数学 › 可換環論 › 次数環と Hilbert–Samuel 多項式

次数環の Noether 性

命題 2.3（「次数環と Hilbert–Samuel 多項式」§2）・ ✓公理まで証明済み

$A = \bigoplus_{n \ge 0} A_n$ を次数環とする。次は同値である。

$A$ は Noether 環である。
$A_0$ は Noether 環で、 $A$ は $A_0$ 代数として有限生成である。

さらにこのとき、 $A$ は正の次数の有限個の斉次元 $x_1, \ldots, x_s$ により $A = A_0[x_1, \ldots, x_s]$ と生成される。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 7 件、定義なども含めて 10 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
- 局所化定義 3.2・局所化と素イデアルのスペクトル
- ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
- ヒルベルトの基底定理✓定理 5.3・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
- 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環
  - イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環
    左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
  - 剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環
    法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
    左イデアル・右イデアル・両側イデアル定義 3.1・イデアルと剰余環
  - 法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
ヒルベルトの基底定理✓定理 5.3・多項式環と体の拡大
- ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大

これを使っている定理証明で参照している 3 件

連接層の次数加群による表示✓補題 7.4・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー
随伴次数環の Noether 性✓命題 2.6・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
Hilbert–Serre の定理✓定理 4.4・次数環と Hilbert–Samuel 多項式

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