乗法系

圏 $\mathcal{C}$ の射の集合 $S$ について、次の条件を考える。

• (S1) すべての恒等射は $S$ に属し、$S$ は合成で閉じている。
• (S2) $s : X \to X'$ が $S$ に属し、$f : X \to Y$ が射なら、$S$ に属する $t : Y \to Y'$ と射 $g : X' \to Y'$ で $g s = t f$ となるものがある。
• (S3) 平行な射 $f, g : X \to Y$ と $S$ に属する $s : W \to X$ が $f s = g s$ を満たせば、$S$ に属する $t : Y \to Y'$ で $t f = t g$ となるものがある。

(S2)・(S3) の矢印をすべて逆にした条件を (S2$'$)・(S3$'$) とする。すなわち (S2$'$) は「$t : Y' \to Y$ が $S$ に属し $f : X \to Y$ なら、$S$ に属する $s : X' \to X$ と $g : X' \to Y'$ で $f s = t g$ となるものがある」、(S3$'$) は「$t f = t g$（$t \in S$）なら $f s = g s$ となる $s \in S$ がある」である。(S1)〜(S3) を満たす $S$ を分数計算を許すといい、さらに (S2$'$)・(S3$'$) も満たすとき乗法系という。