数学 › 圏論・ホモロジー代数 › 群のコホモロジーと群の拡大

自由 G 加群

補題 2.4（「群のコホモロジーと群の拡大」§2） ・ ✓公理まで証明済み

XX を集合とし、F=Z[G](X)F = \mathbb{Z}[G]^{(X)} とする。

  1. 任意の GG 加群 MM と元の族 (mx)x∈X(m_x)_{x \in X} に対し、ψ(ex)=mx\psi(e_x) = m_x を満たす GG 準同型 ψ ⁣:F→M\psi\colon F \to M がただ一つある。したがって Hom⁡G(F,M)→MX\operatorname{Hom}_G(F, M) \to M^X、ψ↦(ψ(ex))x\psi \mapsto (\psi(e_x))_x は Abel 群の同型で、MM について自然である。
  2. FF は ModG\mathsf{Mod}_G の射影対象である（定義 3.1［射影対象・入射対象と Grothendieck 圏］）。
  3. FG≅Z(X)F_G \cong \mathbb{Z}^{(X)} で、同型は gex↦exg e_x \mapsto e_x で与えられる。
  4. HH を GG の部分群とすると、FF は作用を HH に制限して自由 HH 加群である。正確には、右剰余類 HgHg の代表系 RR を一つ選ぶと、F≅Z[H](R×X)F \cong \mathbb{Z}[H]^{(R \times X)}（HH 加群として）で、同型は (hr,x)↦(h,(r,x))(hr, x) \mapsto (h, (r, x)) で与えられる。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 12 件、定義なども含めて 19 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 5 件