群の拡大・因子団

$G$ を群、$M$ を $G$ 加群とする。

1. $M$ による $G$ の拡大とは、群 $E$、単射準同型 $i\colon M \to E$（$M$ は加法群、$E$ は乗法的に書く）、全射準同型 $\pi\colon E \to G$ の組で、$i(M) = \operatorname{Ker} \pi$ かつ $$x\, i(m)\, x^{-1} = i(\pi(x) m) \quad (x \in E,\ m \in M)$$ を満たすものをいう（$E$ の共役による $M$ への作用が、与えられた $G$ の作用と一致する）。
2. 二つの拡大 $(E, i, \pi)$、$(E', i', \pi')$ が同値であるとは、群の同型 $\phi\colon E \to E'$ で $\phi i = i'$、$\pi' \phi = \pi$ を満たすものがあることをいう。
3. 写像 $s\colon G \to E$ で $\pi s = \mathrm{id}_G$ を満たすもの（準同型とは限らない）を切断という。準同型である切断があるとき、拡大は分裂するという。
4. 切断 $s$ について、$s(g) s(h) s(gh)^{-1} \in \operatorname{Ker} \pi = i(M)$ なので、$s(g) s(h) = i(f_s(g, h))\, s(gh)$ により $f_s\colon G^2 \to M$ が定まる。$f_s$ を $s$ の因子団という。