群のコホモロジーと群の拡大：bar 分解・交差準同型・Schur–Zassenhaus・Hilbert 90

0. この記事の要点

群が整数や体の元のような「数の集まり」に作用しているとき、「作用で動かない元はどれだけあるか」「作用でねじれた準同型はどれだけあるか」「その集まりを核にもつ群は何通りあるか」といった問いが自然に出てきます。この記事は、これらの問いを群のコホモロジーという一つの道具で数える方法を作ります。読み終えると、小さな群でコホモロジーを実際に計算し、群の拡大が半直積になるかどうかを判定できるようになります。

• 群 $G$ が Abel 群 $M$ に作用しているとき（$G$ 加群）、$G$ 加群の圏はアーベル圏で、核・余核・完全性は台の Abel 群で判定できます。群のコホモロジー $H^n(G, M)$ は、自明な $G$ 加群 $\mathbb{Z}$ の射影分解 $P_\bullet$ をとって $\operatorname{Hom}_G(P_\bullet, M)$ のコホモロジーとして定め、分解の取り方によりません。これは $\mathbb{Z}[G]$ 加群の $\operatorname{Ext}^n_{\mathbb{Z}[G]}(\mathbb{Z}, M)$ です。
• 具体的な射影分解として bar 分解があり、その完全性は台の Abel 群の縮約ホモトピーで示せます。これから $H^n(G, M)$ は「$G^n$ 上の $M$ 値関数」のなすコチェイン複体のコホモロジーとして計算できます。
• $H^0(G, M) = M^G$、$H^1(G, M)$ は交差準同型を主交差準同型で割ったもの、$H_1(G, \mathbb{Z}) \cong G^{\mathrm{ab}}$ です。$H^2(G, M)$ は「$M$ を核とし作用を固定した $G$ の拡大」の同値類と 1 対 1 に対応し、$0$ は半直積に対応します。
• 巡回群には周期 2 の自由分解があり、$H^n(\mathbb{Z}/m, \mathbb{Z})$ は $n$ が正の偶数なら $\mathbb{Z}/m$、奇数なら $0$ です。Shapiro の補題は部分群のコホモロジーを余誘導加群（部分群の加群から $G$ 加群を作る操作の一つ）のコホモロジーに移します。
• 指数有限の部分群について余制限と制限の合成は指数倍で、有限群では $n \ge 1$ の $H^n(G, M)$ は $|G|$ で消えます。系として、位数と指数が互いに素な Abel 正規部分群は補群をもち、補群はすべて共役です（Schur–Zassenhaus の定理の Abel 核の場合）。
• 体 $L$ の有限な自己同型群 $G$ について $H^1(G, L^\times) = 0$、$H^1(G, L) = 0$ です（Hilbert の定理 90 の一般形と加法版）。証明は Dedekind の補題（相異なる体の準同型は一次独立である、という補題）だけを使います。

この記事で使う事前知識

• アーベル圏: 核と余核をもち、完全列を扱える圏。Abel 群の圏や加群の圏が典型例です。→ アーベル圏
• 完全列: 各項で「入ってくる写像の像 = 出ていく写像の核」となっている列。→ 完全列
• 射影対象: 全射に沿って写像を持ち上げられる対象。自由加群が典型例です。→ 射影対象
• コホモロジー: 複体で、出ていく写像の核を入ってくる写像の像で割ったもの。→ コホモロジー
• 正規部分群: 共役で自分自身に移る部分群。商群を作れます。→ 正規部分群
• 半直積: 正規部分群と、それに共役で作用する部分群から作る群。→ 半直積

1. 動機

群 $G$ が Abel 群 $M$ に作用しているとき、次の三つの問いは一見ばらばらです。

1. $M$ の元のうち、$G$ のすべての元で動かないものはどれだけあるか。
2. 写像 $f\colon G \to M$ で $f(gh) = f(g) + g f(h)$ を満たすもの（作用でねじれた準同型）は、どれだけ「自明でない」か。
3. $M$ を正規部分群とし、商が $G$ になる群 $E$ はどれだけあるか。とくに $E$ はいつ半直積 $M \rtimes G$ になるか。

群のコホモロジーは、これらがそれぞれ $H^0$、$H^1$、$H^2$ という一つの理論の低次の項であることを教えます。(1) は不変部分 $M^G$ です。(2) の写像は Galois 理論の Hilbert の定理 90 や、表現の拡大の分類に現れます。(3) は有限群論で群を「核と商」から組み立てるときの基本問題で、Schur–Zassenhaus の定理はその答えの一つです。

理論の形は可換環論の $\operatorname{Ext}$ と同じです。自明な $G$ 加群 $\mathbb{Z}$ の射影分解を作り、$\operatorname{Hom}$ をとってコホモロジーを計算します。ただし、係数環 $\mathbb{Z}[G]$ は $G$ が可換でない限り可換環ではないので、可換環上の加群の結果をそのまま引用することはできません。この章では、$G$ 加群の圏を「1 対象の圏 $G$ から Abel 群の圏への関手の圏」と見てアーベル圏の一般論に乗せ、鎖複体とホモトピー圏の章のホモトピーと長完全列、射影対象・入射対象と Grothendieck 圏の章の射影対象を使って、必要な比較定理をこの章の中で証明します。

計算の主役は bar 分解です。これは $\mathbb{Z}$ の自由分解を群の乗法だけから書き下したもので、そこから得られるコチェインの式が (2)・(3) の条件式そのものになります。後半では、部分群と商群の間でコホモロジーを移す制限・余制限・インフレーションを導入し、有限群と Galois 理論への応用を証明します。

2. 群環と G 加群

以下 $G$ は群で、単位元を $1$ と書きます。宇宙の約束（圏・関手・自然変換の章、公理 2.2［圏・関手・自然変換］）のもとで、$G$ と、これから扱う Abel 群はすべて小さい集合とします。Abel 群の圏 $\mathsf{Ab} = \mathsf{Mod}_{\mathbb{Z}}$ はアーベル圏で、mono は単射、epi は全射です（命題 4.6［加法圏とアーベル圏］）。

定義 2.1（群環）↗

$G$ の元を基底とする自由 Abel 群 $\mathbb{Z}[G] = \mathbb{Z}^{(G)}$（定義 2.2［加群・完全列・中山の補題］）に、基底の上で $g \cdot h = gh$（群の積）となる双線形な積

$$\Bigl(\sum_{g} a_g g\Bigr)\Bigl(\sum_{h} b_h h\Bigr) = \sum_{g, h} a_g b_h\, gh$$

を入れたものを $G$ の群環という。結合法則は群の結合法則から、単位元は $1 \in G$ である。環準同型 $\varepsilon\colon \mathbb{Z}[G] \to \mathbb{Z}$、$\varepsilon(\sum a_g g) = \sum a_g$ を添加写像という。

定義 2.2（G 加群・不変部分・余不変部分）↗

1. Abel 群 $M$ と $G$ の $M$ への作用（定義 2.1［群の作用と Sylow の定理］）$(g, m) \mapsto gm$ で、各 $g$ について $m \mapsto gm$ が群準同型であるものの組を $G$ 加群という。$G$ 加群 $M, N$ の間の群準同型 $f$ で $f(gm) = g f(m)$ を満たすものを $G$ 準同型といい、その全体を $\operatorname{Hom}_G(M, N)$ と書く。$G$ 加群と $G$ 準同型のなす圏を $\mathsf{Mod}_G$ と書く。
2. すべての $g$ で $gm = m$ となる $G$ 加群を自明な $G$ 加群という。とくに断らない限り $\mathbb{Z}$ は自明な $G$ 加群とみなす。
3. $M^G = \{ m \in M : gm = m \ (\forall g \in G)\}$ を不変部分、$M_G = M / \langle gm - m : g \in G, m \in M\rangle$ を余不変部分という。
4. 集合 $X$ について、$G \times X$ を基底とする自由 Abel 群に $g(h, x) = (gh, x)$ で作用を入れた $G$ 加群を $\mathbb{Z}[G]^{(X)}$ と書き、$X$ 上の自由 $G$ 加群という。$e_x = (1, x)$ と書く。

$G$ 加群の構造は、作用を線形に延ばして $(\sum a_g g) m = \sum a_g\, gm$ とおけば $\mathbb{Z}[G]$ 加群の構造と同じものです。逆に $\mathbb{Z}[G]$ 加群は $G \subset \mathbb{Z}[G]$ の作用で $G$ 加群になります。$\mathbb{Z}[G]^{(X)}$ は $\mathbb{Z}[G]$ 加群としては $\mathbb{Z}[G]$ の $X$ 個の直和です。

命題 2.3（G 加群の圏はアーベル圏）✓

$\mathsf{Mod}_G$ はアーベル圏である。$G$ 準同型 $f\colon M \to N$ の核・余核は、台の Abel 群の核 $\operatorname{Ker} f$・余核 $N/f(M)$ に誘導された作用を入れたものである。$f$ が mono であることと単射であること、epi であることと全射であることはそれぞれ同値で、$G$ 加群の列が $\mathsf{Mod}_G$ で完全であることと、台の Abel 群の列として完全であることは同値である。

証明（命題 2.3）

1 つの対象 $\ast$ をもち、$\operatorname{Hom}(\ast, \ast) = G$、合成を群の積、恒等射を $1$ とする圏を $BG$ と書きます。合成の結合法則と単位法則は群の公理そのものなので $BG$ は圏で、$G$ が小さいので小さい圏です（定義 3.2［圏・関手・自然変換］）。

関手 $F\colon BG \to \mathsf{Ab}$ は Abel 群 $F(\ast)$ と群準同型の族 $F(g)$ で $F(1) = 1$、$F(gh) = F(g) F(h)$ を満たすもの、すなわち $G$ 加群 $M = F(\ast)$、$gm = F(g)(m)$ と同じものです。自然変換 $\alpha\colon F \Rightarrow F'$ は 1 つの準同型 $\alpha_\ast$ で、自然性 $\alpha_\ast F(g) = F'(g) \alpha_\ast$ は $G$ 準同型の条件 $\alpha_\ast(gm) = g \alpha_\ast(m)$ そのものです。合成も一致するので、$\mathsf{Mod}_G$ は関手圏 $[BG, \mathsf{Ab}]$（定義 5.3［圏・関手・自然変換］）と同型な圏です。

$\mathsf{Ab}$ はアーベル圏（命題 4.6［加法圏とアーベル圏］）なので、命題 5.7［加法圏とアーベル圏］ により $[BG, \mathsf{Ab}]$ はアーベル圏で、核・余核は各対象で、すなわち唯一の対象 $\ast$ で $\mathsf{Ab}$ の核・余核をとって得られ、mono・epi・完全性も $\ast$ での $\mathsf{Ab}$ の性質で判定されます。$\mathsf{Ab}$ の核・余核は $\operatorname{Ker} f$ と $N / f(M)$、mono は単射、epi は全射です（命題 4.6［加法圏とアーベル圏］ の 1・2）。

∎

以下、$G$ 加群の完全列・部分加群・商加群は、台の Abel 群のそれに作用を入れたものとして扱います。

補題 2.4（自由 G 加群）✓

$X$ を集合とし、$F = \mathbb{Z}[G]^{(X)}$ とする。

1. 任意の $G$ 加群 $M$ と元の族 $(m_x)_{x \in X}$ に対し、$\psi(e_x) = m_x$ を満たす $G$ 準同型 $\psi\colon F \to M$ がただ一つある。したがって $\operatorname{Hom}_G(F, M) \to M^X$、$\psi \mapsto (\psi(e_x))_x$ は Abel 群の同型で、$M$ について自然である。
2. $F$ は $\mathsf{Mod}_G$ の射影対象である（定義 3.1［射影対象・入射対象と Grothendieck 圏］）。
3. $F_G \cong \mathbb{Z}^{(X)}$ で、同型は $g e_x \mapsto e_x$ で与えられる。
4. $H$ を $G$ の部分群とすると、$F$ は作用を $H$ に制限して自由 $H$ 加群である。正確には、右剰余類 $Hg$ の代表系 $R$ を一つ選ぶと、$F \cong \mathbb{Z}[H]^{(R \times X)}$（$H$ 加群として）で、同型は $(hr, x) \mapsto (h, (r, x))$ で与えられる。

証明（補題 2.4）

1. $F$ は $\mathbb{Z}$ 加群として $\{g e_x\}$ を基底とする自由加群なので、補題 2.5［加群・完全列・中山の補題］ の 1 により $\psi(g e_x) = g m_x$ を満たす群準同型 $\psi$ がただ一つあります。$\psi(h \cdot g e_x) = \psi(hg\, e_x) = hg\, m_x = h \psi(g e_x)$ が基底で成り立ち、両辺は $\mathbb{Z}$ 線形なので $\psi$ は $G$ 準同型です。$G$ 準同型 $\psi'$ が $\psi'(e_x) = m_x$ を満たせば $\psi'(g e_x) = g m_x$ なので $\psi' = \psi$ です。対応 $\psi \mapsto (\psi(e_x))$ は和を保ち、$\varphi\colon M \to N$ との合成は成分ごとの $\varphi$ に対応するので自然です。

2. $\mathsf{Mod}_G$ の epi は全射です（命題 2.3）。全射 $p\colon M \to N$ と $\varphi\colon F \to N$ について、各 $x$ で $p(m_x) = \varphi(e_x)$ となる $m_x$ を選び、1 の $\psi$ をとると、$p\psi$ と $\varphi$ はともに $G$ 準同型で $e_x$ での値が一致するので、1 の一意性から $p\psi = \varphi$ です。

3. $\mathbb{Z}$ 線形写像 $F \to \mathbb{Z}^{(X)}$、$g e_x \mapsto e_x$ は全射で、$g'(g e_x) - g e_x \mapsto 0$ なので $F_G \to \mathbb{Z}^{(X)}$ を誘導します。逆向きに $e_x \mapsto [e_x]$ とおくと、$F_G$ では $[g e_x] = [e_x]$ なので、二つの写像は互いに逆です。

4. $G$ は右剰余類の交わらない和 $G = \bigsqcup_{r \in R} Hr$ で、$h \mapsto hr$ は $H \to Hr$ の全単射です。よって $G \times X$ と $H \times (R \times X)$ は $(hr, x) \leftrightarrow (h, (r, x))$ で全単射に対応し、$H$ の作用（左からの積）はこの対応で保たれます。基底の全単射は自由 Abel 群の同型を与えます。

∎

次の比較定理は、どの射影分解を選んでもコホモロジーが同じになることを示すための道具です。考え方は、射影対象が全射に沿って写像を持ち上げられることを使い、左の項から順に一段ずつ写像を作っていく、というものです。2 の「ホモトピー」は、そうして作った二つの持ち上げの差が境界の形に書ける、という主張です。

補題 2.5（比較定理（G 加群））✓

$\cdots \to P_1 \xrightarrow{d_1} P_0 \xrightarrow{\varepsilon} A \to 0$ を、各 $P_n$ が $\mathsf{Mod}_G$ の射影対象である $G$ 加群の複体とし、$\cdots \to Q_1 \xrightarrow{d_1} Q_0 \xrightarrow{\eta} B \to 0$ を $G$ 加群の完全列とする。$G$ 準同型 $f\colon A \to B$ に対し、次が成り立つ。

1. $\eta f_0 = f \varepsilon$、$d_n f_n = f_{n-1} d_n$（$n \ge 1$）を満たす $G$ 準同型 $f_n\colon P_n \to Q_n$ が存在する（$f$ の持ち上げ）。
2. $(f_n)$ と $(f'_n)$ がともに $f$ の持ち上げなら、$G$ 準同型 $h_n\colon P_n \to Q_{n+1}$（$n \ge 0$）で $$f_0 - f'_0 = d_1 h_0, \qquad f_n - f'_n = d_{n+1} h_n + h_{n-1} d_n \quad (n \ge 1)$$ を満たすものがある。

証明（補題 2.5）

記号を揃えるため $P_{-1} = A$、$Q_{-1} = B$、$d_0 = \varepsilon$（$P$ 側）、$d_0 = \eta$（$Q$ 側）、$f_{-1} = f$ とおきます。$Q$ 側の列が完全なので、各 $n \ge 0$ で $d_n\colon Q_n \to \operatorname{Ker} d_{n-1}$ は全射です（$n = 0$ では $\operatorname{Ker} d_{-1} = B$ と読み、$\eta$ が全射であることを指します）。

1. $n \ge 0$ について $f_{n-1}$ まで作ったとします（$n \ge 1$ では $d_{n-1} f_{n-1} = f_{n-2} d_{n-1}$ も仮定します）。$n \ge 1$ なら $d_{n-1} (f_{n-1} d_n) = f_{n-2} d_{n-1} d_n = 0$ なので、$f_{n-1} d_n$ の値は $\operatorname{Ker} d_{n-1}$ に入ります（$n = 0$ では $f \varepsilon$ の値は $B$ に入ります）。$d_n\colon Q_n \to \operatorname{Ker} d_{n-1}$ は全射、すなわち $\mathsf{Mod}_G$ の epi で（命題 2.3）、$P_n$ は射影対象なので、$d_n f_n = f_{n-1} d_n$ を満たす $f_n$ があります。

2. $u_n = f_n - f'_n$ とおくと、$\eta u_0 = 0$、$d_n u_n = u_{n-1} d_n$ です。$h_{-1} = 0$ とおき、$n \ge 0$ について $h_{n-1}, h_{n-2}$ まで作ったとして $v = u_n - h_{n-1} d_n$ を考えます。$n = 0$ では $\eta v = \eta u_0 = 0$ です。$n \ge 1$ では、帰納法の仮定 $u_{n-1} = d_n h_{n-1} + h_{n-2} d_{n-1}$ から

$$d_n v = u_{n-1} d_n - d_n h_{n-1} d_n = h_{n-2} d_{n-1} d_n = 0$$

です。いずれにせよ $v$ の値は $\operatorname{Ker} d_n$ に入り、$d_{n+1}\colon Q_{n+1} \to \operatorname{Ker} d_n$ は全射なので、$P_n$ の射影性から $d_{n+1} h_n = v$ となる $h_n$ があります。これが求める式です。

∎

可換環上の加群についての同じ主張が可換環論の 比較定理（定理 3.3）［Tor・Ext と深さ］ です。$\mathbb{Z}[G]$ は一般に可換でないので、ここでは $\mathsf{Mod}_G$ で直接示しました。

3. bar 分解と群のコホモロジー

定義 3.1（bar 分解）↗

$n \ge 0$ について $B_n = \mathbb{Z}[G]^{(G^n)}$ を $G^n$ 上の自由 $G$ 加群とし、基底 $e_{(g_1, \ldots, g_n)}$ を $[g_1 | \cdots | g_n]$ と書く（$B_0 = \mathbb{Z}[G]$ の基底は $[\ ]$ の 1 つ）。$G$ 準同型 $d_n\colon B_n \to B_{n-1}$（$n \ge 1$）と $\varepsilon\colon B_0 \to \mathbb{Z}$ を、基底の上で

$$\begin{aligned} d_n [g_1 | \cdots | g_n] &= g_1 [g_2 | \cdots | g_n] + \sum_{i=1}^{n-1} (-1)^i [g_1 | \cdots | g_i g_{i+1} | \cdots | g_n] + (-1)^n [g_1 | \cdots | g_{n-1}], \\ \varepsilon [\ ] &= 1 \end{aligned}$$

となるものとして定める（補題 2.4 の 1）。たとえば $d_1 [g] = g[\ ] - [\ ]$、$d_2 [g | h] = g[h] - [gh] + [g]$ である。列 $\cdots \to B_2 \to B_1 \to B_0 \xrightarrow{\varepsilon} \mathbb{Z} \to 0$ を bar 分解（標準分解）という。

次の定理の証明の方針は、列が完全であることを直接調べる代わりに、「先頭に元を一つ付け足す」写像 $s$（縮約ホモトピー）を作り、$d s + s d = 1$ を確かめることです。この式が成り立てば、$d x = 0$ の元は $x = d(sx)$ と書けるので、完全性が出ます。たとえば $B_0$ の基底 $g[\ ]$ では、$d_1 s_0 (g[\ ]) = d_1 [g] = g[\ ] - [\ ]$ に $s_{-1}\varepsilon (g[\ ]) = [\ ]$ を足すと $g[\ ]$ に戻ります。

定理 3.2（bar 分解は自由分解）✓

bar 分解は $G$ 加群の完全列である。とくに $d_{n-1} d_n = 0$、$\varepsilon d_1 = 0$ で、$B_\bullet \to \mathbb{Z}$ は自明な $G$ 加群 $\mathbb{Z}$ の自由分解（各項が自由 $G$ 加群の完全列）である。

証明（定理 3.2）

記号を揃えるため $B_{-1} = \mathbb{Z}$、$d_0 = \varepsilon$ とおきます。$G$ 加群の列の完全性は台の Abel 群で判定できるので（命題 2.3）、Abel 群の準同型（$G$ 準同型である必要はない）で議論します。

縮約ホモトピー。 $s_{-1}\colon \mathbb{Z} \to B_0$ を $1 \mapsto [\ ]$、$s_n\colon B_n \to B_{n+1}$（$n \ge 0$）を $\mathbb{Z}$ 基底の上で $g[g_1 | \cdots | g_n] \mapsto [g | g_1 | \cdots | g_n]$ となる $\mathbb{Z}$ 線形写像とします（補題 2.5［加群・完全列・中山の補題］ の 1）。次を示します。

$$d_0 s_{-1} = 1_{\mathbb{Z}}, \qquad d_{n+1} s_n + s_{n-1} d_n = 1_{B_n} \quad (n \ge 0).$$

$\varepsilon[\ ] = 1$ から最初の式が出ます。$n = 0$ では $x = g[\ ]$ について $d_1 s_0 x + s_{-1} \varepsilon x = (g[\ ] - [\ ]) + [\ ] = x$ です。$n \ge 1$ で $x = g[g_1 | \cdots | g_n]$ とすると、定義から

$$\begin{aligned} d_{n+1} s_n x &= g[g_1 | \cdots | g_n] - [g g_1 | g_2 | \cdots | g_n] + \sum_{i=1}^{n-1} (-1)^{i+1} [g | g_1 | \cdots | g_i g_{i+1} | \cdots | g_n] + (-1)^{n+1} [g | g_1 | \cdots | g_{n-1}], \\ s_{n-1} d_n x &= [g g_1 | g_2 | \cdots | g_n] + \sum_{i=1}^{n-1} (-1)^i [g | g_1 | \cdots | g_i g_{i+1} | \cdots | g_n] + (-1)^n [g | g_1 | \cdots | g_{n-1}] \end{aligned}$$

です（$d_{n+1}[g | g_1 | \cdots | g_n]$ の和のうち第 1 項 $i = 1$ が $-[g g_1 | \cdots]$、第 $i+1$ 項が上の和の項です）。足すと $x$ 以外はすべて打ち消し合います。両辺は $\mathbb{Z}$ 線形なので、基底で成り立てば全体で成り立ちます。

$d d = 0$。 $\varepsilon d_1 [g] = 1 - 1 = 0$ と $\varepsilon d_1$ の $G$ 線形性から $d_0 d_1 = 0$ です。$n \ge 2$ で $d_{n-2} d_{n-1} = 0$ を仮定すると、上の式を 2 回使って

$$d_{n-1} d_n s_{n-1} = d_{n-1} (1 - s_{n-2} d_{n-1}) = d_{n-1} - (1 - s_{n-3} d_{n-2}) d_{n-1} = s_{n-3} d_{n-2} d_{n-1} = 0$$

です（$n = 2$ では最後の式は $s_{-1} d_0 d_1$ で、$d_0 d_1 = 0$ を使います）。$B_n$ の $\mathbb{Z}$ 基底の元は $g[g_1 | \cdots | g_n] = g\, s_{n-1}(g_1 [g_2 | \cdots | g_n])$ の形で、$d_{n-1} d_n$ は $G$ 線形なので、$B_n$ 全体で $d_{n-1} d_n = 0$ です。

完全性。 $x \in B_n$（$n \ge -1$）が $d_n x = 0$ を満たせば（$n = -1$ では条件なし）、$x = d_{n+1} s_n x + s_{n-1} d_n x = d_{n+1}(s_n x)$ なので $x$ は像に入ります。したがって列は各項で完全で、各 $B_n$ は自由 $G$ 加群、とくに射影対象です（補題 2.4 の 2）。

∎

縮約ホモトピー $s$ は $G$ 準同型ではありません。$G$ 加群の複体としては可縮でないが、Abel 群の複体としては可縮である、というのが bar 分解の要点です。

定義 3.3（群のコホモロジーとホモロジー）↗

自明な $G$ 加群 $\mathbb{Z}$ の射影分解とは、各 $P_n$ が $\mathsf{Mod}_G$ の射影対象である完全列 $\cdots \to P_1 \xrightarrow{d_1} P_0 \xrightarrow{\varepsilon} \mathbb{Z} \to 0$ をいう（定理 3.2 により存在する）。$G$ 加群 $M$ について、

1. $C^n = \operatorname{Hom}_G(P_n, M)$（$n \ge 0$、$n \lt 0$ では $0$）、$d^n \varphi = \varphi \circ d_{n+1}$ とする Abel 群の複体の $n$ 次コホモロジー（定義 2.3［鎖複体とホモトピー圏］）を $H^n(G, M)$ と書き、$G$ の $M$ に係数をもつ $n$ 次コホモロジーという。
2. $P_n \otimes M = P_n \otimes_{\mathbb{Z}} M$ に対角作用 $g(p \otimes m) = gp \otimes gm$ を入れ（テンソル積の普遍性 定理 2.2［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ により各 $g$ で準同型が定まる）、鎖複体 $((P_n \otimes M)_G, (d_n \otimes 1)_G)$ の $n$ 次ホモロジーを $H_n(G, M)$ と書き、$n$ 次ホモロジーという。

$G$ 準同型 $u\colon M \to M'$ は $\varphi \mapsto u \varphi$ により鎖写像を誘導するので、$H^n(G, -)$ は $\mathsf{Mod}_G$ から $\mathsf{Ab}$ への加法関手です。定義が分解の選び方によらないことを次に示します。

命題 3.4（分解によらないこと）✓

$P_\bullet \to \mathbb{Z}$ と $P'_\bullet \to \mathbb{Z}$ を射影分解とする。$\mathrm{id}_{\mathbb{Z}}$ の持ち上げ $f\colon P_\bullet \to P'_\bullet$（補題 2.5）が誘導する写像

$$f^*\colon H^n(\operatorname{Hom}_G(P'_\bullet, M)) \to H^n(\operatorname{Hom}_G(P_\bullet, M)), \qquad f_*\colon H_n((P_\bullet \otimes M)_G) \to H_n((P'_\bullet \otimes M)_G)$$

は同型で、持ち上げ $f$ の選び方によらず、$M$ について自然である。

証明（命題 3.4）

$P'$ は完全で $P$ の各項は射影対象なので、補題 2.5 の 1 により持ち上げ $f$ があります。$f, f'$ を二つの持ち上げとし、同じ補題の 2 の $h_n$ をとります。$k^n\colon \operatorname{Hom}_G(P'_n, M) \to \operatorname{Hom}_G(P_{n-1}, M)$ を $k^n \varphi = \varphi h_{n-1}$（$k^0 = 0$）とおくと、

$$\varphi f_n - \varphi f'_n = (\varphi d_{n+1}) h_n + (\varphi h_{n-1}) d_n = k^{n+1}(d^n \varphi) + d^{n-1}(k^n \varphi)$$

なので、$f^*$ と $f'^*$ は Abel 群の複体の鎖写像としてホモトピック（定義 4.1［鎖複体とホモトピー圏］）で、コホモロジーで同じ写像を誘導します（命題 4.2［鎖複体とホモトピー圏］ の 2）。

$g\colon P' \to P$ を逆向きの持ち上げとすると、$g f$ と $1_P$ はどちらも $\mathrm{id}_{\mathbb{Z}}$ の $P \to P$ の持ち上げなので、いま示したことから $f^* g^* = (gf)^* = 1$ がコホモロジーで成り立ちます。同様に $g^* f^* = 1$ で、$f^*$ は同型です。$M$ についての自然性は、$u\colon M \to M'$ について $u(\varphi f_n) = (u \varphi) f_n$ であることから従います。

ホモロジーも同じです。$G$ 準同型 $a\colon P_n \to P'_m$ に $(a \otimes 1)_G$ を対応させる操作は和と合成を保つので（$a \otimes 1$ はテンソル積の普遍性から定まり、対角作用と可換です）、上のホモトピーの式に $(- \otimes 1)_G$ を施せば $f_*$ と $f'_*$ が鎖ホモトピックであることがわかり、以下同様です。

∎

系 3.5（コチェインによる表示）✓

$C^n(G, M)$ を写像 $G^n \to M$ 全体（$C^0(G, M) = M$）とし、$\delta^n\colon C^n(G, M) \to C^{n+1}(G, M)$ を

$$(\delta^n f)(g_1, \ldots, g_{n+1}) = g_1 f(g_2, \ldots, g_{n+1}) + \sum_{i=1}^{n} (-1)^i f(g_1, \ldots, g_i g_{i+1}, \ldots, g_{n+1}) + (-1)^{n+1} f(g_1, \ldots, g_n)$$

で定める。

1. $(C^\bullet(G, M), \delta)$ は複体で、$H^n(G, M) \cong H^n(C^\bullet(G, M))$ が $M$ について自然に成り立つ。$C^n$ の元を $n$ コチェイン、$\operatorname{Ker} \delta^n = Z^n(G, M)$ の元を $n$ コサイクル、$\operatorname{Im} \delta^{n-1} = B^n(G, M)$ の元を $n$ コバウンダリという。
2. $H_n(G, \mathbb{Z})$ は、$\mathbb{Z}^{(G^n)}$ を項とし、微分を基底の上で $\partial [g_1 | \cdots | g_n] = [g_2 | \cdots | g_n] + \sum_{i=1}^{n-1} (-1)^i [\cdots | g_i g_{i+1} | \cdots] + (-1)^n [g_1 | \cdots | g_{n-1}]$ とする鎖複体の $n$ 次ホモロジーと同型である。
3. $G$ 加群の短完全列 $0 \to M' \to M \to M'' \to 0$ から、自然な長完全列 $$0 \to H^0(G, M') \to H^0(G, M) \to H^0(G, M'') \to H^1(G, M') \to \cdots \to H^n(G, M'') \to H^{n+1}(G, M') \to \cdots$$ が得られる。

証明（系 3.5）

1. 補題 2.4 の 1 により、$\varphi \mapsto (f(g_1, \ldots, g_n) = \varphi([g_1 | \cdots | g_n]))$ は $M$ について自然な同型 $\operatorname{Hom}_G(B_n, M) \cong C^n(G, M)$ です。この同型で $d^n \varphi = \varphi d_{n+1}$ を移すと、$\varphi$ の $G$ 線形性 $\varphi(g_1 [g_2 | \cdots]) = g_1 \varphi([g_2 | \cdots])$ により上の $\delta^n$ になります。bar 分解は射影分解なので（定理 3.2）、命題 3.4 から主張が出ます。

2. 命題 2.3［テンソル積と平坦性・射影加群・入射加群］ の 1・4 により $B_n \otimes \mathbb{Z} \cong B_n$（$x \otimes k \mapsto kx$）で、$\mathbb{Z}$ の作用は自明なので対角作用は $B_n$ の作用に一致します。補題 2.4 の 3 により $(B_n)_G \cong \mathbb{Z}^{(G^n)}$（$g[g_1 | \cdots] \mapsto [g_1 | \cdots]$）で、$d_n$ はこの同一視で $\partial$ になります（第 1 項の係数 $g_1$ が消えます）。

3. $B_n$ は射影対象なので $\operatorname{Hom}_G(B_n, -)$ は完全関手です（命題 3.2［射影対象・入射対象と Grothendieck 圏］ の 1 ⇒ 3）。よって $0 \to \operatorname{Hom}_G(B_\bullet, M') \to \operatorname{Hom}_G(B_\bullet, M) \to \operatorname{Hom}_G(B_\bullet, M'') \to 0$ は $\mathsf{Ab}$ の複体の短完全列で（命題 2.2［鎖複体とホモトピー圏］ の 4）、定理 3.1［鎖複体とホモトピー圏］ と 命題 3.3［鎖複体とホモトピー圏］ から自然な長完全列が得られます。$n \lt 0$ の項は $0$ です。

∎

注意 3.6（Ext としての群のコホモロジー）

$G$ 加群を $\mathbb{Z}[G]$ 加群と同一視すると、定義 3.3 は $\operatorname{Hom}_{\mathbb{Z}[G]}(\mathbb{Z}, -)$ の右導来関手、すなわち $H^n(G, M) = \operatorname{Ext}^n_{\mathbb{Z}[G]}(\mathbb{Z}, M)$ であり、$H_n(G, M) = \operatorname{Tor}_n^{\mathbb{Z}[G]}(\mathbb{Z}, M)$ です（導来関手と Ext の一般論は 定義 6.1［導来関手と δ 関手］、比較定理は 定理 3.1［導来関手と δ 関手］）。この章の証明はその一般論を使わず、上の比較定理と bar 分解だけで閉じています。

4. 低次のコホモロジー

定義 4.1（交差準同型・主交差準同型）↗

$M$ を $G$ 加群とする。写像 $f\colon G \to M$ が

$$f(gh) = f(g) + g f(h) \quad (g, h \in G)$$

を満たすとき交差準同型という。$m \in M$ により $f(g) = gm - m$ と書ける写像を主交差準同型という。

命題 4.2（$H^0$ と $H^1$）✓

$M$ を $G$ 加群とする。

1. $H^0(G, M) = M^G$。
2. $Z^1(G, M)$ は交差準同型全体、$B^1(G, M)$ は主交差準同型全体で、$H^1(G, M) \cong Z^1(G, M) / B^1(G, M)$。
3. $M$ が自明な $G$ 加群なら $H^1(G, M) \cong \operatorname{Hom}(G, M)$（群準同型全体）。
4. $Z^2(G, M)$ は $g f(h, k) - f(gh, k) + f(g, hk) - f(g, h) = 0$ を満たす $f\colon G^2 \to M$ 全体で、$B^2(G, M)$ は $c\colon G \to M$ により $(\delta c)(g, h) = g c(h) - c(gh) + c(g)$ と書けるもの全体である。

証明（命題 4.2）

系 3.5 の 1 の式を低次で書き下します。$(\delta^0 m)(g) = gm - m$、$(\delta^1 f)(g, h) = g f(h) - f(gh) + f(g)$、$(\delta^2 f)(g, h, k) = g f(h, k) - f(gh, k) + f(g, hk) - f(g, h)$ です。

1：$C^{-1} = 0$ なので $H^0 = \operatorname{Ker} \delta^0 = \{m : gm = m\ (\forall g)\} = M^G$。2：$\delta^1 f = 0$ は交差準同型の条件、$\operatorname{Im} \delta^0$ は主交差準同型全体です。3：作用が自明なら主交差準同型は $gm - m = 0$ だけで、交差準同型の条件は $f(gh) = f(g) + f(h)$ です。4：$\delta^2$ と $\delta^1$ の式そのものです。

∎

命題 4.3（$H_0$ と $H_1$ とアーベル化）✓

$H_0(G, \mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}$、$H_1(G, \mathbb{Z}) \cong G^{\mathrm{ab}} = G / [G, G]$ である。後者の同型は $[g]$ の類を $g$ の類に写す。

証明（命題 4.3）

系 3.5 の 2 の鎖複体を使います。$\partial [g] = [\ ] - [\ ] = 0$ なので、$H_0 = \mathbb{Z}^{(G^0)} = \mathbb{Z}$、$H_1 = \mathbb{Z}^{(G)} / \operatorname{Im} \partial_2$ で、$\partial_2 [g | h] = [h] - [gh] + [g]$ です。

$G^{\mathrm{ab}}$ を加法的に書きます。$\mathbb{Z}^{(G)} \to G^{\mathrm{ab}}$、$[g] \mapsto \bar g$（補題 2.5［加群・完全列・中山の補題］ の 1）は $[h] - [gh] + [g] \mapsto \bar h - \overline{gh} + \bar g = 0$ を満たすので、$\alpha\colon H_1 \to G^{\mathrm{ab}}$ を誘導します。逆に $\beta_0\colon G \to H_1$、$g \mapsto [g]$ の類は、$H_1$ で $[gh] = [g] + [h]$ なので Abel 群への群準同型で、命題 6.1［随伴関手と随伴関手定理］ の 2 により $\beta\colon G^{\mathrm{ab}} \to H_1$、$\bar g \mapsto [g]$ を誘導します。$\alpha\beta$ と $\beta\alpha$ は生成元 $\bar g$、$[g]$ を固定するので恒等写像です。

∎

$H^1$ と $H_1$ は、作用が自明なら「準同型」と「アーベル化」という双対な形をしています。$H_1(G, \mathbb{Z}) \cong G^{\mathrm{ab}}$ は、代数的位相幾何の Hurewicz の定理（$H_1$ は $\pi_1$ のアーベル化）の群論版です。

5. H^2 と群の拡大

定義 5.1（群の拡大・因子団）↗

$G$ を群、$M$ を $G$ 加群とする。

1. $M$ による $G$ の拡大とは、群 $E$、単射準同型 $i\colon M \to E$（$M$ は加法群、$E$ は乗法的に書く）、全射準同型 $\pi\colon E \to G$ の組で、$i(M) = \operatorname{Ker} \pi$ かつ $$x\, i(m)\, x^{-1} = i(\pi(x) m) \quad (x \in E,\ m \in M)$$ を満たすものをいう（$E$ の共役による $M$ への作用が、与えられた $G$ の作用と一致する）。
2. 二つの拡大 $(E, i, \pi)$、$(E', i', \pi')$ が同値であるとは、群の同型 $\phi\colon E \to E'$ で $\phi i = i'$、$\pi' \phi = \pi$ を満たすものがあることをいう。
3. 写像 $s\colon G \to E$ で $\pi s = \mathrm{id}_G$ を満たすもの（準同型とは限らない）を切断という。準同型である切断があるとき、拡大は分裂するという。
4. 切断 $s$ について、$s(g) s(h) s(gh)^{-1} \in \operatorname{Ker} \pi = i(M)$ なので、$s(g) s(h) = i(f_s(g, h))\, s(gh)$ により $f_s\colon G^2 \to M$ が定まる。$f_s$ を $s$ の因子団という。

拡大と切断。切断 s は準同型とは限らず、そのずれ s(g)s(h)s(gh)^{-1} が M に値をとる 2 コサイクル（因子団）になる。

次の定理の要点は、集合としての切断 $s$ を一つ選ぶと、それが準同型からどれだけずれているか（因子団）が 2 コサイクルになり、切断を取り替えるとそれがコバウンダリだけ変わる、ということです。したがって拡大の同値類はコホモロジー類で決まり、逆に任意の 2 コサイクルから群を組み立てられます。

定理 5.2（$H^2$ と拡大）✓

$G$ を群、$M$ を $G$ 加群とする。

1. 拡大 $E$ の任意の切断 $s$ について $f_s \in Z^2(G, M)$ で、その類 $[f_s] \in H^2(G, M)$ は $s$ の選び方によらず、拡大の同値類だけで決まる。
2. 対応 $E \mapsto [f_s]$ は、$M$ による $G$ の拡大の同値類全体から $H^2(G, M)$ への全単射である。
3. $[f_s] = 0$ であることと拡大が分裂することは同値である。このとき $E$ は半直積 $M \rtimes_\theta G$（$\theta_g(m) = gm$、定義 5.2［群の作用と Sylow の定理］）と同型である。

証明（定理 5.2）

コサイクルとコバウンダリの式は 命題 4.2 の 4 を使います。

基本の計算。 $x \in E$ について $g = \pi(x)$ とおくと $\pi(x s(g)^{-1}) = 1$ なので、$x = i(m) s(g)$ となる $m$ がただ一つあります（$i$ は単射）。拡大の条件から $s(g) i(n) s(g)^{-1} = i(gn)$ です。よって

$$i(m) s(g) \cdot i(n) s(h) = i(m + gn + f_s(g, h))\, s(gh). \qquad (\ast)$$

1：コサイクル。 $s(g) s(h) s(k)$ を二通りに計算します。

$$\begin{aligned} (s(g) s(h)) s(k) &= i(f_s(g, h)) s(gh) s(k) = i(f_s(g, h) + f_s(gh, k))\, s(ghk), \\ s(g) (s(h) s(k)) &= s(g) i(f_s(h, k)) s(hk) = i(g f_s(h, k) + f_s(g, hk))\, s(ghk). \end{aligned}$$

表示の一意性から $g f_s(h, k) - f_s(gh, k) + f_s(g, hk) - f_s(g, h) = 0$、すなわち $f_s \in Z^2(G, M)$ です。

1：切断によらないこと。 別の切断 $s'$ について $\pi(s'(g) s(g)^{-1}) = 1$ なので $s'(g) = i(c(g)) s(g)$ となる $c\colon G \to M$ があります。逆に任意の $c$ についてこの $s'$ は切断です。$(\ast)$ から

$$s'(g) s'(h) = i(c(g) + g c(h) + f_s(g, h))\, s(gh) = i\bigl(f_s(g, h) + g c(h) - c(gh) + c(g)\bigr)\, s'(gh)$$

なので $f_{s'} = f_s + \delta c$ で、類は同じです。同値な拡大 $\phi\colon E \to E'$ があれば $\phi s$ は $E'$ の切断で、$\phi s(g) \phi s(h) = i'(f_s(g, h))\, \phi s(gh)$ なので $f_{\phi s} = f_s$ です。

2：単射。 拡大 $E, E'$ と切断 $s, s'$ について $f_{s'} - f_s = \delta c$ なら、上の計算で $s'$ を $i'(-c) s'$ に取り替えると $f_{s'} = f_s$ にできます。$\phi(i(m) s(g)) = i'(m) s'(g)$ とおくと、$(\ast)$ の右辺の形が $E$ と $E'$ で同じなので $\phi$ は準同型で、表示の一意性から全単射です。$\pi' \phi = \pi$ は明らかです。$s(1) s(1) = i(f_s(1, 1)) s(1)$ から $s(1) = i(f_s(1, 1))$、同様に $s'(1) = i'(f_s(1, 1))$ なので、$\phi(i(m)) = \phi(i(m - f_s(1, 1)) s(1)) = i'(m - f_s(1, 1)) s'(1) = i'(m)$ で、$\phi i = i'$ です。

2：全射。 $f \in Z^2(G, M)$ とし、$a = f(1, 1)$ とおきます。コサイクルの条件で $g = h = 1$ とすると $f(1, k) = a$、$h = k = 1$ とすると $f(g, 1) = ga$ です。定数写像 $c(g) = a$ について $(\delta c)(g, h) = ga$ なので、$f' = f - \delta c$ は $f'(1, k) = f'(g, 1) = 0$ を満たし、$f$ と同じ類です。$E = M \times G$ に

$$(m, g)(n, h) = (m + gn + f'(g, h),\ gh)$$

で積を入れます。$((m, g)(n, h))(p, k)$ と $(m, g)((n, h)(p, k))$ の第 1 成分はそれぞれ $m + gn + ghp + f'(g, h) + f'(gh, k)$ と $m + gn + ghp + g f'(h, k) + f'(g, hk)$ で、コサイクルの条件から等しいので結合的です。$f'(1, k) = f'(g, 1) = 0$ から $(0, 1)$ は単位元で、$(m, g)(-g^{-1} m - g^{-1} f'(g, g^{-1}),\ g^{-1}) = (0, 1)$ なので各元は右逆元をもちます。結合的で単位元をもち各元が右逆元をもてば群です（$xy = 1$、$yz = 1$ なら $x = x(yz) = (xy) z = z$ で、$y$ は $x$ の両側逆元）。$i(m) = (m, 1)$、$\pi(m, g) = g$ は準同型で $i(M) = \operatorname{Ker} \pi$ です。$s(g) = (0, g)$ とおくと $(m, g) = i(m) s(g)$、$s(g) i(m) = (gm, g) = i(gm) s(g)$ なので、$x = i(n) s(g)$ について $x\, i(m)\, x^{-1} = i(n) i(gm) i(-n) = i(gm)$ で、これは拡大です。$s(g) s(h) = (f'(g, h), gh) = i(f'(g, h)) s(gh)$ なので $f_s = f'$ です。

3. 準同型の切断 $\sigma$ については $f_\sigma = 0$ です。逆に $[f_s] = 0$、$f_s = \delta c$ なら、$s' = i(-c) s$ は $f_{s'} = 0$、すなわち準同型です。このとき $K = s'(G)$ は部分群で、$\pi$ は $K$ 上で単射なので $K \cap i(M) = \{1\}$、表示 $x = i(m) s'(g)$ から $i(M) K = E$ です。$i(M)$ は正規部分群なので、命題 5.3［群の作用と Sylow の定理］ により $E \cong i(M) \rtimes K$ で、$K$ の $i(M)$ への共役作用は $s'(g) i(m) s'(g)^{-1} = i(gm)$ です。$i\colon M \to i(M)$、$s'\colon G \to K$ で移せば $E \cong M \rtimes_\theta G$ です。

∎

作用が自明な場合、拡大の条件は $i(M)$ が $E$ の中心に含まれることで、そのような拡大を中心拡大といいます。

例 5.3（四元数群と二面体群を 2 コサイクルで区別する）

$V = \{1, a, b, ab\} \cong \mathbb{Z}/2 \oplus \mathbb{Z}/2$、$M = \mathbb{Z}/2$（自明な作用）とします。$f(1, g) = f(g, 1) = 0$ を満たすコサイクルを正規化されたコサイクルと呼び、$q_f(g) = f(g, g)$ とおきます。正規化された $f, f'$ が同じ類なら $f' - f = \delta c$ で、$(\delta c)(1, 1) = c(1)$ が $0$ なので、$g^2 = 1$ から $(\delta c)(g, g) = 2c(g) - c(1) = 0$、すなわち $q_{f'} = q_f$ です。したがって $q_f$ は類の不変量です。

中心拡大 $E$ の切断を $s(1) = 1$ ととると因子団は正規化されていて、$s(g)^2 = i(f(g, g)) s(g^2) = i(q(g))$ です。つまり $q(g) \ne 0$ は「$g$ の持ち上げの位数が $4$」ということです（持ち上げは $s(g)$ と $z s(g)$、$z = i(1)$ の 2 つで、$z$ は中心にあるので平方は同じです）。

• 二面体群 $D_4 = \langle r, t \mid r^4 = t^2 = 1,\ t r t^{-1} = r^{-1} \rangle$ の中心 $\{1, r^2\}$ による商は位数 $4$ で、$r^2$、$t^2$、$(rt)^2$ がすべて中心に入るので全元の位数が $2$ 以下で、$\bar r \mapsto a$、$\bar t \mapsto b$ により $V$ と同型です。$\bar r$ の持ち上げ $r, r^3$ は位数 $4$、$\bar t$ の持ち上げ $t, r^2 t$ と $\bar r \bar t$ の持ち上げ $rt, r^3 t$ は位数 $2$ なので、$q = (1, 0, 0)$ です。
• 四元数群 $Q_8 = \{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\}$ の中心 $\{\pm 1\}$ による商も $V$ で、$\pm i, \pm j, \pm k$ はすべて位数 $4$ なので $q = (1, 1, 1)$ です。

$q$ が違うので、二つの中心拡大は $H^2(V, \mathbb{Z}/2)$ の異なる類を与えます。$q$ を $V$ の生成元の取り方で並べ替えても $(1, 0, 0)$ と $(1, 1, 1)$ は移り合わないので、群として同型でないこともここから読めます。

注意 5.4（Abel 群の拡大との比較）

$G$ が Abel 群で作用が自明でも、群の拡大 $E$ は可換とは限りません（上の $D_4$、$Q_8$）。$E$ も Abel 群である拡大だけを数えるのが Abel 群の $\operatorname{Ext}^1_{\mathbb{Z}}(G, M)$ で（定理 4.2［Ext と拡大］）、それは $H^2(G, M)$ の部分群（対称なコサイクルの類）に当たります。Lie 代数の 1 次元中心拡大が第 2 コホモロジーで分類されること（定理 3.3［Witt 代数と Virasoro 代数］）も、上の証明と同じ「切断のずれがコサイクルになる」という議論です。

6. 巡回群と Shapiro の補題

定理 6.1（巡回群のコホモロジー）✓

$G = \langle t \rangle$ を位数 $m$ の巡回群とし、$N = \sum_{i=0}^{m-1} t^i \in \mathbb{Z}[G]$ とおく。

1. 次は $\mathbb{Z}$ の自由分解である（各項は $\mathbb{Z}[G]$、写像は $\mathbb{Z}[G]$ の元の掛け算）。 $$\cdots \xrightarrow{t-1} \mathbb{Z}[G] \xrightarrow{N} \mathbb{Z}[G] \xrightarrow{t-1} \mathbb{Z}[G] \xrightarrow{N} \mathbb{Z}[G] \xrightarrow{t-1} \mathbb{Z}[G] \xrightarrow{\varepsilon} \mathbb{Z} \to 0$$
2. $G$ 加群 $M$ について、$N_M(x) = \sum_i t^i x$（$x \in M$）とおくと $$H^0(G, M) = M^G, \qquad H^n(G, M) \cong \begin{cases} \operatorname{Ker} N_M / (t-1)M & (n \text{ は奇数}), \\ M^G / N_M M & (n \ge 2 \text{ は偶数}). \end{cases}$$

証明（定理 6.1）

1. $G$ は可換なので $\mathbb{Z}[G]$ は可換環で、元 $a$ の掛け算は $G$ 準同型です。$\mathbb{Z}[G]$ の元は $\sum_{i=0}^{m-1} a_i t^i$ と一意に書けます。$(t - 1) N = t^m - 1 = 0$、$\varepsilon(t - 1) = 0$ なので複体です。完全性を 3 か所で確かめます。

• $\operatorname{Ker} \varepsilon = (t-1)\mathbb{Z}[G]$：$\sum a_i = 0$ なら $\sum a_i t^i = \sum a_i (t^i - 1)$ で、$t^i - 1 = (t - 1)(1 + t + \cdots + t^{i-1})$ です。
• $\operatorname{Ker}(t - 1) = N \mathbb{Z}[G]$：添字を $\bmod m$ で読むと $(t - 1) \sum a_i t^i = \sum_i (a_{i-1} - a_i) t^i$ なので、これが $0$ ならすべての $a_i$ が等しく、$\sum a_i t^i = a_0 N$ です。逆の包含は $(t-1)N = 0$ です。
• $\operatorname{Ker} N = (t-1)\mathbb{Z}[G]$：$N t^i = N$ から $N \sum a_i t^i = (\sum a_i) N$ で、これが $0$ であることは $\varepsilon(a) = 0$ と同値なので、最初の項目に帰着します。

$\varepsilon$ は全射です。各項 $\mathbb{Z}[G]$ は 1 点上の自由 $G$ 加群なので射影対象です（補題 2.4 の 2）。

2. $\operatorname{Hom}_G(\mathbb{Z}[G], M) \cong M$、$\varphi \mapsto \varphi(1)$ で（補題 2.4 の 1）、$a$ の掛け算から誘導される $\varphi \mapsto \varphi(a \cdot -)$ は $\varphi(a) = a \varphi(1)$ により $M$ 上の $a$ の作用に対応します。よってコチェイン複体は $M \xrightarrow{t-1} M \xrightarrow{N_M} M \xrightarrow{t-1} M \xrightarrow{N_M} \cdots$ で、命題 3.4 によりそのコホモロジーが $H^n(G, M)$ です。$t$ が $G$ を生成するので $\operatorname{Ker}(t - 1) = M^G$ で、主張の形になります。

∎

例 6.2（$H^n(Z/m,$ Z)）

$M = \mathbb{Z}$（自明な作用）では $t - 1$ は $0$、$N$ は $m$ 倍です。定理 6.1 から

$$H^0(\mathbb{Z}/m, \mathbb{Z}) = \mathbb{Z}, \qquad H^{2k-1}(\mathbb{Z}/m, \mathbb{Z}) = 0, \qquad H^{2k}(\mathbb{Z}/m, \mathbb{Z}) = \mathbb{Z}/m \quad (k \ge 1)$$

です。$H^2(\mathbb{Z}/m, \mathbb{Z}) = \mathbb{Z}/m$ は、定理 5.2 により $\mathbb{Z}$ による $\mathbb{Z}/m$ の中心拡大がちょうど $m$ 類あることを意味します。類 $0$ は直積 $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/m$ です。$m \ge 2$ のとき $0 \to \mathbb{Z} \xrightarrow{m} \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/m \to 0$ は $0$ でない類を与えます。準同型の切断 $\mathbb{Z}/m \to \mathbb{Z}$ は、$\mathbb{Z}$ に位数有限の元が $0$ しか無いので零写像しかなく、$\pi s = \mathrm{id}$ を満たさないからです。

定義 6.3（余誘導加群）↗

$H$ を $G$ の部分群、$M$ を $H$ 加群とする。写像 $\varphi\colon G \to M$ で $\varphi(hg) = h \varphi(g)$（$h \in H$、$g \in G$）を満たすもの全体に、$(g \varphi)(x) = \varphi(xg)$ で $G$ の作用を入れた $G$ 加群を $\operatorname{CoInd}_H^G M$ と書き、余誘導加群という。$H = \{1\}$ のときは、Abel 群 $A$ について $\operatorname{CoInd}_1^G A$ は写像 $G \to A$ 全体である。

$(g\varphi)(hx) = \varphi(hxg) = h (g\varphi)(x)$ なので $g\varphi$ は再び条件を満たし、$(g(g'\varphi))(x) = (g'\varphi)(xg) = \varphi(xgg') = ((gg')\varphi)(x)$ なので作用です。$\mathbb{Z}[G] \otimes_{\mathbb{Z}[H]} M$ を誘導加群といい、指数 $[G : H]$ が有限なら余誘導加群と同型になりますが、この章では余誘導加群だけを使います。

次の補題は、部分群 $H$ のコホモロジーを、$G$ 全体の加群のコホモロジーとして読み替えるものです。証明の中心は $\Phi$ で、$H$ 準同型 $\varphi$ を「$x$ に、$g$ ごとに $\varphi(gx)$ を返す関数を対応させる写像」に包み直します。定義域と値域は、$\varphi$ は $F$ から $M$ へ、$\Phi(\varphi)$ は $F$ から余誘導加群（$G$ から $M$ への写像の集まり）へ、と一段ずつ確かめれば追えます。

補題 6.4（Shapiro の補題）✓

$H$ を $G$ の部分群、$M$ を $H$ 加群とする。すべての $n \ge 0$ で

$$H^n(H, M) \cong H^n(G, \operatorname{CoInd}_H^G M).$$

とくに Abel 群 $A$ について、$n \ge 1$ で $H^n(G, \operatorname{CoInd}_1^G A) = 0$ である。

証明（補題 6.4）

$B_\bullet$ を $G$ の bar 分解とします。補題 2.4 の 4 により各 $B_n$ は自由 $H$ 加群で、完全性は作用によらないので（命題 2.3）、$B_\bullet \to \mathbb{Z}$ は $\mathsf{Mod}_H$ の射影分解です（補題 2.4 の 2 を $H$ に使う）。よって $H^n(H, M) = H^n(\operatorname{Hom}_H(B_\bullet, M))$ です（命題 3.4）。

$G$ 加群 $F$ について、$\Phi\colon \operatorname{Hom}_H(F, M) \to \operatorname{Hom}_G(F, \operatorname{CoInd}_H^G M)$ を $\Phi(\varphi)(x)(g) = \varphi(gx)$ で定めます。$\Phi(\varphi)(x)(hg) = \varphi(hgx) = h \varphi(gx)$ なので $\Phi(\varphi)(x)$ は余誘導加群の元で、$\Phi(\varphi)(g'x)(y) = \varphi(y g' x) = \Phi(\varphi)(x)(y g') = (g' \Phi(\varphi)(x))(y)$ なので $\Phi(\varphi)$ は $G$ 準同型です。逆写像は $\Psi(\psi)(x) = \psi(x)(1)$ で、$\Psi(\psi)(hx) = \psi(x)(h) = h \psi(x)(1)$ から $H$ 準同型です。$\Psi \Phi(\varphi)(x) = \varphi(x)$、$\Phi \Psi(\psi)(x)(g) = \psi(gx)(1) = (g\psi(x))(1) = \psi(x)(g)$ なので互いに逆です。$G$ 準同型 $u\colon F' \to F$ について $\Phi(\varphi u) = \Phi(\varphi) u$ なので、$\Phi$ はコチェイン複体の同型 $\operatorname{Hom}_H(B_\bullet, M) \cong \operatorname{Hom}_G(B_\bullet, \operatorname{CoInd}_H^G M)$ を与え、コホモロジーも同型です。

$H = \{1\}$ では $\mathsf{Mod}_1 = \mathsf{Ab}$ で、$0 \to \mathbb{Z} \xrightarrow{1} \mathbb{Z} \to 0$（$P_0 = \mathbb{Z}$、$n \ge 1$ で $P_n = 0$）が射影分解なので、$n \ge 1$ で $H^n(1, A) = 0$ です。

∎

$\Phi$ が与える自然な全単射は、制限関手 $\mathsf{Mod}_G \to \mathsf{Mod}_H$ が $\operatorname{CoInd}_H^G$ の左随伴であることを言っています（定義 2.1［随伴関手と随伴関手定理］）。制限は完全で、自由 $G$ 加群を自由 $H$ 加群に移すので、Shapiro の補題は「随伴は導来関手に伝わる」という一般的な事実（命題 6.3［導来関手と δ 関手］）の特別な場合です。

7. 制限・余制限・インフレーションと Schur–Zassenhaus の定理

部分群 $H \le G$ について、$G$ の bar 分解 $B_\bullet$ は $\mathsf{Mod}_H$ の射影分解でもあります（補題 6.4 の証明の第 1 段落）。したがって $G$ 加群 $M$ について $H^n(H, M) = H^n(\operatorname{Hom}_H(B_\bullet, M))$ と計算できます。

定義 7.1（制限・余制限・インフレーション）↗

$H \le G$ を部分群、$M$ を $G$ 加群、$B_\bullet$ を $G$ の bar 分解とする。

1. 包含 $\operatorname{Hom}_G(B_n, M) \subseteq \operatorname{Hom}_H(B_n, M)$ が誘導する $\operatorname{res}\colon H^n(G, M) \to H^n(H, M)$ を制限という。
2. 指数 $[G : H]$ が有限のとき、左剰余類の代表系 $R$（$G = \bigsqcup_{r \in R} rH$）をとり、$\operatorname{Hom}_H(B_n, M) \to \operatorname{Hom}_G(B_n, M)$ を $(\mathcal{N}\varphi)(x) = \sum_{r \in R} r\, \varphi(r^{-1} x)$ で定める。これが誘導する $\operatorname{cor}\colon H^n(H, M) \to H^n(G, M)$ を余制限という。
3. $N$ を $G$ の正規部分群とする。$m \in M^N$、$g \in G$、$n \in N$ について $n g m = g (g^{-1} n g) m = gm$ なので $M^N$ は $G$ の作用で閉じ、$(gN) m = gm$ により $G/N$ 加群になる。コチェイン $f \in C^n(G/N, M^N)$ に $(g_1, \ldots, g_n) \mapsto f(g_1 N, \ldots, g_n N) \in M$ を対応させる写像は $\delta$ と可換で（$\delta$ の式の第 1 項の $g_1$ の作用は $g_1 N$ の作用と同じ）、$\operatorname{inf}\colon H^n(G/N, M^N) \to H^n(G, M)$ を誘導する。これをインフレーションという。

余制限の直感は、$H$ の上で決まったものを、$G$ の剰余類の代表元 $r$ ごとに動かして足し合わせ、$G$ 全体の上のものにする、ということです。$G$ 上のものを制限してから余制限すると、同じものを剰余類の個数だけ足すことになるので、指数倍になります。

命題 7.2（制限と余制限）✓

$H \le G$ を部分群、$M$ を $G$ 加群とする。

1. 系 3.5 のコチェインで表すと、$\operatorname{res}$ は $f \mapsto f|_{H^n}$（$G^n$ 上の写像を $H^n$ に制限する）で与えられる。$n = 0$ では包含 $M^G \subseteq M^H$ である。
2. $[G : H]$ が有限なら、$\operatorname{cor}$ は代表系 $R$ の選び方によらずに定まり、$\operatorname{cor} \circ \operatorname{res} = [G : H] \cdot \mathrm{id}$ が $H^n(G, M)$ 上で成り立つ。$n = 0$ では $\operatorname{cor}\colon M^H \to M^G$ は $m \mapsto \sum_{r \in R} rm$ である。

証明（命題 7.2）

1. $H$ の bar 分解を $B^H_\bullet$ とし、$\iota\colon B^H_n \to B_n$ を基底の包含 $[h_1 | \cdots | h_n] \mapsto [h_1 | \cdots | h_n]$ から定まる $H$ 準同型とします。$d$ と $\varepsilon$ の式は同じなので $\iota$ は $\mathrm{id}_{\mathbb{Z}}$ の持ち上げで、命題 3.4 により $\iota^*\colon H^n(\operatorname{Hom}_H(B_\bullet, M)) \to H^n(\operatorname{Hom}_H(B^H_\bullet, M))$ は二つの計算の間の標準的な同型です。合成 $\varphi \mapsto \varphi \iota$ は、コチェインでは $f \mapsto f|_{H^n}$ です。$n = 0$ では $C^0 = M$ で、この写像は恒等写像なので、$H^0$ の上では $M^G \subseteq M^H$ です。

2. $\varphi$ を $H$ 準同型とします。代表 $r$ を $rh$（$h \in H$）に替えると $rh\, \varphi(h^{-1} r^{-1} x) = rh h^{-1} \varphi(r^{-1} x) = r \varphi(r^{-1} x)$ なので、$\mathcal{N}\varphi$ は $R$ によりません。$g \in G$ について、$g^{-1} R$ も左剰余類の代表系なので

$$(\mathcal{N}\varphi)(gx) = \sum_{r \in R} r\, \varphi(r^{-1} g x) = \sum_{r' \in g^{-1} R} g r'\, \varphi(r'^{-1} x) = g (\mathcal{N}\varphi)(x)$$

で、$\mathcal{N}\varphi$ は $G$ 準同型です。$d$ は $G$ 準同型なので $(\mathcal{N}\varphi) d = \mathcal{N}(\varphi d)$ で、$\mathcal{N}$ は複体の写像です。$\varphi$ が $G$ 準同型なら $r \varphi(r^{-1} x) = \varphi(x)$ なので $\mathcal{N}\varphi = [G : H] \varphi$ で、コホモロジーでも $\operatorname{cor} \circ \operatorname{res} = [G : H]$ です。

$n = 0$：$\varphi \in \operatorname{Hom}_H(B_0, M)$ が $\varphi d_1 = 0$ を満たすことは $\varphi(g[\ ]) = \varphi([\ ])$（すべての $g$）と同値で、$H$ 線形性から $m = \varphi([\ ]) \in M^H$ です。こうして $H^0(H, M) \cong M^H$、$\varphi \mapsto \varphi([\ ])$ で、$(\mathcal{N}\varphi)([\ ]) = \sum_r r \varphi(r^{-1}[\ ]) = \sum_r r m$ です。

∎

系 7.3（有限群では |G| が消す）✓

$G$ を有限群、$M$ を $G$ 加群、$n \ge 1$ とする。

1. $|G| \cdot H^n(G, M) = 0$。
2. $M$ 上の $|G|$ 倍写像が全単射なら（たとえば $M$ が有限で $|M|$ と $|G|$ が互いに素なら）、$H^n(G, M) = 0$。

証明（系 7.3）

1. $H = \{1\}$ に 命題 7.2 の 2 を使うと、$|G| = \operatorname{cor} \circ \operatorname{res}$ は $H^n(1, M)$ を経由します。補題 6.4 の証明の最後に示したとおり $n \ge 1$ で $H^n(1, M) = 0$ なので、$|G|$ 倍は $0$ です。

2. $\mu(m) = |G| m$ は $G$ 準同型で、全単射なら $\mathsf{Mod}_G$ の同型なので、関手 $H^n(G, -)$ で移した $H^n(G, \mu)$ も同型です。コチェインの上で $\mu$ は $\varphi \mapsto |G| \varphi$ なので、$H^n(G, \mu)$ は $|G|$ 倍写像で、1 によりこれは $0$ です。同型が $0$ なので $H^n(G, M) = 0$ です。$M$ が有限で $\gcd(|M|, |G|) = 1$ のとき、$|G| m = 0$ なら $m$ の位数は $|G|$ を割り、また巡回部分群 $\langle m \rangle$ の位数として 定理 6.1［部分群と剰余類］ により $|M|$ を割るので $1$ です。よって $|G|$ 倍は有限集合 $M$ 上の単射、したがって全単射です。

∎

次の系の方針は、補群を「準同型の切断」、補群どうしの共役を「交差準同型」に読み替えることです。$H^2 = 0$ なら拡大が分裂して補群が存在し、$H^1 = 0$ なら二つの補群の差の交差準同型が主交差準同型になり、共役であることが出ます。

系 7.4（Schur–Zassenhaus の定理（Abel 核の場合））✓

$G$ を有限群、$N$ を Abel 群である正規部分群とし、$|N|$ と指数 $[G : N]$ は互いに素とする。

1. $N$ は補群をもつ。すなわち $N \cap K = \{1\}$、$NK = G$ を満たす部分群 $K$ があり、$G \cong N \rtimes K$ である。
2. $N$ の補群はすべて $N$ の元で共役である。

証明（系 7.4）

$Q = G/N$ とおきます（定理 5.1［正規部分群と商群］。$|Q| = [G : N]$）。$q = xN$ について $q \cdot n = x n x^{-1}$ とおくと、$N$ が可換なので $(xn')n(xn')^{-1} = xnx^{-1}$ で代表によらず、$N$（演算を加法的に書く）は $Q$ 加群です。包含 $N \to G$ と商写像 $\pi\colon G \to Q$ は、$N$ による $Q$ の拡大です（定義 5.1）。$|N|$ と $|Q|$ は互いに素なので、系 7.3 の 2 により $H^1(Q, N) = H^2(Q, N) = 0$ です。

1. 定理 5.2 の 3 により拡大は分裂し、準同型の切断 $\sigma\colon Q \to G$ があります。$K = \sigma(Q)$ が補群で、半直積の同型は同じ定理の証明の 3 で示したとおりです。

2. $K'$ を別の補群とします。$\pi|_{K'}$ は核が $K' \cap N = \{1\}$ なので単射で、$G = NK'$ から全射です。その逆写像 $\sigma'\colon Q \to K' \subseteq G$ は準同型の切断です。$c(q) = \sigma'(q) \sigma(q)^{-1} \in N$ とおくと、

$$\sigma'(qr) = c(q) \sigma(q) c(r) \sigma(r) = c(q)\, \bigl(\sigma(q) c(r) \sigma(q)^{-1}\bigr)\, \sigma(qr)$$

なので、加法的に書けば $c(qr) = c(q) + q \cdot c(r)$、すなわち $c$ は交差準同型です（定義 4.1）。$H^1(Q, N) = 0$ と 命題 4.2 の 2 から、ある $n \in N$ で $c(q) = q \cdot n - n$、乗法的には $c(q) = \sigma(q) n \sigma(q)^{-1} n^{-1} = n^{-1} \sigma(q) n \sigma(q)^{-1}$（$N$ は可換）です。よって $\sigma'(q) = n^{-1} \sigma(q) n$ で、$K' = n^{-1} K n$ です。

∎

$N$ が可換でない場合も Schur–Zassenhaus の定理（補群の存在）は成り立ちますが、Sylow 部分群と中心を使った帰納法が加わるので、この章では扱いません。

命題 7.5（インフレーション–制限完全列）✓

$N$ を $G$ の正規部分群、$M$ を $G$ 加群とする。次の列は完全である。

$$0 \to H^1(G/N, M^N) \xrightarrow{\operatorname{inf}} H^1(G, M) \xrightarrow{\operatorname{res}} H^1(N, M)$$

証明（命題 7.5）

命題 4.2 の 2 により $H^1$ を交差準同型の類で表し、$\operatorname{inf}$ は $f \mapsto f \circ \pi$（$\pi\colon G \to G/N$）、$\operatorname{res}$ は $N$ への制限です（定義 7.1 の 3、命題 7.2 の 1）。

inf の単射性。 $f\colon G/N \to M^N$ が交差準同型で、$f(\pi(g)) = gm - m$（$m \in M$）とします。$n \in N$ では $f(\pi(n)) = f(1) = 0$（交差準同型では $f(1) = f(1) + f(1)$）なので $nm = m$、すなわち $m \in M^N$ です。よって $f(gN) = (gN)m - m$ は $G/N$ 加群 $M^N$ の主交差準同型です。

$\operatorname{res} \circ \operatorname{inf} = 0$。 $(f \circ \pi)|_N = f(1) = 0$ です。

$\operatorname{Ker} \operatorname{res} \subseteq \operatorname{Im} \operatorname{inf}$。 交差準同型 $f\colon G \to M$ が $N$ 上で $f(n) = nm - m$ とします。$f'(g) = f(g) - (gm - m)$ は同じ類で、$f'|_N = 0$ です。$f'(gn) = f'(g) + g f'(n) = f'(g)$ なので $f'$ は剰余類 $gN$ の上で一定です。また $ng = g n'$（$n' = g^{-1} n g \in N$）から $f'(n) + n f'(g) = f'(ng) = f'(gn') = f'(g)$、すなわち $n f'(g) = f'(g)$ で、$f'$ の値は $M^N$ に入ります。よって $f' = \bar f \circ \pi$ となる $\bar f\colon G/N \to M^N$ があり、$\bar f(\pi(g)\pi(h)) = f'(gh) = f'(g) + g f'(h)$ から $\bar f$ は交差準同型です。

∎

注意 7.6（Maschke の定理をコホモロジーで読む）

体 $k$ 上の有限群 $G$ の表現 $V$ と不変部分空間 $W$ について、$k$ 線形写像の空間 $\operatorname{Hom}_k(V/W, W)$ は $(g\phi)(x) = g\phi(g^{-1}x)$ で $G$ 加群になり、$V \to V/W$ の $k$ 線形な切断を $G$ 線形なものに取り替えられるかどうかの障害は $H^1(G, \operatorname{Hom}_k(V/W, W))$ の元です（切断を一つ固定し、$g$ で動かしたものとの差が交差準同型になります）。$|G|$ が $k$ で可逆なら、この群は $k$ ベクトル空間で $|G|$ 倍が全単射なので、系 7.3 の 2 により $0$ です。これは Maschke の定理（定理 3.1）［有限群の表現］ の言い換えで、平均化による通常の証明は余制限 $\operatorname{cor}$ の計算そのものです。

8. Hilbert の定理 90

体 $L$ と、$L$ の自己同型からなる有限群 $G$ を考えます。$L$ の加法群と乗法群 $L^\times$ は、$G$ の作用で $G$ 加群です（$L^\times$ の演算は乗法なので、交差準同型の条件は $a(\sigma\tau) = a(\sigma)\, \sigma(a(\tau))$、主交差準同型は $\sigma \mapsto \sigma(x)/x$ と書かれます）。有限次 Galois 拡大 $L/K$ の Galois 群 $\mathrm{Gal}(L/K)$ はその典型例です。

定理 8.1（Hilbert の定理 90（一般形））✓

$L$ を体、$G$ を $L$ の自己同型からなる有限群とする。$H^1(G, L^\times) = 0$ である。すなわち、写像 $a\colon G \to L^\times$ が $a(\sigma\tau) = a(\sigma)\, \sigma(a(\tau))$ を満たすなら、ある $x \in L^\times$ によりすべての $\sigma$ で $a(\sigma) = \sigma(x)/x$ と書ける。とくに有限次 Galois 拡大 $L/K$ について $H^1(\mathrm{Gal}(L/K), L^\times) = 0$。

証明（定理 8.1）

$G$ の元は相異なる体の準同型 $L \to L$ で、係数 $a(\tau)$ はすべて $0$ でないので、補題 7.6［ガロア理論への招待］ により $\sum_{\tau \in G} a(\tau) \tau(c)$ は $c$ の関数として恒等的に $0$ ではありません。$b = \sum_{\tau} a(\tau) \tau(c) \ne 0$ となる $c \in L$ をとります。$\sigma \in G$ について、交差準同型の条件 $\sigma(a(\tau)) = a(\sigma)^{-1} a(\sigma\tau)$ を使うと

$$\sigma(b) = \sum_{\tau} \sigma(a(\tau))\, \sigma\tau(c) = a(\sigma)^{-1} \sum_{\tau} a(\sigma\tau)\, \sigma\tau(c) = a(\sigma)^{-1} b$$

です（$\tau \mapsto \sigma\tau$ は $G$ の全単射）。$\sigma(b) \ne 0$ なので $a(\sigma) = b / \sigma(b) = \sigma(x)/x$（$x = b^{-1}$）で、$a$ は主交差準同型です。命題 4.2 の 2 から $H^1(G, L^\times) = 0$ です。

∎

命題 8.2（Hilbert の定理 90（加法版））✓

$L$ を体、$G$ を $L$ の自己同型からなる有限群とする。$H^1(G, L) = 0$ である。すなわち、$a\colon G \to L$ が $a(\sigma\tau) = a(\sigma) + \sigma(a(\tau))$ を満たすなら、ある $y \in L$ で $a(\sigma) = \sigma(y) - y$ と書ける。

証明（命題 8.2）

係数をすべて $1$ として 補題 7.6［ガロア理論への招待］ を使うと、$t = \sum_{\tau \in G} \tau(c) \ne 0$ となる $c \in L$ があります。$\sigma(t) = \sum_\tau \sigma\tau(c) = t$ です。$b = t^{-1} \sum_{\tau} a(\tau) \tau(c)$ とおくと、$\sigma(a(\tau)) = a(\sigma\tau) - a(\sigma)$ から

$$\sigma(b) = t^{-1} \sum_{\tau} \bigl(a(\sigma\tau) - a(\sigma)\bigr) \sigma\tau(c) = b - a(\sigma)\, t^{-1} \sum_\tau \sigma\tau(c) = b - a(\sigma)$$

です。よって $a(\sigma) = b - \sigma(b) = \sigma(y) - y$（$y = -b$）で、命題 4.2 の 2 から $H^1(G, L) = 0$ です。

∎

例 8.3（巡回拡大の Hilbert 90 を読み直す）

$L/K$ を次数 $d$ の巡回拡大、$\sigma$ を Galois 群 $G$ の生成元とします。定理 6.1 の 2 を $M = L^\times$ に使うと（乗法的に書くと $t - 1$ は $x \mapsto \sigma(x)/x$、$N$ はノルム $N_{L/K}$ です）

$$H^1(G, L^\times) \cong \{\beta \in L^\times : N_{L/K}(\beta) = 1\} / \{\sigma(x)/x : x \in L^\times\}$$

で、定理 8.1 によりこれは自明です。つまりノルム $1$ の $\beta$ は $\beta = \sigma(x)/x$ と書け、$c = x^{-1}$ とおけば $\beta = c/\sigma(c)$ です。これは数論の章の Hilbert の定理 90（定理 4.1）［S 単数と Kummer 理論］ そのもので、Kummer 理論の出発点になります。

注意 8.4（この先の話題）

• Galois コホモロジー。 Galois 拡大の塔 $K \subseteq M \subseteq L$（$M/K$ も Galois）では、$N = \mathrm{Gal}(L/M)$ について $(L^\times)^N = M^\times$ で（標数 $0$ なら 定理 4.1［ガロア理論への招待］ の 1 を $L/M$ に使えばわかります）、命題 7.5 は $H^1$ を拡大の塔に沿って比べる道具になります。$H^2(\mathrm{Gal}(L/K), L^\times)$（相対 Brauer 群）、カップ積、Tate コホモロジーは類体論で扱います。インフレーション–制限完全列を高次に延ばすのが Lyndon–Hochschild–Serre のスペクトル系列です。
• 分類空間。 離散群 $G$ の分類空間 $BG$（定義 6.4［ホモトピー群とファイブレーション］）について、自明な係数の特異コホモロジー $H^n(BG; A)$ は $H^n(G, A)$ と同型です。$EG$ の特異鎖複体が $\mathbb{Z}$ の自由 $G$ 分解になることが理由で、bar 分解はその組合せ的な模型です。この同型はこの章では使いません。

9. 演習

演習はいずれもこの記事のために作ったものです。

演習 9.1標準

$G = \{1, t\}$ を位数 $2$ の群とし、$\mathbb{Z}^-$ を $t \cdot k = -k$ で作用させた $G$ 加群とします。すべての $n \ge 0$ について $H^n(G, \mathbb{Z}^-)$ を求め、$H^1$ の $0$ でない類を交差準同型で表してください。

解答

定理 6.1 を $m = 2$ で使います。$t - 1$ は $-2$ 倍、$N = 1 + t$ は $0$ 写像です。$H^0 = \operatorname{Ker}(-2) = 0$。奇数次は $\operatorname{Ker} N / (t-1)\mathbb{Z} = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$、正の偶数次は $\operatorname{Ker}(t-1) / N\mathbb{Z} = 0$ です。

交差準同型 $f$ は $f(1) = 0$ と $k = f(t)$ で決まり、条件 $f(t^2) = f(t) + t f(t) = k - k = 0 = f(1)$ は任意の $k$ で成り立ちます。主交差準同型は $f(t) = tm - m = -2m$ なので、$H^1 \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ で、$f(t) = 1$ が $0$ でない類です。

演習 9.2易

$E = \mathbb{Z}/4$、$M = 2E \cong \mathbb{Z}/2$、$E/M \cong \mathbb{Z}/2$ とします。この拡大は分裂しないことを示し、系 7.4 で $|N|$ と指数が互いに素という仮定を外せないことを確かめてください。また、この拡大の類が $H^2(\mathbb{Z}/2, \mathbb{Z}/2)$ の $0$ でない元であることを、例 5.3 と同じ不変量で確かめてください。

解答

補群 $K$ は位数 $2$ の部分群で $M$ と交わらないものですが、$\mathbb{Z}/4$ の位数 $2$ の元は $2$ だけで、それは $M$ に入ります。よって補群は無く、拡大は分裂しません（定理 5.2 の 3）。$|M| = 2$ と指数 $2$ は互いに素ではありません。

$s(0) = 0$、$s(\bar 1) = 1$ と切断をとると、因子団は正規化されていて、$s(\bar 1) + s(\bar 1) = 2 = i(1) + s(\bar 0)$ から $f(\bar 1, \bar 1) = 1 \ne 0$ です。例 5.3 と同じ議論で、正規化されたコサイクルの $f(g, g)$（$g^2 = 1$）は類の不変量なので、この類は $0$ ではありません。定理 6.1 から $H^2(\mathbb{Z}/2, \mathbb{Z}/2) = (\mathbb{Z}/2)/2(\mathbb{Z}/2) = \mathbb{Z}/2$ なので、拡大の同値類は直積 $\mathbb{Z}/2 \oplus \mathbb{Z}/2$ と $\mathbb{Z}/4$ の 2 つだけです。

演習 9.3易

$G$ を有限群とします。自明な $G$ 加群について $H^1(G, \mathbb{Z}) = 0$ と $H^1(G, \mathbb{Q}/\mathbb{Z}) \cong \operatorname{Hom}(G, \mathbb{Q}/\mathbb{Z})$ を示してください。$G = \mathbb{Z}/m$ のとき後者の位数はいくつですか。

解答

命題 4.2 の 3 により $H^1(G, A) = \operatorname{Hom}(G, A)$ です。$f\colon G \to \mathbb{Z}$ が準同型なら、$g \in G$ の位数を $k$ として $k f(g) = f(g^k) = 0$ なので $f(g) = 0$ です。後者はそのままです。$G = \mathbb{Z}/m$ では準同型は生成元の行き先 $x \in \mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ で $mx = 0$ を満たすもので決まり、そのような $x$ は $0, 1/m, \ldots, (m-1)/m$ の $m$ 個なので、位数は $m$ です。

参考文献

• K. S. Brown, Cohomology of Groups, Graduate Texts in Mathematics 87, Springer, 1982 — 第 I〜IV 章（群環、bar 分解、低次のコホモロジーと拡大、制限・余制限・Shapiro の補題）。
• C. A. Weibel, An Introduction to Homological Algebra, Cambridge University Press, 1994 — 第 6 章（群のホモロジーとコホモロジー）。
• J.-P. Serre, Local Fields, Graduate Texts in Mathematics 67, Springer, 1979 — 第 VII 章（群のコホモロジー）、第 X 章（Hilbert の定理 90）。
• J. Neukirch, A. Schmidt, K. Wingberg, Cohomology of Number Fields, 2nd ed., Springer, 2008 — 第 I 章。