Hilbert 多項式

系 4.5（「次数環と Hilbert–Samuel 多項式」§4）・ ✓公理まで証明済み

$A = A_0[x_1, \ldots, x_s]$ で $A_0$ は Artin 環、 $x_i$ はすべて $1$ 次とする。 $M \ne 0$ を有限生成次数 $A$ 加群とする。このとき、整数 $0 \le d \le s$ と $g \in \mathbb{Z}[t]$ で、 $g(1) > 0$ かつ

(1 - t)^d\,P_M(t) = g(t)

となるものがただ一組存在する（ $d$ を $P_M$ の $t = 1$ での極の位数という）。さらに

$d = 0$ なら、十分大きい $n$ で $M_n = 0$ である。
$d \ge 1$ なら、次数 $d - 1$ 、最高次の係数 $g(1)/(d-1)!$ の数値多項式 $H_M$ があって、 $n \ge \deg g$ のすべての $n$ で $\ell_{A_0}(M_n) = H_M(n)$ である。

$H_M$ （ $d = 0$ のときは $H_M = 0$ ）を $M$ の Hilbert 多項式という。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 33 件、定義なども含めて 42 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Hilbert–Serre の定理✓定理 4.4・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
- 秋月–Hopkins の定理（可換環）✓定理 6.3・Noether 環と Artin 環
  - Artin 環の基本性質✓命題 6.1・Noether 環と Artin 環
    素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
    鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
    極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環この先をたどる →
    極大イデアルの存在（Krull の定理）✓定理 6.5・選択公理と Zorn の補題この先をたどる →
    鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
    極大イデアルは素イデアル✓系 6.4・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 極大イデアルの積が 0 になる環✓補題 6.2・Noether 環と Artin 環
    体上の長さは次元✓命題 5.6・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
    鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
    長さの加法性✓命題 5.5・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
  - Noether 環のイデアルは素イデアルの積を含む✓補題 4.5・Noether 環と Artin 環
    鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
    素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
- 次数環の Noether 性✓命題 2.3・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
  - Noether 性の遺伝✓系 4.1・Noether 環と Artin 環
    鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
    局所化定義 3.2・局所化と素イデアルのスペクトル
    ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
    ヒルベルトの基底定理✓定理 5.3・多項式環と体の拡大（上で展開済み）
    環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - ヒルベルトの基底定理✓定理 5.3・多項式環と体の拡大
    ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
  - ネーター性の同値条件✓命題 5.2・多項式環と体の拡大
- 次数部分の有限性✓補題 4.1・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
  - 秋月–Hopkins の定理（可換環）✓定理 6.3・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
  - 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
  - 組成列の存在✓命題 5.2・Noether 環と Artin 環
    鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
    鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
- 斉次部分加群の判定と剰余✓補題 2.2・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
- 長さの加法性✓命題 5.5・Noether 環と Artin 環
  - 組成列の存在✓命題 5.2・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
  - 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
  - 加群の準同型定理✓定理 2.3・加群と PID 上の構造定理
  - Jordan–Hölder の定理（加群）✓定理 5.3・Noether 環と Artin 環
    加群の同型定理と対応定理✓補題 2.1・Noether 環と Artin 環この先をたどる →
    組成列の存在✓命題 5.2・Noether 環と Artin 環（上で展開済み）
    鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
- 鎖条件と短完全列✓定理 3.1・Noether 環と Artin 環
- 鎖条件の言い換え✓補題 2.3・Noether 環と Artin 環
(1 − t) の負冪の展開✓補題 4.3・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
- Pascal の漸化式と閉じた式✓命題 7.2・数え上げと母関数
数値多項式の基本性質✓補題 3.2・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
- Pascal の漸化式と閉じた式✓命題 7.2・数え上げと母関数
- 二項係数定義 7.1・数え上げと母関数
多項式の符号と大小の比較✓補題 3.3・次数環と Hilbert–Samuel 多項式

これを使っている定理証明で参照している 3 件

層の Hilbert 多項式✓定理 7.6・Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー
Hilbert–Samuel 多項式の存在✓定理 5.1・次数環と Hilbert–Samuel 多項式
次元定理✓定理 6.1・次数環と Hilbert–Samuel 多項式

Hilbert 多項式

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

関連するノック 3 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理証明で参照している 3 件