スペクトル系列

整数 $r_0 \ge 0$ を固定する。$\mathcal A$ の（コホモロジー型の）スペクトル系列とは、

1. $r \ge r_0$ と $p, q \in \mathbb Z$ についての対象 $E_r^{p,q}$、
2. 射 $d_r\colon E_r^{p,q} \to E_r^{p+r, q-r+1}$ で $d_r d_r = 0$ を満たすもの（微分）、
3. 同型 $\alpha_r\colon H(E_r)^{p,q} \to E_{r+1}^{p,q}$。ここで $H(E_r)^{p,q}$ は列 $E_r^{p-r, q+r-1} \xrightarrow{d_r} E_r^{p,q} \xrightarrow{d_r} E_r^{p+r, q-r+1}$ の $E_r^{p,q}$ でのコホモロジーである。

の組をいう。$E_r$ を第 $r$ 項（$E_r$ 項）という。二つのスペクトル系列の射 $f$ とは、$d_r$ と可換な射の族 $f_r\colon E_r^{p,q} \to E_r'^{p,q}$ で、$f_r$ が誘導するコホモロジーの射と $f_{r+1}$ が $\alpha_r$ を通して一致するものをいう。

スペクトル系列が有界であるとは、各 $n$ について $p + q = n$ かつ $E_{r_0}^{p,q} \ne 0$ となる $(p,q)$ が有限個であることをいう。$r \ge r_1$ で $d_r = 0$ となるとき、スペクトル系列は $E_{r_1}$ で退化するという。