数学 › 代数幾何 II（層コホモロジー・曲線・交叉） › Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー

層の Hilbert 多項式

定理 7.6（「Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー」§7） ・ ✓公理まで証明済み

kk を体、ι ⁣:X→Pkr\iota\colon X \to \mathbb P^r_k を kk 上の射影スキーム、F≠0\mathcal F \ne 0 を XX 上の連接層、S=k[x0,…,xr]S = k[x_0, \ldots, x_r] とする。

  1. 数値多項式（定義 3.1［次数環と Hilbert–Samuel 多項式］）PF∈Q[n]P_{\mathcal F} \in \mathbb Q[n] で、すべての n∈Zn \in \mathbb Z について χ(F(n))=PF(n)\chi(\mathcal F(n)) = P_{\mathcal F}(n) となるものがただ一つある。これを F\mathcal F の Hilbert 多項式という。
  2. nn が十分大きいとき PF(n)=dim⁡kΓ(X,F(n))P_{\mathcal F}(n) = \dim_k \Gamma(X, \mathcal F(n)) である。PF≠0P_{\mathcal F} \ne 0 で、最高次の係数は正である。
  3. MM を M~≅ι∗F\widetilde M \cong \iota_*\mathcal F となる有限生成次数 SS 加群とすると、PFP_{\mathcal F} は MM の Hilbert 多項式 HMH_M（系 4.5［次数環と Hilbert–Samuel 多項式］）に等しい。
  4. deg⁡PF≤dim⁡Supp⁡F\deg P_{\mathcal F} \le \dim\operatorname{Supp}\mathcal F である。kk が代数閉体なら等号が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 337 件、定義なども含めて 388 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 11 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

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