分数の圏による局所化

$\mathcal{C}$ を圏、$S$ を分数計算を許す射の集合とする。

1. 対象 $X, Y$ について、組 $(f, s)$（$s : Y \to Y'$ は $S$ の射、$f : X \to Y'$）の上の関係 $(f, s) \approx (f', s')$ を「射 $u : Y' \to W$、$u' : Y'' \to W$ で $u s = u' s' \in S$ かつ $u f = u' f'$ となるものがある」で定めると、$\approx$ は同値関係である。$(f, s)$ の類を $[f, s]$ と書く（$s^{-1} f$ と読む）。
2. 対象を $\mathcal{C}$ と同じにし、$\operatorname{Hom}(X, Y)$ を類 $[f, s]$ の集合、合成を

と定めた圏 $\mathcal{C}[S^{-1}]$ と、$Q(f) = [f, \mathrm{id}]$ で定まる関手 $Q$ は、$S$ による局所化である。このとき $[f, s] = Q(s)^{-1} Q(f)$ である。 3. $Q(f) = Q(g)$ であることと、$t f = t g$ となる $t \in S$ が存在することは同値である。 4. 任意の圏 $\mathcal{E}$ と関手 $F, G : \mathcal{C}[S^{-1}] \to \mathcal{E}$ について、$\sigma \mapsto \sigma Q$ は全単射 $\operatorname{Nat}(F, G) \to \operatorname{Nat}(FQ, GQ)$ である。 5. $S$ が乗法系なら、$\mathcal{C}[S^{-1}]$ のすべての射は $Q(g)Q(s)^{-1}$（$s \in S$）の形に書け、$Q(f) = Q(g)$ であることと $f s = g s$ となる $s \in S$ が存在することは同値である。