巡回群のコホモロジー

$G = \langle t \rangle$ を位数 $m$ の巡回群とし、$N = \sum_{i=0}^{m-1} t^i \in \mathbb{Z}[G]$ とおく。

1. 次は $\mathbb{Z}$ の自由分解である（各項は $\mathbb{Z}[G]$、写像は $\mathbb{Z}[G]$ の元の掛け算）。 $$\cdots \xrightarrow{t-1} \mathbb{Z}[G] \xrightarrow{N} \mathbb{Z}[G] \xrightarrow{t-1} \mathbb{Z}[G] \xrightarrow{N} \mathbb{Z}[G] \xrightarrow{t-1} \mathbb{Z}[G] \xrightarrow{\varepsilon} \mathbb{Z} \to 0$$
2. $G$ 加群 $M$ について、$N_M(x) = \sum_i t^i x$（$x \in M$）とおくと $$H^0(G, M) = M^G, \qquad H^n(G, M) \cong \begin{cases} \operatorname{Ker} N_M / (t-1)M & (n \text{ は奇数}), \\ M^G / N_M M & (n \ge 2 \text{ は偶数}). \end{cases}$$