Čech コホモロジーと射影空間のコホモロジー

0. この記事の要点

空間の各部分では作れるデータ（関数のようなもの）が、全体では貼り合わないことがあります。その「貼り合わなさ」を数えるのがコホモロジーです。この記事では、空間をいくつかの開集合で覆い、重なりの上のデータを表のように並べることで、貼り合わなさを手計算できる形にします。読み終えると、射影直線のような空間の上で、ひねった層 $\mathcal O(n)$ に大域的な切断がいくつあるか、貼り合わない分がいくつあるかを、具体的に数え上げられるようになります。

• 開被覆 $\mathfrak U = (U_i)$ と層 $\mathcal F$ から、交わり $U_{i_0} \cap \cdots \cap U_{i_p}$ の上の切断を並べた Čech 複体ができます。そのコホモロジー $\check H^p(\mathfrak U, \mathcal F)$ は有限個の加群と写像で書け、手で計算できます。
• 比較定理（Leray）: 被覆の有限交叉すべての上で $\mathcal F$ の高次コホモロジーが消えるなら、$\check H^p(\mathfrak U, \mathcal F) \cong H^p(X, \mathcal F)$ です。Noether 分離スキームのアフィン開被覆と準連接層はこの条件を満たします。
• 射影空間: Noether 環 $A$ 上の $\mathbb P^r_A$ について、$H^0(\mathcal O(n))$ は $n$ 次斉次式、$0 < i < r$ で $H^i(\mathcal O(n)) = 0$、$H^r(\mathcal O(n))$ は指数がすべて負の Laurent 単項式を基底とする自由加群で、$H^0(\mathcal O(n)) \times H^r(\mathcal O(-n-r-1)) \to H^r(\mathcal O(-r-1)) \cong A$ は完全ペアリングです。
• Serre の有限性定理: $A$ 上の射影スキームの連接層 $\mathcal F$ について、$H^i(X, \mathcal F)$ は有限生成 $A$ 加群で、$n$ が十分大きければ $i > 0$ で $H^i(X, \mathcal F(n)) = 0$ です。
• 体上の射影スキームでは Euler 標数 $\chi(\mathcal F) = \sum_i (-1)^i\dim H^i(X, \mathcal F)$ が短完全列について加法的で、$n \mapsto \chi(\mathcal F(n))$ は多項式（Hilbert 多項式）になります。次数 $d$ の平面曲線の算術種数は $(d-1)(d-2)/2$ です。

この記事で使う事前知識

• 層コホモロジー: 層の大域切断の関手を導来関手として延ばしたもので、貼り合わなさを測る量。→ 層コホモロジー
• 脆弱層: どの開集合の切断も全体に延ばせる層。高次のコホモロジーを計算するときの扱いやすい対象。→ 脆弱層
• 準連接層: アフィン開集合の上では加群から作られる層。→ 準連接層
• 局所化: 環や加群に、指定した元の逆元を付け加える操作。→ 局所化
• 入射分解: 層を入射的な層の列で右へ延ばしたもの。導来関手の計算に使う。→ 入射分解
• 完全列: 各項で「出てくる像」と「消える核」が一致する列。→ 完全列

1. 動機

前の章で、層コホモロジーを導来関手として定義し、アフィンスキームでは準連接層の高次コホモロジーが消えることを示しました。しかし射影直線の $\mathcal O(-2)$ の $H^1$ のような、消えないコホモロジーを実際に求める方法はまだ Mayer–Vietoris 完全列しかありません。開集合が三つ以上になると、Mayer–Vietoris を繰り返すのは見通しが悪くなります。

Čech 複体は、Mayer–Vietoris 完全列を任意個の開集合に拡張したものです。$X = U \cup V$ のとき、Mayer–Vietoris の中央の写像 $\mathcal F(U) \oplus \mathcal F(V) \to \mathcal F(U \cap V)$ は 2 項だけの複体で、その核が $H^0$、余核が（$U, V, U \cap V$ で高次コホモロジーが消えるなら）$H^1$ でした。被覆が $U_0, \ldots, U_r$ なら、1 重・2 重・…・$(r+1)$ 重の交わりの上の切断を並べた長さ $r$ の複体になります。スキームがアフィン開集合で覆われていれば、各項は加群の局所化で、複体は純粋に代数的な対象です。

射影空間 $\mathbb P^r$ の標準的な被覆では、この複体は Laurent 単項式の言葉で完全に書き下せます。その計算結果が、この章の後半（有限性・Euler 標数・Hilbert 多項式）と、Serre 双対の出発点になります。

2. 準備

層コホモロジーについては前章の記号と結果を使います。とくに、脆弱層が $\Gamma$ 非輪状であること（定理 4.4［層コホモロジー］）、開集合への制限（補題 4.6［層コホモロジー］）、アフィンスキーム上の消滅（定理 7.4［層コホモロジー］）、アフィン射による順像（系 8.4［層コホモロジー］）です。

Noether 環 $A$ について $S = A[x_0, \ldots, x_r]$、$\mathbb P^r_A = \operatorname{Proj} S$ とし、標準的な開被覆を $U_i = D_+(x_i)$ と書きます。$U_{i_0} \cap \cdots \cap U_{i_p} = D_+(x_{i_0}\cdots x_{i_p})$ はアフィンで、ねじり層 $\mathcal O(n)$ の切断は

$$\Gamma\bigl(D_+(x_{i_0}\cdots x_{i_p}), \mathcal O(n)\bigr) = \bigl(S_{x_{i_0}\cdots x_{i_p}}\bigr)_n \qquad (\text{局所化の } n \text{ 次斉次部分})$$

で、制限写像は局所化の間の標準写像です（定理 6.3［アフィンスキームとスキーム］、定理 8.3［準連接層・連接層と直線束］）。$A$ 上の射影スキームとは、ある $\mathbb P^r_A$ の閉部分スキーム $\iota\colon X \to \mathbb P^r_A$ のことで、$\mathcal O_X(1) = \iota^*\mathcal O(1)$、$\mathcal F(n) = \mathcal F \otimes \mathcal O_X(1)^{\otimes n}$ と書きます。

3. Čech 複体

定義 3.1（Čech 複体・Čech コホモロジー）↗

$X$ を位相空間、$\mathfrak U = (U_i)_{i \in I}$ を開被覆とし、添字集合 $I$ に全順序を一つ固定する。$I$ の有限部分集合 $\sigma = \{i_0 < \cdots < i_p\}$ について $U_\sigma = U_{i_0} \cap \cdots \cap U_{i_p}$ と書く。層 $\mathcal F \in \mathsf{Ab}(X)$ に対し

$$C^p(\mathfrak U, \mathcal F) = \prod_{i_0 < \cdots < i_p} \mathcal F(U_{i_0 \cdots i_p}) \qquad (p \ge 0)$$

とおき、$d\colon C^p \to C^{p+1}$ を

$$(d\alpha)_{i_0 \cdots i_{p+1}} = \sum_{k=0}^{p+1} (-1)^k\, \alpha_{i_0 \cdots \widehat{i_k} \cdots i_{p+1}}\big|_{U_{i_0 \cdots i_{p+1}}}$$

で定める（$\widehat{i_k}$ は $i_k$ を除くことを表す）。補題 3.2 の 1 により $d \circ d = 0$ で、複体 $C^\bullet(\mathfrak U, \mathcal F)$ を Čech 複体、そのコホモロジー $\check H^p(\mathfrak U, \mathcal F)$ を Čech コホモロジーという。

$I$ が $r + 1$ 個の元からなるとき、$p > r$ で $C^p = 0$ です。同じ形の複体は層以外からも作るので、少し一般的な形で基本的な補題を述べます。$I$ の空でない有限部分集合 $\sigma$ ごとにアーベル群 $G_\sigma$ が、$\sigma \subseteq \tau$ ごとに準同型 $\rho_{\sigma\tau}\colon G_\sigma \to G_\tau$ が与えられ、$\rho_{\sigma\sigma} = 1$、$\rho_{\tau\upsilon}\rho_{\sigma\tau} = \rho_{\sigma\upsilon}$ を満たすとき、$G$ を $I$ 上の係数系と呼ぶことにします。$C^p(G) = \prod_{|\sigma| = p+1} G_\sigma$ と、上と同じ式（制限を $\rho$ に替える）の $d$ が定まります。$G_\sigma = \mathcal F(U_\sigma)$ が層の場合です。

次の補題のねらいは二つです。(1) と (2) は、微分を二回続けると $0$ になること（複体であること）と、添字の順序を入れ替えても式が成り立つことの確認で、符号の計算が続きますが、中身は「同じ項が逆符号で二回現れて打ち消し合う」ことだけです。(3) が本題で、ある添字 $j$ を先頭に付け加える操作 $k$ を使うと、$dk + kd$ が恒等写像になり、高次のコホモロジーが消えます。

補題 3.2（係数系の Čech 複体）✓

$G$ を全順序集合 $I$ 上の係数系とする。

1. $d \circ d = 0$ である。
2. 相異なるとは限らない添字の列 $(i_0, \ldots, i_p)$ に対し、重複があれば $\alpha_{i_0 \cdots i_p} = 0$、なければ昇順に並べ替える置換の符号を掛けて $\alpha_{i_0 \cdots i_p} = \pm\alpha_{\{i_0, \ldots, i_p\}}$ と定める。このとき $d$ の定義式は、昇順とは限らない任意の列 $(i_0, \ldots, i_{p+1})$ についても成り立つ。
3. $j \in I$ があって、$j \notin \sigma$ であるすべての $\sigma$ について $\rho_{\sigma, \sigma \cup \{j\}}$ が同型であるとする。このとき $p \ge 1$ で $H^p(C^\bullet(G)) = 0$ である。

証明（補題 3.2）

以下 $\rho$ を省いて書く。

(1) $\tau = \{i_0 < \cdots < i_{p+2}\}$ について、$(dd\alpha)_\tau$ は $\tau$ から 2 元 $i_k, i_m$（$k < m$）を除いた $\alpha_{\tau \setminus \{i_k, i_m\}}$ の整数係数の和である。この項は 2 回現れる。先に $i_k$ を除くと、$i_m$ は残りの中で $m - 1$ 番目なので符号は $(-1)^k(-1)^{m-1}$、先に $i_m$ を除くと、$i_k$ は $k$ 番目のままなので符号は $(-1)^m(-1)^k$ である。二つは打ち消し合うので $dd\alpha = 0$ である。

(2) 列 $(i_0, \ldots, i_{p+1})$ に対し $\beta_{i_0 \cdots i_{p+1}} = \sum_k (-1)^k\alpha_{i_0 \cdots \widehat{i_k} \cdots i_{p+1}}$ とおく。隣り合う $i_t, i_{t+1}$ を入れ替えると、$k \ne t, t+1$ の項は $\alpha$ の交代性により符号が変わり、$k = t$ の項と $k = t + 1$ の項は互いに入れ替わって符号 $(-1)^t$ と $(-1)^{t+1}$ が逆になる。よって $\beta$ の符号が変わる。$i_t = i_{t+1}$ なら、$k \ne t, t+1$ の項は重複があるので $0$、$k = t$ と $k = t + 1$ の項は同じ元の逆符号で、$\beta = 0$ である。隣接互換は置換をすべて生成し、重複のある列は置換で重複が隣り合う形にできるから、$\beta$ は (2) の意味で交代的で、昇順の列では $(d\alpha)$ に一致する。よってすべての列で $\beta = d\alpha$ である。

(3) $k\colon C^p(G) \to C^{p-1}(G)$（$p \ge 1$）を、$j \notin \sigma$ なら $(k\alpha)_\sigma = \rho_{\sigma, \sigma \cup \{j\}}^{-1}(\alpha_{j\sigma})$、$j \in \sigma$ なら $(k\alpha)_\sigma = 0$ で定める。ここで $\alpha_{j\sigma}$ は、$\sigma = \{i_0 < \cdots < i_{p-1}\}$ の先頭に $j$ を付けた列 $(j, i_0, \ldots, i_{p-1})$ での (2) の値である。$p \ge 1$、$\alpha \in C^p(G)$、$\sigma = \{i_0 < \cdots < i_p\}$ について $(dk\alpha + kd\alpha)_\sigma = \alpha_\sigma$ を示す。

$j \notin \sigma$ のとき。(2) により

$$(kd\alpha)_\sigma = \rho^{-1}\bigl((d\alpha)_{j i_0 \cdots i_p}\bigr) = \alpha_\sigma - \sum_{k=0}^{p} (-1)^k \rho^{-1}\bigl(\alpha_{j i_0 \cdots \widehat{i_k} \cdots i_p}\bigr)$$

である（第 1 項は $\rho^{-1}\rho(\alpha_\sigma) = \alpha_\sigma$）。一方 $(dk\alpha)_\sigma = \sum_k (-1)^k (k\alpha)_{\sigma \setminus \{i_k\}} = \sum_k (-1)^k \rho^{-1}(\alpha_{j i_0 \cdots \widehat{i_k} \cdots i_p})$ で、$\rho$ の関手性により二つの和の各項は $G_\sigma$ の同じ元である。よって和は $\alpha_\sigma$ である。

$j = i_m \in \sigma$ のとき。$(kd\alpha)_\sigma = 0$ である。$(dk\alpha)_\sigma = \sum_k (-1)^k(k\alpha)_{\sigma \setminus \{i_k\}}$ のうち、$k \ne m$ の項は $j \in \sigma \setminus \{i_k\}$ なので $0$ で、$k = m$ の項は $(-1)^m\alpha_{j, \sigma \setminus \{j\}}$ である（$\rho_{\sigma \setminus \{j\}, \sigma}$ とその逆が打ち消す）。列 $(j, \sigma \setminus \{j\})$ は $\sigma$ の $m$ 番目の元を先頭に移したもので、符号は $(-1)^m$ だから、この項は $\alpha_\sigma$ である。

以上から $p \ge 1$ で $dk + kd = 1$ となり、$d\alpha = 0$ なら $\alpha = d(k\alpha)$ である。

∎

命題 3.3（Čech コホモロジーの 0 次と 1 次）✓

$\mathfrak U = (U_i)_{i \in I}$ を位相空間 $X$ の開被覆、$\mathcal F \in \mathsf{Ab}(X)$ とする。

1. $\check H^0(\mathfrak U, \mathcal F) = \Gamma(X, \mathcal F)$ である。
2. 単射 $\check H^1(\mathfrak U, \mathcal F) \to H^1(X, \mathcal F)$ があり、 $$0 \to \check H^1(\mathfrak U, \mathcal F) \to H^1(X, \mathcal F) \to \prod_{i \in I} H^1(U_i, \mathcal F)$$ は完全である（右の写像は制限）。とくに、すべての $i$ で $H^1(U_i, \mathcal F) = 0$ なら $\check H^1(\mathfrak U, \mathcal F) \cong H^1(X, \mathcal F)$ である。

証明（命題 3.3）

(1) $\ker(d\colon C^0 \to C^1)$ は、$U_i \cap U_j$ の上で一致する切断の族 $(s_i)$ の全体で、層の公理により $\Gamma(X, \mathcal F)$ である。

(2) $\mathcal F$ を入射的な層 $\mathcal I$ に埋め込み、$\mathcal Q = \mathcal I/\mathcal F$ とおく。各 $p$ で $C^p(\mathfrak U, \mathcal F) \to C^p(\mathfrak U, \mathcal I)$ は単射である。$K^p = C^p(\mathfrak U, \mathcal I)/C^p(\mathfrak U, \mathcal F)$ とおくと、$\Gamma(U_\sigma, -)$ の左完全性により $K^p \subseteq C^p(\mathfrak U, \mathcal Q)$ で、$K^\bullet$ は $C^\bullet(\mathfrak U, \mathcal Q)$ の部分複体である。複体の短完全列 $0 \to C^\bullet(\mathfrak U, \mathcal F) \to C^\bullet(\mathfrak U, \mathcal I) \to K^\bullet \to 0$ の長完全列（定理 3.1［鎖複体とホモトピー圏］）は

$$\Gamma(X, \mathcal I) \to H^0(K^\bullet) \to \check H^1(\mathfrak U, \mathcal F) \to \check H^1(\mathfrak U, \mathcal I)$$

を含む。$\mathcal I$ は脆弱なので $\check H^1(\mathfrak U, \mathcal I) = 0$ である（補題 3.5 の 2。その証明はこの命題を使わない）。$H^0(K^\bullet) = K^0 \cap \ker(C^0(\mathfrak U, \mathcal Q) \to C^1(\mathfrak U, \mathcal Q))$ は、(1) により、$\Gamma(X, \mathcal Q)$ の元のうち各 $U_i$ の上で $\mathcal I$ の切断に持ち上がるものの全体 $\Gamma'$ である。したがって

$$\check H^1(\mathfrak U, \mathcal F) \cong \Gamma'/\operatorname{im}\Gamma(X, \mathcal I) \subseteq \Gamma(X, \mathcal Q)/\operatorname{im}\Gamma(X, \mathcal I) \cong H^1(X, \mathcal F)$$

である。最後の同型は次元ずらし（補題 5.7［導来関手と δ 関手］ の 2。$\mathcal I$ は $\Gamma$ 非輪状）による。同じく $H^1(U_i, \mathcal F) \cong \Gamma(U_i, \mathcal Q)/\operatorname{im}\Gamma(U_i, \mathcal I)$（$\mathcal I|_{U_i}$ は脆弱で、定理 4.4［層コホモロジー］ により非輪状）で、制限写像 $H^1(X, \mathcal F) \to H^1(U_i, \mathcal F)$ は切断の制限から誘導される。$q \in \Gamma(X, \mathcal Q)$ の類がすべての $H^1(U_i, \mathcal F)$ で $0$ になるのは、$q|_{U_i}$ が $\mathcal I$ の切断に持ち上がるとき、すなわち $q \in \Gamma'$ のときである。これが列の完全性である。

∎

Čech コホモロジーと層コホモロジーを結ぶには、Čech 複体そのものを層にします。

定義 3.4（層にした Čech 複体）↗

開被覆 $\mathfrak U = (U_i)_{i \in I}$ と層 $\mathcal F$ について、$f_\sigma\colon U_\sigma \to X$ を包含とし

$$\mathscr C^p(\mathfrak U, \mathcal F) = \prod_{i_0 < \cdots < i_p} f_{\sigma*}\bigl(\mathcal F|_{U_{i_0 \cdots i_p}}\bigr)$$

とおく。開集合 $V$ の上の切断は $\prod_\sigma \mathcal F(V \cap U_\sigma)$、すなわち $V$ の開被覆 $(V \cap U_i)$ についての Čech コチェインで、定義 3.1 と同じ式で $d\colon \mathscr C^p \to \mathscr C^{p+1}$ が定まる。$\varepsilon\colon \mathcal F \to \mathscr C^0(\mathfrak U, \mathcal F)$ を $s \mapsto (s|_{V \cap U_i})_i$ とする。$\Gamma(X, \mathscr C^p(\mathfrak U, \mathcal F)) = C^p(\mathfrak U, \mathcal F)$ である。

補題 3.5（層にした Čech 複体は分解。脆弱層の Čech コホモロジーは消える）✓

$\mathfrak U$ を位相空間 $X$ の開被覆、$\mathcal F \in \mathsf{Ab}(X)$ とする。

1. $0 \to \mathcal F \xrightarrow{\varepsilon} \mathscr C^0(\mathfrak U, \mathcal F) \xrightarrow{d} \mathscr C^1(\mathfrak U, \mathcal F) \xrightarrow{d} \cdots$ は $\mathsf{Ab}(X)$ の完全列である。
2. $\mathcal F$ が脆弱なら、$p \ge 1$ で $\check H^p(\mathfrak U, \mathcal F) = 0$ である。

証明（補題 3.5）

(1) 開集合 $V$ ごとに、$0 \to \mathcal F(V) \to \prod_i \mathcal F(V \cap U_i) \to \prod_{i<j} \mathcal F(V \cap U_i \cap U_j)$ は層の公理により完全である。よって $\varepsilon$ は単射で、$\ker(d\colon \mathscr C^0 \to \mathscr C^1) = \operatorname{im}\varepsilon$ である。

$p \ge 1$ とする。ある $U_j$ に含まれる開集合 $V$ について、$I$ 上の係数系 $G_\sigma = \mathcal F(V \cap U_\sigma)$ を考えると、$\Gamma(V, \mathscr C^\bullet(\mathfrak U, \mathcal F)) = C^\bullet(G)$ である。$V \subseteq U_j$ なので $V \cap U_\sigma = V \cap U_{\sigma \cup \{j\}}$ で、$\rho_{\sigma, \sigma \cup \{j\}}$ は恒等写像である。補題 3.2 の 3 により、$V$ の上の切断 $\alpha \in \Gamma(V, \mathscr C^p)$ で $d\alpha = 0$ のものは $\Gamma(V, \mathscr C^{p-1})$ の元の $d$ による像である。任意の開集合 $W$ と $\alpha \in \Gamma(W, \mathscr C^p)$、$d\alpha = 0$ について、$W$ はどれかの $U_j$ に含まれる開集合 $W \cap U_j$ で覆われ、その各々の上で $\alpha$ は $d$ の像に入る。よって層の列として $\ker d = \operatorname{im} d$ である。

(2) $\mathcal F$ が脆弱なら、$\mathcal F|_{U_\sigma}$ とその順像は脆弱で（補題 4.2［層コホモロジー］ の 3）、脆弱層の直積は、切断も制限写像も成分ごとなので脆弱である。よって (1) の列は $\mathcal F$ の脆弱層による分解で、定理 4.4［層コホモロジー］ により

$$\check H^p(\mathfrak U, \mathcal F) = H^p\bigl(\Gamma(X, \mathscr C^\bullet(\mathfrak U, \mathcal F))\bigr) \cong H^p(X, \mathcal F) = 0 \qquad (p \ge 1)$$

である。

∎

4. 比較定理

この節のねらいは、手で計算できる Čech コホモロジーが、定義の難しい層コホモロジーと等しくなる条件を示すことです。証明では、入射分解の各項に Čech 複体を並べた二重複体を、行から読む場合と列から読む場合の二通りに見ます。どちらの読み方でも全複体への擬同型（コホモロジーを変えない写像）が得られるので、両端のコホモロジーが一致します。

定理 4.1（Čech コホモロジーと層コホモロジーの比較（Leray））✓

$X$ を位相空間、$\mathfrak U = (U_i)_{i \in I}$ を開被覆、$\mathcal F \in \mathsf{Ab}(X)$ とする。$I$ のすべての空でない有限部分集合 $\sigma$ とすべての $q \ge 1$ について $H^q(U_\sigma, \mathcal F) = 0$ であるとする。このとき、すべての $p \ge 0$ について

$$\check H^p(\mathfrak U, \mathcal F) \cong H^p(X, \mathcal F)$$

である。この同型は、仮定を満たす層の間の射について自然である。とくに、$X$ がアフィンスキーム上分離的な Noether スキーム、$\mathfrak U$ がアフィン開被覆、$\mathcal F$ が準連接層なら、仮定は満たされる。

証明（定理 4.1）

$\mathcal F$ の入射分解 $0 \to \mathcal F \to \mathcal I^\bullet$ をとり、第一象限の二重複体（定義 7.1［鎖複体とホモトピー圏］）

$$C^{p,q} = C^p(\mathfrak U, \mathcal I^q) = \prod_{i_0 < \cdots < i_p} \Gamma(U_{i_0 \cdots i_p}, \mathcal I^q)$$

を考える。水平方向の微分 $d_h$ は Čech の微分、垂直方向の微分 $d_v$ は $\mathcal I^\bullet$ の微分から誘導されるもので、Čech の微分は層の射について自然だから $d_vd_h = d_hd_v$ である。

行。 $q$ を固定する。$\mathcal I^q$ は脆弱なので（命題 4.3［層コホモロジー］）、補題 3.5 の 2 と 命題 3.3 の 1 により

$$0 \to \Gamma(X, \mathcal I^q) \to C^{0,q} \xrightarrow{d_h} C^{1,q} \xrightarrow{d_h} \cdots$$

は完全である。系 7.3［鎖複体とホモトピー圏］ により、$\Gamma(X, \mathcal I^\bullet) \to \operatorname{Tot}(C)$ は擬同型である。

列。 $p$ を固定する。$C^{p,\bullet} = \prod_\sigma \Gamma(U_\sigma, \mathcal I^\bullet)$ で、アーベル群の直積は完全だからコホモロジーと交換し、$H^q(C^{p,\bullet}) = \prod_\sigma H^q(\Gamma(U_\sigma, \mathcal I^\bullet)) = \prod_\sigma H^q(U_\sigma, \mathcal F)$ である（補題 4.6［層コホモロジー］ の 1）。仮定により、これは $q \ge 1$ で $0$、$q = 0$ で $C^p(\mathfrak U, \mathcal F)$ である。すなわち

$$0 \to C^p(\mathfrak U, \mathcal F) \to C^{p,0} \xrightarrow{d_v} C^{p,1} \xrightarrow{d_v} \cdots$$

は完全で、系 7.3［鎖複体とホモトピー圏］（列の場合）により $C^\bullet(\mathfrak U, \mathcal F) \to \operatorname{Tot}(C)$ も擬同型である。二つの擬同型から $\check H^p(\mathfrak U, \mathcal F) \cong H^p(\operatorname{Tot}(C)) \cong H^p(\Gamma(X, \mathcal I^\bullet)) = H^p(X, \mathcal F)$ を得る。

自然性。 射 $\varphi\colon \mathcal F \to \mathcal G$ と入射分解への持ち上げ $\mathcal I^\bullet_{\mathcal F} \to \mathcal I^\bullet_{\mathcal G}$ は、二重複体の射と、二つの擬同型と可換な射を誘導する。$H^p(X, \varphi)$ は持ち上げから誘導されるので、同型は $\varphi$ と可換である。

スキームの場合。 $X$ がアフィンスキーム上分離的なら、アフィン開集合の有限個の交わり $U_\sigma$ はアフィンである（命題 3.4［分離射・固有射と付値判定法］ を繰り返し使う）。$U_\sigma$ は Noether 環の $\operatorname{Spec}$ で、$\mathcal F|_{U_\sigma}$ は準連接だから、定理 7.4［層コホモロジー］ により $q \ge 1$ で $H^q(U_\sigma, \mathcal F) = 0$ である。

∎

系 4.2（アフィン開集合の個数による消滅）✓

$X$ をアフィンスキーム上分離的な Noether スキームとし、$r + 1$ 個のアフィン開集合で覆えるとする。準連接層 $\mathcal F$ について、$i > r$ で $H^i(X, \mathcal F) = 0$ である。

証明（系 4.2）

その被覆 $\mathfrak U$ について $p > r$ で $C^p(\mathfrak U, \mathcal F) = 0$（$r + 2$ 個の相異なる添字がとれない）なので、定理 4.1 による。

∎

例 4.3（穴あき平面の $H^1$ は無限次元）

$U = \mathbb A^2_k \setminus \{0\}$ のアフィン開被覆 $\mathfrak U = (D(x), D(y))$ の Čech 複体は $k[x,y]_x \oplus k[x,y]_y \to k[x,y]_{xy}$、$(p, q) \mapsto p - q$ です。定理 4.1 により $H^1(U, \mathcal O)$ はその余核で、$x^ay^b$（$a, b \le -1$）を基底とする無限次元のベクトル空間です。$H^0(U, \mathcal O) = k[x,y]_x \cap k[x,y]_y = k[x, y]$ も無限次元です。準射影的なだけでは、コホモロジーの有限次元性は期待できません。§6 の有限性定理には射影性が要ります。

5. 射影空間のコホモロジー

$A$ を Noether 環、$r \ge 1$、$S = A[x_0, \ldots, x_r]$、$P = \mathbb P^r_A$ とします。$l = (l_0, \ldots, l_r) \in \mathbb Z^{r+1}$ について $x^l = x_0^{l_0}\cdots x_r^{l_r}$、$|l| = l_0 + \cdots + l_r$ と書きます。局所化 $S_{x_0 \cdots x_r}$ は Laurent 単項式 $x^l$ を基底とする自由 $A$ 加群で、$\sigma \subseteq \{0, \ldots, r\}$ について $S_{x_\sigma}$（$x_\sigma = \prod_{i \in \sigma} x_i$）は「$i \notin \sigma$ なら $l_i \ge 0$」を満たす $x^l$ で張られる部分加群です。

先に $r = 1$ で様子を見ておきます。Čech 複体は $S_{x_0} \oplus S_{x_1} \to S_{x_0x_1}$ の 2 項だけで、$n$ 次の部分は単項式 $x_0^a x_1^b$（$a + b = n$）ごとに分かれて計算できます。$a, b \ge 0$ なら左の二つの成分にともに現れる元で、$H^0$ に寄与します。$a < 0 \le b$ または $b < 0 \le a$ なら左の片方の成分と右の項に一つずつ現れ、同型で打ち消し合います。$a, b < 0$ なら右の項にだけ現れ、$H^1$ に寄与します。次の定理の証明は、この分類を一般の $r$ に延ばしたものです。

定理 5.1（射影空間のコホモロジー）✓

$A$ を Noether 環、$r \ge 1$、$P = \mathbb P^r_A$、$n \in \mathbb Z$ とする。

1. $H^0(P, \mathcal O(n))$ は $n$ 次斉次多項式の加群 $S_n$ に等しい。すなわち $x^l$（$l_i \ge 0$、$|l| = n$）を基底とする自由 $A$ 加群で、$n \ge 0$ のとき階数 $\binom{n+r}{r}$、$n < 0$ のとき $0$ である。
2. $0 < i < r$ および $i > r$ について $H^i(P, \mathcal O(n)) = 0$ である。
3. $H^r(P, \mathcal O(n))$ は、$x^l$（すべての $i$ で $l_i < 0$、$|l| = n$）の類を基底とする自由 $A$ 加群である。とくに $n > -r-1$ なら $0$、$n \le -r-1$ なら階数 $\binom{-n-1}{r}$ で、$H^r(P, \mathcal O(-r-1)) \cong A$（生成元は $(x_0 \cdots x_r)^{-1}$ の類）である。
4. $s \in H^0(P, \mathcal O(n))$ を掛ける射 $\mu_s\colon \mathcal O(-n-r-1) \to \mathcal O(-r-1)$ により $$H^0(P, \mathcal O(n)) \times H^r(P, \mathcal O(-n-r-1)) \to H^r(P, \mathcal O(-r-1)) \cong A, \qquad (s, \xi) \mapsto H^r(\mu_s)(\xi)$$ を定めると、これは有限階数の自由 $A$ 加群の完全ペアリングである。すなわち、それぞれが相手の $A$ 双対と同型になる。

証明（定理 5.1）

$P$ は $\operatorname{Spec} A$ 上分離的な Noether スキームで（定理 7.3［分離射・固有射と付値判定法］）、標準被覆 $\mathfrak U = (U_0, \ldots, U_r)$ はアフィン開被覆だから、定理 4.1 により $H^p(P, \mathcal O(n)) \cong \check H^p(\mathfrak U, \mathcal O(n))$ である。$p > r$ では 系 4.2 により $0$ である。

単項式への分解。 §2 により $C^p(\mathfrak U, \mathcal O(n)) = \prod_{|\sigma| = p+1} (S_{x_\sigma})_n$ で、微分は局所化の標準写像の交代和である。標準写像は単項式 $x^l$ を同じ $x^l$ に写すので、Čech 複体は $|l| = n$ の $l$ についての直和

$$C^\bullet(\mathfrak U, \mathcal O(n)) = \bigoplus_{|l| = n} C^\bullet(G^l)$$

に分かれる。ここで $N(l) = \{i : l_i < 0\}$ とし、$G^l$ は $\{0, \ldots, r\}$ 上の係数系で、$\sigma \supseteq N(l)$ なら $G^l_\sigma = A$、そうでなければ $G^l_\sigma = 0$、$\rho_{\sigma\tau}$ は両方が $A$ のとき恒等写像、それ以外は $0$ である。コホモロジーは直和と交換するので、各 $C^\bullet(G^l)$ のコホモロジーを求めればよい。

(a) $N(l) = \{0, \ldots, r\}$ の場合。 $\sigma \supseteq N(l)$ となるのは $\sigma = \{0, \ldots, r\}$ だけなので、$C^\bullet(G^l)$ は $r$ 次に $A$ があるだけの複体で、$H^r = A$、他は $0$ である。

(b) $N(l) \ne \{0, \ldots, r\}$ の場合。 $j \notin N(l)$ をとる。$j \notin \sigma$ のとき、$\sigma \supseteq N(l)$ と $\sigma \cup \{j\} \supseteq N(l)$ は同値なので $\rho_{\sigma, \sigma \cup \{j\}}$ は同型（$A$ の恒等写像か $0 \to 0$）である。補題 3.2 の 3 により $p \ge 1$ で $H^p(C^\bullet(G^l)) = 0$ である。$H^0$ を求める。$N(l) = \varnothing$ なら、すべての $G^l_\sigma = A$ で、$\ker d^0$ は $\alpha_i = \alpha_j$（$i < j$）を満たす族、すなわち定数の族 $(a, \ldots, a)$ の全体で $A$ に同型である。$N(l) = \{i\}$ なら $C^0(G^l) = A$（第 $i$ 成分）で、$r \ge 1$ なので $i' \ne i$ がとれ、$d\alpha$ の $\{i, i'\}$ 成分は $\pm\alpha_i$ だから $\ker d^0 = 0$ である。$|N(l)| \ge 2$ なら $C^0(G^l) = 0$ である。

まとめ。 $H^0$ に寄与するのは $N(l) = \varnothing$、すなわち $l_i \ge 0$ の $l$ で、その類は $(x^l)_i \in \prod_i S_{x_i}$ である。よって $H^0(P, \mathcal O(n)) = S_n$ で、$n$ 次の単項式の個数は $\binom{n+r}{r}$ である（1）。$0 < p < r$ では (a)(b) のどちらでも $0$ である（2）。$H^r$ に寄与するのは (a) の $l$ だけで、$H^r(P, \mathcal O(n))$ は $l_i < 0$、$|l| = n$ の $x^l$ の類を基底とする自由加群である。そのような $l$ は $m_i = -1 - l_i \ge 0$、$|m| = -n-r-1$ と対応するので、$n > -r-1$ なら存在せず、$n \le -r-1$ なら $\binom{-n-r-1+r}{r} = \binom{-n-1}{r}$ 個ある（3）。

ペアリング。 定理 4.1 の同型は層の射について自然なので、$H^r(\mu_s)$ は Čech コチェイン $(S_{x_0 \cdots x_r})_{-n-r-1} \to (S_{x_0 \cdots x_r})_{-r-1}$ の上では $s \in S_n$ を掛ける写像から誘導される。単項式 $s = x^m$（$m_i \ge 0$、$|m| = n$）と基底の元 $\xi = [x^l]$（$l_i < 0$、$|l| = -n-r-1$）について、$x^m x^l = x^{m+l}$ の類は、$m + l = (-1, \ldots, -1)$ なら生成元 $[(x_0 \cdots x_r)^{-1}]$、そうでなければ、$|m + l| = -r-1$ よりある $i$ で $m_i + l_i \ge 0$ となるので (b) により $0$ である。したがって $H^0(P, \mathcal O(n))$ の基底 $\{x^m\}$ と $H^r(P, \mathcal O(-n-r-1))$ の基底 $\{[x^{-1-m}]\}$（$-1-m = (-1-m_0, \ldots, -1-m_r)$）は、このペアリングについて互いに双対な基底である。よってペアリングは完全である（$n < 0$ では両方とも $0$）。

∎

P^1 上の Laurent 単項式 x_0^a x_1^b。a, b ≥ 0 の単項式が H^0 を、a, b < 0 の単項式が H^1 を与え、残りは Čech 複体の中で打ち消される

例 5.2（射影直線上の O(n)）

$r = 1$、$A = k$ とします。定理 5.1 により

$$\dim H^0(\mathbb P^1, \mathcal O(n)) = \begin{cases} n + 1 & (n \ge 0) \\ 0 & (n < 0), \end{cases} \qquad \dim H^1(\mathbb P^1, \mathcal O(n)) = \begin{cases} 0 & (n \ge -1) \\ -n - 1 & (n \le -2) \end{cases}$$

です。$H^1(\mathbb P^1, \mathcal O(-2))$ は $x_0^{-1}x_1^{-1}$ の類で生成される $1$ 次元の空間で、$H^1(\mathbb P^1, \mathcal O(-3))$ の基底は $x_0^{-2}x_1^{-1}$ と $x_0^{-1}x_1^{-2}$ の類です。どの $n$ でも $\dim H^0 - \dim H^1 = n + 1$ となっていることに注意してください。この量が §7 の Euler 標数です。

6. Serre の有限性定理

補題 6.1（閉はめ込みと可逆層のねじり）✓

$\iota\colon X \to P$ をスキームの閉はめ込み、$\mathcal F$ を $\mathcal O_X$ 加群、$\mathcal L$ を $P$ 上の可逆層とする。$\iota_*\mathcal F \otimes \mathcal L \cong \iota_*(\mathcal F \otimes \iota^*\mathcal L)$ である。とくに射影スキーム $\iota\colon X \to \mathbb P^r_A$ について $(\iota_*\mathcal F)(n) \cong \iota_*(\mathcal F(n))$ である。$P$ が Noether で $\mathcal F$ が連接なら $\iota_*\mathcal F$ は連接である。

証明（補題 6.1）

最初の同型は、射影公式（補題 6.4［準連接層・連接層と直線束］）で $f = \iota$、$\mathcal E = \mathcal L$（階数 $1$）とした場合である。$\mathcal L = \mathcal O(n)$ とすれば、$\iota^*\mathcal O(n) \cong \mathcal O_X(1)^{\otimes n}$（$\iota^*$ はテンソル積および可逆層の双対と交換する）から $(\iota_*\mathcal F)(n) \cong \iota_*(\mathcal F(n))$ を得る。連接性は、アフィン開集合 $\operatorname{Spec} B$ の上で $X = \operatorname{Spec} B/I$（定理 5.2［準連接層・連接層と直線束］）、$\mathcal F = \widetilde M$ と書くと、$\iota_*\mathcal F$ は $M$ を $B$ 加群と見たものに伴う層で、$M$ が $B/I$ 上有限生成なら $B$ 上有限生成であることによる。

∎

定理 6.2（Serre の有限性定理と消滅定理）✓

$A$ を Noether 環、$X$ を $A$ 上の射影スキーム、$\mathcal F$ を $X$ 上の連接層とする。

1. すべての $i \ge 0$ について $H^i(X, \mathcal F)$ は有限生成 $A$ 加群である。
2. ある $n_0$ があって、$n \ge n_0$ とすべての $i > 0$ について $H^i(X, \mathcal F(n)) = 0$ である。

証明（定理 6.2）

閉はめ込み $\iota\colon X \to P = \mathbb P^r_A$ をとる。$\iota_*\mathcal F$ は連接で、$H^i(X, \mathcal F(n)) \cong H^i(P, \iota_*(\mathcal F(n))) \cong H^i(P, (\iota_*\mathcal F)(n))$ である（系 8.4［層コホモロジー］、補題 6.1）。よって $X = P$ としてよい。$r = 0$ なら $P = \operatorname{Spec} A$ で、$H^0$ は有限生成、高次は $0$ だから、$r \ge 1$ とする。

$i$ についての降下帰納法で、すべての連接層について 1 と 2 を示す。$i > r$ なら 系 4.2 により $H^i(P, \mathcal F) = 0$ で、どちらも成り立つ。$i \le r$ とし、$i + 1$ ではすべての連接層について成り立つとする。$\mathcal F$ は、ある $q > 0$ と $N$ について $\mathcal E = \mathcal O(-q)^{\oplus N}$ の商である（定理 9.5［準連接層・連接層と直線束］）。核を $\mathcal R$ とすると、$\mathcal R$ は連接で（命題 4.6［準連接層・連接層と直線束］）、$0 \to \mathcal R \to \mathcal E \to \mathcal F \to 0$ は完全である。

(1) 長完全列 $H^i(P, \mathcal E) \to H^i(P, \mathcal F) \to H^{i+1}(P, \mathcal R)$ で、$H^i(P, \mathcal E) = H^i(P, \mathcal O(-q))^{\oplus N}$ は有限階数の自由加群（定理 5.1）、$H^{i+1}(P, \mathcal R)$ は帰納法の仮定により有限生成である。$A$ は Noether なので、有限生成加群の部分加群と、有限生成加群による拡大は有限生成で（定理 3.1［Noether 環と Artin 環］）、$H^i(P, \mathcal F)$ は有限生成である。

(2) $i \ge 1$ とする。可逆層 $\mathcal O(n)$ とのテンソル積は完全なので、$0 \to \mathcal R(n) \to \mathcal E(n) \to \mathcal F(n) \to 0$ は完全で、$H^i(P, \mathcal E(n)) \to H^i(P, \mathcal F(n)) \to H^{i+1}(P, \mathcal R(n))$ が完全である。$\mathcal E(n) = \mathcal O(n - q)^{\oplus N}$ だから、定理 5.1 の 2 と 3 により $n \ge q$ なら $H^i(P, \mathcal E(n)) = 0$ である（$i = r$ のときは $n - q > -r-1$ による）。帰納法の仮定により、ある $n_1$ 以上の $n$ で $H^{i+1}(P, \mathcal R(n)) = 0$ である。よって $n \ge \max(q, n_1)$ で $H^i(P, \mathcal F(n)) = 0$ である。$i$ は $1, \ldots, r$ の有限個なので、共通の $n_0$ がとれる。

∎

仮定を落とすと何が壊れるかは、例 4.3 が示しています。射影的でないスキームでは $H^1(\mathcal O)$ でさえ有限生成になりません。

7. Euler 標数と Hilbert 多項式

以下 $k$ を体とし、$k$ 上の射影スキーム $X$ を考えます。定理 6.2 により連接層のコホモロジーは有限次元で、系 4.2 により有限個の $i$ を除いて $0$ です。

定義 7.1（Euler 標数）↗

体 $k$ 上の射影スキーム $X$ の連接層 $\mathcal F$ について

$$\chi(\mathcal F) = \sum_{i \ge 0} (-1)^i \dim_k H^i(X, \mathcal F)$$

を $\mathcal F$ の Euler 標数という。$h^i(\mathcal F) = \dim_k H^i(X, \mathcal F)$ と書く。

命題 7.2（Euler 標数の加法性）✓

体 $k$ 上の射影スキーム $X$ の連接層の完全列 $0 \to \mathcal F_1 \to \mathcal F_2 \to \cdots \to \mathcal F_m \to 0$ について $\sum_{j} (-1)^j\chi(\mathcal F_j) = 0$ である。とくに短完全列 $0 \to \mathcal F' \to \mathcal F \to \mathcal F'' \to 0$ について $\chi(\mathcal F) = \chi(\mathcal F') + \chi(\mathcal F'')$ である。また閉はめ込み $\iota\colon X \to \mathbb P^r_k$ について $\chi(\mathcal F) = \chi(\iota_*\mathcal F)$ である。

証明（命題 7.2）

まず、有限次元ベクトル空間の完全列 $0 \to V_1 \to V_2 \to \cdots \to V_N \to 0$ について $\sum_j (-1)^j\dim V_j = 0$ を確かめる。$B_j = \operatorname{im}(V_{j-1} \to V_j) = \ker(V_j \to V_{j+1})$ とおくと $\dim V_j = \dim B_j + \dim B_{j+1}$ で（次元は長さで、短完全列について加法的。命題 5.6［Noether 環と Artin 環］、命題 5.5［Noether 環と Artin 環］）、$B_1 = 0 = B_{N+1}$ だから交代和は打ち消し合って $0$ になる。

短完全列の場合、コホモロジーの長完全列は有限次元空間の有限の長さの完全列で、項を 3 つずつまとめると交代和は $\chi(\mathcal F') - \chi(\mathcal F) + \chi(\mathcal F'')$ だから、これが $0$ である。一般の場合は、$\mathcal B_j = \operatorname{im}(\mathcal F_{j-1} \to \mathcal F_j)$（連接。命題 4.6［準連接層・連接層と直線束］）について短完全列 $0 \to \mathcal B_j \to \mathcal F_j \to \mathcal B_{j+1} \to 0$ から $\chi(\mathcal F_j) = \chi(\mathcal B_j) + \chi(\mathcal B_{j+1})$ で、同じ打ち消し合いが起こる。最後の主張は $H^i(X, \mathcal F) \cong H^i(\mathbb P^r_k, \iota_*\mathcal F)$（系 8.4［層コホモロジー］）による。

∎

補題 7.3（射影空間上の O(n) の Euler 標数）✓

体 $k$ と $r \ge 0$、すべての $n \in \mathbb Z$ について $\chi(\mathcal O_{\mathbb P^r_k}(n)) = \binom{n+r}{r}$ である。右辺は $n$ の多項式 $\frac{1}{r!}(n+r)(n+r-1)\cdots(n+1)$ の値とする。

証明（補題 7.3）

$r = 0$ では $\mathbb P^0_k = \operatorname{Spec} k$、$\mathcal O(n) \cong \mathcal O$ で両辺は $1$ である。$r \ge 1$ とする。定理 5.1 により、$n \ge 0$ なら $h^0 = \binom{n+r}{r}$ で他は $0$。$-r \le n \le -1$ ならすべて $0$ で、多項式の因子 $(n+r)\cdots(n+1)$ のどれかが $0$ になる。$n \le -r-1$ なら $h^r = \binom{-n-1}{r}$ で他は $0$ だから $\chi = (-1)^r\binom{-n-1}{r}$ である。多項式の側は $(n+r)\cdots(n+1) = (-1)^r(-n-1)(-n-2)\cdots(-n-r)$ で、これは $(-1)^r\,r!\binom{-n-1}{r}$ に等しい。

∎

Hilbert 多項式の定理の証明には、連接層を次数加群で表すことと、次数加群の素イデアルによるフィルターが要ります。$S = k[x_0, \ldots, x_r]$ 上の有限生成次数加群 $M$ に伴う $\mathbb P^r_k$ 上の層 $\widetilde M$ について、$M \mapsto \widetilde M$ は完全で（$D_+(x_i)$ の上では完全関手 $M \mapsto M_{(x_i)}$ に伴う層。定理 4.3［準連接層・連接層と直線束］）、$\widetilde{S(-a)} = \mathcal O(-a)$、$\widetilde{M(-a)} = \widetilde M(-a)$、斉次イデアル $I$ について $\widetilde{S/I}$ は閉部分スキーム $V_+(I) = \operatorname{Proj} S/I$ の構造層の順像です（定理 8.3［準連接層・連接層と直線束］、定理 9.3［準連接層・連接層と直線束］）。

次の二つの補題は、Hilbert 多項式の定理の準備です。最初の補題は、連接層が次数加群から作られること、次の補題は、次数加群が $S/\mathfrak p$ の形の単純な部品を積み重ねたものに分解されることを述べます。主定理の筋道は、まず $n$ が十分大きいときに Euler 標数が次数加群の Hilbert 多項式に一致することを見て、次に超平面 $x_r = 0$ で切った核と余核が一つ低い次元の射影空間上の層になることを使い、帰納法ですべての $n$ に広げる、というものです。

補題 7.4（連接層の次数加群による表示）✓

$A$ を Noether 環、$S = A[x_0, \ldots, x_r]$、$\mathcal F$ を $P = \mathbb P^r_A$ 上の連接層とする。

1. 有限生成次数 $S$ 加群 $M$ で $\widetilde M \cong \mathcal F$ となるものが存在する。
2. $M$ を $\widetilde M \cong \mathcal F$ となる有限生成次数 $S$ 加群とする。ある $n_0$ があって、$n \ge n_0$ で標準写像 $M_n \to \Gamma(P, \mathcal F(n))$ は同型である。

証明（補題 7.4）

(1) 定理 9.5［準連接層・連接層と直線束］ により全射 $\mathcal E_0 = \bigoplus_{j} \mathcal O(-a_j) \to \mathcal F$（有限直和、$a_j \ge 0$）がある。核は連接なので、同じく全射 $\mathcal E_1 = \bigoplus_j \mathcal O(-b_j) \to \ker$ があり、$\mathcal E_1 \xrightarrow{\varphi} \mathcal E_0 \to \mathcal F \to 0$ は完全である。同じ定理により $b_j$ はいくらでも大きくとれるので、すべての $b_j$ がすべての $a_j$ 以上であるとしてよい。$b \ge a$ のとき $\operatorname{Hom}(\mathcal O(-b), \mathcal O(-a)) = \Gamma(P, \mathcal O(b - a)) = S_{b-a}$ である（$r \ge 1$ なら 定理 5.1 の 1。$r = 0$ なら $P = \operatorname{Spec} A = D_+(x_0)$ で、$\Gamma(P, \mathcal O(m)) = (S_{x_0})_m = Ax_0^m$ は $m \ge 0$ のとき $S_m$ に等しい）。したがって、$\varphi$ は斉次多項式を成分とする行列で与えられ、同じ行列が次数を保つ準同型 $\Phi\colon \bigoplus_j S(-b_j) \to \bigoplus_j S(-a_j)$ を定めて $\widetilde\Phi = \varphi$ である。$M = \operatorname{Coker}\Phi$ は有限生成次数加群で、$M \mapsto \widetilde M$ の完全性から $\widetilde M \cong \operatorname{Coker}\varphi \cong \mathcal F$ である。

(2) $M$ は有限生成で $S$ は Noether 環（命題 2.3［次数環と Hilbert–Samuel 多項式］）だから、次数を保つ完全列 $L_1 \xrightarrow{\Phi} L_0 \to M \to 0$（$L_0 = \bigoplus_j S(-a_j)$、$L_1 = \bigoplus_j S(-b_j)$ は有限直和）がとれる。層にすると完全列 $\widetilde{L_1} \to \widetilde{L_0} \to \mathcal F \to 0$ を得る。$\mathcal R = \ker(\widetilde{L_0} \to \mathcal F)$、$\mathcal R' = \ker(\widetilde{L_1} \to \mathcal R)$ とおく。定理 6.2 の 2 により、ある $n_0$ 以上の $n$ で $H^1(P, \mathcal R(n)) = 0 = H^1(P, \mathcal R'(n))$ である。このとき $\Gamma(\widetilde{L_0}(n)) \to \Gamma(\mathcal F(n))$ と $\Gamma(\widetilde{L_1}(n)) \to \Gamma(\mathcal R(n))$ は全射で、

$$\Gamma(P, \widetilde{L_1}(n)) \to \Gamma(P, \widetilde{L_0}(n)) \to \Gamma(P, \mathcal F(n)) \to 0$$

は完全である。定理 5.1 の 1 により $\Gamma(P, \widetilde{L_i}(n)) = (L_i)_n$ で（$r = 0$ のときは、(1) の証明で見たとおり $n \ge \max_j(a_j, b_j)$ で成り立つので、$n_0$ をそれ以上にとる）、左の写像は $\Phi$ の $n$ 次部分である。$(L_1)_n \to (L_0)_n \to M_n \to 0$ も完全だから、余核どうしが同型になり $M_n \cong \Gamma(P, \mathcal F(n))$ である。

∎

補題 7.5（次数加群の斉次素イデアルによるフィルター）✓

$S$ を Noether な次数環、$M$ を有限生成次数 $S$ 加群とする。斉次部分加群の列 $0 = M_0 \subsetneq M_1 \subsetneq \cdots \subsetneq M_t = M$ で、各 $M_j/M_{j-1}$ が斉次素イデアル $\mathfrak p_j$ と整数 $e_j$（$M$ が負の次数の元をもてば負にもなる）によって $(S/\mathfrak p_j)(-e_j)$ と次数加群として同型になるものが存在する。

証明（補題 7.5）

$M \ne 0$ とする。$M$ は随伴素イデアル $\mathfrak p$ をもち（定理 2.2［準素分解と随伴素イデアル］）、$\mathfrak p$ は斉次で、ある斉次元 $y \in M$（次数を $e$ とする）について $\mathfrak p = \operatorname{Ann}(y)$ である（命題 2.4［次数環と Hilbert–Samuel 多項式］）。$S(-e) \to M$、$1 \mapsto y$ は次数を保ち、核は $\mathfrak p(-e)$ だから、$M_1 = Sy \cong (S/\mathfrak p)(-e)$ である。$M/M_1 \ne 0$ なら同じ議論で $M_2 \supsetneq M_1$ を作り、以下繰り返す。$M$ は Noether 加群なので昇鎖 $M_1 \subsetneq M_2 \subsetneq \cdots$ は有限回で止まり、止まるのは $M/M_t = 0$ のときである。

∎

定理 7.6（層の Hilbert 多項式）✓

$k$ を体、$\iota\colon X \to \mathbb P^r_k$ を $k$ 上の射影スキーム、$\mathcal F \ne 0$ を $X$ 上の連接層、$S = k[x_0, \ldots, x_r]$ とする。

1. 数値多項式（定義 3.1［次数環と Hilbert–Samuel 多項式］）$P_{\mathcal F} \in \mathbb Q[n]$ で、すべての $n \in \mathbb Z$ について $\chi(\mathcal F(n)) = P_{\mathcal F}(n)$ となるものがただ一つある。これを $\mathcal F$ の Hilbert 多項式という。
2. $n$ が十分大きいとき $P_{\mathcal F}(n) = \dim_k \Gamma(X, \mathcal F(n))$ である。$P_{\mathcal F} \ne 0$ で、最高次の係数は正である。
3. $M$ を $\widetilde M \cong \iota_*\mathcal F$ となる有限生成次数 $S$ 加群とすると、$P_{\mathcal F}$ は $M$ の Hilbert 多項式 $H_M$（系 4.5［次数環と Hilbert–Samuel 多項式］）に等しい。
4. $\deg P_{\mathcal F} \le \dim\operatorname{Supp}\mathcal F$ である。$k$ が代数閉体なら等号が成り立つ。

証明（定理 7.6）

$\chi(\mathcal F(n)) = \chi((\iota_*\mathcal F)(n))$（命題 7.2、補題 6.1）で、$\operatorname{Supp}\iota_*\mathcal F$ は $\operatorname{Supp}\mathcal F$ の同相な像だから、$X = P = \mathbb P^r_k$ としてよい。$f_{\mathcal F}(n) = \chi(\mathcal F(n))$ と書く。

手順 1（$n$ が大きいとき）。 定理 6.2 の 2 により、十分大きい $n$ で $f_{\mathcal F}(n) = \dim\Gamma(P, \mathcal F(n))$ である。$M$ を 3 のような加群とすると（補題 7.4 の 1 により存在する）、補題 7.4 の 2 と 系 4.5［次数環と Hilbert–Samuel 多項式］ により、十分大きい $n$ で $f_{\mathcal F}(n) = \dim_k M_n = H_M(n)$ である。

手順 2（すべての $n$）。 $r$ についての帰納法で、すべての連接層 $\mathcal F$ とすべての $n \in \mathbb Z$ について $f_{\mathcal F}(n) = H_M(n)$ を示す。$r = 0$ なら $P = \operatorname{Spec} k$、$\mathcal O(1) \cong \mathcal O$ で $f_{\mathcal F}$ は定数であり、$H_M$ は十分大きい $n$ でその定数に等しい多項式だから定数で、主張が成り立つ。$r \ge 1$ とし、$x_r$ を掛ける射 $\mathcal F(-1) \to \mathcal F$ の核を $\mathcal K$、余核を $\mathcal Q$ とする。$H = V_+(x_r) \cong \mathbb P^{r-1}_k$、$j\colon H \to P$ とすると、$H$ のイデアル層は $x_r\colon \mathcal O(-1) \to \mathcal O$ の像である。$\mathcal Q$ はこのイデアル層で消える。$\mathcal K \subseteq \mathcal F(-1)$ についても、$x_r\colon \mathcal K(-1) \to \mathcal K$ は $x_r\colon \mathcal F(-2) \to \mathcal F(-1)$ の制限で、これは $(\mathcal K \to \mathcal F)$ を $-1$ だけねじったもの、すなわち $0$ である。イデアル層で消える連接層は $H$ 上の連接層の順像なので（アフィン開集合の上で、$B$ 加群で $I$ が零化するものは $B/I$ 加群）、$\mathcal K \cong j_*\mathcal K'$、$\mathcal Q \cong j_*\mathcal Q'$ と書ける。完全列 $0 \to \mathcal K(n) \to \mathcal F(n-1) \to \mathcal F(n) \to \mathcal Q(n) \to 0$ と 命題 7.2、補題 6.1 により

$$f_{\mathcal F}(n) - f_{\mathcal F}(n-1) = f_{\mathcal Q'}(n) - f_{\mathcal K'}(n) \qquad (n \in \mathbb Z)$$

である。帰納法の仮定により右辺は $n$ の多項式 $g(n)$ である。$R(n) = f_{\mathcal F}(n) - H_M(n)$ とおくと、$R(n) - R(n-1) = g(n) - H_M(n) + H_M(n-1)$ は $n$ の多項式で、手順 1 により十分大きい $n$ で $R(n) = 0$ だから、この多項式は十分大きい $n$ で $0$、したがって恒等的に $0$ である。よって $R$ は定数で、十分大きい $n$ で $0$ だからすべての $n$ で $0$ である。これで 1 と 3 が示された（一意性は、整数全体で値が一致する多項式は等しいことによる）。

手順 3（2 の証明）。 前半は手順 1 である。$\mathcal F \ne 0$ なら、十分大きい $n$ で $\mathcal F(n)$ は大域切断で生成され（定理 9.5［準連接層・連接層と直線束］）、$0$ でないから $\Gamma(P, \mathcal F(n)) \ne 0$ である。よって $P_{\mathcal F}$ は十分大きい $n$ で正の値をとり、$0$ でなく、最高次の係数は正である。

手順 4（次数）。 $d = \dim\operatorname{Supp}\mathcal F$ についての帰納法で 4 を示す。$\mathcal F = \widetilde M$ と書き、補題 7.5 のフィルターをとる。層にすると $\mathcal F$ のフィルター $\mathcal F_j = \widetilde{M_j}$ で、$\mathcal F_j/\mathcal F_{j-1} \cong \widetilde{S/\mathfrak p_j}(-e_j)$ となるものを得る。$\mathfrak p_j \supseteq S_+$ ならこの商は $0$、そうでなければ整な閉部分スキーム $Z_j = V_+(\mathfrak p_j)$ の構造層（の順像）$\mathcal O_{Z_j}$ を $-e_j$ だけねじったものである。茎を見れば $\operatorname{Supp}\mathcal F = \bigcup_j Z_j$ で、命題 7.2 により $P_{\mathcal F}(n) = \sum_j P_{\mathcal O_{Z_j}}(n - e_j)$ である。各項の最高次の係数は正（手順 3）だから、和の次数は各項の次数の最大値である。したがって、整な閉部分スキーム $Z = V_+(\mathfrak p)$（$\dim Z = d$）について $\deg P_{\mathcal O_Z} \le d$、$k$ が代数閉体なら $= d$、を示せばよい（$\dim Z_j < d$ の項には帰納法の仮定を使う）。

$x_i \notin \mathfrak p$ となる $i$ をとる。$S/\mathfrak p$ は整域なので、次数加群の完全列 $0 \to (S/\mathfrak p)(-1) \xrightarrow{x_i} S/\mathfrak p \to S/(\mathfrak p + x_iS) \to 0$ があり、層にして

$$0 \to \mathcal O_Z(-1) \to \mathcal O_Z \to \mathcal G \to 0, \qquad \mathcal G = \widetilde{S/(\mathfrak p + x_iS)}, \quad \operatorname{Supp}\mathcal G = Z \cap V_+(x_i)$$

を得る。よって $P_{\mathcal O_Z}(n) - P_{\mathcal O_Z}(n-1) = P_{\mathcal G}(n)$ である。$Z \cap V_+(x_i)$ は既約な $Z$ の真の閉部分集合なので次元は $d - 1$ 以下である（既約閉集合の鎖に $Z$ を付け加えられる）。$\mathcal G = 0$ なら $P_{\mathcal O_Z}$ は定数で次数 $0 \le d$。$\mathcal G \ne 0$ なら帰納法の仮定から $\deg P_{\mathcal G} \le d - 1$ で、次数 $e \ge 1$ の多項式の差分は次数 $e - 1$ だから $\deg P_{\mathcal O_Z} \le d$ である。

$k$ を代数閉体とする。$d = 0$ なら上のとおり $\deg P_{\mathcal O_Z} = 0$（$P_{\mathcal O_Z} \ne 0$ は定数）である。$d \ge 1$ とする。$Z$ は射影多様体である。$Z \cap V_+(x_i) = \varnothing$ とすると、$Z$ はアフィンスキーム $D_+(x_i)$ の閉部分スキームでアフィン、かつ $k$ 上固有（定理 7.3［分離射・固有射と付値判定法］）だから $k$ 上有限で（定理 8.4［分離射・固有射と付値判定法］）、$Z = \operatorname{Spec} B$、$B$ は $k$ 上有限次元の整域、すなわち体となって $\dim Z = 0$ となり矛盾する。よって $Z \cap V_+(x_i) \ne \varnothing$ である。その既約成分 $W$ をとり、$W \not\subseteq V_+(x_j)$ となる $j$ を選ぶ。$Z \cap D_+(x_j) = \operatorname{Spec} B$（$B$ は整域）の中で、$W \cap D_+(x_j) = V(\mathfrak q)$、$\mathfrak q$ は $0$ でない元 $x_i/x_j$ の極小素イデアルである。Krull の単項イデアル定理（定理 4.2［Krull 次元と単項イデアル定理］）により $\operatorname{ht}\mathfrak q \le 1$ で、$\mathfrak q \ne 0$ だから $\operatorname{ht}\mathfrak q = 1$、すなわち $W$ の $Z$ での余次元は $1$ である。定理 2.4［次元・正規性・非特異性と微分の層］ により $\dim W = d - 1$ である。よって $\dim\operatorname{Supp}\mathcal G = d - 1$ で、帰納法の仮定から $\deg P_{\mathcal G} = d - 1 \ge 0$、$P_{\mathcal G} \ne 0$ である。$P_{\mathcal O_Z}$ の差分が次数 $d - 1$ の $0$ でない多項式なので、$\deg P_{\mathcal O_Z} = d$ である。

∎

定義 7.7（射影スキームの次数と算術種数）↗

$k$ を代数閉体、$X \subseteq \mathbb P^r_k$ を次元 $d$ の閉部分スキーム、$P_X = P_{\mathcal O_X}$ をその Hilbert 多項式とする。$P_X$ の最高次の係数の $d!$ 倍を $X$ の次数 $\deg X$ といい、

$$p_a(X) = (-1)^d\bigl(P_X(0) - 1\bigr) = (-1)^d\bigl(\chi(\mathcal O_X) - 1\bigr)$$

を $X$ の算術種数という。

$\chi(\mathcal O_X)$ は $X$ だけで決まり、射影空間への埋め込みによらないので、算術種数は埋め込みによりません。$1$ 次元で $H^0(X, \mathcal O_X) = k$ なら $p_a(X) = \dim H^1(X, \mathcal O_X)$ です。次数は埋め込み（$\mathcal O_X(1)$）によります。

系 7.8（超曲面と完全交叉の Hilbert 多項式）✓

$k$ を代数閉体、$S = k[x_0, \ldots, x_r]$ とする。

1. $0$ でない $d$ 次斉次式 $f$（$d \ge 1$）の定める超曲面 $X = V_+(f) \subseteq \mathbb P^r_k$ について $P_X(n) = \binom{n+r}{r} - \binom{n+r-d}{r}$ で、$\deg X = d$ である。
2. $r = 2$ のとき（次数 $d$ の平面曲線）、$P_X(n) = dn + 1 - \frac{(d-1)(d-2)}{2}$、$p_a(X) = \frac{(d-1)(d-2)}{2}$ である。
3. 斉次式 $f_1, \ldots, f_c$（次数 $d_1, \ldots, d_c \ge 1$）が $S$ の正則列（定義 7.1［Tor・Ext と深さ］）であるとき、完全交叉 $X = V_+(f_1, \ldots, f_c)$ について $$P_X(n) = \sum_{J \subseteq \{1, \ldots, c\}} (-1)^{|J|}\binom{n + r - d_J}{r}, \qquad d_J = \sum_{j \in J} d_j$$ である。

証明（系 7.8）

(3) $c$ についての帰納法による。$c = 0$ は 補題 7.3 である。$X' = V_+(f_1, \ldots, f_{c-1})$、$R' = S/(f_1, \ldots, f_{c-1})$ とおく。$f_c$ は $R'$ の零因子でないので、次数加群の完全列 $0 \to R'(-d_c) \xrightarrow{f_c} R' \to S/(f_1, \ldots, f_c) \to 0$ があり、層にすると $0 \to \mathcal O_{X'}(-d_c) \to \mathcal O_{X'} \to \mathcal O_X \to 0$ である。命題 7.2 により $P_X(n) = P_{X'}(n) - P_{X'}(n - d_c)$ で、帰納法の仮定の式を代入すると、$c \notin J$ の項と $c \in J$ の項が得られる。

(1) (3) の $c = 1$ の場合で、$P_X(n) = \binom{n+r}{r} - \binom{n+r-d}{r}$ である。$\binom{n+r}{r} = \frac{n^r}{r!} + (\text{低次})$ で、$n^r - (n-d)^r = rdn^{r-1} + (\text{低次})$ だから、$P_X$ の最高次の項は $\frac{d}{(r-1)!}n^{r-1}$ である。定理 7.6 の 4 により $\dim X = r - 1$ で、$\deg X = d$ である。

(2) $\binom{n+2}{2} - \binom{n+2-d}{2} = \frac{(n+2)(n+1) - (n+2-d)(n+1-d)}{2}$ で、分子は $n^2 + 3n + 2 - \bigl(n^2 + (3 - 2d)n + (d-1)(d-2)\bigr) = 2dn + 2 - (d-1)(d-2)$ である。よって $P_X(n) = dn + 1 - \frac{(d-1)(d-2)}{2}$、$p_a(X) = -(P_X(0) - 1) = \frac{(d-1)(d-2)}{2}$ である。

∎

例 7.9（ねじれ 3 次曲線の Hilbert 多項式）

ねじれ 3 次曲線 $X \subseteq \mathbb P^3_k$ は、$k[x_0, \ldots, x_3] \to k[s, t]$、$x_i \mapsto s^{3-i}t^i$ の核 $I$ の定める閉部分スキームです。$(S/I)_n$ は $s, t$ の $3$ 次単項式の $n$ 個の積で張られる空間で、$3n$ 次の単項式はすべてそのような積に書けるので $(S/I)_n = k[s,t]_{3n}$、$\dim(S/I)_n = 3n + 1$ です。定理 7.6 の 3 により $P_X(n) = 3n + 1$ で、$\deg X = 3$、$p_a(X) = -(1 - 1) = 0$ です。次数 $3$ の平面曲線なら $P(n) = 3n$、$p_a = 1$（系 7.8）なので、ねじれ 3 次曲線はどの平面にも乗っていないことが Hilbert 多項式から分かります。

例 7.10（$P^1 × P^1$ 上の O(a, b)）

$X = \mathbb P^1_k \times \mathbb P^1_k$、$\mathcal O(a, b) = p_1^*\mathcal O(a) \otimes p_2^*\mathcal O(b)$ とします。$\mathfrak U = (U_0, U_1)$、$\mathfrak V = (V_0, V_1)$ を二つの因子の標準被覆とすると、$\Gamma(U_\sigma \times V_\tau, \mathcal O(a,b)) = \Gamma(U_\sigma, \mathcal O(a)) \otimes_k \Gamma(V_\tau, \mathcal O(b))$ です。二重複体 $C^{p,q} = C^p(\mathfrak U, \mathcal O(a)) \otimes_k C^q(\mathfrak V, \mathcal O(b))$ の全複体が $H^n(X, \mathcal O(a,b))$ を計算します。実際、層にした二重複体 $\prod_{\sigma, \tau} f_*(\mathcal O(a,b)|_{U_\sigma \times V_\tau})$ は、各列が被覆 $(\mathbb P^1 \times V_j)$ についての 補題 3.5 の分解、列の核のなす行が被覆 $(U_i \times \mathbb P^1)$ についての分解なので、全複体は $\mathcal O(a,b)$ の分解で（系 7.3［鎖複体とホモトピー圏］）、各項はアフィン開集合からの準連接層の順像で $\Gamma$ 非輪状です（系 8.4［層コホモロジー］）。

定理 5.1 の証明のとおり、$C^\bullet(\mathfrak U, \mathcal O(a))$ は単項式ごとの小さな複体 $k^2 \to k$（全射）、$k \to k$（同型）、$0 \to k$ の直和で、どれも「コホモロジーだけの複体」と「同型 $k \to k$」の直和です。同型 $k \to k$ と何かのテンソル積は完全なので、全複体のコホモロジーは

$$H^n(X, \mathcal O(a, b)) \cong \bigoplus_{p+q=n} H^p(\mathbb P^1, \mathcal O(a)) \otimes_k H^q(\mathbb P^1, \mathcal O(b))$$

です（Künneth の公式）。たとえば $h^1(\mathcal O(a, b)) = (a+1)(-b-1)$（$a \ge 0$、$b \le -2$）、$h^2(\mathcal O(a,b)) = (a+1)(b+1)$（$a, b \le -2$）で、$\chi(\mathcal O(a,b)) = (a+1)(b+1)$ がすべての $a, b$ で成り立ちます。

8. 演習

演習 8.1易

$\mathbb P^1_k$ 上で、$x_0$ を掛ける射 $\mathcal O(-3) \to \mathcal O(-2)$ が誘導する $H^1(\mathbb P^1, \mathcal O(-3)) \to H^1(\mathbb P^1, \mathcal O(-2))$ を、Čech コサイクルの基底で表せ。核と余核の次元を求め、完全列 $0 \to \mathcal O(-3) \to \mathcal O(-2) \to \kappa(P) \to 0$（$P = V_+(x_0)$）の長完全列と比べよ。

解答

例 5.2 の基底で、$x_0 \cdot [x_0^{-2}x_1^{-1}] = [x_0^{-1}x_1^{-1}]$（生成元）、$x_0 \cdot [x_0^{-1}x_1^{-2}] = [x_1^{-2}]$ です。$x_1^{-2}$ は $x_0$ の指数が $0$ なので $S_{x_1}$ に属し、Čech 複体のコバウンダリだから類は $0$ です。よって写像は全射で、核は $[x_0^{-1}x_1^{-2}]$ で張られる $1$ 次元の空間、余核は $0$ です。長完全列は $0 \to H^0(\mathcal O(-3)) \to H^0(\mathcal O(-2)) \to k \to H^1(\mathcal O(-3)) \to H^1(\mathcal O(-2)) \to 0$ で、$H^0$ は両方 $0$ だから、$k$ が $H^1(\mathcal O(-3)) \to H^1(\mathcal O(-2))$ の核に同型に写り、次元 $2 - 1 = 1$ と合います。

演習 8.2標準

$k$ を体とする。Euler 完全列 $0 \to \Omega \to \mathcal O(-1)^{\oplus 3} \to \mathcal O \to 0$（定理 8.1［次元・正規性・非特異性と微分の層］）を使って、$\mathbb P^2_k$ 上の微分の層 $\Omega$ のコホモロジー $H^i(\mathbb P^2, \Omega)$（$i = 0, 1, 2$）の次元を求めよ。

解答

定理 5.1 により、$\mathcal O(-1)$ のコホモロジーはすべて $0$（$H^0$ は $-1 < 0$、$H^1$ は常に $0$、$H^2$ は $-1 > -3$）、$\mathcal O$ は $H^0 = k$ で他は $0$ です。長完全列は

$$0 \to H^0(\Omega) \to 0 \to k \to H^1(\Omega) \to 0 \to 0 \to H^2(\Omega) \to 0$$

となるので、$h^0(\Omega) = 0$、$h^1(\Omega) = 1$、$h^2(\Omega) = 0$ です。$\chi(\Omega) = -1 = 3\chi(\mathcal O(-1)) - \chi(\mathcal O)$ で、加法性（命題 7.2）とも合います。$H^1(\mathbb P^2, \Omega) \cong k$ の生成元は、連結射による $1 \in H^0(\mathcal O)$ の像です。

演習 8.3標準

$k$ を代数閉体とする。(a) $\mathbb P^3_k$ の交わらない 2 直線の和集合 $X$（被約な閉部分スキーム）の Hilbert 多項式と算術種数を求めよ。(b) $\mathbb P^3_k$ の中の、次数 $d_1, d_2$ の完全交叉曲線の算術種数が $\frac{1}{2}d_1d_2(d_1 + d_2 - 4) + 1$ であることを示せ。

解答

(a) 2 直線 $L_1, L_2$ のイデアル層 $\mathcal J_1, \mathcal J_2$ は、交わらないので各点でどちらかが $\mathcal O$ に等しく、$\mathcal J_1 + \mathcal J_2 = \mathcal O$ です。中国剰余定理を茎ごとに使うと $\mathcal O_X = \mathcal O/(\mathcal J_1 \cap \mathcal J_2) \cong \mathcal O_{L_1} \oplus \mathcal O_{L_2}$ です。直線 $V_+(x_2, x_3)$ の斉次座標環は $k[x_0, x_1]$ なので $P_{L}(n) = n + 1$（座標変換で他の直線も同じ）、よって $P_X(n) = 2n + 2$、$\deg X = 2$、$p_a(X) = -(2 - 1) = -1$ です。算術種数は連結でない曲線では負になりえます。

(b) 系 7.8 の 3 で $r = 3$、$c = 2$、$n = 0$ とすると $\chi(\mathcal O_X) = 1 - \binom{3 - d_1}{3} - \binom{3 - d_2}{3} + \binom{3 - d_1 - d_2}{3}$ です。$\binom{3 - a}{3} = -\frac{1}{6}g(a)$、$g(a) = (a-1)(a-2)(a-3) = a^3 - 6a^2 + 11a - 6$ と書くと、$g(d_1) + g(d_2) - g(d_1 + d_2) = -3d_1d_2(d_1 + d_2) + 12d_1d_2 - 6$ なので、$\chi(\mathcal O_X) = 1 + \frac{1}{6}\bigl(-3d_1d_2(d_1+d_2) + 12d_1d_2 - 6\bigr) = -\frac{1}{2}d_1d_2(d_1 + d_2 - 4)$ です。$p_a(X) = 1 - \chi(\mathcal O_X)$ から主張が従います。二つの 2 次曲面の完全交叉では $p_a = 1$、Hilbert 多項式は $4n$ です。

演習 8.4標準

$A = k[t]$ とし、$X = \mathbb P^1_A$ を考える。$H^1(X, \mathcal O(-2))$ を求め、$A$ 加群としては有限生成だが $k$ ベクトル空間としては無限次元であることを確かめよ。これは 定理 6.2 とどう整合するか。

解答

定理 5.1 の 3（$r = 1$、$n = -2 = -r-1$）により $H^1(X, \mathcal O(-2)) \cong A$ で、$(x_0x_1)^{-1}$ の類が生成する階数 $1$ の自由 $A$ 加群です。$k$ 上では $t^m(x_0x_1)^{-1}$（$m \ge 0$）が基底で、無限次元です。$X$ は $A$ 上射影的なので有限性定理は「有限生成 $A$ 加群」を保証し、それは成り立っています。$X = \mathbb P^1_k \times \mathbb A^1_k$ は $k$ 上射影的ではない（固有でない）ので、$k$ 上の有限次元性は定理の主張に含まれません。有限性定理は底の環ごとの相対的な主張です。

参考文献

• R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics 52, Springer, 1977 — Chapter III §4、§5。
• J.-P. Serre, “Faisceaux algébriques cohérents”, Annals of Mathematics (2) 61 (1955), 197–278 — 射影空間のコホモロジーの計算と有限性定理の原論文。
• R. Godement, Topologie algébrique et théorie des faisceaux, Hermann, 1958 — Čech コホモロジーと Leray の定理。
• A. Grothendieck, J. Dieudonné, “Éléments de géométrie algébrique III: Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Première partie”, Publications Mathématiques de l’IHÉS 11 (1961) — 射影射の有限性定理の一般形。
• 上野健爾『代数幾何』岩波書店、2005 — 第 6 章。