スペクトル系列：完全対・フィルター付き複体・二重複体

0. この記事の要点

大きな計算を一度にやり切れないとき、まず粗い見積もりを出し、次に誤差を一段ずつ直して、答えに近づけていくことがあります。スペクトル系列は、複体のコホモロジー（複体がどれだけ「閉じているのに閉じ込められていないか」を測る量）を、この「粗い見積もりと補正の列」で求める仕組みです。この記事を読み終えると、補正の列の組み立て方と、それがいつ本当の答えに行き着くかが分かり、二重複体や 5 項完全列に使えるようになります。

• スペクトル系列は、二重添字の対象 $E_r^{p,q}$ と微分 $d_r$ の列で、$E_{r+1}$ が $E_r$ のコホモロジーになっているものです。複体のコホモロジーを「近似の列」で計算する道具です。
• 構成の核心は完全対です。完全対 $(D, E; i, j, k)$ から $d = jk$ のコホモロジーをとると再び完全対（導来対）が得られます。これを繰り返したものがスペクトル系列です。証明は元による図式追跡だけで済みます。
• フィルター付き複体 $F^pC$ の短完全列の長完全列は完全対をなし、$E_1^{p,q} = H^{p+q}(F^pC/F^{p+1}C)$ から始まるスペクトル系列を与えます。フィルターが有界なら、これは $H^{p+q}(C)$ の誘導フィルターの次数付きに収束します。
• 二重複体の全複体（二重の並びを一本の複体にまとめたもの）には列と行の二つのフィルターがあり、$E_2$ が「縦のコホモロジーの横のコホモロジー」と「横の縦」である二つのスペクトル系列が、同じ $H(\operatorname{Tot})$ に収束します。
• 応用として、比較定理（ある $E_r$ で同型なら収束先も同型）、第一象限のエッジ写像と 5 項完全列、2 行・2 列に集中する場合の長完全列（Wang・Gysin 型）を示します。

この記事で使う事前知識

• コホモロジー: 複体 $A \to B \to C$ で、$B$ の「$C$ へ送ると $0$ になる元」を「$A$ から来る元」で割った商。→ コホモロジー
• 完全列: 各所で「入ってくる射の像」と「出ていく射の核」が一致する列。→ 完全列
• 二重複体と全複体: 縦横二方向の微分をもつ対象と、それを符号つきで一本の複体にまとめたもの。→ 二重複体
• 核・余核・像: 射が潰すものと、射の行き先で届かない部分と、射が届く部分。→ 核・余核・像
• アーベル圏: 核・余核・像が加群の圏と同様にふるまう圏。→ アーベル圏
• 短完全列と長完全列・連結射: 複体の短完全列から、コホモロジーの長い完全列が得られること。→ 鎖複体とホモトピー圏

1. 動機

複体 $C$ のコホモロジーを直接計算するのが難しくても、$C$ を部分複体の列 $C = F^0C \supseteq F^1C \supseteq \cdots$ に分け、各段の商 $F^pC/F^{p+1}C$ のコホモロジーが分かっていることはよくあります。二重複体の全複体を列ごとに分けるのが典型例で、各列のコホモロジーは一つの複体のコホモロジーです。スペクトル系列は、各段の情報から $H(C)$ を組み立てるときの「つなぎ目の誤差」を、$d_1, d_2, \ldots$ と段階的に補正していく仕組みです。

この章の結果は、導来関手と δ 関手の章の後に続く理論の土台になります。Grothendieck のスペクトル系列（合成関手の導来関手）、代数幾何の Leray スペクトル系列、群のコホモロジーの Lyndon–Hochschild–Serre スペクトル系列、代数的位相幾何の Serre スペクトル系列は、どれもある二重複体またはフィルター付き複体のスペクトル系列です。

スペクトル系列は J. Leray が第二次世界大戦中の捕虜収容所で層の理論とともに考案し、J.-L. Koszul が代数的に整理しました。W. S. Massey は 1952 年に完全対の概念を導入し、構成を長完全列の繰り返しに帰着させました。H. Cartan と S. Eilenberg の教科書（1956）以後、ホモロジー代数の標準的な道具になっています。

構成にはいくつかの流儀があります。この章では、部分対象の計算を最小にするため、完全対の導来を繰り返す方法（Massey の方法）をとります。導来対が完全対になることの証明だけが図式追跡で、あとは長完全列の操作です。図式追跡は加法圏とアーベル圏の章の「元」の規則（定理 6.3［加法圏とアーベル圏］）で行い、アーベル圏を加群の圏に埋め込む定理は使いません。

2. スペクトル系列と収束

以下 $\mathcal A$ はアーベル圏（定義 4.1［加法圏とアーベル圏］）です。複体・コホモロジーは鎖複体とホモトピー圏の章（定義 2.1［鎖複体とホモトピー圏］、定義 2.3［鎖複体とホモトピー圏］）の意味です。射の列 $A \xrightarrow{a} B \xrightarrow{b} C$ で $ba = 0$ のとき、$B$ でのコホモロジーとは、$b$ の核 $\iota\colon Z \to B$ と $a = \iota \bar a$ で定まる $\bar a\colon A \to Z$ について $\operatorname{Coker} \bar a$ のことをいいます（3 項の複体のコホモロジーです）。

定義 2.1（スペクトル系列）↗

整数 $r_0 \ge 0$ を固定する。$\mathcal A$ の（コホモロジー型の）スペクトル系列とは、

1. $r \ge r_0$ と $p, q \in \mathbb Z$ についての対象 $E_r^{p,q}$、
2. 射 $d_r\colon E_r^{p,q} \to E_r^{p+r, q-r+1}$ で $d_r d_r = 0$ を満たすもの（微分）、
3. 同型 $\alpha_r\colon H(E_r)^{p,q} \to E_{r+1}^{p,q}$。ここで $H(E_r)^{p,q}$ は列 $E_r^{p-r, q+r-1} \xrightarrow{d_r} E_r^{p,q} \xrightarrow{d_r} E_r^{p+r, q-r+1}$ の $E_r^{p,q}$ でのコホモロジーである。

の組をいう。$E_r$ を第 $r$ 項（$E_r$ 項）という。二つのスペクトル系列の射 $f$ とは、$d_r$ と可換な射の族 $f_r\colon E_r^{p,q} \to E_r'^{p,q}$ で、$f_r$ が誘導するコホモロジーの射と $f_{r+1}$ が $\alpha_r$ を通して一致するものをいう。

スペクトル系列が有界であるとは、各 $n$ について $p + q = n$ かつ $E_{r_0}^{p,q} \ne 0$ となる $(p,q)$ が有限個であることをいう。$r \ge r_1$ で $d_r = 0$ となるとき、スペクトル系列は $E_{r_1}$ で退化するという。

$E_{r+1}$ は $E_r$ の部分商なので、$E_r^{p,q} = 0$ なら $E_{r+1}^{p,q} = 0$ です。有界なスペクトル系列では、$(p,q)$ を固定すると、$r$ が十分大きければ $d_r$ の始域 $E_r^{p-r,q+r-1}$ と終域 $E_r^{p+r,q-r+1}$ はともに $0$ になります（全次数 $p+q \mp 1$ の非零の項は有限個なので）。次の補題により、そのような $r$ では $E_r^{p,q} \cong E_{r+1}^{p,q}$ です。

補題 2.2（微分が消えるときの E 項）✓

スペクトル系列の $(p,q)$ の位置で、入ってくる微分を $d_{\mathrm{in}}\colon E_r^{p-r,q+r-1} \to E_r^{p,q}$、出ていく微分を $d_{\mathrm{out}}\colon E_r^{p,q} \to E_r^{p+r,q-r+1}$ とする。

1. $d_{\mathrm{out}} = 0$ なら $E_{r+1}^{p,q} \cong \operatorname{Coker} d_{\mathrm{in}}$ で、$E_r^{p,q} \to E_{r+1}^{p,q}$ は epi である。
2. $d_{\mathrm{in}} = 0$ なら $E_{r+1}^{p,q} \cong \ker d_{\mathrm{out}}$ で、$E_{r+1}^{p,q} \to E_r^{p,q}$ は mono である。
3. 両方が $0$ なら $E_{r+1}^{p,q} \cong E_r^{p,q}$ である。

証明（補題 2.2）

$d_{\mathrm{out}} = 0$ なら、その核は $1\colon E_r^{p,q} \to E_r^{p,q}$ なので $Z = E_r^{p,q}$、$\bar a = d_{\mathrm{in}}$ で、$H(E_r)^{p,q} = \operatorname{Coker} d_{\mathrm{in}}$ です。余核への射は epi です。$d_{\mathrm{in}} = 0$ なら $\bar a = 0$ で、零射の余核は $1_Z$ なので $H(E_r)^{p,q} = Z = \ker d_{\mathrm{out}}$ で、核は mono です（補題 2.2［加法圏とアーベル圏］ の (1)）。3 は 1 と 2 から従います。いずれも $\alpha_r$ で $E_{r+1}^{p,q}$ に移します。

∎

そこで有界なスペクトル系列について、$r$ が十分大きいとき（$(p,q)$ ごとに定まる $r(p,q)$ 以上のとき）の $E_r^{p,q}$ を、補題 2.2 の 3 の同型で同一視して $E_\infty^{p,q}$ と書きます。

定義 2.3（収束）↗

有界なスペクトル系列 $E$ と、対象の族 $(H^n)_{n \in \mathbb Z}$ を考える。各 $H^n$ に部分対象の減少列 $\cdots \supseteq F^pH^n \supseteq F^{p+1}H^n \supseteq \cdots$ が与えられ、各 $n$ について整数 $a \le b$ があって $F^aH^n = H^n$、$F^bH^n = 0$ であり、同型

$$\beta\colon E_\infty^{p,q} \xrightarrow{\ \sim\ } F^pH^{p+q} / F^{p+1}H^{p+q}$$

が与えられているとき、$E$ は $H$ に収束するといい、$E_{r_0}^{p,q} \Rightarrow H^{p+q}$ と書く。

収束先 $H^n$ はスペクトル系列からは「次数付き」しか分かりません。$H^n$ 自身を決めるには、$F^{p+1}H^n \to F^pH^n \to E_\infty^{p,n-p}$ という拡大の情報が別に要ります（例 4.7）。

スペクトル系列を読むときは、$E_r$ を平面の格子点 $(p, q)$ に置いた「頁」と思い、$d_r$ を右へ $r$、下へ $r - 1$ 進む矢印として描くのが普通です。$E_{r+1}$ の頁は、$E_r$ の頁の各点で「入ってくる矢印の像で割り、出ていく矢印の核をとった」ものです。全次数 $n = p + q$ が一定の点は傾き $-1$ の直線（反対角線）に並び、$d_r$ は全次数を $1$ 上げます。収束とは、十分先の頁の反対角線 $p + q = n$ に並ぶ対象が、$H^n$ を順に割っていった商の列になっていることです。

E_2 の頁。d_2 は右へ 2、下へ 1 進む。第一象限では、点 (0,1) から出る d_2 と点 (2,0) に入る d_2 が 5 項完全列の中央の射になる。

次の動画は、頁を $E_1$ から $E_\infty$ まで送る様子です。各マスの数は、小さな具体的フィルター付き複体（有限次元ベクトル空間）から線形代数で実際に計算した $\dim E_r^{p,q}$ で、赤い矢印が $d_1, d_2, d_3$ です。矢印の両端のマスの数が 1 ずつ減って次の頁に進み、最後に残った 2 マスが $H^0$ と $H^3$ にあたります。

E_1 から E_∞ への頁送り。d_1, d_2, d_3 が順に両端の項を消し、残った項が反対角線ごとに H^n の次元を与える。

3. 完全対と導来対

スペクトル系列の $d_r$ は $p$ を $r$ だけ動かします。この添字の動きを管理するために、$j$ の次数を $r$ に応じてずらした完全対を考えます。以下では二重添字を $(p, n)$（$n$ は全次数）で書き、最後に $q = n - p$ とおきます。

次の定義と補題のねらいは、「$E$ のコホモロジーをとる操作」を、もとの形（長完全列）を保ったまま何度でも繰り返せるようにすることです。$D$ は「まだ補正していない情報」、$E$ は「各段の見積もり」と考えると、$i, j, k$ はその間を行き来する射です。補題は、$E$ のコホモロジーをとって $E'$ にしたとき、$D$ を $i$ の像 $D'$ に取り替えれば、再び同じ形の完全な列が得られることを述べます。証明の前半は射を作る部分（記号が多いのはここ）、後半が完全性の確認です。

定義 3.1（完全対）↗

$r \ge 1$ とする。第 $r$ 種の完全対とは、対象の族 $D^{p,n}$、$E^{p,n}$（$p, n \in \mathbb Z$）と射

$$i\colon D^{p+1,n} \to D^{p,n}, \qquad j\colon D^{p,n} \to E^{p+r-1,n}, \qquad k\colon E^{p,n} \to D^{p+1,n+1}$$

の組で、各 $(p, n)$ について列

$$D^{p+1,n} \xrightarrow{i} D^{p,n} \xrightarrow{j} E^{p+r-1,n} \xrightarrow{k} D^{p+r,n+1} \xrightarrow{i} D^{p+r-1,n+1}$$

が（途中の 3 か所で）完全であるものをいう。$d = jk\colon E^{p,n} \to E^{p+r,n+1}$ とおく。完全対の射とは、$i, j, k$ と可換な射の族 $(\varphi_D, \varphi_E)$ をいう。

$d d = j (kj) k = 0$ なので、$E$ は $d$ について「複体」です。$H(E)^{p,n}$ を $E^{p-r,n-1} \xrightarrow{d} E^{p,n} \xrightarrow{d} E^{p+r,n+1}$ の $E^{p,n}$ でのコホモロジーとします。

補題 3.2（導来対）✓

$(D, E; i, j, k)$ を第 $r$ 種の完全対とする。

1. $D'^{p,n}$ を $i\colon D^{p+1,n} \to D^{p,n}$ の像とし、$i = me$（$e$ は epi、$m\colon D'^{p,n} \to D^{p,n}$ は mono）と像分解する。$E' = H(E)$ とおく。このとき射 $i'\colon D'^{p+1,n} \to D'^{p,n}$、$j'\colon D'^{p,n} \to E'^{p+r,n}$、$k'\colon E'^{p,n} \to D'^{p+1,n+1}$ で

$$m i' = i m, \qquad j' e = q \bar j, \qquad m k' q = k \iota$$

を満たすものがただ一つずつある。ここで $\iota\colon Z \to E$ は $d$ の核、$q\colon Z \to E'$ は余核の射、$\bar j\colon D \to Z$ は $\iota \bar j = j$ で定まる射である。$(D', E'; i', j', k')$ は第 $r+1$ 種の完全対で、これを導来対という。 2. 完全対の射は導来対の射を誘導する。

証明（補題 3.2）

添字は定義の規約から自動的に決まるので省略します。

射の構成。 $i' = e m$ とおくと $m i' = m e m = i m$ で、$m$ は mono なので一意です。$d j = j k j = 0$ なので $\bar j$ が定まります。$\iota \bar j k = jk = d$ で、$d = \iota \bar d$（$\bar d\colon E \to Z$）なので $\bar j k = \bar d$、したがって $q \bar j k = q \bar d = 0$ です（$q$ は $\bar d$ の余核）。$m$ は mono なので $\ker e = \ker i$ で、完全性から $\ker i$ は $\operatorname{im} k$ と同じ部分対象です。$k$ を像分解すると $q \bar j k = 0$ から $q \bar j$ は $\operatorname{im} k$、すなわち $\ker e$ の上で $0$ です。$e$ は epi なので $\ker e$ の余核で（命題 4.3［加法圏とアーベル圏］ の 1）、$j' e = q \bar j$ となる $j'$ がただ一つあります。次に $j k \iota = d \iota = 0$ なので、$k \iota$ は $\ker j$、すなわち完全性から $\operatorname{im} i = m$ を経由し、$k \iota = m \kappa$ と書けます。$m \kappa \bar d = k \iota \bar d = k d = k j k = 0$ と $m$ の mono 性から $\kappa \bar d = 0$ で、$\kappa = k' q$ となる $k'$ がただ一つあります。

合成が $0$。 $m e i = i i = i m e = m i' e$ から $e i = i' e$ です。$j' i' e = j' e i = q \bar j i$ で、$\iota \bar j i = j i = 0$ から $\bar j i = 0$ なので、$e$ が epi であることから $j' i' = 0$ です。$m k' j' e = m k' q \bar j = k \iota \bar j = k j = 0$ から $k' j' = 0$ です。$m i' k' q = i m k' q = i k \iota = 0$ から $i' k' = 0$ です。

完全性。 元（定義 6.1［加法圏とアーベル圏］）による図式追跡を行います。規則は 定理 6.3［加法圏とアーベル圏］ の番号で引き、$\equiv$ の推移律と合成との両立は 補題 6.2［加法圏とアーベル圏］ によります。どの位置でも、合成が $0$ であることは示したので、規則 (5) の持ち上げの条件を確かめます。

$D'$ で（$i'$ と $j'$）。 $y \in_{\mathrm m} D'$ が $j' y \equiv 0$ を満たすとします。$e$ は epi なので規則 (3) により $e a \equiv y$ となる $a \in_{\mathrm m} D$ があり、$q \bar j a = j' e a \equiv j' y \equiv 0$、規則 (1) により $q \bar j a = 0$ です。$E \xrightarrow{\bar d} Z \xrightarrow{q} E' \to 0$ は完全なので（補題 5.2［加法圏とアーベル圏］ の (2)）、規則 (5) により $\bar d b \equiv \bar j a$ となる $b \in_{\mathrm m} E$ があり、$\iota$ を施して $j(kb) \equiv j a$ です。規則 (6) を $g = j$、$x = a$、$y = kb$ に使うと、$jz = 0$ を満たす $z = as - kbt$（$s, t$ は epi）が得られます。$m e k = ik = 0$ と $m$ の mono 性から $ek = 0$、したがって $e(kb) = 0$ なので、規則 (6) の $h$ に $e$ をとって $ez \equiv ea$ です。$jz = 0$ と $D \xrightarrow{i} D \xrightarrow{j} E$ の完全性から、規則 (5) により $ic \equiv z$ となる $c \in_{\mathrm m} D$ があります。すると $i'(ec) = eic \equiv ez \equiv ea \equiv y$ です。

$E'$ で（$j'$ と $k'$）。 $w \in_{\mathrm m} E'$ が $k' w \equiv 0$ を満たすとします。規則 (3) により $qz \equiv w$ となる $z \in_{\mathrm m} Z$ があり、$\kappa z = k' q z \equiv 0$ なので $\kappa z = 0$、$k \iota z = m \kappa z = 0$ です。$D \xrightarrow{j} E \xrightarrow{k} D$ の完全性と規則 (5) により $ja \equiv \iota z$ となる $a$ があり、$\iota \bar j a \equiv \iota z$ と規則 (2) から $\bar j a \equiv z$ です。よって $j'(ea) = q \bar j a \equiv qz \equiv w$ です。

$D'$ で（$k'$ と $i'$）。 $y \in_{\mathrm m} D'$ が $i' y \equiv 0$ を満たすとします。$i m y = m i' y = 0$ なので、$E \xrightarrow{k} D \xrightarrow{i} D$ の完全性と規則 (5) により $kb \equiv my$ となる $b \in_{\mathrm m} E$ があります。$jm e = ji = 0$ から $jm = 0$ で、$db = jkb \equiv jmy = 0$ なので $db = 0$ です。規則 (7) により $b = \iota b'$ と書け、$m k'(q b') = m \kappa b' = k \iota b' = kb \equiv my$ と規則 (2) から $k'(qb') \equiv y$ です。

$j'$ は $D'^{p,n}$ を $E'^{p+r,n}$ に写すので、導来対は第 $r+1$ 種です。

2. $(\varphi_D, \varphi_E)$ を完全対の射とします。$\varphi_E$ は $d$ と可換なので、核・余核の普遍性から $E'$ の射を誘導します。$c$ を $i$（行き先の完全対の）の余核とすると $c \varphi_D m e = c \varphi_D i = c\, i \varphi_D = 0$ で、$e$ は epi なので $c \varphi_D m = 0$、よって $\varphi_D m$ は $\ker c = m_1$（行き先の像）を経由し、$\varphi_{D'}$ が定まります。$i', j', k'$ との可換性は、上の定義式に mono を左から、epi を右から合成して比べれば、$\varphi_D, \varphi_E$ と $i, j, k$ の可換性に帰着します。

∎

導来対の要点は、$E' = H(E, jk)$ が再び同じ形の完全列に収まることです。そのため導来の操作は何度でも繰り返せ、$r$ 回目の導来対の $E$ が $E_{r+1}$ 項になります。各段で使うのは「完全列」と「像」だけなので、加群の元を使わずに一般のアーベル圏で議論できます。

4. フィルター付き複体のスペクトル系列

定義 4.1（フィルター付き複体）↗

$\mathcal A$ の複体 $C$ の（減少）フィルターとは、部分複体の族 $u^p\colon F^pC \to C$（$p \in \mathbb Z$。$u^p$ は各次数で mono な鎖写像）で、各 $p$ について $u^{p+1} = u^p \iota^p$ となる鎖写像 $\iota^p\colon F^{p+1}C \to F^pC$ があるものをいう。$\operatorname{gr}^pC = \operatorname{Coker} \iota^p$ とおく。フィルターが有界であるとは、各 $n$ について整数 $a(n) \le b(n)$ があり、$p \le a(n)$ で $u^p$ の次数 $n$ の成分が同型、$p \ge b(n)$ で $F^pC^n = 0$ となることをいう。フィルター付き複体の射とは、鎖写像 $g\colon C \to C'$ で、各 $p$ について $g u^p = u'^p g^p$ となる鎖写像 $g^p\colon F^pC \to F^pC'$ があるものをいう。$H^n(C)$ には $F^pH^n(C) = \operatorname{im}(H^n(u^p))$ でフィルターが入る。

$u^p$ は mono なので $\iota^p$ と $g^p$ は一意で、$\iota^p$ も mono です。複体の圏では核・余核も mono・epi も次数ごとに判定できるので（命題 2.2［鎖複体とホモトピー圏］）、$0 \to F^{p+1}C \xrightarrow{\iota^p} F^pC \to \operatorname{gr}^pC \to 0$ は複体の短完全列です。$H^n(u^{p+1}) = H^n(u^p) H^n(\iota^p)$ なので $F^{p+1}H^n \subseteq F^pH^n$ です。

定理 4.2（フィルター付き複体のスペクトル系列）✓

$C$ をフィルター付き複体とする。

$$D^{p,n} = H^n(F^pC), \qquad E^{p,n} = H^n(\operatorname{gr}^pC)$$

とし、$i = H^n(\iota^p)$、$j$ を射影 $F^pC \to \operatorname{gr}^pC$ が誘導する射、$k$ を短完全列 $0 \to F^{p+1}C \to F^pC \to \operatorname{gr}^pC \to 0$ の連結射とすると、$(D, E; i, j, k)$ は第 $1$ 種の完全対である。その $(r-1)$ 回の導来対の $E$ を $E_r$ とし、$E_r^{p,q} = E_r^{p,p+q}$（右辺は $(p,n)$ 添字）、$d_r = j_r k_r$ とおくと、$(E_r, d_r)_{r \ge 1}$ はスペクトル系列で、

$$E_1^{p,q} = H^{p+q}(\operatorname{gr}^pC)$$

である。このスペクトル系列はフィルター付き複体の射について関手的である。

証明（定理 4.2）

各 $p$ の短完全列の長完全列（定理 3.1［鎖複体とホモトピー圏］）

$$H^n(F^{p+1}C) \xrightarrow{i} H^n(F^pC) \xrightarrow{j} H^n(\operatorname{gr}^pC) \xrightarrow{k} H^{n+1}(F^{p+1}C) \xrightarrow{i} H^{n+1}(F^pC)$$

は、第 $1$ 種の完全対の定義の列そのものです。補題 3.2 の 1 を繰り返すと、$(r-1)$ 回目の導来対は第 $r$ 種の完全対で、その $d_r = j_r k_r$ は $E_r^{p,n} \to E_r^{p+r,n+1}$、すなわち $E_r^{p,q} \to E_r^{p+r,q-r+1}$ で、$d_r d_r = 0$ です。導来対の定義から $E_{r+1} = H(E_r)$ なので、$\alpha_r$ は恒等射にとれます。フィルター付き複体の射 $g$ は鎖写像 $g^p$ と $\operatorname{gr}^p$ の射を誘導し、短完全列の射を与えるので、連結射の自然性（命題 3.3［鎖複体とホモトピー圏］）から完全対の射になり、補題 3.2 の 2 によりすべての $E_r$ の射を誘導します。

∎

$E_1$ 項は各段の商 $\operatorname{gr}^pC$ のコホモロジーで、$d_1$ は「$\operatorname{gr}^p$ のサイクルを $F^p$ に持ち上げて微分し、$F^{p+1}$ に入った結果を $\operatorname{gr}^{p+1}$ で見る」写像です。$d_1$ で $0$ になったサイクルは、持ち上げの微分が $F^{p+2}$ に入るように取り直せることがあり、そのとき微分の $\operatorname{gr}^{p+2}$ 成分が $d_2$ を与えます。一般に $d_r$ は「$r$ 段先まで微分を押しやったときの最初の障害」で、$E_\infty$ に残るのは、どこまで押しやっても障害の生じないサイクルを、境界で割ったものです。

小さな例で $d_1$ を実際に計算したものが、このあとの拡大の例（例 4.7）です。$d_1$ は隣の列への連結射、$d_2$ 以降は、$d_1$ で消えたものについて、さらに先の段まで持ち上げて見る補正です。

$(r-1)$ 回の導来で $D$ は $i$ の像に順に取り替わります。収束の証明ではこの $D$ を具体的に知る必要があるので、補題にしておきます。

補題 4.3（導来対の D は i の合成の像）✓

$(D, E; i, j, k)$ を第 $1$ 種の完全対とし、その $(r-1)$ 回目の導来対を $(D_r, E_r; i_r, j_r, k_r)$ と書く（$D_1 = D$）。$\mu_r\colon D_r^{p,n} \to D^{p,n}$ を、各回の導来で現れる mono $m$（補題 3.2 の 1）の合成とする（$\mu_1 = 1$）。このとき $\mu_r$ は $i^{r-1}\colon D^{p+r-1,n} \to D^{p,n}$ の像であり、すなわち $i^{r-1} = \mu_r \varepsilon_r$ となる epi $\varepsilon_r$ があり、さらに $\mu_r i_r = i \mu_r$ である。

証明（補題 4.3）

$r$ についての帰納法です。$r = 1$ では $i^0 = 1 = \mu_1 \cdot 1$ で、$i_1 = i$ です。$r$ で成り立つとします。$D_{r+1}^{p,n}$ は $i_r\colon D_r^{p+1,n} \to D_r^{p,n}$ の像で、補題 3.2 の 1 の記号で $i_r = me$、$\mu_{r+1} = \mu_r m$ です。帰納法の仮定から

$$\mu_{r+1} (e \varepsilon_r) = \mu_r i_r \varepsilon_r = i \mu_r \varepsilon_r = i \cdot i^{r-1} = i^r$$

で（$\varepsilon_r\colon D^{p+r,n} \to D_r^{p+1,n}$）、$\varepsilon_{r+1} = e \varepsilon_r$ は epi の合成なので epi、$\mu_{r+1}$ は mono の合成なので mono です。定理 4.4［加法圏とアーベル圏］ の 3 により $\mu_{r+1}$ は $i^r$ の像です。また 補題 3.2 の 1 の $m i_{r+1} = i_r m$ から $\mu_{r+1} i_{r+1} = \mu_r i_r m = i \mu_r m = i \mu_{r+1}$ です。

∎

定理 4.2 の完全対では、$i^{r-1}$ は包含 $F^{p+r-1}C \to F^pC$ が誘導する $H^n$ の射です。

定理 4.4（有界なフィルターの収束）✓

$C$ を有界なフィルター付き複体とする。定理 4.2 のスペクトル系列は有界で、$H^n(C)$ に収束する：

$$E_1^{p,q} = H^{p+q}(\operatorname{gr}^pC) \Rightarrow H^{p+q}(C).$$

より詳しく、各 $(p, n)$ について $r$ が十分大きければ、$E_r^{p,n}$ と $F^pH^n(C)/F^{p+1}H^n(C)$ の間に、フィルター付き複体の射について自然な同型がある。また $F^{a}H^n(C) = H^n(C)$（$a \le \min(a(n-1), a(n), a(n+1))$）、$F^{b}H^n(C) = 0$（$b \ge b(n)$）である。

証明（定理 4.4）

有界性。 $p < a(n)$ なら $F^{p+1}C^n \to F^pC^n$ は（$u$ を合成するとどちらも $C^n$ への同型なので）同型で $\operatorname{gr}^pC^n = 0$、$p \ge b(n)$ なら $F^pC^n = 0$ で $\operatorname{gr}^pC^n = 0$ です。$H^n(\operatorname{gr}^pC)$ は $\operatorname{gr}^pC^n$ の部分商なので、$E_1^{p,n-p} \ne 0$ となる $p$ は $a(n) \le p < b(n)$ に限られます。

準備。 鎖写像 $h\colon X \to Y$ の次数 $n-1, n, n+1$ の成分が同型なら $H^n(h)$ は同型です。実際 $Z^n$ は $d^n\colon X^n \to X^{n+1}$ の核、$H^n$ は $X^{n-1} \to Z^n$ の余核で、これらは同型な図式の核・余核なので同型です。$m \le a' = \min(a(n-1), a(n), a(n+1))$ なら $u^m$ は次数 $n-1, n, n+1$ で同型なので、$H^n(u^m)\colon D^{m,n} \to H^n(C)$ は同型です。また $m \ge b(n)$ なら $F^mC^n = 0$ なので $D^{m,n} = H^n(F^mC) = 0$ です。とくに $F^{a'}H^n = H^n$、$F^{b(n)}H^n = 0$ です。

$E_r$ の計算。 $(p, n)$ を固定し、$r$ を $p - r + 2 \le a'$ かつ $p + r \ge b(n+1)$ となるようにとります。第 $r$ 種の完全対の完全列のうち $E_r^{p,n}$ のまわりは

$$D_r^{p-r+2,n} \xrightarrow{i_r} D_r^{p-r+1,n} \xrightarrow{j_r} E_r^{p,n} \xrightarrow{k_r} D_r^{p+1,n+1}$$

です。補題 4.3 により $D_r$ を $\mu_r$ で $D$ の部分対象とみなすと、$D_r^{p+1,n+1}$ は $D^{p+r,n+1} = 0$ からの射の像なので $0$ で、完全性から $j_r$ は epi、その核は $i_r$ の像なので、$E_r^{p,n} \cong \operatorname{Coker} i_r$ です（補題 5.2［加法圏とアーベル圏］ の (2)）。一方 $D_r^{p-r+1,n}$ は $D^{p,n} \to D^{p-r+1,n}$ の像で、同型 $H^n(u^{p-r+1})\colon D^{p-r+1,n} \to H^n(C)$ で移すと、$H^n(u^{p-r+1}) H^n(\text{包含}) = H^n(u^p)$ の像、すなわち $F^pH^n$ になります。同様に $D_r^{p-r+2,n}$ は $F^{p+1}H^n$ に移り、$i_r$ は（$\mu_r i_r = i \mu_r$ と $H^n(u^{p-r+1}) i = H^n(u^{p-r+2})$ から）包含 $F^{p+1}H^n \subseteq F^pH^n$ に移ります。よって $E_r^{p,n} \cong F^pH^n/F^{p+1}H^n$ です。この同型は $i, j, k$ と $H^n(u)$ から作ったので、フィルター付き複体の射について自然です。

∎

命題 4.5（スペクトル系列の比較定理）✓

$g\colon C \to C'$ を有界なフィルター付き複体の射とし、定理 4.2 の $E_r(g)$ がある $r$ ですべての $(p,q)$ について同型であるとする。このとき $H^n(g)\colon H^n(C) \to H^n(C')$ はすべての $n$ で同型である。

証明（命題 4.5）

$E_{r+1}(g)$ は同型 $E_r(g)$ が誘導するコホモロジーの射なので同型で、帰納的にそれ以後のすべての $E_s(g)$ が同型です。定理 4.4 の自然な同型により、$n$ と $p$ を固定するごとに、$H^n(g)$ が誘導する $F^pH^n(C)/F^{p+1}H^n(C) \to F^pH^n(C')/F^{p+1}H^n(C')$ は同型です（$C$ と $C'$ の両方で十分大きい $r$ をとる）。$a, b$ を $C$ と $C'$ に共通にとれば、$F^bH^n = 0$ と $F^aH^n = H^n$ が両方で成り立ちます。$H^n(g)$ は $F^pH^n(C)$ を $F^pH^n(C')$ に写すので（$H^n(g) H^n(u^p) = H^n(u'^p) H^n(g^p)$）、$p$ について下向きに、$F^pH^n(C) \to F^pH^n(C')$ が同型であることを示します。$p = b$ では両辺 $0$ です。短完全列 $0 \to F^{p+1}H^n \to F^pH^n \to F^pH^n/F^{p+1}H^n \to 0$ の射で、両端が同型なら真ん中も同型です（系 7.2［加法圏とアーベル圏］ の 3 を、両端に $0$ を補った 5 項の列に使う）。$p = a$ で $H^n(g)$ が同型であることがわかります。

∎

この比較定理は、二つの複体のコホモロジーが一致することを、各段の商だけを見て示す道具です。次の節の二重複体では、列ごと（あるいは行ごと）に擬同型であれば全複体の写像が擬同型になる、という形で使えます。収束の定理が教えるのは次数付きだけなので、比較定理のように「射が与えられていて、それが同型かどうか」を問う場面でこそスペクトル系列は最も確実に働きます。

注意 4.6（$E_r$ を $E_1$ の部分商として書く）

完全対の言葉を使わずに書くと、$E_r$ は $E_1$ の部分商として次のように表せます。$Z_r = k^{-1}(\operatorname{im} i^{r-1})$（$k$ で写すと $D^{p+r,n+1}$ から来る類になる $E_1$ の元）、$B_r = j(\ker i^{r-1})$（$i^{r-1}$ で $0$ になる $D$ の元の像）とおくと、$B_1 \subseteq B_2 \subseteq \cdots \subseteq Z_2 \subseteq Z_1$ で、$E_r \cong Z_r/B_r$ となり、$d_r$ は「$z \in Z_r$ について $kz = i^{r-1}y$ となる $y$ をとり、$jy$ の類をとる」写像です。フィルター付き複体の言葉では、$Z_r$ は「$F^p$ の元で、微分が $F^{p+r}$ に入るもの」、$B_r$ は「$F^{p-r+1}$ の元の微分で $F^p$ に入るもの」に当たり、これが多くの教科書でのスペクトル系列の明示的な定義です（Weibel の §5.4、Cartan–Eilenberg の第 XV 章）。この章では、部分対象の演算を避けるために導来対を繰り返す定義をとり、この記述は以後の証明に使いません。

例 4.7（拡大の問題が残る例）

$\mathsf{Ab}$ で、次数 $0, 1$ に $\mathbb Z \xrightarrow{4} \mathbb Z$ を置いた複体 $C$ を考えます。$H^0(C) = 0$、$H^1(C) = \mathbb Z/4$ です。$F^0C = C$、$F^1C$ を次数 $1$ だけに $2\mathbb Z$ を置いた部分複体（次数 $0$ の成分が $0$ なので、微分との両立は自動的で部分複体）、$F^2C = 0$ とします。$\operatorname{gr}^0C$ は $\mathbb Z \xrightarrow{0} \mathbb Z/2$、$\operatorname{gr}^1C$ は次数 $1$ の $2\mathbb Z \cong \mathbb Z$ なので

$$E_1^{0,0} = \mathbb Z, \qquad E_1^{0,1} = \mathbb Z/2, \qquad E_1^{1,0} = \mathbb Z$$

です。$d_1\colon E_1^{0,0} \to E_1^{1,0}$ は連結射で、$1$ を $C^0$ に持ち上げて微分すると $4 = 2 \cdot 2 \in 2\mathbb Z$ なので、$2\mathbb Z \cong \mathbb Z$ の同一視で $2$ 倍写像です。よって $E_2^{0,0} = 0$、$E_2^{1,0} = \mathbb Z/2$、$E_2^{0,1} = \mathbb Z/2$ で、以後の微分は $0$ なので $E_\infty = E_2$ です。$H^1(C) = \mathbb Z/4$ の次数付きは $F^1H^1 = 2\mathbb Z/4\mathbb Z \cong \mathbb Z/2$ と $H^1/F^1H^1 \cong \mathbb Z/2$ で、確かに $E_\infty$ と一致します。しかし $E_\infty$ だけからは、$H^1$ が $\mathbb Z/4$ なのか $\mathbb Z/2 \oplus \mathbb Z/2$ なのかは分かりません。

5. 二重複体の二つのスペクトル系列

二重複体と全複体は 定義 7.1［鎖複体とホモトピー圏］ の意味で、全複体の微分は $C^{p,q}$ の上で $d_h + (-1)^p d_v$ です。$C$ の第 $p$ 列 $(C^{p,\bullet}, d_v)$ の $q$ 次コホモロジーを $H^q_v(C^{p,\bullet})$ と書きます。$d_h$ は $d_v$ と可換なので、射 $H^q_v(d_h)\colon H^q_v(C^{p,\bullet}) \to H^q_v(C^{p+1,\bullet})$ を誘導し、$d_h d_h = 0$ からこれは $p$ についての複体になります。その $p$ 次コホモロジーを $H^p_h H^q_v(C)$ と書きます。行と列を入れ替えた $H^q_h(C^{\bullet,p})$、$H^p_v H^q_h(C)$ も同様です。

系 5.1（二重複体の二つのスペクトル系列）✓

$C$ を、各 $n$ について $p + q = n$ かつ $C^{p,q} \ne 0$ となる $(p,q)$ が有限個である二重複体とする。

1. 列フィルター ${}^{\mathrm I}F^p\operatorname{Tot}(C)^n = \bigoplus_{i \ge p} C^{i, n-i}$ は有界なフィルターで、そのスペクトル系列は

$${}^{\mathrm I}E_1^{p,q} = H^q_v(C^{p,\bullet}), \qquad d_1 = H^q_v(d_h), \qquad {}^{\mathrm I}E_2^{p,q} = H^p_h H^q_v(C) \Rightarrow H^{p+q}(\operatorname{Tot}(C))$$

を満たす。 2. 行フィルター ${}^{\mathrm{II}}F^p\operatorname{Tot}(C)^n = \bigoplus_{j \ge p} C^{n-j, j}$ は有界なフィルターで、そのスペクトル系列は

$${}^{\mathrm{II}}E_1^{p,q} = H^q_h(C^{\bullet,p}), \qquad {}^{\mathrm{II}}E_2^{p,q} = H^p_v H^q_h(C) \Rightarrow H^{p+q}(\operatorname{Tot}(C))$$

を満たす。

証明（系 5.1）

1. 全複体の微分は列の番号を減らさないので、${}^{\mathrm I}F^p$ は部分複体で、各次数で双積の直和因子の包含です。次数 $n$ の非零の項 $C^{i,n-i}$ は有限個なので、$a(n)$ をその $i$ の最小値、$b(n)$ を最大値 $+1$ とすればフィルターは有界です（$C^{i,n-i} = 0$ の $i$ ばかりなら任意の $a(n) = b(n)$）。命題 2.2［鎖複体とホモトピー圏］ により商 $\operatorname{gr}^p$ は各次数で残りの因子 $C^{p,n-p}$ で、微分は全複体の微分の $C^{p,n-p} \to C^{p,n-p+1}$ 成分 $(-1)^p d_v$ です。微分の符号を変えても核と像は変わらないので、$E_1^{p,n-p} = H^n(\operatorname{gr}^p) = H^{n-p}_v(C^{p,\bullet})$ です。

$d_1 = jk$ を計算します。$k$ は短完全列 $0 \to {}^{\mathrm I}F^{p+1} \to {}^{\mathrm I}F^p \to \operatorname{gr}^p \to 0$ の連結射で、各次数で $\operatorname{gr}^p = C^{p,\bullet}$ を直和因子として ${}^{\mathrm I}F^p$ に戻す包含 $s$ は射影の切断です。$c \in C^{p,q}$ について $d s c - s\, d_{\operatorname{gr}} c = (d_h c + (-1)^p d_v c) - (-1)^p d_v c = d_h c$ なので、補題 3.2［鎖複体とホモトピー圏］ の 2 により、$k = H^n(\tau)$、$\tau$ は $d_h\colon C^{p,\bullet} \to C^{p+1,\bullet} \subseteq {}^{\mathrm I}F^{p+1}$ が与える鎖写像 $\operatorname{gr}^p \to {}^{\mathrm I}F^{p+1}[1]$ です。$j$ は射影 ${}^{\mathrm I}F^{p+1} \to \operatorname{gr}^{p+1}$ が誘導するので、$d_1 = jk$ は $d_h\colon \operatorname{gr}^p \to \operatorname{gr}^{p+1}[1]$ が誘導する射、すなわち $H^q_v(d_h)$ です。$E_2 = H(E_1, d_1)$ なので ${}^{\mathrm I}E_2^{p,q} = H^p_h H^q_v(C)$ です。収束は 定理 4.4 です。

2. 転置 $C'^{p,q} = C^{q,p}$、$d'_h = d_v$、$d'_v = d_h$ は二重複体で、$c \in C^{p,q}$ を $(-1)^{pq} c$ に送る射 $\psi\colon \operatorname{Tot}(C) \to \operatorname{Tot}(C')$ は複体の同型です。実際 $\psi\, d c = (-1)^{(p+1)q} d_h c + (-1)^{p + p(q+1)} d_v c = (-1)^{pq}\bigl((-1)^q d_h c + d_v c\bigr)$ で、$C'$ の全複体の微分は位置 $(q, p)$ の $c$ に $d'_h c + (-1)^q d'_v c = d_v c + (-1)^q d_h c$ を与えるので、$d' \psi c$ と一致します。$\psi$ は直和因子を保つので、$C$ の行フィルターを $C'$ の列フィルターに写すフィルター付き複体の同型です。したがって 2 のスペクトル系列は $C'$ に 1 を使ったものと同型で（定理 4.2 の関手性）、$C'$ の列は $C$ の行、$C'$ の横の微分は $d_v$ です。

∎

二つのスペクトル系列は同じ $H(\operatorname{Tot})$ に収束するので、片方が早い段階で退化して $H(\operatorname{Tot})$ を決め、もう片方の $E_2$ 項がその情報を別の形で表す、という使い方が典型的です。次の章の Grothendieck のスペクトル系列は、まさにこの形で、列のスペクトル系列が 1 行に退化して合成関手の導来関手を与え、行のスペクトル系列の $E_2$ 項が導来関手の合成になります。

例 5.2（非輪状集成補題をスペクトル系列で見る）

系 5.1 の仮定を満たす二重複体 $C$ のすべての行が非輪状なら、${}^{\mathrm{II}}E_1 = 0$ なので $E_\infty = 0$ で、$H^n(\operatorname{Tot}(C))$ の有限なフィルターの次数付きがすべて $0$、したがって $H^n(\operatorname{Tot}(C)) = 0$ です。これは鎖複体とホモトピー圏の章の 非輪状集成補題（定理 7.2）［鎖複体とホモトピー圏］ の別証明で、第一象限でなくても反対角線が有限なら成り立つことを示しています。列が非輪状なら ${}^{\mathrm I}E_1 = 0$ から同じ結論です。

例 5.3（Tor の平衡性をスペクトル系列で見る）

可換環 $A$ 上の加群 $M, N$ の射影分解 $P \to M$、$Q \to N$ をとり、$C^{p,q} = P_{-p} \otimes Q_{-q}$（$p, q \le 0$）とする二重複体を考えます（反対角線は有限です）。列 $P_{-p} \otimes Q_\bullet$ は、$P_{-p}$ が平坦なので（命題 4.4［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ の 1）、$Q \to N \to 0$ の完全性を保ち、縦のコホモロジーは $q = 0$ の $P_{-p} \otimes N$ だけです。よって ${}^{\mathrm I}E_2$ は 1 行 $q = 0$ に集中し、その項は $H_{-p}(P \otimes N) = \operatorname{Tor}_{-p}(M, N)$ です。同様に（今度は各 $Q_j$ の平坦性で）${}^{\mathrm{II}}E_2$ も 1 行 $q = 0$ に集中し、その項は $H_{-p}(M \otimes Q)$ です。次節の 命題 6.2 の 1 により、どちらも $H(\operatorname{Tot})$ に等しく、$\operatorname{Tor}_n(M, N) \cong H_n(M \otimes Q)$ が得られます。これは可換環論の 定理 4.6［Tor・Ext と深さ］ と同じ結論で、自然性は導来関手の章の 系 7.2［導来関手と δ 関手］ で別に示しました。

6. 低次の項：エッジ写像と長完全列

この節では $E$ を $r_0 \le 2$ から始まる有界なスペクトル系列とし、$H$ に収束するとします（定義 2.3）。証明では、短完全列をつなぐ操作（補題 2.1［導来関手と δ 関手］ の 2）と、射 $d = me$ の像分解から得られる二つの短完全列 $0 \to \ker d \to E \xrightarrow{e} \operatorname{im} d \to 0$、$0 \to \operatorname{im} d \xrightarrow{m} E' \to \operatorname{Coker} d \to 0$ を使います（$e$ は $\ker d$ の余核、$m$ は $\operatorname{Coker} d$ の核です。定理 4.4［加法圏とアーベル圏］ の 2 と像の定義、補題 5.2［加法圏とアーベル圏］ の (2)）。

命題 6.1（エッジ写像と 5 項完全列）✓

$p < 0$ または $q < 0$ なら $E_2^{p,q} = 0$（第一象限）とする。

1. $F^0H^n = H^n$、$F^{n+1}H^n = 0$ である。
2. epi $E_2^{n,0} \to E_\infty^{n,0}$ と mono $E_\infty^{n,0} \cong F^nH^n \to H^n$ の合成 $E_2^{n,0} \to H^n$、および epi $H^n \to H^n/F^1H^n \cong E_\infty^{0,n}$ と mono $E_\infty^{0,n} \to E_2^{0,n}$ の合成 $H^n \to E_2^{0,n}$ がある（エッジ写像）。
3. 次の列は完全である：

$$0 \to E_2^{1,0} \to H^1 \to E_2^{0,1} \xrightarrow{d_2} E_2^{2,0} \to H^2.$$

ここで $E_2^{1,0} \to H^1$、$E_2^{2,0} \to H^2$、$H^1 \to E_2^{0,1}$ はエッジ写像である。

証明（命題 6.1）

第一象限の外では $E_2 = 0$ なので、$r \ge 2$ のすべての $E_r$ も第一象限の外で $0$ です。

1. $p < 0$ または $p > n$ なら $E_\infty^{p,n-p} = 0$ なので $F^pH^n = F^{p+1}H^n$ です。$F^aH^n = H^n$、$F^bH^n = 0$ となる $a \le b$ から、$F^0H^n = H^n$、$F^{n+1}H^n = 0$ です。

2. $(n, 0)$ から出る $d_r$（$r \ge 2$）は $q = 1 - r < 0$ の位置に行くので $0$ です。補題 2.2 の 1 により $E_r^{n,0} \to E_{r+1}^{n,0}$ は epi で、合成 $E_2^{n,0} \to E_\infty^{n,0}$ も epi です。1 により $E_\infty^{n,0} \cong F^nH^n/F^{n+1}H^n = F^nH^n$ です。$(0, n)$ に入る $d_r$ は $p = -r < 0$ の位置から来るので $0$ で、補題 2.2 の 2 により $E_\infty^{0,n} \to E_2^{0,n}$ は mono、1 により $E_\infty^{0,n} \cong H^n/F^1H^n$ です。

3. $(1, 0)$ に入る・出る $d_r$（$r \ge 2$）はどちらも第一象限の外とつながるので、$E_\infty^{1,0} = E_2^{1,0}$ です。$(0, 1)$ では入る $d_r$ は $0$、出る $d_r$ は $r \ge 3$ で $0$ なので、$E_\infty^{0,1} = E_3^{0,1} = \ker(d_2\colon E_2^{0,1} \to E_2^{2,0})$ です。$(2, 0)$ では出る $d_r$ は $0$、入る $d_r$ は $r \ge 3$ で $0$ なので、$E_\infty^{2,0} = E_3^{2,0} = \operatorname{Coker} d_2$ です（補題 2.2）。1 により $F^2H^1 = 0$ なので、$F^1H^1 \cong E_\infty^{1,0}$ と短完全列 $0 \to E_2^{1,0} \to H^1 \to \ker d_2 \to 0$ が得られ、また $F^3H^2 = 0$ から $\operatorname{Coker} d_2 \cong F^2H^2 \subseteq H^2$ です。短完全列

$$0 \to E_2^{1,0} \to H^1 \to \ker d_2 \to 0, \quad 0 \to \ker d_2 \to E_2^{0,1} \to \operatorname{im} d_2 \to 0, \quad 0 \to \operatorname{im} d_2 \to E_2^{2,0} \to \operatorname{Coker} d_2 \to 0, \quad 0 \to \operatorname{Coker} d_2 \to H^2 \to H^2/F^2H^2 \to 0$$

を、両側に $0$ を補って 補題 2.1［導来関手と δ 関手］ の 2 でつなぐと、$0 \to E_2^{1,0} \to H^1 \to E_2^{0,1} \to E_2^{2,0} \to H^2 \to H^2/F^2H^2 \to 0$ が完全になります。$E_2^{0,1} \to \operatorname{im} d_2 \to E_2^{2,0}$ の合成は $d_2$ です。

∎

5 項完全列は、Grothendieck のスペクトル系列に適用すると「インフレーション–制限完全列」のような低次の完全列を一度に与えます。エッジ写像という名前は、$E_2$ の頁の下端の行 $q = 0$ と左端の列 $p = 0$（第一象限の「縁」）にある項と収束先を結ぶ写像であることから来ています。第一象限では、下端の項には微分が出ていかないので $E_\infty$ はその商になり、左端の項には微分が入ってこないので $E_\infty$ はその部分対象になります。この非対称性が、エッジ写像の向き（$E_2^{n,0} \to H^n$ と $H^n \to E_2^{0,n}$）を決めています。

応用では、$E_2$ のある範囲が $0$ であることを知っているだけで、収束先についての具体的な結論が得られることがよくあります。たとえば $E_2^{p,q} = 0$（$0 < q < s$）なら、$n < s$ でエッジ写像 $E_2^{n,0} \to H^n$ は同型で、$n = s$ では mono です。証明は 命題 6.2 の 2 と同じく、全次数 $n$ の反対角線上で $d_r$ がどこから来てどこへ行くかを数えるだけです（演習 7.1 も参照してください）。

命題 6.2（1 行・2 行・2 列に集中する場合）✓

1. $q \ne 0$ なら $E_2^{p,q} = 0$ のとき、$E_2^{n,0} \cong H^n$ である。$p \ne 0$ なら $E_2^{p,q} = 0$ のとき、$E_2^{0,n} \cong H^n$ である。
2. $s \ge 1$ とし、$q \notin \{0, s\}$ なら $E_2^{p,q} = 0$ とする（2 行）。このとき長完全列

$$\cdots \to E_2^{n-s-1, s} \xrightarrow{d_{s+1}} E_2^{n,0} \to H^n \to E_2^{n-s,s} \xrightarrow{d_{s+1}} E_2^{n+1,0} \to H^{n+1} \to \cdots$$

がある。 3. $s \ge 2$ とし、$p \notin \{0, s\}$ なら $E_2^{p,q} = 0$ とする（2 列）。このとき長完全列

$$\cdots \to E_2^{0,n-1} \xrightarrow{d_s} E_2^{s,n-s} \to H^n \to E_2^{0,n} \xrightarrow{d_s} E_2^{s,n-s+1} \to H^{n+1} \to \cdots$$

がある。$s = 1$ なら、短完全列 $0 \to E_2^{1,n-1} \to H^n \to E_2^{0,n} \to 0$ がある。

証明（命題 6.2）

$d_r$（$r \ge 2$）は $(p,q)$ を $(p+r, q-r+1)$ に動かすので、行の番号を $r - 1 \ge 1$ だけ下げ、列の番号を $r \ge 2$ だけ上げます。

1. 1 行なら $d_r$（$r \ge 2$）はすべて $0$ で、補題 2.2 の 3 により $E_\infty = E_2$ です。全次数 $n$ の非零の $E_\infty$ は $E_\infty^{n,0}$ だけなので、命題 6.1 の 1 と同じ議論で $F^{n+1}H^n = 0$、$F^nH^n = H^n$ となり、$H^n \cong E_\infty^{n,0} = E_2^{n,0}$ です。1 列も同様です。

2. $2 \le r \le s$ の $d_r$ は、行 $s$ から行 $s - r + 1 \in [1, s-1]$ へ、行 $0$ から負の行へ向かうので $0$ で、行 $0$ と行 $s$ に入る $d_r$ も $0$ です。よって $E_{s+1} = E_2$ です。$r \ge s + 2$ の $d_r$ はどの非零の項も非零の項に結ばないので $E_\infty = E_{s+2}$ で、補題 2.2 により

$$E_\infty^{n,0} \cong \operatorname{Coker}\bigl(d_{s+1}\colon E_2^{n-s-1,s} \to E_2^{n,0}\bigr), \qquad E_\infty^{n-s,s} \cong \ker\bigl(d_{s+1}\colon E_2^{n-s,s} \to E_2^{n+1,0}\bigr)$$

です。全次数 $n$ の非零の $E_\infty$ はこの二つだけなので、フィルターは $F^{n+1}H^n = 0$、$F^nH^n \cong E_\infty^{n,0}$、$F^{n-s}H^n = H^n$ で、短完全列 $0 \to E_\infty^{n,0} \to H^n \to E_\infty^{n-s,s} \to 0$ があります。これと、$d_{s+1}$ の像分解による二つの短完全列を $n$ について交互に並べ、補題 2.1［導来関手と δ 関手］ の 2 でつなぐと主張の長完全列を得ます（$\ker \to E_2^{n-s,s} \to \operatorname{im} \to E_2^{n+1,0}$ の合成が $d_{s+1}$）。

3. $2 \le r$ の $d_r$ のうち非零になりうるのは列 $0$ から列 $s$ への $d_s$ だけです。$E_s = E_2$、$E_\infty = E_{s+1}$ で、$E_\infty^{0,n} = \ker d_s$、$E_\infty^{s,n-s} = \operatorname{Coker}(d_s\colon E_2^{0,n-1} \to E_2^{s,n-s})$ です。フィルターは $F^{s+1}H^n = 0$、$F^sH^n \cong E_\infty^{s,n-s}$、$F^0H^n = H^n$ で、短完全列 $0 \to E_\infty^{s,n-s} \to H^n \to E_\infty^{0,n} \to 0$ と像分解の短完全列を 2 と同様につなぎます。$s = 1$ では $d_r$ はすべて $0$ で $E_\infty = E_2$ なので、短完全列そのものです。

∎

例 6.3（2 列の二重複体と写像錐）

鎖写像 $f\colon X \to Y$ から、$C^{0,q} = X^q$、$C^{1,q} = Y^q$、$d_h = f$、$d_v = d$ とする 2 列の二重複体を作ります（$f$ が鎖写像なので $d_h d_v = d_v d_h$）。全複体は $\operatorname{Tot}^n = X^n \oplus Y^{n-1}$ で、微分は $(x, y) \mapsto (dx, fx - dy)$ です。列フィルターのスペクトル系列は ${}^{\mathrm I}E_1^{0,q} = H^q(X)$、${}^{\mathrm I}E_1^{1,q} = H^q(Y)$、$d_1 = H^q(f)$ なので、$E_2^{0,q} = \ker H^q(f)$、$E_2^{1,q} = \operatorname{Coker} H^q(f)$ の隣り合う 2 列です。命題 6.2 の 3（$s = 1$）により

$$0 \to \operatorname{Coker} H^{n-1}(f) \to H^n(\operatorname{Tot}) \to \ker H^n(f) \to 0$$

が完全です。$\operatorname{Tot}$ は写像錐 $\operatorname{Cone}(f)$ を $1$ だけずらしたものと（符号を除いて）同じ複体で、この短完全列は写像錐の長完全列（定理 5.3［鎖複体とホモトピー圏］）を短完全列に切り分けたものです。代数的位相幾何の Wang 完全列や Gysin 完全列は、Serre スペクトル系列が 2 列または 2 行に集中する場合の 命題 6.2 です。

7. 演習

演習 7.1易

第一象限のスペクトル系列 $E_2^{p,q} \Rightarrow H^{p+q}$ について、$H^1 = 0$ なら $E_2^{1,0} = 0$ で、$d_2\colon E_2^{0,1} \to E_2^{2,0}$ が mono であることを示してください。

解答

命題 6.1 の 3 の完全列 $0 \to E_2^{1,0} \to H^1 \to E_2^{0,1} \xrightarrow{d_2} E_2^{2,0}$ で $H^1 = 0$ とすると、$E_2^{1,0} \to 0$ が mono なので $E_2^{1,0} = 0$、$E_2^{0,1}$ での完全性から $\ker d_2 = \operatorname{im}(0) = 0$ です。

演習 7.2標準

例 6.3 の二重複体について、$f$ が擬同型であることと $\operatorname{Tot}$ が非輪状であることが同値であることを、スペクトル系列を使って示してください。

解答

$f$ が擬同型なら $E_1$ の $d_1 = H^q(f)$ がすべて同型なので $E_2 = 0$、したがって $E_\infty = 0$ で $H(\operatorname{Tot}) = 0$ です。逆に $H(\operatorname{Tot}) = 0$ なら、例の短完全列から $\operatorname{Coker} H^{n-1}(f) = 0$ と $\ker H^n(f) = 0$ がすべての $n$ で成り立ち、$H^n(f)$ は mono かつ epi、したがって同型です（命題 4.3［加法圏とアーベル圏］ の 2）。これは 系 5.4［鎖複体とホモトピー圏］ の別証明です。

演習 7.3標準

体 $k$ 上の第一象限の二重複体 $C$ で、各 $C^{p,q}$ が有限次元、$C^{p,q} = 0$（$p + q > N$）であるとします。系 5.1 の二つのスペクトル系列を比べて、$\sum_{p,q} (-1)^{p+q} \dim H^p_h H^q_v(C) = \sum_{p,q} (-1)^{p+q} \dim H^p_v H^q_h(C)$ を示してください。

解答

有限次元の有界な複体 $(V^\bullet, d)$ では、$\dim V^n = \dim \ker d^n + \dim \operatorname{im} d^n$（次元定理）から $\sum (-1)^n \dim V^n = \sum (-1)^n \dim H^n(V)$ です。スペクトル系列の各段 $E_r \to E_{r+1}$ に、全次数 $p + q$ で添字をつけた複体（$d_r$ は全次数を $1$ 上げる）としてこれを使うと、$\chi(E_r) = \sum (-1)^{p+q} \dim E_r^{p,q}$ は $r$ によりません。$E_\infty$ では $\chi(E_\infty) = \sum_n (-1)^n \dim H^n(\operatorname{Tot})$（フィルターの次数付きの次元の和は $\dim H^n$）なので、どちらのスペクトル系列でも $\chi(E_2) = \chi(H(\operatorname{Tot}))$ です。

参考文献

• C. A. Weibel, An Introduction to Homological Algebra, Cambridge University Press, 1994 — 第 5 章（§5.1〜5.6 スペクトル系列・フィルター付き複体・二重複体、§5.9 完全対）。
• W. S. Massey, “Exact couples in algebraic topology”, Annals of Mathematics 56 (1952), 363–396 — 完全対と導来対。
• J. McCleary, A User’s Guide to Spectral Sequences, 2nd ed., Cambridge University Press, 2001 — 第 2 章。
• H. Cartan, S. Eilenberg, Homological Algebra, Princeton University Press, 1956 — 第 XV 章（スペクトル系列）。
• S. Mac Lane, Homology, Springer, 1963 — 第 XI 章（スペクトル系列）。