Hilbert–Samuel 多項式の存在

定理 5.1（「次数環と Hilbert–Samuel 多項式」§5）・ ✓公理まで証明済み

$\mathfrak{q} = (x_1, \ldots, x_s)$ を $\mathfrak{m}$ 準素イデアル、 $M$ を有限生成 $A$ 加群、 $(M_n)$ を $M$ の安定な $\mathfrak{q}$ フィルトレーションとする。

各 $n$ で $\ell_A(M/M_n) < \infty$ であり、次数 $s$ 以下の数値多項式 $g$ （ $0$ でもよい）があって、十分大きい $n$ で $\ell_A(M/M_n) = g(n)$ となる。
$M \ne 0$ なら $g \ne 0$ であり、 $g$ の次数と最高次の係数は、 $M_n = \mathfrak{q}^nM$ の場合の多項式のものと等しい。とくにそれらは $M$ と $\mathfrak{q}$ だけで決まる。
$M \ne 0$ なら、(2) の次数は $\mathfrak{m}$ 準素イデアル $\mathfrak{q}$ の取り方によらない。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 43 件、定義なども含めて 55 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 10 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

随伴次数環の Noether 性✓命題 2.6・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
- Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環
  - 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
  - 局所化定義 3.2・局所化と素イデアルのスペクトル
  - ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
  - ヒルベルトの基底定理✓定理 5.3・多項式環と体の拡大
    ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
  - 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環この先をたどる →
- 次数環の Noether 性✓命題 2.3・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
  - Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
  - ヒルベルトの基底定理✓定理 5.3・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
  - ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
- 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
次数部分の有限性✓補題 4.1・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
- 秋月–Hopkins の定理（可換環）✓定理 6.3・Noether 環と Artin 環
  - Artin 環の基本性質✓命題 6.1・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
  - 極大イデアルの積が 0 になる環✓補題 6.2・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
  - Noether 環のイデアルは素イデアルの積を含む✓補題 4.5・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
- 組成列の存在✓命題 5.2・Noether 環と Artin 環
  - 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
  - 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
剰余環上の長さ✓補題 2.7・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
- 加群の長さ定義 5.4・Noether 環と Artin 環
Hilbert 多項式✓系 4.5・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
- Hilbert–Serre の定理✓定理 4.4・次数環と Hilbert–Samuel 多項式この先をたどる →
- (1 − t) の負冪の展開✓補題 4.3・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
  - Pascal の漸化式と閉じた式✓命題 7.2・数え上げと母関数
- 数値多項式の基本性質✓補題 3.2・次数環と Hilbert–Samuel 多項式（上で展開済み）
- 多項式の符号と大小の比較✓補題 3.3・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
加群の同型定理と対応定理✓補題 2.1・Noether 環と Artin 環
- 加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理
長さの加法性✓命題 5.5・Noether 環と Artin 環
- 組成列の存在✓命題 5.2・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
- 加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理
- Jordan–Hölder の定理（加群）✓定理 5.3・Noether 環と Artin 環
  - 加群の同型定理と対応定理✓補題 2.1・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
  - 組成列の存在✓命題 5.2・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
  - 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
数値多項式の基本性質✓補題 3.2・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
- Pascal の漸化式と閉じた式✓命題 7.2・数え上げと母関数
- 二項係数定義 7.1・数え上げと母関数
根基・冪零根基・Jacobson 根基・被約環定義 2.2・局所化と素イデアルのスペクトル
中山の補題✓定理 3.5・加群・完全列・中山の補題
- aM = M の帰結✓系 3.4・加群・完全列・中山の補題
  - 行列式のトリック✓定理 3.3・加群・完全列・中山の補題この先をたどる →
- Jacobson 根基の特徴づけ✓命題 2.8・局所化と素イデアルのスペクトルこの先をたどる →
多項式の符号と大小の比較✓補題 3.3・次数環と Hilbert–Samuel 多項式

これを使っている定理証明で参照している 3 件

Hilbert–Samuel 多項式と完全列✓補題 5.3・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
重複度の基本性質✓命題 5.6・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
次元定理✓定理 6.1・次数環と Hilbert–Samuel 多項式

Hilbert–Samuel 多項式の存在

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 10 件）

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

関連するノック 1 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 10 件）

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