導来圏と全導来関手：擬同型を可逆にして導来関手を一つの関手にする

0. この記事の要点

複体の圏では、見かけの違う二つの複体が「同じコホモロジーをもつ」ために同じものと見なしたい場面がよく出てきます。たとえば整数 $\mathbb{Z}$ に、割り算を分数として形式的に付け加えると $\mathbb{Q}$ になるように、「同じコホモロジーをもつ射（擬同型）」を形式的に逆向きにも使えるようにした圏を作る、というのがこの記事の話です。読み終えると、Ext が Hom として読めること、導来関手の合成が一つの等式で書けることが分かります。

• 圏 $\mathcal{C}$ の射の族 $S$ が乗法系（分数計算の条件）を満たすと、$S$ の射を形式的に可逆にした（逆射を付け加えた）局所化 $\mathcal{C}[S^{-1}]$ が「分数」$s^{-1}f$ の圏として作れます。その Hom はフィルター余極限で、$\mathcal{C}$ が加法圏なら局所化も加法圏です。
• 三角圏 $\mathcal{D}$ の充満三角部分圏 $\mathcal{N}$ について、錐が $\mathcal{N}$ に入る射の全体は乗法系で、その局所化 $\mathcal{D}/\mathcal{N}$ は三角圏になります（Verdier 商）。
• アーベル圏 $\mathcal{A}$ の導来圏 $\mathrm{D}(\mathcal{A})$ は、ホモトピー圏 $\mathrm{K}(\mathcal{A})$ の非輪状複体による Verdier 商、すなわち擬同型（コホモロジーを変えない鎖写像）を可逆にした圏です。$\mathcal{A}$ は $\mathrm{D}(\mathcal{A})$ に充満忠実に入り、短完全列はすべて完全三角形を与えます。
• $\mathcal{A}$ が十分に入射対象をもてば、下に有界な入射複体のホモトピー圏 $\mathrm{K}^+(\mathrm{Inj}(\mathcal{A}))$ は $\mathrm{D}^+(\mathcal{A})$ と圏同値です。とくに $\mathrm{D}^+(\mathcal{A})$ の Hom は小さい集合と全単射にあり、$\operatorname{Hom}_{\mathrm{D}(\mathcal{A})}(X, Y[n]) \cong \operatorname{Ext}^n(X, Y)$ です。
• 加法関手 $F$ の全右導来関手 $\mathbf{R}F$ を、$\mathrm{K}^+$ から $\mathrm{D}^+$ への Kan 拡張として普遍性で定義し、その存在、$H^n(\mathbf{R}F(X)) \cong R^nF(X)$、合成の公式 $\mathbf{R}(G \circ F) \cong \mathbf{R}G \circ \mathbf{R}F$ を示します。
• 大域次元が 1 以下のアーベル圏では、コホモロジーが有界な対象はコホモロジーのシフトの直和 $\bigoplus_n H^n(X)[-n]$ と同型です。

この記事で使う事前知識

• 写像錐と完全三角形: 射 $f$ から作る複体（錐）と、それを含む三角形の列。三角圏ではこの形の三角形が基本の部品です。→ 三角圏
• 擬同型と非輪状複体: 擬同型はすべての次数でコホモロジーを同型にする鎖写像、非輪状複体はコホモロジーがすべて $0$ の複体のこと。→ 擬同型
• 厚い部分圏: 三角圏の中で、同型・シフト・錐をとる操作と直和因子をとる操作で閉じた部分圏のこと。→ 厚い部分圏
• コホモロジー的関手: 完全三角形を完全列に送る関手のこと。→ コホモロジー的関手
• 入射分解: 対象から入射対象の複体への擬同型で、右導来関手の定義に使いました。→ 入射分解

1. 動機

導来関手と δ 関手 では、加法関手 $F$ の右導来関手を、入射分解 $X \to I$ をとって $R^nF(X) = H^n(F(I))$ と定めました。分解は比較定理によってホモトピーを除いて一意で、その一意性を各次数の $H^n$ に落としてから使っていました。しかし $R^nF$ をばらばらの関手の族として扱うと、次の二つの点で情報が失われます。

一つは、分解そのもの（複体 $F(I)$）が $H^n$ をとる前にもっている情報です。二つの関手の合成 $G \circ F$ の導来関手は、$R^nG$ と $R^mF$ からは決まらず、それを結ぶのが Grothendieck のスペクトル系列でした。複体の水準では、合成は単に「$F(I)$ をもう一度分解して $G$ を施す」ことです。もう一つは、分解の取り方の自由度です。$X$ とその入射分解 $I$ は「同じもの」と見なしたいのですが、$X \to I$ は擬同型であってホモトピー同値ではありません。

Grothendieck と Verdier（1960 年代）は、複体の圏で擬同型を形式的に可逆にした圏、導来圏を導入してこの二つの問題を同時に解きました。導来圏の中では $X \cong I$ で、導来関手は $\mathbf{R}F(X) = F(I)$ という一つの三角関手になり、合成は $\mathbf{R}(G \circ F) \cong \mathbf{R}G \circ \mathbf{R}F$ という等式になります。Ext は Hom になり、長完全列は完全三角形から出ます。代数幾何学の Serre 双対・Grothendieck 双対、表現論の導来同値は、この言葉で述べられます。

この記事では、圏の局所化という一般的な操作（分数の圏）から始め、三角圏とホモトピー圏の三角構造 の三角圏の公理と組み合わせて導来圏を作ります。局所化の構成は素朴ですが、合成が well-defined であることの確認が長いので、細部は Appendix に回します。

記号は前の章までと同じです。複体は上付きの添字（定義 2.1［鎖複体とホモトピー圏］）、ホモトピー圏は 定義 4.3［鎖複体とホモトピー圏］、写像錐は 定義 5.1［鎖複体とホモトピー圏］、三角圏は 定義 2.2［三角圏とホモトピー圏の三角構造］ の意味です。対象 $X \in \mathcal{A}$ を次数 $0$ に置いた複体を $X[0]$ と書き、$X[n] = (X[0])[n]$ は次数 $-n$ に $X$ を置いた複体です。

2. 圏の局所化と分数計算

2.1. 乗法系と局所化

定義 2.1（乗法系）↗

圏 $\mathcal{C}$ の射の集合 $S$ について、次の条件を考える。

• (S1) すべての恒等射は $S$ に属し、$S$ は合成で閉じている。
• (S2) $s : X \to X'$ が $S$ に属し、$f : X \to Y$ が射なら、$S$ に属する $t : Y \to Y'$ と射 $g : X' \to Y'$ で $g s = t f$ となるものがある。
• (S3) 平行な射 $f, g : X \to Y$ と $S$ に属する $s : W \to X$ が $f s = g s$ を満たせば、$S$ に属する $t : Y \to Y'$ で $t f = t g$ となるものがある。

(S2)・(S3) の矢印をすべて逆にした条件を (S2$'$)・(S3$'$) とする。すなわち (S2$'$) は「$t : Y' \to Y$ が $S$ に属し $f : X \to Y$ なら、$S$ に属する $s : X' \to X$ と $g : X' \to Y'$ で $f s = t g$ となるものがある」、(S3$'$) は「$t f = t g$（$t \in S$）なら $f s = g s$ となる $s \in S$ がある」である。(S1)〜(S3) を満たす $S$ を分数計算を許すといい、さらに (S2$'$)・(S3$'$) も満たすとき乗法系という。

(S2) は「$s^{-1}$ を右に、$f$ を左に書いた $f s^{-1}$ を、$t^{-1} g$ の形に書き直せる」という条件（Ore 条件）で、(S3) は「$s$ を右から打ち消せるなら、$t$ を左から掛けて等しくできる」という簡約の条件です。

次の図は (S2) の可換な四角形です。$s$ の逆を右に置いた形 $f s^{-1}$ を、逆を左に置いた形 $t^{-1} g$ に取り替えるには、この四角形が必要になります。

(S2) の四角形。$gs=tf$ が成り立つ。$s,t$ は $S$ の射

定義 2.2（圏の局所化）↗

圏 $\mathcal{C}$ と射の集合 $S$ について、圏 $\mathcal{C}[S^{-1}]$ と関手 $Q : \mathcal{C} \to \mathcal{C}[S^{-1}]$ の組が $S$ による局所化であるとは、次の 2 条件を満たすことをいう。

1. すべての $s \in S$ について $Q(s)$ は同型である。
2. $S$ の射をすべて同型に送る任意の関手 $F : \mathcal{C} \to \mathcal{E}$ に対し、$F = \bar F \circ Q$ を満たす関手 $\bar F : \mathcal{C}[S^{-1}] \to \mathcal{E}$ がただ一つ存在する。

局所化は、2 の普遍性により圏の同型を除いて一意です。

定理 2.3（分数の圏による局所化）✓

$\mathcal{C}$ を圏、$S$ を分数計算を許す射の集合とする。

1. 対象 $X, Y$ について、組 $(f, s)$（$s : Y \to Y'$ は $S$ の射、$f : X \to Y'$）の上の関係 $(f, s) \approx (f', s')$ を「射 $u : Y' \to W$、$u' : Y'' \to W$ で $u s = u' s' \in S$ かつ $u f = u' f'$ となるものがある」で定めると、$\approx$ は同値関係である。$(f, s)$ の類を $[f, s]$ と書く（$s^{-1} f$ と読む）。
2. 対象を $\mathcal{C}$ と同じにし、$\operatorname{Hom}(X, Y)$ を類 $[f, s]$ の集合、合成を

$$[g, t] \circ [f, s] = [g' f,\ t' t] \qquad (g' s = t' g,\ t' \in S \text{ は (S2) でとる})$$

と定めた圏 $\mathcal{C}[S^{-1}]$ と、$Q(f) = [f, \mathrm{id}]$ で定まる関手 $Q$ は、$S$ による局所化である。このとき $[f, s] = Q(s)^{-1} Q(f)$ である。 3. $Q(f) = Q(g)$ であることと、$t f = t g$ となる $t \in S$ が存在することは同値である。 4. 任意の圏 $\mathcal{E}$ と関手 $F, G : \mathcal{C}[S^{-1}] \to \mathcal{E}$ について、$\sigma \mapsto \sigma Q$ は全単射 $\operatorname{Nat}(F, G) \to \operatorname{Nat}(FQ, GQ)$ である。 5. $S$ が乗法系なら、$\mathcal{C}[S^{-1}]$ のすべての射は $Q(g)Q(s)^{-1}$（$s \in S$）の形に書け、$Q(f) = Q(g)$ であることと $f s = g s$ となる $s \in S$ が存在することは同値である。

証明は Appendix A に置きます。要点は、$s : Y \to Y'$（$s \in S$）を対象とし、$u s = s'$ を満たす $u$ を射とする圏 $I_Y$ が（宇宙を一つ大きくすれば）フィルター圏になり、$\operatorname{Hom}(X, Y)$ が関手 $(Y', s) \mapsto \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y')$ のフィルター余極限になることです。1 の関係は、極限と余極限 で集合のフィルター余極限を記述した関係（命題 6.3［極限と余極限］）そのものです。

ここでいう宇宙とは、集合として扱ってよい範囲を決める大きな集合のことで、「小さい」はその範囲に収まる大きさという意味です。細かい集合論の話なので、分からなければ読み飛ばして構いません。

$\mathcal{C}$ が小さくなくても $\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}[S^{-1}]}(X, Y)$ は集合ですが、固定した宇宙 $\mathbb{U}$ について小さいとは限りません。$\mathcal{C}$ を元として含む宇宙 $\mathbb{U}'$（公理 2.2［圏・関手・自然変換］）をとれば $\mathbb{U}'$ について小さい集合です（命題 2.3［圏・関手・自然変換］）。導来圏の Hom が実際に $\mathbb{U}$ について小さいかどうかは、5 節で入射対象を使って調べます。

命題 2.4（加法圏の局所化）✓

$\mathcal{C}$ を加法圏、$S$ を分数計算を許す射の集合とする。

1. 2 つの射 $X \to Y$ は共通の $s$ を使って $[f_1, s]$、$[f_2, s]$ と書け、$[f_1, s] + [f_2, s] = [f_1 + f_2, s]$ によって $\operatorname{Hom}(X, Y)$ はアーベル群になる。
2. この加法で $\mathcal{C}[S^{-1}]$ は加法圏、$Q$ は加法関手である。
3. $F : \mathcal{C} \to \mathcal{E}$ が加法圏への加法関手で $S$ の射を同型に送るなら、定義 2.2 の $\bar F$ も加法関手である。

証明（命題 2.4）

1. Appendix A で示すとおり（定理 2.3 の証明）、$\operatorname{Hom}(X, Y)$ はフィルター圏 $I_Y$ 上の図式 $(Y', s) \mapsto \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y')$、$u \mapsto u \circ (-)$ の $\mathsf{Set}$ での余極限で、推移写像 $u \circ (-)$ はアーベル群の準同型である。$I_Y$ は宇宙 $\mathbb{U}'$ について小さいので、極限と余極限 の 系 6.5［極限と余極限］ の 1（$A = \mathbb{Z}$、宇宙 $\mathbb{U}'$ で適用する）により、2 元を同じ $(Y', s)$ の元で代表して和をとる演算はアーベル群の構造で、各 $\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y') \to \operatorname{Hom}(X, Y)$ は準同型である。

2. 合成の双線形性を示す。$[g, t] \circ (-)$ について：共通の $s$ で書いた $[f_1, s]$、$[f_2, s]$ に、同じ $(g', t')$（$g' s = t' g$）を使って合成すると $[g' f_i, t' t]$ で、和は $[g'(f_1 + f_2), t' t] = [g, t] \circ [f_1 + f_2, s]$。$(-) \circ [f, s]$ について：共通の $t$ で書いた $[g_1, t]$、$[g_2, t]$ に対し、(S2) を $s$ と $g_1$ に使って $G_1 s = T_1 g_1$（$T_1 \in S$）を、さらに $s$ と $T_1 g_2$ に使って $G_2 s = T_2 T_1 g_2$（$T_2 \in S$）を得る。$T = T_2 T_1 \in S$ とおくと $(T_2 G_1) s = T g_1$、$G_2 s = T g_2$ で、$(T_2 G_1 + G_2) s = T(g_1 + g_2)$ なので、三つの合成はそれぞれ $[T_2 G_1 f, T t]$、$[G_2 f, T t]$、$[(T_2 G_1 + G_2) f, T t]$ で、最後が前二つの和である。

$Q$ は $\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y)$ を対象 $(Y, \mathrm{id})$ の成分として余極限に送る写像なので準同型である。加法関手は双積の等式 $p_k i_l = \delta_{kl}$、$\sum i_k p_k = 1$（定義 3.2［加法圏とアーベル圏］）を保つので、$Q$ は $\mathcal{C}$ の有限双積（0 個の場合の零対象を含む）を双積に送る。$\mathcal{C}[S^{-1}]$ の対象はすべて $Q$ の像なので、任意の有限個の対象が双積をもち、$\mathcal{C}[S^{-1}]$ は加法圏である（定義 3.4［加法圏とアーベル圏］）。

3. $\bar F([f, s]) = F(s)^{-1}F(f)$ である（定理 2.3 の 2 の $[f, s] = Q(s)^{-1}Q(f)$）。共通の $s$ で書いた 2 元について $\bar F([f_1 + f_2, s]) = F(s)^{-1}(F(f_1) + F(f_2))$ なので加法的である。

∎

局所化の Hom を計算する基本的な道具は次の補題です。「$S$ の射に関して局所的」な対象への Hom は、局所化しても変わりません。

補題 2.5（局所的な対象への Hom）✓

$\mathcal{C}$ を圏、$S$ を分数計算を許す射の集合とし、対象 $Y$ は次の条件を満たすとする：$S$ に属する任意の $s : Y \to Y'$ について、$s^{*} = (-) \circ s : \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(Y', Y) \to \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(Y, Y)$ は全単射である。このとき、すべての対象 $X$ について $Q : \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y) \to \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}[S^{-1}]}(X, Y)$ は全単射である。

証明（補題 2.5）

$s : Y \to Y'$（$s \in S$）について、仮定から $r_s s = \mathrm{id}_Y$ を満たす $r_s : Y' \to Y$ がただ一つある。写像 $\Phi([f, s]) = r_s f$ が well-defined であることを示す。定理 2.3 の 1 の関係は、$(f, s)$ を $(u f, u s)$（$u s \in S$）に取り替える操作で生成される（$(f, s) \approx (f', s')$ なら、ある $u, u'$ で $(uf, us) = (u'f', u's')$）。$r_{us} u s = \mathrm{id}_Y$ なので、$s^{*}$ の単射性から $r_{us} u = r_s$、よって $r_{us}(uf) = r_s f$。

$\Phi(Q(g)) = \Phi([g, \mathrm{id}]) = g$ である。逆に $Q(r_s)Q(s) = \mathrm{id}$ で $Q(s)$ は同型なので $Q(r_s) = Q(s)^{-1}$、したがって $Q(\Phi([f, s])) = Q(s)^{-1}Q(f) = [f, s]$。よって $\Phi$ は $Q$ の逆写像である。

∎

3. Verdier 商

この節では $\mathcal{D}$ を三角圏、$\mathcal{N}$ をその充満三角部分圏（定義 4.6［三角圏とホモトピー圏の三角構造］）とします。射 $s : X \to Y$ について、完全三角形 $X \xrightarrow{s} Y \to Z \to X[1]$ の $Z$ は同型を除いて一意で（系 3.5［三角圏とホモトピー圏の三角構造］）、$\mathcal{N}$ は同型で閉じているので、「$Z \in \mathcal{N}$」は三角形の選び方によりません。$Z \in \mathcal{N}$ となる射全体を $S_{\mathcal{N}}$ と書きます。

次の定理は、錐が $\mathcal{N}$ に入る射だけを「逆向きにも使ってよい射」として分数の圏を作ると、それがまた三角圏になる、というものです。証明は (S1)〜(S3$'$) を一つずつ、錐を作って三角圏の公理 TR3・TR4 で射を補う形で確かめていきます。

TR1 (c) で $\varphi : X \to C$ の完全三角形 $X \xrightarrow{\varphi} C \xrightarrow{\psi} E \xrightarrow{\chi} X[1]$ をとると、回転が完全なので TR2 (b) により $E[-1] \xrightarrow{-\chi[-1]} X \xrightarrow{\varphi} C \xrightarrow{\psi} E$ も完全です。すなわち、任意の射は、ある完全三角形の 2 番目の射になります。以下この事実を断らずに使います。

定理 3.1（Verdier 商の存在）✓

$\mathcal{D}$ を三角圏、$\mathcal{N}$ を充満三角部分圏とする。

1. $S_{\mathcal{N}}$ は乗法系（定義 2.1）であり、$s \in S_{\mathcal{N}}$ なら $s[1], s[-1] \in S_{\mathcal{N}}$ である。
2. $\mathcal{D}/\mathcal{N} = \mathcal{D}[S_{\mathcal{N}}^{-1}]$ は加法圏で、$Q[1]$、$Q[-1]$ から誘導される互いに逆な加法関手 $[1]$、$[-1]$ をもつ。$Q$ の像の完全三角形と同型な三角形を完全三角形とすると、$\mathcal{D}/\mathcal{N}$ は三角圏で、$Q$ は（$\xi = \mathrm{id}$ によって）三角関手である。
3. $X \in \mathcal{N}$ なら $Q(X) \cong 0$ であり、$(\mathcal{D}/\mathcal{N}, Q)$ は $\mathcal{D}$ の $\mathcal{N}$ による Verdier 商（定義 4.8［三角圏とホモトピー圏の三角構造］）である。

証明（定理 3.1）

1, (S1). $\mathrm{id}_X$ の錐は $0 \in \mathcal{N}$（TR1 (b)）。$u : X \to Y$、$v : Y \to Z$ が $S_{\mathcal{N}}$ に属するとき、それぞれの錐 $C_u, C_v \in \mathcal{N}$ と $vu$ の錐 $C_{vu}$ に TR4 を使うと完全三角形 $C_u \to C_{vu} \to C_v \to C_u[1]$ が得られる。これを 2 回回転した $C_v \to C_u[1] \to C_{vu}[1] \to C_v[1]$ は完全で、$C_v, C_u[1] \in \mathcal{N}$ なので $C_{vu}[1] \in \mathcal{N}$、よって $C_{vu} \in \mathcal{N}$。

1, (S2). $s : X \to X'$（錐 $C \in \mathcal{N}$）と $f : X \to Y$ をとる。完全三角形 $C[-1] \xrightarrow{a} X \xrightarrow{s} X' \to C$ をとり（上の注意）、$fa : C[-1] \to Y$ を完全三角形 $C[-1] \xrightarrow{fa} Y \xrightarrow{t} Y' \to C$ に入れる（TR1 (c)。シフトは圏の同型なので第 3 項は $C[-1][1] = C$）。$t$ の回転 $Y \xrightarrow{t} Y' \to C \to Y[1]$ は完全なので $t$ の錐は $C \in \mathcal{N}$、すなわち $t \in S_{\mathcal{N}}$。二つの三角形の間に $(\mathrm{id}_{C[-1]}, f)$ は $f a = (fa)\,\mathrm{id}$ を満たすので、TR3 から $g : X' \to Y'$ で $g s = t f$ となるものがある。

1, (S3). $f s = g s$、$s : W \to X$ の錐 $C \in \mathcal{N}$ とし、$h = f - g$ とおく。完全三角形 $W \xrightarrow{s} X \xrightarrow{v} C \to W[1]$ に 命題 3.2［三角圏とホモトピー圏の三角構造］ の 2（$\operatorname{Hom}(-, Y)$ の完全性）を使うと、$h s = 0$ から $h = h' v$ となる $h' : C \to Y$ がある。完全三角形 $C \xrightarrow{h'} Y \xrightarrow{t} Y' \to C[1]$ をとると $t h' = 0$（命題 3.1［三角圏とホモトピー圏の三角構造］ の 1）なので $t h = 0$、すなわち $t f = t g$。回転から $t$ の錐は $C[1] \in \mathcal{N}$ である。

1, (S2$'$)・(S3$'$). (S2$'$)：$t : Y' \to Y$（完全三角形 $Y' \xrightarrow{t} Y \xrightarrow{v} C \to Y'[1]$、$C \in \mathcal{N}$）と $f : X \to Y$ について、$vf$ を 2 番目の射とする完全三角形 $X' \xrightarrow{s} X \xrightarrow{vf} C \to X'[1]$ をとると $s \in S_{\mathcal{N}}$。両方を回転した三角形 $(X, C, X'[1])$、$(Y, C, Y'[1])$ の間に $(f, \mathrm{id}_C)$ は $v f = \mathrm{id}_C (vf)$ を満たすので、TR3 から $c : X'[1] \to Y'[1]$ で $t[1] c = f[1] s[1]$（回転の第 3 の射は $-s[1]$、$-t[1]$）となるものがあり、$g = c[-1]$ が $t g = f s$ を満たす。(S3$'$)：$t f = t g$（$t : Y \to Y'$、錐 $C$）なら、$h = f - g$ は完全三角形 $C[-1] \xrightarrow{a} Y \xrightarrow{t} Y' \to C$ について 命題 3.2［三角圏とホモトピー圏の三角構造］ の 1 から $h = a h'$（$h' : X \to C[-1]$）と書け、$h'$ を 2 番目の射とする完全三角形 $X' \xrightarrow{s} X \xrightarrow{h'} C[-1] \to X'[1]$ をとると $h' s = 0$、よって $f s = g s$ で、$s$ の錐は $C[-1] \in \mathcal{N}$。シフトで閉じていること：$s$ の完全三角形 $(X, Y, Z, s, v, w)$ について、系 3.9［三角圏とホモトピー圏の三角構造］ から $(X[n], Y[n], Z[n], (-1)^n s[n], (-1)^n v[n], (-1)^n w[n])$ は完全で、これは $((-1)^n, 1, 1)$ によって $(X[n], Y[n], Z[n], s[n], (-1)^n v[n], w[n])$ と同型なので、後者も完全である（TR1 (a)）。$\mathcal{N}$ はシフトで閉じているので $Z[n] \in \mathcal{N}$、すなわち $s[n] \in S_{\mathcal{N}}$。

2. 命題 2.4 により $\mathcal{D}/\mathcal{N}$ は加法圏で $Q$ は加法関手。$Q[1]$ は $S_{\mathcal{N}}$ の射を同型に送るので（1）、$[1] Q = Q [1]$ を満たす加法関手 $[1]$ がただ一つあり、$[-1]$ も同様で、$[1][-1]Q = Q$ と一意性から互いに逆である。TR1 (a) は定義そのもの、(b) は $Q$ を $X \xrightarrow{1} X \to 0 \to X[1]$ に施せばよい。(c)：射 $\varphi = [f, s] = Q(s)^{-1}Q(f)$（$f : X \to Y'$、$s : Y \to Y'$）について、完全三角形 $X \xrightarrow{f} Y' \xrightarrow{v} Z \xrightarrow{w} X[1]$ をとると、三角形 $X \xrightarrow{\varphi} Y \xrightarrow{Q(v)Q(s)} Z \xrightarrow{Q(w)} X[1]$ は $(\mathrm{id}, Q(s), \mathrm{id})$ によって $Q$ の像と同型なので完全である。TR2 (a)：$Q$ はシフトと可換で $Q(-u[1]) = -Q(u)[1]$ なので、$Q$ の像の三角形の回転は回転の像であり、同型な三角形の回転は同型である。TR3 と TR4 は Appendix B の 補題 8.5 と 補題 8.6 で示す。TR2 (b) は TR1・TR2 (a)・TR3 から従う（補題 3.8［三角圏とホモトピー圏の三角構造］）。$Q$ が三角関手であることは完全三角形の定義そのものである。

3. $X \in \mathcal{N}$ なら、完全三角形 $0 \to X \xrightarrow{1} X \to 0$（命題 3.1［三角圏とホモトピー圏の三角構造］ の 3 と同型）から $0 \to X$ の錐は $X$ で、$0 \to X$ は $S_{\mathcal{N}}$ に属し、$Q(X) \cong Q(0) = 0$。普遍性：$F : \mathcal{D} \to \mathcal{D}'$ を、$\mathcal{N}$ の対象を零対象に送る三角関手とする。$s \in S_{\mathcal{N}}$ と完全三角形 $X \xrightarrow{s} Y \xrightarrow{v} C \xrightarrow{w} X[1]$（$C \in \mathcal{N}$）について、$F$ の像は完全三角形で $F(C) \cong 0$。$(\mathrm{id}_{FX}, F(s), 0)$ は完全三角形 $FX \xrightarrow{1} FX \to 0 \to FX[1]$ から像の三角形への三角形の射（$F(v)F(s) = 0$ による）で、第 1・第 3 成分が同型なので 命題 3.4［三角圏とホモトピー圏の三角構造］ から $F(s)$ は同型である。よって $F = \bar F Q$ となる関手 $\bar F$ がただ一つあり、命題 2.4 の 3 から加法関手である。$F$ の構造の自然同型 $\xi : F[1] \Rightarrow [1]F$ は $\bar F[1]Q = F[1]$ から $[1]\bar F Q = [1]F$ への自然同型なので、定理 2.3 の 4 により $\bar\xi Q = \xi$ となる自然変換 $\bar\xi : \bar F[1] \Rightarrow [1]\bar F$ がただ一つあり、逆も同様に持ち上がるので自然同型である。$\bar F$ は $Q$ の像の完全三角形を $F$ の像の完全三角形に送り、同型な三角形を同型な三角形に送るので、$(\bar F, \bar\xi)$ は三角関手で、$\bar F$ と $\bar\xi$ の一意性はすでに示した。

∎

4. 導来圏

以下 $\mathcal{A}$ をアーベル圏とし、$* \in \{\ ,\ +,\ -,\ b\}$ について $\mathrm{K}^{*}(\mathcal{A})$ をホモトピー圏（無印・下に有界・上に有界・有界）とします。$\mathrm{K}^{*}(\mathcal{A})$ は三角圏です（定理 5.5［三角圏とホモトピー圏の三角構造］）。非輪状複体のなす充満部分圏を $\mathrm{K}^{*}_{\mathrm{ac}}(\mathcal{A})$ と書きます。

命題 4.1（擬同型は乗法系をなす）✓

$\mathrm{K}^{*}_{\mathrm{ac}}(\mathcal{A})$ は $\mathrm{K}^{*}(\mathcal{A})$ の厚い部分圏であり、$\mathrm{K}^{*}(\mathcal{A})$ の射が擬同型であることと、その錐が非輪状であること、すなわち $S_{\mathrm{K}^{*}_{\mathrm{ac}}(\mathcal{A})}$ に属することは同値である。したがって擬同型の全体 $\mathrm{Qis}$ は $\mathrm{K}^{*}(\mathcal{A})$ の乗法系で、シフトで閉じている。

証明（命題 4.1）

$H^0 : \mathrm{K}(\mathcal{A}) \to \mathcal{A}$ はコホモロジー的関手で $H^0(X[n]) = H^n(X)$ である（命題 5.6［三角圏とホモトピー圏の三角構造］ の 1）。$\mathrm{K}^{*}(\mathcal{A})$ の完全三角形は頂点が $\mathrm{K}^{*}(\mathcal{A})$ に入る $\mathrm{K}(\mathcal{A})$ の完全三角形なので、その制限もコホモロジー的で、命題 4.7［三角圏とホモトピー圏の三角構造］ によりすべての $H^n$ が消える対象、すなわち非輪状複体のなす部分圏は厚い。錐についての同値は 命題 5.6［三角圏とホモトピー圏の三角構造］ の 3（標準三角形については 系 5.4［鎖複体とホモトピー圏］）である。最後の主張は 定理 3.1 の 1 による。

∎

定義 4.2（導来圏）↗

$\mathcal{A}$ をアーベル圏とする。Verdier 商 $\mathrm{D}^{*}(\mathcal{A}) = \mathrm{K}^{*}(\mathcal{A})/\mathrm{K}^{*}_{\mathrm{ac}}(\mathcal{A}) = \mathrm{K}^{*}(\mathcal{A})[\mathrm{Qis}^{-1}]$（定理 3.1、定理 2.3）を $\mathcal{A}$ の導来圏（$* = +, -, b$ のときはそれぞれ下に有界・上に有界・有界な導来圏）という。局所化関手 $\mathrm{K}^{*}(\mathcal{A}) \to \mathrm{D}^{*}(\mathcal{A})$ を $Q$ と書き、$\mathrm{C}^{*}(\mathcal{A}) \to \mathrm{K}^{*}(\mathcal{A})$ との合成も同じ記号で書く。

定理 4.3（導来圏は三角圏）✓

$\mathcal{A}$ をアーベル圏とする。

1. $\mathrm{D}^{*}(\mathcal{A})$ は三角圏で、$Q : \mathrm{K}^{*}(\mathcal{A}) \to \mathrm{D}^{*}(\mathcal{A})$ は三角関手である。$\mathrm{K}^{*}(\mathcal{A})$ の射 $f$ について、$Q(f)$ が同型であることと $f$ が擬同型であることは同値である。
2. 擬同型を同型に送る関手 $F : \mathrm{K}^{*}(\mathcal{A}) \to \mathcal{E}$ は、関手 $\bar F$ によって $F = \bar F Q$ とただ一通りに分解する。$F$ が三角関手なら $\bar F$ も三角関手である。
3. $H^0$ は $Q$ を経由してコホモロジー的関手 $H^0 : \mathrm{D}(\mathcal{A}) \to \mathcal{A}$ を与え、$H^0(X[n]) = H^n(X)$ である。

証明（定理 4.3）

1・2 は 命題 4.1 と 定理 3.1、定義 2.2 による（2 の三角関手 $F$ は非輪状な $C$ を零対象に送る。$0 \to C$ は錐が $C$ と同型なので擬同型で（命題 4.1）、$F(C) \cong F(0) = 0$。したがって 定理 3.1 の 3 が使える）。$Q(f)$ が同型なら、3（$\mathrm{D}^{*}(\mathcal{A})$ でも同じ議論で $H^n$ は $Q$ を経由する）により $H^n(f) = H^n(Q(f))$ は同型で、$f$ は擬同型である。3：$H^0$ は擬同型を同型に送るので 2 により $Q$ を経由する。$\mathrm{D}(\mathcal{A})$ の完全三角形は $Q(T)$（$T$ は $\mathrm{K}(\mathcal{A})$ の完全三角形）と同型で、$H^0(Q(T)) = H^0(T)$ は完全（命題 5.6［三角圏とホモトピー圏の三角構造］ の 1）であり、同型な列の完全性は保たれるので、$H^0$ はコホモロジー的である。

∎

$\mathrm{K}(\mathcal{A})$ では、次数ごとに分裂しない短完全列は完全三角形を与えませんでした（三角圏とホモトピー圏の三角構造 の例）。導来圏ではすべての短完全列が完全三角形を与えます。

補題 4.4（短完全列は導来圏の完全三角形を与える）✓

$0 \to X \xrightarrow{u} Y \xrightarrow{v} Z \to 0$ を $\mathrm{C}(\mathcal{A})$ の短完全列とする。$q : \operatorname{Cone}(u) \to Z$、$q(x, y) = v(y)$ は擬同型で、$p : \operatorname{Cone}(u) \to X[1]$ を射影とすると

$$X \xrightarrow{Q(u)} Y \xrightarrow{Q(v)} Z \xrightarrow{Q(p)Q(q)^{-1}} X[1]$$

は $\mathrm{D}(\mathcal{A})$ の完全三角形である。

証明（補題 4.4）

$q$ は鎖写像である：$q(d(x, y)) = v(ux + dy) = v d y = d v y$（$vu = 0$）。命題 5.2［鎖複体とホモトピー圏］ の 4 を $a = \mathrm{id}_X$、$b = u$ に使うと、$(x, x') \mapsto (x, u x')$ は鎖写像 $j : \operatorname{Cone}(\mathrm{id}_X) \to \operatorname{Cone}(u)$ である。次数 $n$ で $0 \to X^{n+1} \oplus X^{n} \xrightarrow{j} X^{n+1} \oplus Y^{n} \xrightarrow{q} Z^n \to 0$ は、$0 \to X^{n+1} \to X^{n+1} \to 0 \to 0$ と $0 \to X^n \to Y^n \to Z^n \to 0$ の双積なので完全で、命題 2.2［鎖複体とホモトピー圏］ の 4 により $0 \to \operatorname{Cone}(\mathrm{id}_X) \to \operatorname{Cone}(u) \to Z \to 0$ は短完全列である。$\mathrm{id}_X$ はホモトピー同値なので $\operatorname{Cone}(\mathrm{id}_X)$ は可縮で（命題 5.5［鎖複体とホモトピー圏］）、非輪状である（命題 4.2［鎖複体とホモトピー圏］ の 3）。コホモロジーの長完全列（定理 3.1［鎖複体とホモトピー圏］）から $H^n(q)$ はすべて同型である。

標準三角形 $X \xrightarrow{u} Y \xrightarrow{i} \operatorname{Cone}(u) \xrightarrow{p} X[1]$ は $\mathrm{K}(\mathcal{A})$ の完全三角形で、$q i = v$ である。$Q$ で送った三角形は、$(\mathrm{id}, \mathrm{id}, Q(q))$ によって主張の三角形と同型なので、TR1 (a) から完全である。

∎

命題 4.5（アーベル圏は導来圏に充満忠実に入る）✓

$\mathcal{A}$ をアーベル圏とする。関手 $\mathcal{A} \to \mathrm{D}(\mathcal{A})$、$X \mapsto X[0]$ は充満忠実である。その本質的な像は、$n \ne 0$ で $H^n(X) = 0$ となる複体 $X$ のなす充満部分圏で、そのような $X$ は $H^0(X)[0]$ と同型である。

証明（命題 4.5）

忠実. 定理 4.3 の 3 の $H^0$ と合成すると $\varphi \mapsto H^0(Q(\varphi[0])) = \varphi$ なので忠実である。

充満. $\varphi : X[0] \to Y[0]$ を $\mathrm{D}(\mathcal{A})$ の射とする。定理 2.3 の 5 により $\varphi = Q(g)Q(s)^{-1}$（$s : X' \to X[0]$ は擬同型、$g : X' \to Y[0]$）と書ける。$k > 0$ で $H^k(X') = 0$ なので、命題 6.2［鎖複体とホモトピー圏］ により切り詰めの包含 $\iota : X'' = \tau^{\le 0}X' \to X'$（定義 6.1［鎖複体とホモトピー圏］）は擬同型で、$\varphi = Q(g\iota)Q(s\iota)^{-1}$ である。$X''$ は次数 $1$ 以上で $0$ なので、$X''$ から $W[0]$（$W \in \mathcal{A}$）への鎖写像は $d^{-1}$ との合成が $0$ になる射 $X''^0 \to W$、すなわち $H^0(X'') = \operatorname{Coker} d^{-1}$ からの射と同じもので、零ホモトピックなものは $0$ だけである（ホモトピーの成分は $X''^0 \to W^{-1} = 0$ と $X''^1 = 0 \to W$）。したがって鎖写像 $X'' \to W[0]$ は $H^0$ での値で決まる。$\varphi_0 = H^0(g\iota)H^0(s\iota)^{-1} : X \to Y$ とおくと、$\varphi_0[0] \circ s\iota$ と $g\iota$ は $H^0$ での値が等しいので鎖写像として等しく、$\varphi = Q(\varphi_0[0])$。

本質的な像. $Q$ の同型は $H^n$ を保つので、像の対象は $n \ne 0$ で $H^n = 0$ を満たす。逆にそのような $X$ について、$\tau^{\le 0}X \to X$ と $\tau^{\le 0}X \to \tau^{\ge 0}\tau^{\le 0}X$ は 命題 6.2［鎖複体とホモトピー圏］ から擬同型である。$\tau^{\le 0}X$ は次数 $1$ 以上で $0$ なので、$\tau^{\ge 0}\tau^{\le 0}X$ は次数 $0$ だけにある複体 $M[0]$ で、$M \cong H^0(X)$ である。よって $\mathrm{D}(\mathcal{A})$ で $X \cong M[0]$。

∎

例 4.6（K(A) と D(A) で Hom が異なる）

$\mathsf{Ab}$ で、$C$ を $\mathbb{Z} \xrightarrow{2} \mathbb{Z}$（次数 $-1, 0$）とします。射影 $C \to \mathbb{Z}/2[0]$ は擬同型で、$\mathrm{D}(\mathsf{Ab})$ では $C \cong \mathbb{Z}/2[0]$ ですが、$\mathrm{K}(\mathsf{Ab})$ では同型ではありません（鎖複体とホモトピー圏 の例で、$\mathbb{Z}/2[0]$ から $C$ への鎖写像は $0$ しかないことを見ました）。Hom も変わります。$\operatorname{Hom}_{\mathrm{K}}(\mathbb{Z}/2[0], \mathbb{Z}[1])$ は、次数 $-1$ の $\mathbb{Z}$ への鎖写像が次数 $0$ の $\mathbb{Z}/2$ から出ないので $0$ ですが、下の 系 5.5 から $\operatorname{Hom}_{\mathrm{D}}(\mathbb{Z}/2[0], \mathbb{Z}[1]) \cong \operatorname{Ext}^1(\mathbb{Z}/2, \mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}/2$ です。この $0$ でない射は、短完全列 $0 \to \mathbb{Z} \xrightarrow{2} \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/2 \to 0$ から 補題 4.4 で得られる三角形の第 3 の射です（演習 8.2）。

5. 入射複体と D⁺(A)

導来圏の射は分数 $[f, s]$ で、そのままでは計算しにくい対象です。この節では、下に有界な入射複体が 補題 2.5 の意味で「局所的」であり、そこへの Hom はホモトピー類で計算できることを示します。射影対象・入射対象と「十分にもつ」は 射影対象・入射対象と Grothendieck 圏 の 定義 3.1［射影対象・入射対象と Grothendieck 圏］・定義 3.4［射影対象・入射対象と Grothendieck 圏］ の意味です。

補題 5.1（非輪状複体から入射複体への射は零ホモトピック）✓

$I$ を、ある $N$ について $n < N$ で $I^n = 0$ となり、各 $I^n$ が入射対象である複体とする。非輪状な複体 $C$ から $I$ への任意の鎖写像は零ホモトピックである。すなわち $\operatorname{Hom}_{\mathrm{K}(\mathcal{A})}(C, I) = 0$。

証明（補題 5.1）

$f : C \to I$ を鎖写像とする。$h^n : C^n \to I^{n-1}$ で $f^n = d h^n + h^{n+1} d$ となるものを、$n$ についての帰納法で作る。$n \le N$ では $I^{n-1} = 0$ なので $h^n = 0$ とおき、このとき $n < N$ で $f^n = 0$ なので等式は成り立つ。$n \ge N$ について $h^k$（$k \le n$）が作られ、次数 $n - 1$ までの等式が成り立つとする。$g = f^n - d h^n : C^n \to I^n$ は

$$g\, d^{n-1} = d f^{n-1} - d h^n d^{n-1} = d\,(f^{n-1} - h^n d^{n-1}) = d\, d\, h^{n-1} = 0$$

を満たす。$C$ は $C^n$ で完全なので（補題 2.1［導来関手と δ 関手］ の 1）、延長補題（補題 2.4［導来関手と δ 関手］）を列 $C^{n-1} \to C^n \to C^{n+1}$ と入射対象 $I^n$ に使うと、$h^{n+1} d^n = g$ となる $h^{n+1} : C^{n+1} \to I^n$ がある。これは次数 $n$ の等式 $f^n = d h^n + h^{n+1} d^n$ である。

∎

補題 5.2（下に有界な複体の入射分解）✓

$\mathcal{A}$ が十分に入射対象をもつとする。$n < N$ で $X^n = 0$ となる複体 $X$ について、$n < N$ で $I^n = 0$ となり各 $I^n$ が入射対象である複体 $I$ と、擬同型 $f : X \to I$ が存在する。

証明（補題 5.2）

$Q^n(Y) = \operatorname{Coker} d_Y^{n-1}$、$c_Y : Y^n \to Q^n(Y)$ とし、$d_Y^n$ が誘導する射を $\bar d_Y : Q^n(Y) \to Y^{n+1}$ とする。補題 2.6［鎖複体とホモトピー圏］ により、$H^n(Y)$ は $\bar d_Y$ の核と同一視でき（$Z^{n+1}(Y) \to Y^{n+1}$ は mono）、$\operatorname{Coker} d_Y^n = \operatorname{Coker} \bar d_Y$ である（$c_Y$ は epi）。この同一視は鎖写像と可換である。以下の「元」は 定義 6.1［加法圏とアーベル圏］ の意味で、その操作は 定理 6.3［加法圏とアーベル圏］ の規則による。

$n \ge N$ について次を満たす $I^k$（$k \le n$）、$d_I^k$（$k \le n - 1$）、$f^k$（$k \le n$）を帰納的に作る：(a) $I^k$ は入射対象で $k < N$ なら $0$、$d_I d_I = 0$、$d_I f^k = f^{k+1} d_X$（定義されている範囲で）、(b) $k < n$ で $H^k(f)$ は同型、(c) $f^n$ が誘導する $Q^n(f) : Q^n(X) \to Q^n(I)$ は mono。$n = N$ では $Q^N(X) = X^N$ を入射対象 $I^N$ に mono で埋め込めばよい（十分に入射対象をもつ）。

$n$ で作られたとし、$a = Q^n(f)$、$b = \bar d_X : Q^n(X) \to X^{n+1}$ の押し出し、すなわち $\psi = (a, -b) : Q^n(X) \to Q^n(I) \oplus X^{n+1}$ の余核 $\pi : Q^n(I) \oplus X^{n+1} \to M$ をとり、$\alpha = \pi i_1$、$\beta = \pi i_2$ とおく（$\alpha a = \beta b$）。mono $m : M \to I^{n+1}$（$I^{n+1}$ は入射対象）をとって $d_I^n = m\alpha c_I$、$f^{n+1} = m\beta$ と定める。$d_I^n d_I^{n-1} = 0$ は $c_I d_I^{n-1} = 0$ から、$d_I^n f^n = m\alpha a c_X = m\beta b c_X = f^{n+1} d_X^n$ は $\alpha a = \beta b$ から従い、(a) が成り立つ。$\bar d_I = m\alpha$ である。

(b) を $k = n$ まで. $H^n(f)$ は $a$ を核 $\operatorname{Ker} b \to \operatorname{Ker}(m\alpha) = \operatorname{Ker}\alpha$（$m$ は mono）に制限したものである。$a$ は mono なので制限も mono。epi を示す。$\alpha q \equiv 0$ となる元 $q \in_{\mathrm m} Q^n(I)$ について $\pi(i_1 q) \equiv 0$ なので、$\pi$ の核は $\psi$ の像だから $\psi y \equiv i_1 q$ となる元 $y \in_{\mathrm m} Q^n(X)$ がある（規則 5）。射影 $p_1$、$p_2$ を施すと $a y \equiv q$、$-b y \equiv 0$ で、規則 1 から $b y = 0$、すなわち $y$ は $\operatorname{Ker} b$ の元である。規則 3 により制限は epi で、平衡性から同型である。

(c) を $n + 1$ で. $Q^{n+1}(X) = \operatorname{Coker} b$、$Q^{n+1}(I) = \operatorname{Coker}(m\alpha)$ で、$Q^{n+1}(f)$ は $m\beta$ が誘導する射である。$\xi \in_{\mathrm m} \operatorname{Coker} b$ が $Q^{n+1}(f)\xi \equiv 0$ を満たすとする。$\xi \equiv c' x$（$c' : X^{n+1} \to \operatorname{Coker} b$、$x \in_{\mathrm m} X^{n+1}$）と書け、$m\beta x$ は $m\alpha$ の像に入るので $m\beta x \equiv m\alpha q$、$m$ が mono なので $\pi(i_2 x) \equiv \pi(i_1 q)$。規則 6 を $\pi$ と $i_2 x$、$i_1 q$ に使うと、$\pi z = 0$ を満たす元 $z$ で、$p_2(i_1 q) = 0$ から $p_2 z \equiv p_2 i_2 x = x$ となるものがある。$z \equiv \psi w$（規則 5）なので $x \equiv p_2\psi w = -b w = b(-w)$ で、$\xi \equiv c' b(-w) = 0$。規則 2 により $Q^{n+1}(f)$ は mono である。

各段の選択には選択公理（公理 3.1［選択公理と Zorn の補題］）を使う。こうして得られる鎖写像 $f : X \to I$ はすべての $n$ で $H^n(f)$ が同型である。

∎

$X = Y[0]$ のとき、これは入射分解の存在（命題 2.3［導来関手と δ 関手］）の複体版です。

以下、$\mathrm{K}^{+}(\mathrm{Inj}(\mathcal{A}))$ を、$\mathrm{K}^{+}(\mathcal{A})$ の対象で、各項が入射対象である下に有界な複体と $\mathrm{K}(\mathcal{A})$ で同型なもののなす充満部分圏とします。

定理 5.3（入射複体のホモトピー圏と D⁺(A)）✓

$\mathcal{A}$ をアーベル圏とし、$I \in \mathrm{K}^{+}(\mathrm{Inj}(\mathcal{A}))$ とする。

1. 任意の $X \in \mathrm{K}(\mathcal{A})$ について $Q : \operatorname{Hom}_{\mathrm{K}(\mathcal{A})}(X, I) \to \operatorname{Hom}_{\mathrm{D}(\mathcal{A})}(X, I)$ は全単射であり、$X \in \mathrm{K}^{+}(\mathcal{A})$ について $\operatorname{Hom}_{\mathrm{K}(\mathcal{A})}(X, I) \to \operatorname{Hom}_{\mathrm{D}^{+}(\mathcal{A})}(X, I)$ も全単射である。
2. $\mathcal{A}$ が十分に入射対象をもつなら、$\mathrm{K}^{+}(\mathrm{Inj}(\mathcal{A}))$ は $\mathrm{K}^{+}(\mathcal{A})$ の充満三角部分圏であり、合成 $\mathrm{K}^{+}(\mathrm{Inj}(\mathcal{A})) \to \mathrm{K}^{+}(\mathcal{A}) \xrightarrow{Q} \mathrm{D}^{+}(\mathcal{A})$ は三角関手で、圏同値である。

証明（定理 5.3）

1. Hom の全単射性は $\mathrm{K}(\mathcal{A})$ の同型で保たれるので、$I$ は各項が入射対象の下に有界な複体としてよい。補題 2.5 の条件を確かめる。擬同型 $s : I \to Y'$ について、完全三角形 $I \xrightarrow{s} Y' \to C \to I[1]$ の $C$ は非輪状である（命題 4.1）。$\operatorname{Hom}_{\mathrm{K}}(-, I)$ はコホモロジー的なので（命題 3.2［三角圏とホモトピー圏の三角構造］）、命題 4.2［三角圏とホモトピー圏の三角構造］ の 2 から完全列

$$\operatorname{Hom}(C, I) \to \operatorname{Hom}(Y', I) \xrightarrow{s^{*}} \operatorname{Hom}(I, I) \to \operatorname{Hom}(C[-1], I)$$

がある。$C$、$C[-1]$ は非輪状なので両端は $0$ で（補題 5.1）、$s^{*}$ は全単射である。補題 2.5 から主張が従う。$\mathrm{K}^{+}(\mathcal{A})$ でも同じ議論が使える（$Y' \in \mathrm{K}^{+}(\mathcal{A})$ に限るだけ）。

2. 零対象を含み、同型とシフトで閉じていることは定義から分かる。完全三角形 $X \to Y \to Z \to X[1]$ で $X, Y$ が入射複体 $I, J$ と同型なら、射 $X \to Y$ に対応する鎖写像 $g : I \to J$ の標準三角形の錐 $\operatorname{Cone}(g)^n = I^{n+1} \oplus J^n$ は下に有界で、入射対象の有限積なので入射対象である（命題 3.3［射影対象・入射対象と Grothendieck 圏］）。錐の一意性（系 3.5［三角圏とホモトピー圏の三角構造］）から $Z \cong \operatorname{Cone}(g)$ で、$Z \in \mathrm{K}^{+}(\mathrm{Inj}(\mathcal{A}))$。よって充満三角部分圏で、その完全三角形は $\mathrm{K}^{+}(\mathcal{A})$ の完全三角形なので、包含と $Q$ の合成は三角関手である。1 によりこの合成は充満忠実で、補題 5.2 により任意の $X \in \mathrm{K}^{+}(\mathcal{A})$ は擬同型 $X \to I$ をもち、$\mathrm{D}^{+}(\mathcal{A})$ で $X \cong I$ だから本質的全射である。定理 6.2［圏・関手・自然変換］ により圏同値である。

∎

系 5.4（D⁺(A) の局所的な小ささ）✓

$\mathcal{A}$ が十分に入射対象をもつなら、$\mathrm{D}^{+}(\mathcal{A})$ の各 Hom は小さい集合と全単射にあり（この意味で $\mathrm{D}^{+}(\mathcal{A})$ は局所的に小さい）、包含 $\mathrm{K}^{+}(\mathcal{A}) \to \mathrm{K}(\mathcal{A})$ が誘導する関手 $\mathrm{D}^{+}(\mathcal{A}) \to \mathrm{D}(\mathcal{A})$ は充満忠実である。

証明（系 5.4）

包含は擬同型を擬同型に送るので、定理 4.3 の 2 により関手 $\iota : \mathrm{D}^{+}(\mathcal{A}) \to \mathrm{D}(\mathcal{A})$ が誘導される。$X, Y \in \mathrm{K}^{+}(\mathcal{A})$ について擬同型 $t : Y \to I$（補題 5.2）をとると、可換図式

$$\operatorname{Hom}_{\mathrm{D}^{+}}(X, Y) \xrightarrow{Q(t)_*} \operatorname{Hom}_{\mathrm{D}^{+}}(X, I) \xleftarrow{\ Q\ } \operatorname{Hom}_{\mathrm{K}}(X, I) \xrightarrow{\ Q\ } \operatorname{Hom}_{\mathrm{D}}(X, I) \xleftarrow{Q(t)_*} \operatorname{Hom}_{\mathrm{D}}(X, Y)$$

（$\iota$ は外側の二つを結ぶ）の矢印はすべて全単射である（定理 5.3 の 1 と、$Q(t)$ が同型であること）。よって $\iota$ は Hom の全単射を与える。$\operatorname{Hom}_{\mathrm{K}}(X, I)$ は鎖写像の小さい集合の商なので小さく（命題 2.3［圏・関手・自然変換］）、$\operatorname{Hom}_{\mathrm{D}^{+}}(X, Y)$ はこれと全単射にある。分数の類 $[f, s]$ そのものは大きい集合なので、$\operatorname{Hom}_{\mathrm{D}^{+}}(X, Y)$ が文字どおり $\mathbb{U}$ の元になるわけではない。その代わり、$\mathrm{D}^{+}(\mathcal{A})$ は局所的に小さい圏 $\mathrm{K}^{+}(\mathrm{Inj}(\mathcal{A}))$（Hom は上と同じ理由で小さい）と圏同値である（定理 5.3 の 2）。

∎

系 5.5（導来圏の Hom と Ext）✓

$\mathcal{A}$ が十分に入射対象をもつとき、$X, Y \in \mathcal{A}$ と $n \in \mathbb{Z}$ について、$X$ について自然な同型

$$\operatorname{Hom}_{\mathrm{D}(\mathcal{A})}(X[0], Y[n]) \cong \operatorname{Ext}^n_{\mathcal{A}}(X, Y)$$

がある（$n < 0$ では両辺は $0$）。

証明（系 5.5）

Ext の定義で選んだ $Y$ の入射分解 $\eta : Y \to I$（定義 2.2［導来関手と δ 関手］）は、増強複体が非輪状なので（補題 2.1［導来関手と δ 関手］ の 1）鎖写像 $Y[0] \to I$ として擬同型で、$\mathrm{D}(\mathcal{A})$ で $Y[n] \cong I[n]$。定理 5.3 の 1 から $\operatorname{Hom}_{\mathrm{D}}(X[0], I[n]) \cong \operatorname{Hom}_{\mathrm{K}}(X[0], I[n])$。鎖写像 $X[0] \to I[n]$ は、$(I[n])^0 = I^n$ への射 $g$ で $d g = 0$ を満たすもので、零ホモトピックなのは $g = \pm d h$（$h : X \to I^{n-1}$）の形のものである（シフトの微分の符号は核と像を変えない）。これは複体 $\operatorname{Hom}(X, I)$ の $n$ 次コホモロジーで、定義 6.1［導来関手と δ 関手］ の 1 の $\operatorname{Ext}^n(X, Y)$ である。$X$ についての自然性は、どちらも $X$ の射との合成で作用することから従う。

∎

$Y$ についての自然性も、射 $Y \to Y'$ の入射分解への持ち上げ（定理 3.1［導来関手と δ 関手］）を使えば同様に確かめられます。こうして Ext は「導来圏の中で $Y$ をずらしたものへの Hom」になり、Ext の長完全列は 補題 4.4 の完全三角形に $\operatorname{Hom}(X[0], -)$ を施した長完全列として得られます。

注意 5.6（Yoneda 積と合成）

$\operatorname{Hom}_{\mathrm{D}}(X, Y[m]) \times \operatorname{Hom}_{\mathrm{D}}(Y, Z[n]) \to \operatorname{Hom}_{\mathrm{D}}(X, Z[m + n])$、$(\varphi, \psi) \mapsto \psi[m] \circ \varphi$ という合成は、系 5.5 により Ext の積 $\operatorname{Ext}^m(X, Y) \times \operatorname{Ext}^n(Y, Z) \to \operatorname{Ext}^{m+n}(X, Z)$ を与えます。これは長さ $m$ と $n$ の完全列をつなぐ Yoneda 積と一致し、また Yoneda の意味の $\operatorname{Ext}^n$（長さ $n$ の拡大の同値類）は $\operatorname{Hom}_{\mathrm{D}}(X, Y[n])$ と一致します（$n = 1$ の場合は Ext と拡大の章で扱います）。このテーマでは使わないので証明は扱いません。文献は Weibel の第 3 章 §4・第 10 章 §7、Kashiwara–Schapira の第 13 章です。

6. 全導来関手

加法関手 $F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ は三角関手 $\mathrm{K}^{+}(F) : \mathrm{K}^{+}(\mathcal{A}) \to \mathrm{K}^{+}(\mathcal{B})$ を誘導します（命題 5.9［三角圏とホモトピー圏の三角構造］。下に有界な複体は下に有界な複体に移ります）。しかし $\mathrm{K}^{+}(F)$ は一般に擬同型を保たないので、$\mathrm{D}^{+}(\mathcal{A})$ 上の関手にはなりません。ここで求めたいのは、$\mathrm{K}^{+}(F)$ を擬同型について修正して、$\mathrm{D}^{+}(\mathcal{A})$ 上に降ろしたものです。そこで「$\mathrm{D}^{+}(\mathcal{A})$ 上の関手で $\mathrm{K}^{+}(F)$ に最も近いもの」を、Kan 拡張と前層の圏 の Kan 拡張として定義します。

定義 6.1（全右導来関手）↗

$\mathcal{A}, \mathcal{B}$ をアーベル圏、$F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ を加法関手とし、$Q_{\mathcal{A}} : \mathrm{K}^{+}(\mathcal{A}) \to \mathrm{D}^{+}(\mathcal{A})$、$Q_{\mathcal{B}} : \mathrm{K}^{+}(\mathcal{B}) \to \mathrm{D}^{+}(\mathcal{B})$ を局所化関手とする。関手 $\mathbf{R}F : \mathrm{D}^{+}(\mathcal{A}) \to \mathrm{D}^{+}(\mathcal{B})$ と自然変換 $\eta : Q_{\mathcal{B}}\mathrm{K}^{+}(F) \Rightarrow \mathbf{R}F \circ Q_{\mathcal{A}}$ の組が、$Q_{\mathcal{B}}\mathrm{K}^{+}(F)$ の $Q_{\mathcal{A}}$ に沿った左 Kan 拡張（定義 3.1［Kan 拡張と前層の圏］ の 1）であるとき、$(\mathbf{R}F, \eta)$ を $F$ の全右導来関手という。すなわち、任意の関手 $G : \mathrm{D}^{+}(\mathcal{A}) \to \mathrm{D}^{+}(\mathcal{B})$ と自然変換 $\tau : Q_{\mathcal{B}}\mathrm{K}^{+}(F) \Rightarrow G Q_{\mathcal{A}}$ に対し、$\tau = \sigma Q_{\mathcal{A}} \circ \eta$ となる $\sigma : \mathbf{R}F \Rightarrow G$ がただ一つ存在する。

全右導来関手は普遍射なので、存在すれば自然同型を除いて一意です（命題 4.6［米田の補題と表現可能関手］）。$\mathrm{D}^{+}(\mathcal{A})$ は小さい圏ではなく、Kan 拡張の各点の公式（定理 3.3［Kan 拡張と前層の圏］）はそのままでは使えません。存在は入射複体を使って直接示します。

定理 6.2（全右導来関手の存在）✓

$\mathcal{A}$ が十分に入射対象をもつとし、$F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ を加法関手とする。各 $X \in \mathrm{K}^{+}(\mathcal{A})$ に、擬同型 $\iota_X : X \to I_X$（$I_X$ は各項が入射対象の下に有界な複体）を一つずつ選ぶ（補題 5.2）。

1. $\mathrm{D}^{+}(\mathcal{A})$ の射 $\varphi : X \to Y$ に、$Q(\tilde\varphi) = Q(\iota_Y)\,\varphi\,Q(\iota_X)^{-1}$ を満たすただ一つの $\tilde\varphi \in \operatorname{Hom}_{\mathrm{K}}(I_X, I_Y)$ をとり、$\mathbf{R}F(X) = F(I_X)$、$\mathbf{R}F(\varphi) = Q(F(\tilde\varphi))$、$\eta_X = Q(F(\iota_X))$ と定めると、$(\mathbf{R}F, \eta)$ は全右導来関手である。
2. $X \in \mathrm{K}^{+}(\mathrm{Inj}(\mathcal{A}))$ なら $\eta_X$ は同型である。
3. $\mathbf{R}F$ は三角関手である。

証明（定理 6.2）

1. $\tilde\varphi$ の存在と一意性は 定理 5.3 の 1（$\operatorname{Hom}_{\mathrm{K}}(I_X, I_Y) \to \operatorname{Hom}_{\mathrm{D}^{+}}(I_X, I_Y)$ の全単射）による。一意性から $\widetilde{\psi\varphi} = \tilde\psi\tilde\varphi$、$\widetilde{\mathrm{id}} = \mathrm{id}$ で、$\mathbf{R}F$ は関手である（$\mathrm{K}^{+}(F)$ は関手）。$\eta$ の自然性：$\mathrm{K}^{+}(\mathcal{A})$ の射 $g : X \to Y$ について、$\tilde\varphi$（$\varphi = Q(g)$）は $Q(\tilde\varphi\iota_X) = Q(\iota_Y g)$ を満たし、両辺は $X$ から $I_Y$ への $\mathrm{K}$ の射なので、再び 定理 5.3 の 1 の単射性から $\tilde\varphi\iota_X = \iota_Y g$。$F$ を施して $Q$ で送ると $\mathbf{R}F(Q(g))\eta_X = \eta_Y Q(F(g))$。

普遍性：$G$ と $\tau$ が与えられたとする。$Q(\iota_X)$ は同型なので

$$\sigma_X = G(Q(\iota_X))^{-1} \circ \tau_{I_X} : \mathbf{R}F(X) = Q(F(I_X)) \to G(X)$$

と定める。$\tau$ の自然性を $\iota_X$ に使うと $\tau_{I_X} Q(F(\iota_X)) = G(Q(\iota_X))\tau_X$ なので $\sigma_X\eta_X = \tau_X$。$\sigma$ の自然性：$\varphi = Q(\iota_Y)^{-1}Q(\tilde\varphi)Q(\iota_X)$ なので、$\tau$ の自然性を $\tilde\varphi$ に使って

$$G(\varphi)\sigma_X = G(Q(\iota_Y))^{-1}G(Q(\tilde\varphi))\tau_{I_X} = G(Q(\iota_Y))^{-1}\tau_{I_Y}Q(F(\tilde\varphi)) = \sigma_Y\,\mathbf{R}F(\varphi).$$

一意性：$\sigma'$ も $\sigma'_X\eta_X = \tau_X$ を満たすとする。2 により $\eta_{I_X}$ は同型なので $\sigma'_{I_X} = \tau_{I_X}\eta_{I_X}^{-1}$ は決まり、$\sigma'$ の自然性を同型 $Q(\iota_X) : X \to I_X$ に使えば $\sigma'_X = G(Q(\iota_X))^{-1}\sigma'_{I_X}\,\mathbf{R}F(Q(\iota_X))$ も決まる。

2. $X \in \mathrm{K}^{+}(\mathrm{Inj}(\mathcal{A}))$ なら $\iota_X$ は $\mathrm{K}^{+}(\mathrm{Inj}(\mathcal{A}))$ の対象の間の射で、$Q(\iota_X)$ は同型なので、定理 5.3 の 2（充満忠実な関手は同型を反映する。補題 4.6［圏・関手・自然変換］）により $\mathrm{K}$ の同型である。関手 $\mathrm{K}^{+}(F)$ は同型を保つので、$\eta_X = Q(F(\iota_X))$ は同型である。

3. 加法性：$Q$ は加法関手なので（命題 2.4）$Q(\tilde\varphi + \tilde\varphi') = Q(\iota_Y)(\varphi + \varphi')Q(\iota_X)^{-1}$ で、持ち上げの一意性から $\widetilde{\varphi + \varphi'} = \tilde\varphi + \tilde\varphi'$。$F$ と $Q$ は加法的なので $\mathbf{R}F$ は加法関手である。シフトとの可換性：$\theta_X \in \operatorname{Hom}_{\mathrm{K}}(I_{X[1]}, I_X[1])$ を $Q(\theta_X) = Q(\iota_X[1])Q(\iota_{X[1]})^{-1}$ を満たすただ一つの射とする（$I_X[1]$ も入射複体）。逆向きも同様に持ち上がるので $\theta_X$ は $\mathrm{K}$ の同型で、$\xi_X = Q(F(\theta_X)) : \mathbf{R}F(X[1]) \to \mathbf{R}F(X)[1]$ は自然同型である（自然性は 1 と同じく持ち上げの一意性から）。

完全三角形を保つこと：$\mathrm{D}^{+}(\mathcal{A})$ の完全三角形は、鎖写像 $f : X \to Y$ の標準三角形 $X \xrightarrow{f} Y \xrightarrow{i} \operatorname{Cone}(f) \xrightarrow{p} X[1]$ の像と同型なので、それについて示せばよい。$\tilde f : I_X \to I_Y$ は $\tilde f\iota_X = \iota_Y f$ を $\mathrm{K}$ で満たすので、ホモトピーをとって 補題 5.2［三角圏とホモトピー圏の三角構造］ を使うと、鎖写像 $c : \operatorname{Cone}(f) \to \operatorname{Cone}(\tilde f)$ で $(\iota_X, \iota_Y, c)$ が標準三角形の射になるものがある。コホモロジーの長完全列（命題 5.6［三角圏とホモトピー圏の三角構造］ の 1）と五項補題（系 7.2［加法圏とアーベル圏］）から $c$ は擬同型で、$\operatorname{Cone}(\tilde f)$ は入射複体である（定理 5.3 の 2 の証明）。$\omega \in \operatorname{Hom}_{\mathrm{K}}(I_{\operatorname{Cone}(f)}, \operatorname{Cone}(\tilde f))$ を $Q(\omega)Q(\iota_{\operatorname{Cone}(f)}) = Q(c)$ で定めると $\mathrm{K}$ の同型である（2 と同じ理由）。持ち上げの一意性から $\mathrm{K}$ で $\omega\tilde i = i'$、$\theta_X\tilde p = p'\omega$（$i'$、$p'$ は $\tilde f$ の標準三角形の射）が成り立つ。実際、両辺を $\iota_Y$ または $\iota_{\operatorname{Cone}(f)}$ と合成して $Q$ で送ると一致し、定理 5.3 の 1 の単射性が使える。したがって $(\mathrm{id}, \mathrm{id}, Q(F(\omega)))$ は、三角形 $\mathbf{R}F(X) \to \mathbf{R}F(Y) \to \mathbf{R}F(\operatorname{Cone} f) \xrightarrow{\xi_X \mathbf{R}F(p)} \mathbf{R}F(X)[1]$ から、$F(\tilde f)$ の標準三角形の $Q$ による像への同型である（加法関手は写像錐を写像錐に、標準三角形を標準三角形に送る。命題 5.9［三角圏とホモトピー圏の三角構造］）。後者は完全なので前者も完全である。

∎

注意 6.3（Kan 拡張としての全導来関手）

定義 6.1 は Deligne が SGA 4 で与えた定式化です。$\mathbf{R}F$ を「$\mathrm{K}^{+}(F)$ を局所化に沿って左 Kan 拡張したもの」と見ると、右導来関手が左Kan 拡張であることに戸惑うかもしれません。これは、$\eta : \mathrm{K}^{+}(F) \to \mathbf{R}F$ が「近似の方向」を表しているためです。たとえば $F$ が左完全なら $F(X) \to \mathbf{R}F(X)$ の $H^0$ は同型で、$\mathbf{R}F$ は $F$ を高次の項で「補った」ものです。左導来関手 $\mathbf{L}F$ は双対的に右 Kan 拡張で定義されます。各点の公式は一般には成り立ちませんが、$\mathbf{R}F(X)$ を「$X$ から出る擬同型 $X \to X'$ 全体にわたる $F(X')$ の Ind 対象」とみなす各点版の定式化もあります（Deligne）。上の証明は、入射複体が擬同型について「終対象」の役割を果たすので、その Ind 対象が実際の対象 $F(I_X)$ で表されることを使ったものと読めます。

系 6.4（導来関手の再定式化）✓

定理 6.2 の状況で、$X \in \mathcal{A}$ について、$X$ について自然な同型 $H^n(\mathbf{R}F(X[0])) \cong R^nF(X)$ がある。ここで右辺は 定義 5.1［導来関手と δ 関手］ の右導来関手である。

証明（系 6.4）

$\varepsilon_X : X \to I$ を $R^nF$ の定義で選んだ入射分解とする（定理 6.2 の $\eta$ と区別するため $\varepsilon$ と書く）。系 5.5 の証明と同じく、鎖写像 $\varepsilon_X : X[0] \to I$ は擬同型である。$\omega \in \operatorname{Hom}_{\mathrm{K}}(I, I_{X[0]})$ を $Q(\omega)Q(\varepsilon_X) = Q(\iota_{X[0]})$ で定めると、定理 6.2 の 2 の証明と同じく $\mathrm{K}$ の同型で、$F(\omega)$ はホモトピー同値、したがって擬同型である（命題 4.2［鎖複体とホモトピー圏］ の 3）。よって $R^nF(X) = H^n(F(I)) \cong H^n(F(I_{X[0]})) = H^n(\mathbf{R}F(X[0]))$（$H^n$ は $\mathrm{D}^{+}(\mathcal{B})$ 上で定まる。定理 4.3 の 3）。自然性：$g : X \to Y$ について、$R^nF(g)$ は $g$ の持ち上げ $\psi : I \to I'$ から作られ（定理 5.2［導来関手と δ 関手］ の 1 によりその選び方によらない）、$\omega'\psi$ と $\widetilde{Q(g[0])}\,\omega$（$I \to I_{Y[0]}$）は、どちらも $Q$ で送って $Q(\varepsilon_X)$ と合成すると $Q(\iota_{Y[0]})Q(g[0])$ を与え（$\psi\varepsilon_X = \varepsilon_Y g$ を使う）、$Q(\varepsilon_X)$ は同型なので $Q$ の像が等しい。定理 5.3 の 1 の単射性から $\mathrm{K}$ で等しい。$H^n(F(-))$ を施せば可換性が得られる。

∎

こうして、ばらばらの関手 $R^nF$ は一つの三角関手 $\mathbf{R}F$ のコホモロジーとして得られます。導来関手の長完全列は、補題 4.4 の完全三角形を三角関手 $\mathbf{R}F$ で送り、コホモロジー的関手 $H^0$ の長完全列（命題 4.2［三角圏とホモトピー圏の三角構造］）をとったものです。$\operatorname{Hom}(X, -)$ に適用すれば $H^n(\mathbf{R}\operatorname{Hom}(X, Y)) \cong \operatorname{Ext}^n(X, Y)$ で、系 5.5 と合わせると Ext が二通りに導来圏で表されます。

命題 6.5（全導来関手の合成）✓

$\mathcal{A}, \mathcal{B}$ が十分に入射対象をもつとし、$F : \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ を加法関手、$G : \mathcal{B} \to \mathcal{C}$ を左完全関手とする。$F$ が $\mathcal{A}$ の入射対象を $G$ 非輪状対象（定義 5.4［導来関手と δ 関手］）に送るなら、関手 $\mathrm{D}^{+}(\mathcal{A}) \to \mathrm{D}^{+}(\mathcal{C})$ の自然同型 $\mathbf{R}(G \circ F) \cong \mathbf{R}G \circ \mathbf{R}F$ がある。

証明（命題 6.5）

$\mathbf{R}G$ に使う擬同型を $\iota'_Z : Z \to J_Z$ と書く。$X \in \mathrm{K}^{+}(\mathcal{A})$ について $\mathbf{R}(GF)(X) = GF(I_X)$、$\mathbf{R}G(\mathbf{R}F(X)) = G(J_{F(I_X)})$ で、比較の射 $\kappa_X = Q(G(\iota'_{F(I_X)}))$ が同型であることを示す。

$\iota' = \iota'_{F(I_X)}$ の錐 $C = \operatorname{Cone}(\iota')$ は下に有界な非輪状複体で（系 5.4［鎖複体とホモトピー圏］）、各項 $C^n = F(I_X^{n+1}) \oplus J^n$ は $G$ 非輪状である。実際 $F(I_X^{n+1})$ は仮定から、入射対象 $J^n$ は 定理 5.2［導来関手と δ 関手］ の 3 から $G$ 非輪状で、$R^kG$ は加法関手（同定理の 1）なので双積を双積に送る（命題 3.7［加法圏とアーベル圏］）。補題 5.5［導来関手と δ 関手］ により $G(C)$ は非輪状である。加法関手は写像錐を保つので $G(C) = \operatorname{Cone}(G(\iota'))$ で、$G(\iota')$ は擬同型、$\kappa_X$ は同型である。

自然性：$\varphi : X \to Y$ について、$\mathbf{R}G(\mathbf{R}F(\varphi)) = Q(G(\psi))$ で、$\psi : J_{F(I_X)} \to J_{F(I_Y)}$ は $Q(\psi)Q(\iota'_{F(I_X)}) = Q(\iota'_{F(I_Y)})Q(F(\tilde\varphi))$ を満たす。定理 5.3 の 1 の単射性から $\mathrm{K}$ で $\psi\iota'_{F(I_X)} = \iota'_{F(I_Y)}F(\tilde\varphi)$ で、$G$ を施すと $\mathbf{R}G(\mathbf{R}F(\varphi))\kappa_X = \kappa_Y\,\mathbf{R}(GF)(\varphi)$。

∎

注意 6.6（Grothendieck のスペクトル系列との関係）

命題 6.5 は、$H^n$ をとる前の水準での合成公式です。右辺 $\mathbf{R}G(\mathbf{R}F(X))$ のコホモロジーを $R^pG(R^qF(X))$ から計算しようとすると、複体 $\mathbf{R}F(X)$ の超コホモロジーのスペクトル系列が現れ、これが Grothendieck のスペクトル系列 $E_2^{p,q} = R^pG(R^qF(X)) \Rightarrow R^{p+q}(GF)(X)$ です。導来圏の言葉では、合成公式そのものは等式で、スペクトル系列は「その等式をコホモロジーで読むための計算手段」という位置づけになります。スペクトル系列の構成と収束は、このテーマのスペクトル系列の 2 章で扱います（定理 5.1［Grothendieck のスペクトル系列と超コホモロジー］）。

7. 大域次元 1 以下のアーベル圏

命題 7.1（大域次元 1 以下での対象の分類）✓

$\mathcal{A}$ を十分に射影対象と入射対象をもつアーベル圏とし、大域次元（定義 6.4［導来関手と δ 関手］）が $1$ 以下とする。$X \in \mathrm{D}(\mathcal{A})$ が有限個の $n$ を除いて $H^n(X) = 0$ を満たすなら、$\mathrm{D}(\mathcal{A})$ で

$$X \cong \bigoplus_{n} H^n(X)[-n]$$

である（右辺は有限個の双積）。

証明（命題 7.1）

$H^n(X) \ne 0$ となる $n$ の個数についての帰納法で示す。個数が $0$ なら $0 \to X$ は擬同型で $X \cong 0$。そうでないとき、$H^n(X) \ne 0$ となる最大の $n$ を $b$ とする。$k > b$ で $H^k(X) = 0$ なので、命題 6.2［鎖複体とホモトピー圏］ により $Y = \tau^{\le b}X \to X$ は擬同型で、$X \cong Y$。$X' = \tau^{\le b-1}Y$ は $Y$ の部分複体で、商複体 $W = Y/X'$ との短完全列 $0 \to X' \to Y \to W \to 0$ がある。コホモロジーの長完全列（定理 3.1［鎖複体とホモトピー圏］）と 命題 6.2［鎖複体とホモトピー圏］（$k \le b - 1$ で $H^k(X') \cong H^k(Y)$、$k \ge b$ で $H^k(X') = 0$）から、$W$ のコホモロジーは次数 $b$ だけにあり $H^b(W) \cong H^b(X)$ である。命題 4.5 をシフトして使うと $W \cong H^b(X)[-b]$ である。

補題 4.4 から完全三角形 $X' \to Y \to H^b(X)[-b] \xrightarrow{w} X'[1]$ が得られる。帰納法の仮定から $X' \cong \bigoplus_{k < b} H^k(X)[-k]$ なので、$w$ は成分

$$w_k \in \operatorname{Hom}_{\mathrm{D}}(H^b(X)[-b], H^k(X)[-k+1]) \cong \operatorname{Hom}_{\mathrm{D}}(H^b(X)[0], H^k(X)[b - k + 1]) \cong \operatorname{Ext}^{b-k+1}(H^b(X), H^k(X))$$

で決まる（双積への射は成分で決まり、シフトは Hom の同型を与え、最後は 系 5.5）。$k < b$ なので $b - k + 1 \ge 2$ で、大域次元が $1$ 以下なら射影次元はすべて $1$ 以下だから、命題 6.5［導来関手と δ 関手］ によりこの Ext は $0$ である。よって $w = 0$ で、命題 4.4［三角圏とホモトピー圏の三角構造］ から $Y \cong X' \oplus H^b(X)[-b]$ となり、主張が従う。

∎

例 7.2（体とアーベル群の場合）

(a) 体 $k$ 上では、三角圏とホモトピー圏の三角構造 の例で見たとおり、複体はホモトピー圏ですでに $\bigoplus_n H^n(X)[-n]$ と同型で、擬同型はすべて同型です。したがって $Q : \mathrm{K}(\mathsf{Vect}_k) \to \mathrm{D}(\mathsf{Vect}_k)$ は圏の同型で、$\mathrm{D}^b(\mathsf{Vect}_k)$ は有限個の次数だけが $0$ でない次数付きベクトル空間の圏と圏同値です。

(b) $\mathsf{Ab}$ は十分に射影対象と入射対象をもち（命題 5.1［射影対象・入射対象と Grothendieck 圏］）、任意のアーベル群は自由アーベル群からの全射を受け、その核は自由アーベル群の部分群なので自由です（補題 3.1［コホモロジーと双対性］）。よって射影次元は $1$ 以下で、大域次元は $1$ 以下です。命題 7.1 により、コホモロジーが有界な複体はアーベル群のシフトの直和に同型です。ただし射は次数ごとの準同型の組だけではありません。たとえば $\operatorname{Hom}_{\mathrm{D}}(\mathbb{Z}/2[0], \mathbb{Z}[1]) \cong \operatorname{Ext}^1(\mathbb{Z}/2, \mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}/2$ は、$H^n$ の間の準同型では見えない射です（例 4.6）。対象は「コホモロジーで分類」できても、圏としては次数付きアーベル群の圏と同値ではありません。

注意 7.3（非有界な複体と強化）

この記事では入射複体を下に有界な場合に限りました。非有界な複体では 補題 5.1 の帰納法が始められず、各項が入射的でも $\operatorname{Hom}_{\mathrm{K}}(C, I) = 0$ とは限りません。そこで「すべての非輪状複体 $C$ について $\operatorname{Hom}_{\mathrm{K}}(C, I) = 0$」を定義とする K 入射複体を使い、Grothendieck 圏では任意の複体が K 入射複体と擬同型であることを示します（Spaltenstein、Serpé）。これにより非有界な $\mathbf{R}F$ も定義できます。また、導来圏の錐が関手的でない問題（三角圏の章の注意）は、複体のなす dg 圏や安定 $\infty$ 圏を使った強化で解消されます。どちらも高次圏論のテーマで扱う予定です。文献は Kashiwara–Schapira の第 14 章、Lurie『Higher Algebra』第 1 章です。

8. 演習

演習 8.1易

鎖写像 $f : X \to Y$ について、$\mathrm{D}(\mathcal{A})$ で $Q(f) = 0$ となるのは、擬同型 $t : Y \to Y'$ で $t f$ が零ホモトピックになるものが存在するときであり、またそのときに限ることを示せ。さらに $\mathsf{Ab}$ で、零ホモトピックでない鎖写像 $f$ で $Q(f) = 0$ となる例を挙げよ。

解答

定理 2.3 の 3 を $g = 0$ に使えば、$Q(f) = Q(0)$ は「$\mathrm{K}$ で $t f = t 0 = 0$ となる擬同型 $t$ がある」ことと同値です。

例：$E$ を、短完全列 $0 \to \mathbb{Z} \xrightarrow{2} \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/2 \to 0$ を次数 $-1, 0, 1$ に置いた複体とし、$f = \mathrm{id}_E$ とします。$E$ は非輪状ですが可縮ではないので（鎖複体とホモトピー圏 の例）、$f$ は零ホモトピックではありません。一方 $t : E \to 0$ は擬同型で $t f = 0$ なので、$Q(f) = 0$ です。実際 $\mathrm{D}(\mathsf{Ab})$ では $E \cong 0$ です。

演習 8.2標準

短完全列 $0 \to \mathbb{Z} \xrightarrow{2} \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/2 \to 0$ に 補題 4.4 を適用して得られる $\mathrm{D}(\mathsf{Ab})$ の完全三角形 $\mathbb{Z}[0] \to \mathbb{Z}[0] \to \mathbb{Z}/2[0] \xrightarrow{w} \mathbb{Z}[1]$ について、$w \ne 0$ を示せ。さらに $w$ が $\operatorname{Hom}_{\mathrm{D}}(\mathbb{Z}/2[0], \mathbb{Z}[1])$ の生成元であることを示せ。

解答

$w = 0$ なら、命題 4.4［三角圏とホモトピー圏の三角構造］ により $Q(2)$ は $\mathrm{D}(\mathsf{Ab})$ でレトラクション $r$ をもちます。命題 4.5 から $r = Q(r_0[0])$（$r_0 : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ は準同型）と書け、忠実性から $r_0 \circ 2 = \mathrm{id}$ ですが、$r_0(2) = 2r_0(1) = 1$ は解をもたないので矛盾です。よって $w \ne 0$ です。系 5.5 により $\operatorname{Hom}_{\mathrm{D}}(\mathbb{Z}/2[0], \mathbb{Z}[1]) \cong \operatorname{Ext}^1(\mathbb{Z}/2, \mathbb{Z})$ で、これは位数 $2$ の群です（導来関手と δ 関手 の Abel 群の Ext の計算）。$0$ でない元は一つしかないので、$w$ は生成元です。

演習 8.3難

$k$ を体とする。コホモロジーが有界な $X, Y \in \mathrm{D}(\mathsf{Vect}_k)$ について、$\operatorname{Hom}_{\mathrm{D}}(X, Y) \cong \prod_n \operatorname{Hom}_k(H^n(X), H^n(Y))$ を、命題 7.1 と 系 5.5 から導け。

解答

$\mathsf{Vect}_k$ では短完全列が分裂するので、すべての対象は射影的かつ入射的です。とくに $B$ の入射分解として $B$ 自身（長さ $0$）がとれ、$k \ge 1$ で $\operatorname{Ext}^k(A, B) = H^k(\operatorname{Hom}(A, B[0])) = 0$ です。大域次元は $0$ なので 命題 7.1 が使え、$X \cong \bigoplus_m H^m(X)[-m]$、$Y \cong \bigoplus_n H^n(Y)[-n]$（有限和）です。双積の間の Hom は成分の Hom の積で、

$$\operatorname{Hom}_{\mathrm{D}}(A[-m], B[-n]) \cong \operatorname{Hom}_{\mathrm{D}}(A[0], B[m - n]) \cong \operatorname{Ext}^{m-n}(A, B)$$

は $m = n$ のとき $\operatorname{Hom}_k(A, B)$、それ以外では $0$ です（系 5.5。負の次数でも $0$）。よって $\operatorname{Hom}_{\mathrm{D}}(X, Y) \cong \prod_n \operatorname{Hom}_k(H^n(X), H^n(Y))$ です。アーベル群では $\operatorname{Ext}^1$ の項が残り、この同型は成り立ちません（例 7.2）。

参考文献

• J.-L. Verdier, Des catégories dérivées des catégories abéliennes, Astérisque 239, Société Mathématique de France, 1996 — 導来圏と Verdier 商の原論文（1967 年の学位論文）。
• R. Hartshorne, Residues and Duality, Lecture Notes in Mathematics 20, Springer, 1966 — 第 I 章（導来圏と導来関手）。
• P. Gabriel, M. Zisman, Calculus of Fractions and Homotopy Theory, Ergebnisse der Mathematik 35, Springer, 1967 — 第 I 章（分数の圏）。
• C. A. Weibel, An Introduction to Homological Algebra, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 38, Cambridge University Press, 1994 — 第 10 章。
• M. Kashiwara, P. Schapira, Categories and Sheaves, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 332, Springer, 2006 — 第 7 章（局所化）、第 10 章（三角圏と Verdier 商）、第 13 章（導来圏）。
• A. Neeman, Triangulated Categories, Annals of Mathematics Studies 148, Princeton University Press, 2001 — 第 2 章（Verdier 商）。

Appendix A: 分数の圏の構成

この Appendix では 定理 2.3 を証明します。

証明（定理 2.3）

1. 対象 $Y$ について、圏 $I_Y$ を、対象は $S$ の射 $s : Y \to Y'$ の組 $(Y', s)$、$(Y', s)$ から $(Y'', s')$ への射は $u s = s'$ を満たす $\mathcal{C}$ の射 $u : Y' \to Y''$ として定める。$\mathcal{C}$ を元として含む宇宙 $\mathbb{U}'$ をとると（公理 2.2［圏・関手・自然変換］）、$I_Y$ は $\mathbb{U}'$ について小さい（命題 2.3［圏・関手・自然変換］）。$I_Y$ はフィルター圏（定義 6.1［極限と余極限］）である。(i) $(Y, \mathrm{id})$ がある（S1）。(ii) $(Y_1, s_1)$、$(Y_2, s_2)$ について、(S2) を $s_1$ と $s_2$ に使うと $g s_1 = t s_2$（$t \in S$）となる $g$、$t$ があり、$t s_2 \in S$ なので $g$、$t$ は $(W, t s_2)$ への射である。(iii) 平行な射 $u, u' : (Y', s) \to (Y'', s')$ は $u s = u' s$ を満たすので、(S3) から $w u = w u'$ となる $w \in S$ があり、$w$ は $(Y'', s')$ から $(V, w s')$ への射である。関手 $(Y', s) \mapsto \operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X, Y')$、$u \mapsto u \circ (-)$ について、命題 6.3［極限と余極限］（宇宙 $\mathbb{U}'$ で適用する）の関係は 1 の $\approx$ そのものなので、$\approx$ は同値関係で、類の集合はこの関手の余極限である。とくに $u s \in S$ なら $(f, s) \approx (u f, u s)$ で、$(f, s) \approx (f', s')$ なら、ある $u, u'$ について $(u f, u s) = (u' f', u' s')$ である。

2, 合成の well-defined 性. $[f, s] : X \to Y$（$s : Y \to Y'$）と $[g, t] : Y \to Z$（$t : Z \to Z'$）について、$g' s = t' g$、$t' \in S$ を満たす組 $(g', t')$ を補完と呼ぶ。

(a) 補完によらない：二つの補完 $(g_1, t_1 : Z' \to W_1)$、$(g_2, t_2 : Z' \to W_2)$ について、(S2) を $t_1$ と $t_2$ に使って $x t_1 = v t_2$（$v \in S$）を得る。$(x g_1) s = x t_1 g = v t_2 g = (v g_2) s$ なので、(S3) から $w x g_1 = w v g_2$ となる $w \in S$ がある。$u = w x$、$u' = w v$ とおくと $u t_1 t = u' t_2 t \in S$、$u g_1 f = u' g_2 f$ なので $[g_1 f, t_1 t] = [g_2 f, t_2 t]$。

(b) 第 1 因子の代表によらない：1 の最後の注意から、$(f, s)$ を $(u f, u s)$（$u s \in S$）に取り替えても変わらないことを示せばよい。$(u s, g)$ の補完 $(g'', t'')$ をとると、$(g'' u, t'')$ は $(s, g)$ の補完で、どちらで計算しても $[g'' u f, t'' t]$ である。(a) により主張が従う。

(c) 第 2 因子の代表によらない：$(g, t)$ を $(v g, v t)$（$v t \in S$）に取り替える。$(s, g)$ の補完 $(g', t' : Z' \to W)$ に対し、(S2) を $t'$ と $v$ に使って $y t' = x v$（$x \in S$）を得ると、$(y g', x)$ は $(s, v g)$ の補完で（$y g' s = y t' g = x v g$）、合成は $[y g' f, x v t]$。$y t' t = x v t \in S$ なので 1 の注意から $[g' f, t' t] = [y g' f, y t' t] = [y g' f, x v t]$。

2, 圏であること. 結合法則：$[h, r] : Z \to V$（$r : V \to V'$）を加える。$(s, g)$ の補完 $(g_1, t_1 : Z' \to Z_1)$ と $(t, h)$ の補完 $(h_1, r_1 : V' \to W_1)$ をとり、(S2) を $t_1$ と $h_1$ に使って $h_1' t_1 = m h_1$（$m \in S$）を得る。$(h_1', m r_1)$ は $(t_1 t, h)$ の補完で（$h_1' t_1 t = m h_1 t = m r_1 h$）、$(h_1' g_1, m)$ は $(s, h_1 g)$ の補完である（$h_1' g_1 s = h_1' t_1 g = m h_1 g$）。どちらの順に合成しても $[h_1' g_1 f, m r_1 r]$ になる。恒等射は $[\mathrm{id}, \mathrm{id}]$ で、$(\mathrm{id}, s)$ は $(s, \mathrm{id})$ の補完、$(f, \mathrm{id})$ は $(\mathrm{id}, f)$ の補完なので、単位法則が成り立つ。

2, Q と普遍性. $(g, \mathrm{id})$ は $(\mathrm{id}, g)$ の補完なので $Q(g)Q(f) = [g f, \mathrm{id}]$ で、$Q$ は関手である。$s : X \to X'$（$s \in S$）について、$[\mathrm{id}_{X'}, s]$ は $Q(s)$ の逆射である。実際 $[\mathrm{id}, s] \circ [s, \mathrm{id}] = [s, s] = [\mathrm{id}, \mathrm{id}]$（1 の注意で $u = s$）、$[s, \mathrm{id}] \circ [\mathrm{id}, s] = [\mathrm{id}, \mathrm{id}]$（補完 $(\mathrm{id}, \mathrm{id})$）。$Q(s)^{-1}Q(f) = [\mathrm{id}, s] \circ [f, \mathrm{id}] = [f, s]$。$S$ の射を同型に送る $F$ について、$\bar F([f, s]) = F(s)^{-1}F(f)$ は well-defined である：$(u f, u s)$（$u s \in S$）に取り替えると、$F(u) = F(us)F(s)^{-1}$ は同型で、$F(us)^{-1}F(uf) = F(s)^{-1}F(f)$。補完 $g' s = t' g$ から $F(t')^{-1}F(g') = F(g)F(s)^{-1}$ なので $\bar F$ は合成を保ち、$\bar F Q = F$。$[f, s] = Q(s)^{-1}Q(f)$ なので、$\bar F Q = F$ を満たす関手はこれしかない。

3. $[f, \mathrm{id}] \approx [g, \mathrm{id}]$ は「$u = u' \in S$ かつ $u f = u' g$ となる $u, u'$ がある」ことである。

4. $Q$ は対象の上で恒等なので $\sigma \mapsto \sigma Q$ は単射。$\alpha : FQ \Rightarrow GQ$ について、成分 $\alpha_X$ は $Q(f)$ についての自然性を満たし、$Q(s)$ についての自然性 $G(Q(s))\alpha_X = \alpha_{X'}F(Q(s))$ から逆射 $Q(s)^{-1}$ についての自然性も従う。$\mathcal{C}[S^{-1}]$ の射は $Q(s)^{-1}Q(f)$ の形なので、$\alpha$ は自然変換 $F \Rightarrow G$ である。

5. $[f, s]$（$f : X \to Y'$、$s : Y \to Y'$）に (S2$'$) を使うと、$f s' = s g$ となる $s' : X' \to X$（$s' \in S$）と $g : X' \to Y$ があり、$Q(s)^{-1}Q(f) = Q(g)Q(s')^{-1}$。後半：3 の $t f = t g$ から (S3$'$) で $f s = g s$ となる $s \in S$ が得られ、逆に $f s = g s$ なら $Q(s)$ が同型なので $Q(f) = Q(g)$。

∎

Appendix B: Verdier 商の TR3 と TR4

この Appendix では 定理 3.1 の状況で、$S = S_{\mathcal{N}}$ と書きます。

補題 8.4（錐の取り替え）✓

1. $T = (X, Y, Z, u, v, w)$、$\bar T = (\bar X, Y, \bar Z, u\sigma, \bar v, \bar w)$ を完全三角形、$\sigma : \bar X \to X$ を $S$ の射とする。$(\sigma, \mathrm{id}_Y, c) : \bar T \to T$ が三角形の射になる $c \in S$ がある。
2. $T = (X, Y, Z, u, v, w)$、$T' = (X, Y', Z', \tau u, v', w')$ を完全三角形、$\tau : Y \to Y'$ を $S$ の射とする。$(\mathrm{id}_X, \tau, c) : T \to T'$ が三角形の射になる $c \in S$ がある。

証明（補題 8.4）

1：$\sigma$ の完全三角形 $\bar X \xrightarrow{\sigma} X \to C_\sigma \to \bar X[1]$（$C_\sigma \in \mathcal{N}$）と $\bar T$、$T$ に TR4（定義 2.2［三角圏とホモトピー圏の三角構造］）を合成 $\bar X \xrightarrow{\sigma} X \xrightarrow{u} Y$ について使うと、$(\sigma, \mathrm{id}_Y, \beta) : \bar T \to T$ が三角形の射になる $\beta : \bar Z \to Z$ と、完全三角形 $C_\sigma \to \bar Z \xrightarrow{\beta} Z \to C_\sigma[1]$ が得られる。回転 $\bar Z \xrightarrow{\beta} Z \to C_\sigma[1] \to \bar Z[1]$ が完全なので $\beta$ の錐は $C_\sigma[1] \in \mathcal{N}$ で、$c = \beta \in S$。2：合成 $X \xrightarrow{u} Y \xrightarrow{\tau} Y'$ に TR4 を使うと、$(\mathrm{id}_X, \tau, \alpha) : T \to T'$ が三角形の射になる $\alpha$ と完全三角形 $Z \xrightarrow{\alpha} Z' \to C_\tau \to Z[1]$（$C_\tau \in \mathcal{N}$）が得られ、$c = \alpha \in S$。

∎

補題 8.5（Verdier 商の TR3）✓

定理 3.1 の 2 で定めた $\mathcal{D}/\mathcal{N}$ の完全三角形は TR3 を満たす。

証明（補題 8.5）

TR3 の主張は三角形の同型で移るので、完全三角形が $\mathcal{D}$ の完全三角形 $T = (X, Y, Z, u, v, w)$、$T' = (X', Y', Z', u', v', w')$ の像で、$a : X \to X'$、$b : Y \to Y'$ が $\mathcal{D}/\mathcal{N}$ の射で $b Q(u) = Q(u') a$ を満たす場合を示せばよい。定理 2.3 の 5 により $a = Q(\alpha)Q(\sigma)^{-1}$、$b = Q(\beta)Q(\tau)^{-1}$（$\sigma : \tilde X \to X$、$\tau : \tilde Y \to Y$ は $S$ の射）と書ける。(S2$'$) を $\tau$ と $u\sigma$ に使うと、$u\sigma\sigma' = \tau\tilde u$ となる $\sigma' \in S$、$\tilde u$ がある。すると

$$Q(\beta\tilde u) = b\,Q(\tau\tilde u) = b\,Q(u)\,Q(\sigma\sigma') = Q(u')\,a\,Q(\sigma\sigma') = Q(u'\alpha\sigma'),$$

なので、5 の後半から $\beta\tilde u s_0 = u'\alpha\sigma' s_0$ となる $s_0 \in S$ がある。$\rho = \sigma\sigma' s_0 \in S$、$\bar u = \tilde u s_0$、$\bar\alpha = \alpha\sigma' s_0$ とおくと、$\mathcal{D}$ で $u\rho = \tau\bar u$、$\beta\bar u = u'\bar\alpha$ で、$a = Q(\bar\alpha)Q(\rho)^{-1}$ である。

$\bar u$ の完全三角形 $\bar T = (\bar X, \tilde Y, \bar Z, \bar u, \ldots)$ と、$\tau\bar u = u\rho$ の完全三角形 $T_1$ をとる。補題 8.4 の 2 から $(\mathrm{id}, \tau, c_1) : \bar T \to T_1$、同じ補題の 1 から $(\rho, \mathrm{id}, c_2) : T_1 \to T$ が三角形の射で $c_1, c_2 \in S$。合成 $(\rho, \tau, c_2c_1) : \bar T \to T$ の成分はすべて $S$ に属するので、$Q$ で送ると三角形の同型になる。一方 $(\bar\alpha, \beta)$ は $\beta\bar u = u'\bar\alpha$ を満たすので、$\mathcal{D}$ の TR3 から三角形の射 $(\bar\alpha, \beta, \bar c) : \bar T \to T'$ がある。$Q$ で送った射と、上の同型の逆との合成

$$\bigl(Q(\bar\alpha)Q(\rho)^{-1},\ Q(\beta)Q(\tau)^{-1},\ Q(\bar c)Q(c_2c_1)^{-1}\bigr) = \bigl(a,\ b,\ Q(\bar c)Q(c_2c_1)^{-1}\bigr)$$

は $Q(T)$ から $Q(T')$ への三角形の射である。

∎

補題 8.6（Verdier 商の TR4）✓

定理 3.1 の 2 で定めた $\mathcal{D}/\mathcal{N}$ の完全三角形は TR4 を満たす。

証明（補題 8.6）

補題 8.5 と TR1・TR2 (a) により $\mathcal{D}/\mathcal{N}$ は三角圏の章の条件 (P) を満たすので、錐の一意性（系 3.5［三角圏とホモトピー圏の三角構造］）が使える。

取り替えの原理. TR4 の結論は次の二つの取り替えで保たれる。(i) 与えられた 3 つの完全三角形を、最初の 2 項を固定した三角形の同型 $(\mathrm{id}, \mathrm{id}, c_u)$ などで取り替える：新しい三角形に対しては $\alpha' = c_{vu}\alpha c_u^{-1}$、$\beta' = c_v\beta c_{vu}^{-1}$ が条件を満たす。たとえば $\alpha' j'_u = c_{vu}\alpha c_u^{-1}c_u j_u = c_{vu} j_{vu} v = j'_{vu} v$、$k'_{vu}\alpha' = k_{vu}\alpha c_u^{-1} = k_u c_u^{-1} = k'_u$、同様に $\beta' j'_{vu} = c_v\beta j_{vu} = c_v j_v = j'_v$、$k'_v\beta' = k_v\beta c_{vu}^{-1} = u[1]k_{vu}c_{vu}^{-1} = u[1]k'_{vu}$ で、最後の三角形は $(c_u, c_{vu}, c_v)$ によって元の三角形と同型である（第 3 の正方形は $c_u[1]\,j_u[1]k_v = j'_u[1]k'_v c_v$）。(ii) 合成可能な組 $(\varphi, \psi)$ を、同型 $a_X, a_Y, a_Z$ で可換に結ばれた組 $(\varphi_1, \psi_1)$（$\varphi_1 a_X = a_Y\varphi$、$\psi_1 a_Y = a_Z\psi$）に取り替える：三角形を同型で移せば、(i) と同じ計算で $\alpha$、$\beta$ が移る。

帰着. $\varphi : X \to Y$、$\psi : Y \to Z$ を $\mathcal{D}/\mathcal{N}$ の射とする。$\varphi = Q(t)^{-1}Q(f)$（$f : X \to Y_1$、$t : Y \to Y_1$、$t \in S$）、$\psi Q(t)^{-1} = Q(r)^{-1}Q(g)$（$g : Y_1 \to Z_1$、$r : Z \to Z_1$、$r \in S$）と書くと、同型 $(\mathrm{id}_X, Q(t), Q(r))$ によって $(\varphi, \psi)$ は $(Q(f), Q(g))$ と可換に結ばれる。(ii) により $(Q(f), Q(g))$ について示せばよい。$f$、$gf$、$g$ の $\mathcal{D}$ の完全三角形の像は完全三角形で、錐の一意性から与えられた三角形と (i) の形の同型で結ばれるので、(i) によりそれらの像について示せばよい。$\mathcal{D}$ の TR4 で得られる $\alpha$、$\beta$ と完全三角形を $Q$ で送れば、$Q$ は三角関手なのでそれが求めるものである。

∎