制限・余制限・インフレーション

$H \le G$ を部分群、$M$ を $G$ 加群、$B_\bullet$ を $G$ の bar 分解とする。

1. 包含 $\operatorname{Hom}_G(B_n, M) \subseteq \operatorname{Hom}_H(B_n, M)$ が誘導する $\operatorname{res}\colon H^n(G, M) \to H^n(H, M)$ を制限という。
2. 指数 $[G : H]$ が有限のとき、左剰余類の代表系 $R$（$G = \bigsqcup_{r \in R} rH$）をとり、$\operatorname{Hom}_H(B_n, M) \to \operatorname{Hom}_G(B_n, M)$ を $(\mathcal{N}\varphi)(x) = \sum_{r \in R} r\, \varphi(r^{-1} x)$ で定める。これが誘導する $\operatorname{cor}\colon H^n(H, M) \to H^n(G, M)$ を余制限という。
3. $N$ を $G$ の正規部分群とする。$m \in M^N$、$g \in G$、$n \in N$ について $n g m = g (g^{-1} n g) m = gm$ なので $M^N$ は $G$ の作用で閉じ、$(gN) m = gm$ により $G/N$ 加群になる。コチェイン $f \in C^n(G/N, M^N)$ に $(g_1, \ldots, g_n) \mapsto f(g_1 N, \ldots, g_n N) \in M$ を対応させる写像は $\delta$ と可換で（$\delta$ の式の第 1 項の $g_1$ の作用は $g_1 N$ の作用と同じ）、$\operatorname{inf}\colon H^n(G/N, M^N) \to H^n(G, M)$ を誘導する。これをインフレーションという。