$P = \sum_{k \le e} c_k\binom{X}{k}$（(1) により $c_k \in \mathbb{Q}$ が一意に定まる）の $c_k$ が整数であることを示します。(1) により $\Delta P = \sum_{1 \le k \le e} c_k\binom{X}{k-1}$ は次数 $e - 1$ 以下で、大きい $n$ で $\Delta P(n) = P(n+1) - P(n) \in \mathbb{Z}$ なので数値多項式です。$e \ge 1$ なら帰納法の仮定（$\Delta P = 0$ なら $c_k = 0$ で明らか）により $c_k \in \mathbb{Z}$（$k \ge 1$）で、$c_0 = P(n) - \sum_{k \ge 1} c_k\binom{n}{k}$ も大きい $n$ で整数です。$e = 0$ なら $P = c_0 = P(n) \in \mathbb{Z}$ です。最後の主張も同じ帰納法で、大きい $n$ で $\Delta P(n) = 0$ なので帰納法の仮定から $\Delta P = 0$、すなわち $c_k = 0$（$k \ge 1$）で、$P = c_0 = P(n) = 0$ です。

(3) (2) により $P = \sum_{k \le e} c_k\binom{X}{k}$（$c_k \in \mathbb{Z}$）と書き、$Q_0 = \sum_{k \le e} c_k\binom{X}{k+1}$ とおくと、(1) により $\Delta Q_0 = P$ で、(2) により $Q_0$ はすべての整数で整数値をとります。$g(n) = f(n) - Q_0(n)$ は $n \ge n_0$ で $g(n+1) - g(n) = 0$ を満たすので、$n \ge n_0$ で $g(n) = g(n_0) \in \mathbb{Z}$ です。$Q = Q_0 + g(n_0)$ が求める多項式です。$P \ne 0$ なら $c_e \ne 0$ で $c = c_e/e!$、$Q$ の最高次の項は $c_e\binom{X}{e+1}$ から来て、次数 $e + 1$、係数 $c_e/(e+1)! = c/(e+1)$ です。

∎

次の補題は、多項式の大小を「大きい $n$ での値の大小」から読み取るためのものです。

補題 3.3（多項式の符号と大小の比較）✓

1. $P \in \mathbb{Q}[X]$ が $0$ でなく、最高次の係数が $c$ なら、ある $N$ があって、$N$ 以上のすべての整数 $n$ で $P(n)$ は $c$ と同じ符号をもつ。とくに、大きい $n$ で $P(n) \ge 0$ なら $c > 0$ である。
2. $P, Q \in \mathbb{Q}[X]$、$P \ne 0$ で、大きい $n$ で $0 \le P(n) \le Q(n)$ なら、$Q \ne 0$ かつ $\deg P \le \deg Q$ である。
3. $P, Q, R \in \mathbb{Q}[X]$ について、大きい $n$ で $P(n) \le Q(n) \le R(n)$ が成り立ち、$P$ と $R$ は $0$ でなく次数と最高次の係数が等しいとする。このとき $Q$ も同じ次数と最高次の係数をもつ。

証明（補題 3.3）

(1) $P = cX^e + \sum_{j < e} b_jX^j$、$C = \sum_{j < e} |b_j|$ とします。整数 $n \ge 1$ について $\bigl|\sum_{j<e} b_jn^j\bigr| \le Cn^{e-1}$ で、$n > C/|c|$ なら $|c|n^e > Cn^{e-1}$ なので、$P(n)$ の符号は $cn^e$ の符号、すなわち $c$ の符号です。

(2) (1) により $P$ の最高次の係数は正です。$Q = 0$ または $\deg Q < \deg P$ なら、$Q - P$ は $0$ でなく、最高次の係数は $P$ の最高次の係数の $-1$ 倍で負なので、(1) により大きい $n$ で $Q(n) - P(n) < 0$ となり仮定に反します。

(3) $e$ を $P$ と $R$ の次数とします。大きい $n$ で $0 \le Q(n) - P(n) \le R(n) - P(n)$ で、$R - P$ は $0$ か次数 $e$ 未満です。$Q - P \ne 0$ なら (2) により $R - P \ne 0$ かつ $\deg(Q - P) \le \deg(R - P) < e$ です。どちらの場合も $Q = P + (Q - P)$ の次数 $e$ の係数は $P$ のものと等しく、それより高い次数の項はありません。

∎

4. Hilbert–Serre の定理

この節では、$A = \bigoplus_{n \ge 0} A_n$ を次数環とし、$A$ は $A_0$ 代数として正の次数の斉次元 $x_1, \ldots, x_s$ で生成されるとします（$A = A_0[x_1, \ldots, x_s]$、$x_i$ の次数を $k_i \ge 1$ と書きます）。命題 2.3 により、Noether 次数環はつねにこの形をしています。

補題 4.1（次数部分の有限性）✓

$M$ を有限生成次数 $A$ 加群とする。

1. $M$ は有限個の斉次元で生成される。
2. 各 $M_n$ は有限生成 $A_0$ 加群である。
3. $A_0$ が Artin 環なら、各 $M_n$ は有限の長さの $A_0$ 加群である。

証明（補題 4.1）

(1) 有限個の生成元の斉次成分を集めればよいです。

(2) (1) の斉次な生成元を $m_1, \ldots, m_r$（次数 $r_1, \ldots, r_r$）とします。$A$ の元は $A_0$ を係数とする単項式 $x^\alpha = x_1^{\alpha_1} \cdots x_s^{\alpha_s}$ の一次結合で、$x^\alpha$ は $\sum_i \alpha_ik_i$ 次の斉次元なので、$A_q$ は $\sum_i \alpha_ik_i = q$ を満たす有限個の単項式で $A_0$ 加群として生成されます（$k_i \ge 1$ なので $\alpha_i \le q$）。$M$ の元 $\sum_j a_jm_j$ の $n$ 次成分は $\sum_j (a_j)_{n - r_j}m_j$ なので、$M_n = \sum_j A_{n - r_j}m_j$（$n < r_j$ の項は $0$）は有限生成 $A_0$ 加群です。

(3) 定理 6.3［Noether 環と Artin 環］ により $A_0$ は Noether 環でもあります。定理 3.1［Noether 環と Artin 環］ の (3) により有限生成 $A_0$ 加群 $M_n$ は Noether かつ Artin で、命題 5.2［Noether 環と Artin 環］ により組成列をもちます。

∎

定義 4.2（Hilbert 関数・Hilbert 級数）↗

$A_0$ を Artin 環、$M$ を有限生成次数 $A$ 加群とする。関数 $n \mapsto \ell_{A_0}(M_n)$ を $M$ の Hilbert 関数といい、形式的冪級数

$$P_M(t) = \sum_{n \ge 0} \ell_{A_0}(M_n)\,t^n \in \mathbb{Z}[[t]]$$

を $M$ の Hilbert 級数（Poincaré 級数）という。

$\mathbb{Z}[[t]]$ は 定義 4.2［Noether 環と Artin 環］ の冪級数環です。$k \ge 1$ について $(1 - t^k)\sum_{j \ge 0} t^{kj} = 1$ なので、$1 - t^k$ は $\mathbb{Z}[[t]]$ の単元です。次の補題は、$(1-t)^{-d}$ の係数を二項係数で書くものです。

補題 4.3（(1 − t) の負冪の展開）✓

$d \ge 1$ について、$\mathbb{Z}[[t]]$ の中で

$$(1 - t)^{-d} = \sum_{n \ge 0} \binom{n + d - 1}{d - 1} t^n$$

である。

証明（補題 4.3）

$d$ についての帰納法です。$d = 1$ は $(1 - t)^{-1} = \sum_n t^n$ で、$\binom{n}{0} = 1$ です。$d$ で成り立つとすると、$(1 - t)^{-(d+1)} = (1 - t)^{-d}\sum_j t^j$ の $t^n$ の係数は $\sum_{j=0}^{n} \binom{j + d - 1}{d - 1}$ です。これが $\binom{n + d}{d}$ に等しいことを $n$ についての帰納法で示します。$n = 0$ では両辺 $1$ です。$n - 1$ で正しければ、$n$ での和は $\binom{n + d - 1}{d} + \binom{n + d - 1}{d - 1}$ で、命題 7.2［数え上げと母関数］ の漸化式により $\binom{n + d}{d}$ です。

∎

次の定理のねらいは、次数ごとの長さ $\ell(M_n)$ を並べた級数が、分母の決まった有理関数になることを示すことです。小さな例として $A = M = k[x, y]$（$s = 2$、$k_1 = k_2 = 1$）を考えると、$\dim_k A_n = n + 1$ で、$P_A(t) = 1/(1 - t)^2$ です。ここで $x$ 倍の写像 $A_n \to A_{n+1}$ は単射で、余核 $A_{n+1}/xA_n$ は $y^{n+1}$ が張る $1$ 次元です。つまり $A/xA = k[y]$ の Hilbert 級数 $1/(1 - t)$ に帰着しています。証明はこの「$x_s$ で割る」操作（核 $K$ と余核 $L$）を一般の $M$ について行い、生成元の個数 $s$ を一つ減らします。次数が $k$ だけずれるので、等式には $t^k$ がかかります。

定理 4.4（Hilbert–Serre の定理）✓

$A = A_0[x_1, \ldots, x_s]$ を上のような次数環とし、$A_0$ は Artin 環であるとする。有限生成次数 $A$ 加群 $M$ について、

$$P_M(t)\prod_{i=1}^{s}(1 - t^{k_i}) \in \mathbb{Z}[t]$$

である。すなわち Hilbert 級数は、分母が $\prod_i (1 - t^{k_i})$ の整数係数の有理関数である。

証明（定理 4.4）

$A_0$ は Noether（定理 6.3［Noether 環と Artin 環］）なので、命題 2.3 により $A$ は Noether 環です。$s$ についての帰納法で示します。

$s = 0$ の場合。 $A = A_0$ なので $A_n = 0$（$n > 0$）です。補題 4.1 の証明の $M_n = \sum_j A_{n - r_j}m_j$ から、$n > \max_j r_j$ で $M_n = 0$ で、$P_M(t)$ は多項式です。

$s \ge 1$ の場合。 $k = k_s$ とし、$K = \{ y \in M : x_sy = 0 \}$、$L = M/x_sM$ とおきます。補題 2.2 により $K$ と $x_sM$ は斉次部分加群で、$K$ と $L$ は次数加群です。各 $n$ について、$x_s$ 倍の写像 $M_n \to M_{n+k}$ の核は $K_n$、像は $(x_sM)_{n+k}$（$x_sM$ の元 $x_s\sum_j y_j$ の $n + k$ 次成分は $x_sy_n$）なので、

$$0 \to K_n \to M_n \xrightarrow{x_s} M_{n+k} \to L_{n+k} \to 0$$

は $A_0$ 加群の完全列です。これを二つの短完全列に分けて 命題 5.5［Noether 環と Artin 環］ の (1) を使うと（長さは 補題 4.1 の (3) により有限）、

$$\ell(K_n) - \ell(M_n) + \ell(M_{n+k}) - \ell(L_{n+k}) = 0$$

です。$n < k$ では $(x_sM)_n = 0$ なので $L_n = M_n$ です。上の等式に $t^{n+k}$ を掛けて $n \ge 0$ で足し合わせると、$t^kP_K - t^kP_M + (P_M - \sum_{n<k}\ell(M_n)t^n) - (P_L - \sum_{n<k}\ell(L_n)t^n) = 0$、すなわち

$$(1 - t^k)\,P_M(t) = P_L(t) - t^kP_K(t)$$

を得ます。

$K$ は Noether 加群 $M$（定理 3.1［Noether 環と Artin 環］ の (3)）の部分加群なので有限生成で（補題 2.3［Noether 環と Artin 環］ の (2)）、$L$ も有限生成です。$A' = A_0[x_1, \ldots, x_{s-1}]$ は斉次元で生成される部分環なので、$A'_n = A' \cap A_n$ で次数環です。$A$ の元は $a' + x_sb$（$a' \in A'$、$b \in A$）と書けて、$K$ と $L$ は $x_s$ で消えるので、$K$ と $L$ の $A$ 加群としての生成元は $A'$ 加群としても生成元です。よって $K$ と $L$ は同じ次数付けで有限生成次数 $A'$ 加群で、帰納法の仮定により $P_K\prod_{i<s}(1 - t^{k_i})$ と $P_L\prod_{i<s}(1 - t^{k_i})$ は多項式です。上の等式に $\prod_{i<s}(1 - t^{k_i})$ を掛ければ主張を得ます。

∎

生成元の次数がすべて $1$ のとき、この有理関数の形から Hilbert 関数の多項式性が出ます。

系 4.5（Hilbert 多項式）✓

$A = A_0[x_1, \ldots, x_s]$ で $A_0$ は Artin 環、$x_i$ はすべて $1$ 次とする。$M \ne 0$ を有限生成次数 $A$ 加群とする。このとき、整数 $0 \le d \le s$ と $g \in \mathbb{Z}[t]$ で、$g(1) > 0$ かつ

$$(1 - t)^d\,P_M(t) = g(t)$$

となるものがただ一組存在する（$d$ を $P_M$ の $t = 1$ での極の位数という）。さらに

1. $d = 0$ なら、十分大きい $n$ で $M_n = 0$ である。
2. $d \ge 1$ なら、次数 $d - 1$、最高次の係数 $g(1)/(d-1)!$ の数値多項式 $H_M$ があって、$n \ge \deg g$ のすべての $n$ で $\ell_{A_0}(M_n) = H_M(n)$ である。

$H_M$（$d = 0$ のときは $H_M = 0$）を $M$ の Hilbert 多項式という。

証明（系 4.5）

存在。 定理 4.4 により $f = (1 - t)^sP_M \in \mathbb{Z}[t]$ です。$M \ne 0$ なのである $M_n \ne 0$ で、$\ell(M_n) \ge 1$ なので $P_M \ne 0$、$(1-t)^s$ は単元なので $f \ne 0$ です。$(1 - t)^e$ が $\mathbb{Z}[t]$ で $f$ を割り切る最大の $e$ をとり（$e \le \deg f$）、$f = (1 - t)^eg$ とします。$g(1) \ne 0$ です。実際 $g(t) - g(1) = \sum_j g_j(t^j - 1)$ の各項は $\mathbb{Z}[t]$ で $t - 1$ で割り切れるので、$g(1) = 0$ なら $e$ の最大性に反します。

$e > s$ とすると、単元 $(1 - t)^s$ で割って $P_M = (1 - t)^{e-s}g$ は多項式で、その $t = 1$ での値は $0$ です。しかし $P_M$ の係数 $\ell(M_n)$ は非負で $0$ でないものがあるので、$t = 1$ での値は正です。よって $e \le s$ で、$d = s - e$ とおくと、単元 $(1-t)^e$ で割って $(1 - t)^dP_M = g$ です。

一意性。 $(1-t)^dP_M = g$、$(1-t)^{d'}P_M = g'$、$d < d'$ なら $g' = (1 - t)^{d'-d}g$ で、$g'(1) = 0$ となります。

(1)。 $d = 0$ なら $P_M = g$ は多項式で、$n > \deg g$ で $\ell(M_n) = 0$、すなわち $M_n = 0$ です。$g(1) = \sum_n \ell(M_n) > 0$ です。

(2)。 補題 4.3 により $P_M = g\,(1-t)^{-d}$ の $t^n$ の係数を計算すると、$n \ge \deg g$ で

$$\ell(M_n) = \sum_{j=0}^{\deg g} g_j\binom{n - j + d - 1}{d - 1}$$

です。$H_M(X) = \sum_j g_j\binom{X - j + d - 1}{d - 1}$ とおくと、補題 3.2 の (1) により（$n - j + d - 1 \ge 0$ なので多項式の値は二項係数に等しい）$n \ge \deg g$ で $\ell(M_n) = H_M(n)$ です。各 $\binom{X - j + d - 1}{d - 1}$ は次数 $d - 1$、最高次の係数 $1/(d-1)!$ なので、$H_M$ の $X^{d-1}$ の係数は $\sum_j g_j/(d-1)! = g(1)/(d-1)! \ne 0$ です。$H_M$ は整数値をとるので数値多項式で、$H_M(n) \ge 0$ なので 補題 3.3 の (1) により $g(1) > 0$ です。

∎

例 4.6（多項式環の Hilbert 多項式）

体 $k$ 上の $S = k[x_0, \ldots, x_n]$ を次数環とみます。$S_0 = k$ は Artin 環で、命題 5.6［Noether 環と Artin 環］（極大イデアル $0$ の体 $k$ に適用）により $\ell_k(S_m) = \dim_k S_m$ です。$S_m$ は $m$ 次単項式を基底にもつので、その個数は $\sum_{\alpha_0 + \cdots + \alpha_n = m} 1$、すなわち $\bigl(\sum_j t^j\bigr)^{n+1} = (1-t)^{-(n+1)}$ の $t^m$ の係数です。補題 4.3 により

$$P_S(t) = \frac{1}{(1-t)^{n+1}}, \qquad \dim_k S_m = \binom{m + n}{n}, \qquad H_S(X) = \binom{X + n}{n} = \frac{X^n}{n!} + \cdots$$

で、極の位数は $n + 1$、$g = 1$ です。$S$ は射影空間 $\mathbb{P}^n$ の斉次座標環で、Hilbert 多項式の次数 $n$ が $\mathbb{P}^n$ の次元、極の位数 $n + 1$ が $S$ 自身の次元（$\mathbb{P}^n$ の上の錐 $k^{n+1}$ の次元）に当たります。この例では、すべての $m \ge 0$ で Hilbert 関数と Hilbert 多項式が一致しています。

例 4.7（超曲面の Hilbert 多項式）

$S = k[x_0, \ldots, x_n]$（$n \ge 1$）の $0$ でない $d$ 次斉次多項式 $f$（$d \ge 1$）をとり、$R = S/(f)$ とします。$(f)$ は斉次元で生成されるので斉次イデアルで、補題 2.2 により $R_m = S_m/(f)_m$ です。$(f)$ の元 $hf$ の $m$ 次成分は $h_{m-d}f$ なので $(f)_m = fS_{m-d}$（$m < d$ では $0$）で、$S$ は整域なので $f$ 倍 $S_{m-d} \to S_m$ は単射です。よって

$$\dim_k R_m = \binom{m + n}{n} - \binom{m - d + n}{n} \quad (m \ge d), \qquad P_R(t) = \frac{1 - t^d}{(1 - t)^{n+1}} = \frac{1 + t + \cdots + t^{d-1}}{(1 - t)^n}$$

です。極の位数は $n$、$g(1) = d$ なので、Hilbert 多項式は次数 $n - 1$、最高次の係数 $d/(n-1)!$ です。

$n = 2$（射影平面の $d$ 次曲線）では

$$H_R(m) = \binom{m+2}{2} - \binom{m-d+2}{2} = dm + 1 - \frac{(d-1)(d-2)}{2}$$

です。代数幾何では、斉次座標環の Hilbert 多項式が次数 $r$、最高次の係数 $c$ のとき、$r!\,c$ を射影多様体の次数、$n = 2$ の曲線の場合の $1 - H_R(0)$ を算術種数と呼びます。$d$ 次曲線の次数は $d$（一般の直線とちょうど $d$ 点で交わる）、算術種数は $(d-1)(d-2)/2$ で、直線と 2 次曲線では $0$、3 次曲線（滑らかなら楕円曲線）では $1$ です。

5. Hilbert–Samuel 多項式と重複度

この節では $(A, \mathfrak{m}, k)$ を Noether 局所環とします。$\mathfrak{m}$ 準素イデアル $\mathfrak{q}$ は $\sqrt{\mathfrak{q}} = \mathfrak{m}$ を満たすので $\mathfrak{q} \subseteq \mathfrak{m}$ で、補題 4.1［Krull 次元と単項イデアル定理］ により、ある $t$ で $\mathfrak{m}^t \subseteq \mathfrak{q}$、かつ $A/\mathfrak{q}$ は Artin 環です。$\mathfrak{m}^{tn} \subseteq \mathfrak{q}^n$ なので $\mathfrak{q}^n$ も $\mathfrak{m}$ 準素です。

局所環は次数環ではありませんが、随伴次数環 $\operatorname{gr}_{\mathfrak{q}}(A)$ に移れば §4 の結果が使えます。そのとき $0$ 次部分 $A/\mathfrak{q}$ が Artin 環になることが、$\mathfrak{q}$ を $\mathfrak{m}$ 準素にとる理由です。

次の定理のねらいは、局所環でも $\ell(M/\mathfrak{q}^nM)$ が最終的に多項式になることを示すことです。証明の方針は二段階です。まず随伴次数環に移り、§4 を使って $\ell(M_n/M_{n+1})$ を多項式にし、それを足して $\ell(M/M_n)$ を得ます。次に、$\mathfrak{q}^nM$ を安定な別のフィルトレーション $M_n$ に取り替えても、$n_0$ だけ添字をずらせば一方が他方に挟まれるので、多項式の次数と最高次の係数は変わりません。「安定」な別のフィルトレーションとして、あとで部分加群に誘導されたもの（Artin–Rees の補題が安定を保証します）を使います。

定理 5.1（Hilbert–Samuel 多項式の存在）✓

$\mathfrak{q} = (x_1, \ldots, x_s)$ を $\mathfrak{m}$ 準素イデアル、$M$ を有限生成 $A$ 加群、$(M_n)$ を $M$ の安定な $\mathfrak{q}$ フィルトレーションとする。

1. 各 $n$ で $\ell_A(M/M_n) < \infty$ であり、次数 $s$ 以下の数値多項式 $g$（$0$ でもよい）があって、十分大きい $n$ で $\ell_A(M/M_n) = g(n)$ となる。
2. $M \ne 0$ なら $g \ne 0$ であり、$g$ の次数と最高次の係数は、$M_n = \mathfrak{q}^nM$ の場合の多項式のものと等しい。とくにそれらは $M$ と $\mathfrak{q}$ だけで決まる。
3. $M \ne 0$ なら、(2) の次数は $\mathfrak{m}$ 準素イデアル $\mathfrak{q}$ の取り方によらない。

証明（定理 5.1）

(1) $G = \operatorname{gr}_{\mathfrak{q}}(A)$ とします。命題 2.6 の (1) により $G = (A/\mathfrak{q})[\bar x_1, \ldots, \bar x_s]$ は $1$ 次の元 $\bar x_i$ で生成され、$G_0 = A/\mathfrak{q}$ は Artin 環です。命題 2.6 の (2) により $\operatorname{gr}(M) = \bigoplus M_n/M_{n+1}$ は有限生成次数 $G$ 加群です。補題 4.1 の (3) と 補題 2.7（$M_n/M_{n+1}$ は $\mathfrak{q}$ で消える）により、$\ell_A(M_n/M_{n+1}) = \ell_{A/\mathfrak{q}}(M_n/M_{n+1})$ は有限です。$\operatorname{gr}(M) \ne 0$ なら 系 4.5 により、次数 $s - 1$ 以下の数値多項式 $H$（$0$ でもよい）があって、大きい $n$ で $\ell_A(M_n/M_{n+1}) = H(n)$ です。$\operatorname{gr}(M) = 0$ なら $H = 0$ とします。

$M/M_n$ の部分加群の列 $M/M_n \supseteq M_1/M_n \supseteq \cdots \supseteq M_n/M_n = 0$ の商は $M_r/M_{r+1}$ に同型（補題 2.1［Noether 環と Artin 環］ の (3)）なので、命題 5.5［Noether 環と Artin 環］ の (2) により

$$\ell_A(M/M_n) = \sum_{r=0}^{n-1} \ell_A(M_r/M_{r+1}) < \infty$$

です。$f(n) = \ell_A(M/M_n)$ は大きい $n$ で $f(n+1) - f(n) = H(n)$ を満たすので、補題 3.2 の (3) により、大きい $n$ で $f(n) = g(n)$ となる次数 $s$ 以下の数値多項式 $g$ があります。

(2) $\chi(n) = \ell_A(M/\mathfrak{q}^nM)$ とし、$\mathfrak{q}$ 進フィルトレーション（安定）に (1) を使って、大きい $n$ で $\chi(n)$ に一致する多項式も $\chi$ と書きます。局所環では $\operatorname{Jac}(A) = \mathfrak{m}$（定義 2.2［局所化と素イデアルのスペクトル］）で $\mathfrak{q}^n \subseteq \mathfrak{m}$ なので、$M \ne 0$ なら中山の補題（定理 3.5［加群・完全列・中山の補題］ の (1)）により $\mathfrak{q}^nM \ne M$、すなわち $\chi(n) \ge 1$ です（$n \ge 1$）。

$\mathfrak{q}M_n \subseteq M_{n+1}$ と $M_0 = M$ から $\mathfrak{q}^nM \subseteq M_n$ なので、$M/M_n$ は $M/\mathfrak{q}^nM$ の商で、命題 5.5［Noether 環と Artin 環］ の (1) により $g(n) \le \chi(n)$ です。安定性からある $n_0$ で $M_{n + n_0} = \mathfrak{q}^nM_{n_0} \subseteq \mathfrak{q}^nM$ なので、同様に $\chi(n) \le g(n + n_0)$ です。$\chi(n) \ge 1$ から $g(X + n_0) \ne 0$、したがって $g \ne 0$ で、$g(X + n_0)$ は $g$ と同じ次数と最高次の係数をもちます。大きい $n$ で $g(n) \le \chi(n) \le g(n + n_0)$ なので、補題 3.3 の (3) により $\chi$ は $g$ と同じ次数と最高次の係数をもちます。

(3) $\chi^{\mathfrak{q}}$、$\chi^{\mathfrak{m}}$ をそれぞれ $\mathfrak{q}$、$\mathfrak{m}$ 進フィルトレーションの多項式とします。$\mathfrak{m}^t \subseteq \mathfrak{q} \subseteq \mathfrak{m}$ なので $\mathfrak{m}^{tn}M \subseteq \mathfrak{q}^nM \subseteq \mathfrak{m}^nM$ で、(2) と同様に大きい $n$ で $\chi^{\mathfrak{m}}(n) \le \chi^{\mathfrak{q}}(n) \le \chi^{\mathfrak{m}}(tn)$ です。$\chi^{\mathfrak{m}}(tX)$ の次数は $\chi^{\mathfrak{m}}$ の次数に等しいので、補題 3.3 の (2) を二回使って、$\deg \chi^{\mathfrak{m}} \le \deg \chi^{\mathfrak{q}} \le \deg \chi^{\mathfrak{m}}$ です。

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(2) は、$\mathfrak{q}$ 進フィルトレーションを安定なフィルトレーションに取り替えても、多項式の「主要部」が変わらないことを言っています。次の補題で、部分加群 $M'$ に誘導されるフィルトレーション $M' \cap \mathfrak{q}^nM$ にこれを使います。このフィルトレーションが安定であることが Artin–Rees の補題の内容です。

定義 5.2（Hilbert–Samuel 関数・d(M)）↗

$\mathfrak{q}$ を $\mathfrak{m}$ 準素イデアル、$M$ を有限生成 $A$ 加群とする。関数 $\chi^{\mathfrak{q}}_M(n) = \ell_A(M/\mathfrak{q}^nM)$ を Hilbert–Samuel 関数といい、大きい $n$ でこれに一致する多項式（定理 5.1）を Hilbert–Samuel 多項式といって同じ記号で書く。$M \ne 0$ のとき、その次数（定理 5.1 の (3) により $\mathfrak{q}$ によらない）を $d(M)$ と書く。$d(A)$ は $M = A$ の場合である。

補題 5.3（Hilbert–Samuel 多項式と完全列）✓

$\mathfrak{q}$ を $\mathfrak{m}$ 準素イデアル、$0 \to M' \to M \to M'' \to 0$ を有限生成 $A$ 加群の短完全列とする。このとき、大きい $n$ で

$$\chi^{\mathfrak{q}}_M(n) = \chi^{\mathfrak{q}}_{M''}(n) + g(n)$$

となる多項式 $g$ があり、$M' \ne 0$ なら $g$ は $\chi^{\mathfrak{q}}_{M'}$ と同じ次数と最高次の係数をもち、$M' = 0$ なら $g = 0$ である。とくに $M \ne 0$ なら、$d(M)$ は $d(M')$ と $d(M'')$ のうち、$0$ でない加群についてのものの最大値である。

証明（補題 5.3）

$M'$ を $M$ の部分加群、$M'' = M/M'$ とみなします。$M''$ での $\mathfrak{q}^nM$ の像は $\mathfrak{q}^nM''$ で、$M/\mathfrak{q}^nM \to M''/\mathfrak{q}^nM''$ の核は $(M' + \mathfrak{q}^nM)/\mathfrak{q}^nM \cong M'/(M' \cap \mathfrak{q}^nM)$（補題 2.1［Noether 環と Artin 環］ の (1)）なので、命題 5.5［Noether 環と Artin 環］ の (1) により

$$\chi^{\mathfrak{q}}_M(n) = \chi^{\mathfrak{q}}_{M''}(n) + \ell_A\bigl(M'/(M' \cap \mathfrak{q}^nM)\bigr)$$

です。$M'_n = M' \cap \mathfrak{q}^nM$ は $\mathfrak{q}M'_n \subseteq M' \cap \mathfrak{q}^{n+1}M$ を満たす $M'$ の $\mathfrak{q}$ フィルトレーションで、Artin–Rees の補題（定理 4.3［完備化と Artin–Rees の補題］）により安定です。$M'$ は Noether 加群 $M$ の部分加群なので有限生成で（定理 3.1［Noether 環と Artin 環］ の (3)、補題 2.3［Noether 環と Artin 環］ の (2)）、定理 5.1 の (1)(2) により $\ell_A(M'/M'_n)$ は大きい $n$ で多項式 $g$ に一致し、$g$ は主張の性質をもちます。

最後の主張: $\chi^{\mathfrak{q}}_{M''}$ と $g$ はそれぞれ $0$ であるか、大きい $n$ で非負の値をとる $0$ でない多項式で、後者の最高次の係数は 補題 3.3 の (1) により正です。正の係数どうしは打ち消し合わないので、和の次数は次数の大きい方に等しくなります。

∎

次の補題が、次元定理の証明で次元を $1$ ずつ下げる道具です。

補題 5.4（零因子でない元で割ると d が下がる）✓

$M \ne 0$ を有限生成 $A$ 加群、$x \in \mathfrak{m}$ を $M$ の零因子でない元（$y \in M$、$xy = 0$ なら $y = 0$）とする。このとき $M/xM \ne 0$ で、$d(M/xM) \le d(M) - 1$ である。とくに $d(M) \ge 1$ である。

証明（補題 5.4）

$(x) \subseteq \mathfrak{m} = \operatorname{Jac}(A)$（定義 2.2［局所化と素イデアルのスペクトル］）なので、中山の補題（定理 3.5［加群・完全列・中山の補題］ の (1)）により $xM \ne M$ です。仮定により $y \mapsto xy$ は $A$ 加群の同型 $M \to xM$ で、$\mathfrak{m}^nM$ を $\mathfrak{m}^n(xM)$ に写すので、$\chi^{\mathfrak{m}}_{xM} = \chi^{\mathfrak{m}}_M$ です。補題 5.3 を $0 \to xM \to M \to M/xM \to 0$ に使うと、大きい $n$ で $\chi^{\mathfrak{m}}_{M/xM}(n) = \chi^{\mathfrak{m}}_M(n) - g(n)$ で、$g$ は $\chi^{\mathfrak{m}}_M$ と同じ次数 $d(M)$ と最高次の係数をもちます。よって $\chi^{\mathfrak{m}}_{M/xM}$ は次数 $d(M)$ 未満で、$0$ でない（$M/xM \ne 0$）ので $0 \le d(M/xM) \le d(M) - 1$ です。

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定義 5.5（重複度）↗

$\mathfrak{q}$ を $\mathfrak{m}$ 準素イデアル、$M \ne 0$ を有限生成 $A$ 加群、$d = d(M)$ とする。$\chi^{\mathfrak{q}}_M$ の $X^d$ の係数を $d!$ 倍したものを $e(\mathfrak{q}, M)$ と書き、$\mathfrak{q}$ に関する $M$ の重複度という。$e(\mathfrak{q}) = e(\mathfrak{q}, A)$、$e(A) = e(\mathfrak{m}, A)$ と書く。

命題 5.6（重複度の基本性質）✓

$\mathfrak{q}, \mathfrak{q}'$ を $\mathfrak{m}$ 準素イデアル、$M \ne 0$ を有限生成 $A$ 加群、$d = d(M)$ とする。

1. $e(\mathfrak{q}, M)$ は正の整数である。
2. $r \ge 1$ について $e(\mathfrak{q}^r, M) = r^d\,e(\mathfrak{q}, M)$ である。
3. $\mathfrak{q} \subseteq \mathfrak{q}'$ なら $e(\mathfrak{q}, M) \ge e(\mathfrak{q}', M)$ である。
4. $0 \to M' \to M \to M'' \to 0$ が完全なら $e(\mathfrak{q}, M) = e_d(\mathfrak{q}, M') + e_d(\mathfrak{q}, M'')$ である。ここで $e_d(\mathfrak{q}, N)$ は、$N \ne 0$ かつ $d(N) = d$ なら $e(\mathfrak{q}, N)$、それ以外なら $0$ とする。

証明（命題 5.6）

(1) 補題 3.2 の (2) により $\chi^{\mathfrak{q}}_M = \sum_{k \le d} c_k\binom{X}{k}$（$c_k \in \mathbb{Z}$）で、$X^d$ の係数は $c_d/d!$ なので $e(\mathfrak{q}, M) = c_d \in \mathbb{Z}$ です。$\chi^{\mathfrak{q}}_M(n) \ge 0$ なので 補題 3.3 の (1) により正です。

(2) $\mathfrak{q}^r$ も $\mathfrak{m}$ 準素で、$\chi^{\mathfrak{q}^r}_M(n) = \ell(M/\mathfrak{q}^{rn}M) = \chi^{\mathfrak{q}}_M(rn)$ です。多項式 $\chi^{\mathfrak{q}}_M(rX)$ の $X^d$ の係数は $r^d$ 倍になります（定理 5.1 の (3) により次数はどちらも $d$）。

(3) $\mathfrak{q}^nM \subseteq \mathfrak{q}'^nM$ なので $\chi^{\mathfrak{q}'}_M(n) \le \chi^{\mathfrak{q}}_M(n)$ です。どちらも次数 $d$ なので、$e(\mathfrak{q}', M) > e(\mathfrak{q}, M)$ なら $\chi^{\mathfrak{q}}_M - \chi^{\mathfrak{q}'}_M$ は最高次の係数が負の次数 $d$ の多項式で、補題 3.3 の (1) により大きい $n$ で負になり矛盾します。

(4) 補題 5.3 により $\chi^{\mathfrak{q}}_M = \chi^{\mathfrak{q}}_{M''} + g$ で、$d(M'), d(M'') \le d$ です。両辺の $X^d$ の係数を $d!$ 倍して比べると、右辺は $e_d(\mathfrak{q}, M'') + e_d(\mathfrak{q}, M')$ です。

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例 5.7（平面曲線の点の重複度と尖点）

体 $k$ 上の $B = k[x, y]$、$\mathfrak{n} = (x, y)$ と、$f(0, 0) = 0$ を満たす $0$ でない $f \in B$ をとります。$f = f_\mu + f_{\mu+1} + \cdots$（$f_j$ は $j$ 次斉次、$f_\mu \ne 0$、$\mu \ge 1$）と最低次の部分 $f_\mu$ で分け、原点での曲線 $f = 0$ の局所環 $A = B_{\mathfrak{n}}/(f)$ とその極大イデアル $\mathfrak{m}$ を考えます。$n \ge \mu$ で

$$\chi^{\mathfrak{m}}_A(n) = \ell_A(A/\mathfrak{m}^n) = \mu n - \frac{\mu(\mu - 1)}{2}$$

となることを確かめます。とくに $d(A) = 1$、$e(A) = \mu$ です。

$\bar B = B/((f) + \mathfrak{n}^n)$ では $\mathfrak{n}$ の像が冪零なので、$\mathfrak{n}$ に属さない多項式 $s$（定数項 $c \ne 0$）の像は $c(1 + \text{冪零元})$ で単元です。よって局所化しても $\bar B$ は変わらず、命題 3.7［局所化と素イデアルのスペクトル］ により $A/\mathfrak{m}^n \cong \bar B$ です。$\bar B$ は $\mathfrak{m}^j/\mathfrak{m}^{j+1}$（$k$ 上のベクトル空間）を商とする列をもつので、命題 5.6［Noether 環と Artin 環］ と長さの加法性から $\ell_A(A/\mathfrak{m}^n) = \dim_k \bar B$ です。

$B/\mathfrak{n}^n$ は $n$ 次未満の単項式 $n(n+1)/2$ 個を基底にもちます。その中で $(f)$ の像は、$\deg h \le n - 1 - \mu$ の単項式 $h = x^ay^b$ についての $hf$ の像で張られます（$h$ の $n - \mu$ 次以上の部分を掛けた項は $\mathfrak{n}^n$ に入ります）。これらは一次独立です。実際 $\sum c_{ab}x^ay^bf = Ff$ が $\mathfrak{n}^n$ に入るとき、$F \ne 0$ ならその最低次の部分 $F_e$（$e \le n - 1 - \mu$）について $Ff$ の最低次の部分は $F_ef_\mu \ne 0$（$B$ は整域）で、次数 $e + \mu < n$ なので矛盾です。個数は $(n - \mu)(n - \mu + 1)/2$ なので

$$\dim_k \bar B = \frac{n(n+1)}{2} - \frac{(n - \mu)(n - \mu + 1)}{2} = \mu n - \frac{\mu(\mu - 1)}{2}$$

です。滑らかな点（$f_1 \ne 0$）では $\mu = 1$ で $\chi(n) = n$、尖点 $y^2 - x^3$ と結節点 $y^2 - x^2 - x^3$ では $\mu = 2$ で $\chi(n) = 2n - 1$ です。この計算からわかるとおり、重複度は最低次の部分 $f_\mu$ の次数 $\mu$ だけで決まるので、$2$ 本の枝が交わる結節点と、$1$ 本の枝が尖る尖点を区別しません。

尖点 y² = x³ の原点で n = 5 の場合。a + b < 5 の単項式 x^a y^b（15 個）のうち、白丸は f の倍数 x^a y^b·f の最低次の項 x^a y^(b+2) として消える 6 個、黒丸は残る 9 = 2·5 − 1 個

6. 次元定理

いよいよ三つの量 $\dim A$、$d(A)$、$\delta(A)$ を比べます。$\delta(A)$ は $\mathfrak{m}$ 準素イデアルを生成する元の個数の最小値で、定理 5.2［Krull 次元と単項イデアル定理］ により $\dim A = \delta(A)$ はすでに示されています。残るのは $\delta(A) \ge d(A) \ge \dim A$ です。

定理 6.1（次元定理）✓

$(A, \mathfrak{m}, k)$ を Noether 局所環とする。このとき

$$\dim A = d(A) = \delta(A)$$

である。さらに $d(A)$ は、随伴次数環 $\operatorname{gr}_{\mathfrak{m}}(A)$ の Hilbert 級数の $t = 1$ での極の位数に等しい。

証明は三つの不等式 $d(A) \le \delta(A)$、$\dim A \le d(A)$、$\delta(A) = \dim A$（既知）を組み合わせます。中心は $\dim A \le d(A)$ で、素イデアルの鎖を一段下るごとに、零因子でない元で割って $d$ が $1$ 以上下がることを使います。以下では $A'$（$A$ を $\mathfrak{p}_0$ で割ったもの）と $A''$（$A'$ をさらに $x$ で割ったもの）を区別して読んでください。

証明（定理 6.1）

$d(A) \le \delta(A)$。 $\delta = \delta(A)$ とし、$\mathfrak{q} = (x_1, \ldots, x_\delta)$ を $\mathfrak{m}$ 準素イデアルとします（定義 5.1［Krull 次元と単項イデアル定理］）。定理 5.1 の (1)(2) により $\chi^{\mathfrak{q}}_A$ の次数は $\delta$ 以下で、同 (3) によりそれは $d(A)$ に等しいので、$d(A) \le \delta$ です。

$\dim A \le d(A)$。 主張「すべての Noether 局所環 $B$ について $\dim B \le d(B)$」を、$d(B)$ についての（累積的な）帰納法で示します。$d(A) = e$ とし、$d(B) < e$ のすべての $B$ で主張が正しいとします。$A$ の素イデアルの鎖 $\mathfrak{p}_0 \subsetneq \mathfrak{p}_1 \subsetneq \cdots \subsetneq \mathfrak{p}_r$（$r \ge 1$）を任意にとり、$r \le e$ を示します。

$x \in \mathfrak{p}_1 \setminus \mathfrak{p}_0$ をとり、$A' = A/\mathfrak{p}_0$、$A'' = A/(\mathfrak{p}_0 + xA)$ とします。どちらも $\mathfrak{p}_1$ に含まれる（したがって $\mathfrak{m}$ に含まれる）イデアルによる剰余なので $0$ でなく、有限生成 $A$ 加群です。

1. $A'$ は整域で $x$ の像は $0$ でないので、$x$ は $A'$ の零因子ではありません（$xy \in \mathfrak{p}_0$ なら $y \in \mathfrak{p}_0$）。補題 5.4 により、$A$ 加群として $d(A'') = d(A'/xA') \le d(A') - 1$ です。
2. $A'$ は $A$ の剰余なので、$A'/\mathfrak{m}^nA'$ は $A/\mathfrak{m}^n$ の剰余で、$\chi^{\mathfrak{m}}_{A'}(n) \le \chi^{\mathfrak{m}}_A(n)$ です。補題 3.3 の (2) により $d(A') \le d(A) = e$ です。
3. $A''$ は極大イデアル $\mathfrak{m}'' = \mathfrak{m}/(\mathfrak{p}_0 + xA)$ をもつ Noether 局所環です（系 4.1［Noether 環と Artin 環］ の (1)、補題 2.5［局所化と素イデアルのスペクトル］）。$\mathfrak{m}''^n = \mathfrak{m}^nA''$ と 補題 2.7 により、局所環 $A''$ としての Hilbert–Samuel 関数 $\ell_{A''}(A''/\mathfrak{m}''^n)$ は $A$ 加群としての $\chi^{\mathfrak{m}}_{A''}(n)$ に等しく、局所環としての $d(A'')$ は $A$ 加群としての $d(A'')$ と一致します。

1 と 2 から $d(A'') \le e - 1$ なので、帰納法の仮定により $\dim A'' \le d(A'') \le e - 1$ です。一方 $\mathfrak{p}_1, \ldots, \mathfrak{p}_r$ はすべて $\mathfrak{p}_0 + xA$ を含むので、補題 2.5［局所化と素イデアルのスペクトル］ により $A''$ に長さ $r - 1$ の素イデアルの鎖ができ、$r - 1 \le \dim A''$ です。よって $r \le e$ です。鎖は任意だったので $\dim A \le d(A)$ です（$e = 0$ のときは $d(A'') \le -1$ となって $A'' \ne 0$ に反するので、$r \ge 1$ の鎖は存在せず $\dim A = 0$ です）。

等号。 以上と 定理 5.2［Krull 次元と単項イデアル定理］ から $\dim A \le d(A) \le \delta(A) = \dim A$ です。

極の位数。 $G = \operatorname{gr}_{\mathfrak{m}}(A)$ は $G_0 = k$ 上 $1$ 次の元で生成され（命題 2.6 の (1)）、$A \ne 0$ なので $G_0 \ne 0$、$G \ne 0$ です。系 4.5 の極の位数を $p$ とすると、大きい $r$ で $\ell(\mathfrak{m}^r/\mathfrak{m}^{r+1}) = H_G(r)$ で、$H_G$ は $p \ge 1$ なら次数 $p - 1$、$p = 0$ なら $0$ です（長さは 補題 2.7 により $A$ 上でも $k$ 上でも同じ）。定理 5.1 の (1) の証明のとおり $\chi^{\mathfrak{m}}_A(n+1) - \chi^{\mathfrak{m}}_A(n) = \ell(\mathfrak{m}^n/\mathfrak{m}^{n+1})$ なので、補題 3.2 の (3) により $\chi^{\mathfrak{m}}_A$ の次数は $p$ です。すなわち $d(A) = p$ です。

∎

証明の $\dim A \le d(A)$ の部分は、「素イデアルを $1$ 段下るごとに、零因子でない元で割って $d$ を $1$ 下げる」という形をしています。Krull 次元の定義は鎖の存在を問うので、その上界を出すには、鎖から $d$ を下げる操作を読み取ればよいわけです。残る $\delta(A) \le \dim A$ は一般高さ定理の逆（命題 4.5［Krull 次元と単項イデアル定理］）で、元を素イデアル回避で選んでいました。

同じ道具から、零因子でない元で割ると次元がちょうど $1$ 下がることが出ます。後の章で正則列に沿って次元を数えるときに使います。

系 6.2（零因子でない元で割ったときの次元）✓

$(A, \mathfrak{m})$ を Noether 局所環、$x \in \mathfrak{m}$ を $A$ の零因子でない元とする。このとき $\dim A/xA = \dim A - 1$ である。

証明（系 6.2）

$\bar A = A/xA$ とします。$xA \subseteq \mathfrak{m}$ なので $\bar A \ne 0$ で、$\bar A$ は極大イデアル $\bar{\mathfrak{m}} = \mathfrak{m}/xA$ をもつ Noether 局所環です（系 4.1［Noether 環と Artin 環］ の (1)、補題 2.5［局所化と素イデアルのスペクトル］）。$\bar{\mathfrak{m}}^n = \mathfrak{m}^n\bar A$ と 補題 2.7 により $\ell_{\bar A}(\bar A/\bar{\mathfrak{m}}^n) = \ell_A(\bar A/\mathfrak{m}^n\bar A)$ なので、局所環 $\bar A$ の $d(\bar A)$ は $A$ 加群 $\bar A$ の $d(\bar A)$ に等しいです。補題 5.4 を $M = A$ に使うと $d(\bar A) \le d(A) - 1$ で、定理 6.1 を $A$ と $\bar A$ に使うと $\dim \bar A \le \dim A - 1$ です。逆向きの $\dim \bar A \ge \dim A - 1$ は 命題 5.3［Krull 次元と単項イデアル定理］ の (1)（$i = 1$）です。

∎

系 6.3（完備化と次元）✓

$(A, \mathfrak{m})$ を Noether 局所環、$\widehat{A}$ をその $\mathfrak{m}$ 進完備化とする。このとき $\widehat{A}$ は Noether 局所環で、すべての $n$ で $\chi^{\mathfrak{m}\widehat{A}}_{\widehat{A}}(n) = \chi^{\mathfrak{m}}_A(n)$ である。とくに $\dim \widehat{A} = \dim A$、$e(\widehat{A}) = e(A)$ である。

証明（系 6.3）

定理 6.6［完備化と Artin–Rees の補題］ により $\widehat{A}$ は極大イデアル $\widehat{\mathfrak{m}} = \mathfrak{m}\widehat{A}$ をもつ Noether 局所環で、$\widehat{\mathfrak{m}}^n = \mathfrak{m}^n\widehat{A}$ です。命題 6.3［完備化と Artin–Rees の補題］ の (1) により、環準同型 $p_n\colon \widehat{A} \to A/\mathfrak{m}^n$（逆極限の第 $n$ 成分への射影）は環の同型 $\widehat{A}/\mathfrak{m}^n\widehat{A} \cong A/\mathfrak{m}^n$ を誘導します。環の同型はイデアルの鎖を保つので、環 $R$ の自分自身の上の長さ $\ell_R(R)$ は同型で変わりません。補題 2.7 を両側で使って

$$\ell_{\widehat{A}}(\widehat{A}/\widehat{\mathfrak{m}}^n) = \ell_{\widehat{A}/\mathfrak{m}^n\widehat{A}}(\widehat{A}/\mathfrak{m}^n\widehat{A}) = \ell_{A/\mathfrak{m}^n}(A/\mathfrak{m}^n) = \ell_A(A/\mathfrak{m}^n)$$

です。Hilbert–Samuel 関数が一致するので $d(\widehat{A}) = d(A)$、$e(\widehat{A}) = e(A)$ で、定理 6.1 により $\dim \widehat{A} = d(\widehat{A}) = d(A) = \dim A$ です。

∎

Krull 次元を直接比べようとすると、$\widehat{A}$ の素イデアルの鎖と $A$ の素イデアルの鎖の対応を調べることになりますが、$\widehat{A}$ の素イデアルは $A$ の素イデアルよりずっと多い（定義 6.8［完備化と Artin–Rees の補題］ の形式ファイバーが大きい）ので、それは容易ではありません。次元定理は、次元を「$A/\mathfrak{m}^n$ だけで決まる量」に言い換えることで、この問題を回避しています。

注意 6.4（正則局所環への展望）

定理 5.2［Krull 次元と単項イデアル定理］ の不等式 $\dim A \le \dim_k \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ で等号が成り立つ局所環が正則局所環です。$\operatorname{gr}_{\mathfrak{m}}(A)$ は $\dim_k \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2$ 個の $1$ 次の元で生成されるので、多項式環 $k[X_1, \ldots, X_{\dim_k \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2}]$ の剰余環です。次元定理を使うと、$A$ が正則であることと、この全射が同型であること（$\operatorname{gr}_{\mathfrak{m}}(A)$ が多項式環であること）が同値になり、とくに正則局所環の重複度は $1$ です。この議論は Cohen–Macaulay 環と正則局所環 の章で、正則局所環が整域であることの証明とともに扱います（定理 6.2［Cohen–Macaulay 環と正則局所環］、定理 6.3［Cohen–Macaulay 環と正則局所環］）。

7. 演習

演習 7.1易

体 $k$ 上の $S = k[x, y]$ と斉次イデアル $I = (x^2, xy)$、$R = S/I$ を考える。

1. $R$ の Hilbert 関数・Hilbert 級数・Hilbert 多項式を求め、Hilbert 関数と Hilbert 多項式が一致しない $n$ があることを確かめよ。
2. $\operatorname{Ann}_S(\bar y) = (x)$、$\operatorname{Ann}_S(\bar x) = (x, y)$ を示し、$(x)$ と $(x, y)$ が $R$ の随伴素イデアルで、斉次元の零化イデアルとして実現されることを確かめよ（$\bar x, \bar y$ は $x, y$ の $R$ での像）。

解答

(1) $I$ は単項式で生成されるので、$I$ の元は $x^2$ か $xy$ で割り切れる単項式の一次結合で、逆にそのような単項式は $I$ に入ります。よって $I_m$ は $x^ay^b$（$a + b = m$、$a \ge 2$ または $a, b \ge 1$）で張られ、$R_m$ はそれ以外の単項式、すなわち $y^m$ と（$m = 1$ のとき）$x$ の像を基底にもちます。Hilbert 関数は $1, 2, 1, 1, 1, \ldots$ で、

$$P_R(t) = 1 + 2t + \frac{t^2}{1 - t} = \frac{1 + t - t^2}{1 - t}$$

です。系 4.5 の記号で $d = 1$、$g = 1 + t - t^2$、$g(1) = 1$ なので Hilbert 多項式は定数 $1$ で、$n \ge \deg g = 2$ で Hilbert 関数と一致します。$n = 1$ では $\dim_k R_1 = 2 \ne 1$ です。

(2) $c \in S$ について $c\,y \in I$ とします。$cy$ の単項式はすべて $y$ で割り切れ、$x^ay^{b+1}$ が $I$ に入るのは $a \ge 1$ のときなので、$c$ の単項式はすべて $x$ で割り切れます。逆に $xy \in I$ です。よって $\operatorname{Ann}_S(\bar y) = (x)$ で、$S/(x) \cong k[y]$ は整域なのでこれは素イデアルです。$c = c_0 + c'$（$c_0 \in k$、$c' \in (x, y)$）について $c'x \in (x^2, xy) = I$ なので、$cx \in I$ は $c_0x \in I$、すなわち $c_0 = 0$ と同じです。よって $\operatorname{Ann}_S(\bar x) = (x, y)$ で、これは極大イデアルです。$\bar x$、$\bar y$ はどちらも斉次元なので、命題 2.4 の (2) の主張どおり、随伴素イデアルが斉次元の零化イデアルとして現れています。$(x, y)$ は $(x)$ を含む埋没素イデアルで、$I = (x) \cap (x^2, y)$ という準素分解の第二成分に対応します。

演習 7.2標準

体 $k$ 上の局所環 $A = k[x, y]_{(x, y)}$、$\mathfrak{m} = (x, y)A$、$\mathfrak{q} = (x^2, y^3)A$ とする。$n \ge 1$ について $\ell_A(A/\mathfrak{q}^n) = 3n(n+1)$ を示し、$e(\mathfrak{q}) = 6$、$e(\mathfrak{m}) = 1$ を確かめよ。

解答

例 5.7 と同じ理由で、$A/\mathfrak{q}^n \cong k[x, y]/(x^2, y^3)^n$ で、長さは $k$ 上の次元です（$(x^2, y^3)^n$ は $(x, y)$ のある冪を含むので、$(x, y)$ に属さない多項式の像は単元です）。$(x^2, y^3)^n$ は単項式 $x^{2i}y^{3(n-i)}$（$0 \le i \le n$）で生成される単項式イデアルで、単項式 $x^ay^b$ がこれに入ることは、$a' = \lfloor a/2 \rfloor$、$b' = \lfloor b/3 \rfloor$ について「$i \le a'$ かつ $n - i \le b'$ となる $i$ がある」こと、すなわち $a' + b' \ge n$ と同値です。$a' + b' < n$ となる $(a', b')$ は $n(n+1)/2$ 組で、各組に $(a, b)$ が $2 \times 3 = 6$ 組対応するので、$\ell_A(A/\mathfrak{q}^n) = 6 \cdot n(n+1)/2 = 3n(n+1)$ です。

$d(A) = 2$ なので（$\chi^{\mathfrak{q}}_A = 3X^2 + 3X$ の次数）、$e(\mathfrak{q}) = 2! \cdot 3 = 6$ です。$\mathfrak{m}$ については $\ell_A(A/\mathfrak{m}^n)$ が $n$ 次未満の単項式の個数 $n(n+1)/2$ なので、$e(\mathfrak{m}) = 2! \cdot \tfrac{1}{2} = 1$ です。$\mathfrak{q} \subseteq \mathfrak{m}$ と 命題 5.6 の (3) の $6 \ge 1$ が合っています。また $e(\mathfrak{q}) = 6 = \dim_k k[x, y]/(x^2, y^3) = \ell_A(A/\mathfrak{q})$ です。$\mathfrak{q}$ はパラメータ系 $x^2, y^3$ で生成されるイデアルです。一般に Noether 局所環 $A$ のパラメータ系で生成されるイデアル $\mathfrak{q}$ については $\ell_A(A/\mathfrak{q}) \ge e(\mathfrak{q})$ が成り立ち、等号が成り立つことと $A$ が Cohen–Macaulay 環であることが同値になります。この記事ではこの事実を証明せず、Cohen–Macaulay 環とあわせて Cohen–Macaulay 環と正則局所環 の章で扱います（定理 5.2［Cohen–Macaulay 環と正則局所環］）。ここでの等号はその一例です。

演習 7.3標準

体 $k$ と $r \ge 1$ について、$A = k[x_1, \ldots, x_r]_{(x_1, \ldots, x_r)}$ の Hilbert–Samuel 関数 $\ell_A(A/\mathfrak{m}^n)$ を求めて $d(A) = r$、$e(A) = 1$ を示せ。これと次元定理・完備化の系から $\dim k[[x_1, \ldots, x_r]] = r$ を導け。

解答

例 5.7 と同じ理由で $A/\mathfrak{m}^n \cong k[x_1, \ldots, x_r]/(x_1, \ldots, x_r)^n$ で、長さは $n$ 次未満の単項式の個数です。例 4.6（変数 $r$ 個）により $m$ 次の単項式は $\binom{m + r - 1}{r - 1}$ 個で、補題 4.3 の証明の和の公式により

$$\ell_A(A/\mathfrak{m}^n) = \sum_{m=0}^{n-1}\binom{m + r - 1}{r - 1} = \binom{n + r - 1}{r} = \frac{n^r}{r!} + \cdots$$

です。よって $d(A) = r$、$e(A) = r! \cdot \tfrac{1}{r!} = 1$ で、定理 6.1 により $\dim A = r$ です。

$A$ の $\mathfrak{m}$ 進完備化は $k[[x_1, \ldots, x_r]]$ です（例 3.4［完備化と Artin–Rees の補題］）。系 6.3 により $\dim k[[x_1, \ldots, x_r]] = \dim A = r$ です。素イデアルの鎖 $(0) \subsetneq (x_1) \subsetneq \cdots \subsetneq (x_1, \ldots, x_r)$ から $\ge r$ はすぐわかりますが、$\le r$ を鎖から直接示すのは難しく、次元定理が効いています。

参考文献

• M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, 1969 — Chapter 10（Artin–Rees の補題と随伴次数環）、Chapter 11（Hilbert 関数と次元定理）。
• H. Matsumura, Commutative Ring Theory, Cambridge University Press, 1986 — §13（次元と Hilbert 関数）、§14（パラメータ系と重複度）。
• D. Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics 150, Springer, 1995 — Chapter 12（次元と Hilbert–Samuel 多項式）。
• W. Bruns, J. Herzog, Cohen–Macaulay Rings, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 39, Cambridge University Press, 1993 — Chapter 4（Hilbert 関数と重複度）。
• R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics 52, Springer, 1977 — Chapter I §7（Hilbert 多項式・次数・算術種数）。
• J.-P. Serre, Algèbre locale, multiplicités, Lecture Notes in Mathematics 11, Springer, 1965（Hilbert–Samuel 多項式と重複度）。

例と演習はこの記事のために作ったものです。