数学 › 可換環論 › 次数環と Hilbert–Samuel 多項式

零因子でない元で割ったときの次元

系 6.2（「次数環と Hilbert–Samuel 多項式」§6） ・ ✓公理まで証明済み

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 97 件、定義なども含めて 113 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 6 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

• Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環

  • 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
  • 局所化定義 3.2・局所化と素イデアルのスペクトル
  • ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
  • ヒルベルトの基底定理✓定理 5.3・多項式環と体の拡大

    • ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
  • 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環

    • イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環 この先をたどる →
    • 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環 この先をたどる →
    • 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
• 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル

  • 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環（上で展開済み）
  • 素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環

    • 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
    • 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環 この先をたどる →
  • 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環

    • イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環 この先をたどる →
    • 素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
    • 単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環
• 剰余環上の長さ✓補題 2.7・次数環と Hilbert–Samuel 多項式

  • 加群の長さ定義 5.4・Noether 環と Artin 環
• 零因子でない元で割ると d が下がる✓補題 5.4・次数環と Hilbert–Samuel 多項式

  • 根基・冪零根基・Jacobson 根基・被約環定義 2.2・局所化と素イデアルのスペクトル
  • 中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題

    • aM = M の帰結✓系 3.4・加群・完全列・中山の補題 この先をたどる →
    • Jacobson 根基の特徴づけ✓命題 2.8・局所化と素イデアルのスペクトル この先をたどる →
  • Hilbert–Samuel 多項式と完全列✓補題 5.3・次数環と Hilbert–Samuel 多項式 この先をたどる →
• 次元定理✓定理 6.1・次数環と Hilbert–Samuel 多項式

  • δ(A) とパラメータ系定義 5.1・Krull 次元と単項イデアル定理
  • Hilbert–Samuel 多項式の存在✓定理 5.1・次数環と Hilbert–Samuel 多項式 この先をたどる →
  • 零因子でない元で割ると d が下がる✓補題 5.4・次数環と Hilbert–Samuel 多項式（上で展開済み）
  • 多項式の符号と大小の比較✓補題 3.3・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
  • Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
  • 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
  • 剰余環上の長さ✓補題 2.7・次数環と Hilbert–Samuel 多項式（上で展開済み）
  • Noether 局所環の次元✓定理 5.2・Krull 次元と単項イデアル定理

    • ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
    • 極小生成系の個数✓系 3.6・加群・完全列・中山の補題 この先をたどる →
    • 𝔪 準素イデアルの判定✓補題 4.1・Krull 次元と単項イデアル定理 この先をたどる →
    • 一般高さ定理（Krull）✓定理 4.3・Krull 次元と単項イデアル定理 この先をたどる →
    • 次元と高さの基本性質✓命題 2.3・Krull 次元と単項イデアル定理 この先をたどる →
    • 一般高さ定理の逆✓命題 4.5・Krull 次元と単項イデアル定理 この先をたどる →
  • 随伴次数環の Noether 性✓命題 2.6・次数環と Hilbert–Samuel 多項式 この先をたどる →
  • Hilbert 多項式✓系 4.5・次数環と Hilbert–Samuel 多項式 この先をたどる →
  • 数値多項式の基本性質✓補題 3.2・次数環と Hilbert–Samuel 多項式 この先をたどる →
• 元で割ったときの次元✓命題 5.3・Krull 次元と単項イデアル定理

  • Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
  • 剰余環のイデアルの対応✓補題 2.5・局所化と素イデアルのスペクトル（上で展開済み）
  • 𝔪 準素イデアルの判定✓補題 4.1・Krull 次元と単項イデアル定理 この先をたどる →
  • Noether 局所環の次元✓定理 5.2・Krull 次元と単項イデアル定理（上で展開済み）

これを使っている定理 証明で参照している 2 件

• 正則列で割った環✓命題 3.4・Cohen–Macaulay 環と正則局所環
• 正則局所環の剰余✓命題 6.4・Cohen–Macaulay 環と正則局所環

関連するノック 2 問

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