随伴次数環の Noether 性

命題 2.6（「次数環と Hilbert–Samuel 多項式」§2）・ ✓公理まで証明済み

$A$ を Noether 環、 $I = (a_1, \ldots, a_r)$ をイデアルとする。

$\operatorname{gr}_I(A)$ は、 $a_i$ の $I/I^2$ での像 $\bar a_i$ （ $1$ 次の斉次元）により $\operatorname{gr}_I(A) = (A/I)[\bar a_1, \ldots, \bar a_r]$ と生成され、Noether 環である。
$M$ を有限生成 $A$ 加群、 $(M_n)$ を $M$ の安定な $I$ フィルトレーションとすると、 $\operatorname{gr}(M)$ は有限生成 $\operatorname{gr}_I(A)$ 加群であり、各 $M_n/M_{n+1}$ は有限生成 $A/I$ 加群である。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 9 件、定義なども含めて 12 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
- 局所化定義 3.2・局所化と素イデアルのスペクトル
- ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
- ヒルベルトの基底定理✓定理 5.3・多項式環と体の拡大
  - ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
- 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環
  - イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環
    左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
  - 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環
    法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
    左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
  - 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
次数環の Noether 性✓命題 2.3・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
- Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
- ヒルベルトの基底定理✓定理 5.3・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
- ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環